精品解析： 江苏省南京市秦淮区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列人工智能的图标中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、C的图形不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项D的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2. 2024年我市约有6.6万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是（　　） A. 我市6.6万名考生的全体是总体 B. 每个考生是个体 C. 2000名考生是总体的一个样本 D. 样本容量是2000 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查总体、个体、样本、样本容量的概念，总体指所有研究对象的某一指标的全体，个体是总体中的每个研究对象，样本是总体中抽取的一部分个体，样本容量是样本中个体的数目，根据定义逐一分析即可. 【详解】解：A选项错误，总体应为6.6万名考生的数学成绩全体，而非考生本身； B选项错误，个体应为每个考生的数学成绩，而非考生； C选项错误，样本应为2000名考生的数学成绩，而非考生； D选项正确，样本容量是2000，表示抽取的样本中个体的数量； 故选：D 3. 若反比例函数的图象经过点，则m的值是（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数图上点求值问题，解题的关键是将几何问题转换成代数问题，代入求解． 将点A的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求解． 【详解】解：把点代入得：． 故选：B． 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟记矩形的性质是解本题的关键．先证明，，再结合三角形的外角的性质是解本题的关键． 【详解】解：矩形中，对角线与相交于点， ，， 是的一个外角， ， ． 故选：B． 5. 当时，下列式子没有意义的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式无意义的条件，二次根式有意义的条件，当分式的分母为零或二次根式的被开方数为负数时，式子无意义，将代入各选项，逐一检验即可． 【详解】解：选项A：代入，分母为，分母为零，分式无意义，符合题意； 选项B：代入，分母为，分子为，分式值为0，有意义，不符合题意； 选项C：代入，被开方数为，根式有意义，不符合题意； 选项D：代入，分子，分母为，分式有意义，不符合题意； 综上，只有选项A在时无意义， 故选：A． 6. 已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 14种 D. 16种 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练平行四边形的判定条件是解题的关键．根据题意，对题目中的条件任取两个组合，分类讨论所有情况，再结合平行四边形的判定条件，找出符合题意的情况即可． 【详解】解：如图， 当①②组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①③组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①④组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当①⑤组合时， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑦组合时， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②③组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当②④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑤组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑦组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑥组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑤⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑧组合时， ， 将绕点旋转，则点的对应点为点，点的对应点为点， 设点的对应点为点，则有， 、、在同一直线上， 由旋转的性质得，点可能落在线段上，落在延长线上，或者与点重合， 假设点落在线段上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 假设点落在延长线上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 综上所述，点只能与点重合，即， 四边形平行四边形，符合题意； 当⑥⑦组合时，同理⑤⑧组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑦⑧组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 综上所述，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有16种． 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 袋子里有只红球，只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出只球，红球的可能性______白球的可能性 ．（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【解析】 【分析】本题考查了事件可能性的大小，熟练掌握事件可能性大小的比较是解题关键． 先求摸出只球是红球或白球的概率，再比较即可求解． 【详解】解：袋子里有只红球，只白球， 摸出只球是红球的概率是，摸出只球是白球的概率是， 摸到红球的可能性大于白球的可能性． 故答案为：大于． 8. 计算的结果是______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先化简，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 9. 某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分的频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有______人． 【答案】6 【解析】 【分析】根据频数＝频率×总数，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：40×0.15＝6， ∴该班级在这个分数段内的学生有6人， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数＝频率×总数是解题的关键． 10. 方程的解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解： 经检验：是原方程的根． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，注意要检验. 11. 如图，在菱形中，，，则菱形的高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及零星的面积公式等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由菱形的性质得，，由勾股定理得，所以，设菱形的高为，由菱形的面积公式列出方程，解之即可． 【详解】解：连接，设与交于点， 在菱形中，，， ，， ， ， 设菱形的高为，则， 解得：， 故答案为：． 12. 已知x=+1，则代数式x2﹣2x+1的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用完全平方公式将所求代数式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：原式为： ， 将代入上式， 原式 故答案为：2． 【点睛】此题考查了完全平方公式的计算，二次根式的性质．利用完全平方公式将所求代数式进行变形是解答此题的关键． 13. 对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质、反比例函数的图象，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， 该函数的图象在第一、三象限， 故①正确，符合题意； 当时，，即函数的图象经过点， 故②正确，符合题意； 在每个象限内，y随x的增大而减小， 故③错误，不符合题意； 当时，，当时，， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 14. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 15. 如图，在长方形纸片中，，，点M 为上一点，将沿翻至， 交于点G，交于点F，且，则的长度是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换和矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据条件列出方程是解题的关键． 先证明，再根据勾股定理设未知数列方程求解即可． 详解】解：设，则， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若长度为d，则d的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点，证明为等边三角形，再证明，则，继而确定点G的轨迹是线段，然后解求出，再由勾股定理求出，可得当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， 则， ∴， ∴中，， ∵， ∴点在线段上运动， ∴当点与点重合时，最小为，当点与点重合时，最大为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． 先对二次根式进行化简，并进行乘法算，再合并同类项即可； 先计算乘法并化简，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）（2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减． （1）根据分式的加减法运算法则进行计算即可； （2）把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入得， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分，再将a的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 20. 某校课间有四个运动项目：踢毽子，投沙包，跳绳，打篮球（分别用A、B、C、D表示）．为了解运动项目受欢迎情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查．每位同学必须且只能选择一种．根据调查结果绘制出部分扇形统计图和条形统计图，根据图中的信息，回答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有1800名学生，请估计项目D受欢迎的学生人数． 【答案】（1）40 （2）见解析 （3）估计项目D受欢迎的学生人数675人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体． （1）由A项目人数及其所占百分比可得总人数； （2）求出B组人数，从而补全条形图； （3）总人数乘以样本中D项目对应的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次共调查学生（名）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：项目对应的人数为（名）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计项目D受欢迎的学生人数675人． 21. 求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 【答案】，，证明见解析 【解析】 【分析】根据命题补充求证，，根据菱形的性质证明，即可得到结论． 【详解】求证：，． 证明：∵四边形是菱形， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． 即平分菱形的一组对角． 【点睛】此题考查菱形的性质定理，三角形全等的判定及性质定理，根据命题写出求证，正确掌握菱形的性质定理是解题的关键． 22. 某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁．该品牌车辆电池满电容量均为180千瓦时升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，工作状态下每小时比升级前少耗电5千瓦时求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量． 【答案】升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时，根据升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时． 23. 已知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数表达式； （2）若将该反比例函数图象先向左平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及平移、对称变换后解析式的变化规律，正确理解平移变换和对称变换是本题解题的关键． （1）将A点代入，求出，然后求出B点坐标，将A，B坐标代入，求解析式； （2）向左平移3个单位，用代替x，沿y轴翻折，用代替x，即可得到新的表达式． 【小问1详解】 解：将点代入解析式得：， ， 在上， ， ，即， ∵，均在上， ， 解得：， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：将向左平移3个单位长度得到：， 再沿y轴翻折得到：. 24. 代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． （1）已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． （2）在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 【答案】（1）①不等式的基本性质1，②平方差公式 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、非负数的性质、三角形的三边关系、算术平方根、实数大小比较、不等式的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，根据不等式的性质，及平方差公式即可判断得解； （2）依据题意，根据所给信息即可计算判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，， （①不等式的基本性质1）， （②平方差公式）， 故答案为：①不等式的基本性质1，②平方差公式． 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 （1），； （2）， 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点A，交于点C，连接，即可； （2）作，作射线平分，在射线上截取线段，使得，作线段的垂直平分线交于点B，交于点D连接，即可． 【小问1详解】 解：如图1中，菱形即为所求； 【小问2详解】 解：如图2中，菱形即为所求． 26. 对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在中，点，，，． （1）点O，______． （2）若点P在y轴正半轴上，点P，，求点P的坐标； （3）若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形 ①当时，直接写出的值； ②若，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） （2）点P坐标为或 （3）①的值为； ②或或 【解析】 【分析】（1）由A，B，C，D的点坐标可知O为对角线的交点，可知点O到的距离相等且为6；点O到的距离相等；如图1，记与y轴的交点为M，，在中，由勾股定理得，设O到的距离为h，根据，求出h的值，然后与6比较取最小值即可； 作于Q，分为点P在点M的上方和下方，两种情况讨论，由点P，，可知，且，在中，由勾股定理得，求出的值，进而可得P点坐标； ①由，可得、、、，在坐标系中描点，依次连接，即为图形W，过点H作，垂足为K，延长，交于N，由E、F、G、H点坐标可知，进而得到，可知，根据勾股定理求出，即可求解； ②过点E，G作直线，分别交于点P，L，由E，F，H，G的点坐标可知，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且E点沿着直线运动，分情况求解：当在x轴下方和上方，即当和，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：由A，B，C，D的点坐标可知O为对角线的交点， 点O到的距离相等且为6；点O到的距离相等； 如图1，记与y轴的交点为M， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 设O到的距离为h， ， ， 解得， ， 点O,的值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：作于Q， 如图1，当点P在点M的上方时， 点P,， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴点P坐标为； 如图2，当点P在点M的下方时， 同理可得：， ， 点P坐标为； 综上，点P坐标为或； 【小问3详解】 解：①， ， 在坐标系中描点，依次连接如图3所示，即为图形W，过点H作，垂足为K，延长，交于N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， 的值为； ②如图，将向左向右各平移1个单位距离，向上或向下各移动个单位距离，如图： 当在内或外时，符合题意， 点， 直线：，直线：，直线：，直线：， 直线，直线，直线，直线， 直线，直线，直线，直线， 点， 、G在直线上，F、H在直线上， ， 或或， 解得：或或 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，点到直线的距离，新定义下的实数运算等知识，解题的关键在于理解题意，分情况求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省南京市秦淮区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列人工智能图标中，属于中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 2024年我市约有6.6万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，下列说法正确的是（　　） A. 我市6.6万名考生的全体是总体 B. 每个考生是个体 C. 2000名考生是总体的一个样本 D. 样本容量是2000 3. 若反比例函数的图象经过点，则m的值是（    ） A. B. 2 C. D. 4. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，则的度数是( ) A. B. C. D. 5. 当时，下列式子没有意义是（    ） A. B. C. D. 6. 已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（ ） A. 8种 B. 10种 C. 14种 D. 16种 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7. 袋子里有只红球，只白球，每只球除颜色以外都相同，从中任意摸出只球，红球的可能性______白球的可能性 ．（填“大于”“小于”或“等于”） 8. 计算的结果是______． 9. 某班级40名学生在一次考试中，分数段在90～100分频率为0.15，则该班级在这个分数段内的学生有______人． 10. 方程的解是__________． 11. 如图，在菱形中，，，则菱形高为________． 12. 已知x=+1，则代数式x2﹣2x+1的值为____． 13. 对于反比例函数，以下四个结论：①函数的图象在第一、三象限；②函数的图象经过点；③y随x的增大而减小；④当时，．其中所有正确结论的序号是______． 14. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 15. 如图，在长方形纸片中，，，点M 为上一点，将沿翻至， 交于点G，交于点F，且，则的长度是_____________ 16. 如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________． 三、解答题：本题共10小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2） 18. （1）计算：； （2）解方程： 19. 先化简，再求值：，其中 20. 某校课间有四个运动项目：踢毽子，投沙包，跳绳，打篮球（分别用A、B、C、D表示）．为了解运动项目受欢迎情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查．每位同学必须且只能选择一种．根据调查结果绘制出部分扇形统计图和条形统计图，根据图中的信息，回答下列问题： （1）在本次调查中，一共抽取了______名学生； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有1800名学生，请估计项目D受欢迎的学生人数． 21. 求证：菱形的一条对角线平分这一组对角． 已知：如图，是菱形的一条对角线． 求证：____________________． 证明： 22. 某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁．该品牌车辆电池满电容量均为180千瓦时升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，工作状态下每小时比升级前少耗电5千瓦时求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量． 23. 已知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数表达式； （2）若将该反比例函数的图象先向左平移3个单位长度，再沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是______． 24. 代数推理是指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 请先完成第题的填空，填写推理的依据，再完成第题的证明． （1）已知实数x，y满足，求证：． 证明：， ①______， ②______， ， ，， ，， ， ， ． （2）在三边长分别为a，b，的三角形中，利用的结论，求证： 25. 如图，已知角，线段m，用直尺和圆规按下列要求分别作菱形保留作图痕迹，写出必要的文字说明 （1），； （2）， 26. 对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，称P、Q两点间距离的最小值为图形M、N间的“最近距离”，记作在中，点，，，． （1）点O，______． （2）若点P在y轴正半轴上，点P，，求点P的坐标； （3）若已知点，，，，顺次连接点E、F、H、G，将得到四边形记为图形 ①当时，直接写出的值； ②若，直接写出a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$