1.1集合专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以集合概念为起点，通过基础运算、元素特性、容斥原理及新定义题型构建“概念-运算-应用-创新”的逻辑体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|3题|绝对值/二次不等式求解后进行交并补运算|从集合定义到不等式表示，再到集合运算| |元素特性与子集|4题|元素互异性检验、真子集个数公式(2ⁿ-1)、子集分类讨论|元素确定性→互异性→子集关系| |容斥原理与应用|2题|容斥原理公式直接应用、集合与实际问题转化|集合交集并集→容斥原理→实际计数| |新定义与创新|3题|新定义理解（和谐集）、集合与字符串对应转化|集合基本概念→拓展定义→跨情境应用|

§1.1　集　合 课时精练 (分值：74分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·南宁模拟)若集合A={x||x|≤2}，B={x|x2<4x}，则A∪B等于(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|-2≤x≤4} C.{x|-2≤x<4} D.{x|0<x≤2} 2.(2024·怀化模拟)已知集合M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，P=M∩N，则P的真子集共有(　　) A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 3.(2025·河北联考)已知集合A={1，2，3}，则集合B={(x，y)|x∈A，y∈A，|x-y|∈A}中所含元素的个数为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 4.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A) +card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班有46人在寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 5.(2025·宜宾模拟)已知集合A={2a-1，a2，0}，B={1-a，a-5，9}，若A∩B={9}，则实数a的值为(　　) A.5或-3或3 B.5 C.3 D.-3 6.(2025·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 8.(2025·武汉模拟)图中阴影部分表示的集合是(　　) A.M∩(∁UN) B.N∩(∁UM) C.M∩∁U(M∩N) D.(∁UM)∩(∁UN) 9.对于集合A，B，定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，下列命题正确的有(　　) A.若A-B=A，则A∩B=∅ B.若A∪B=A，则A-B=∁AB C.若A={x∈N*|-1≤x<5}，B={x|x≤2，或x>3}，则A-B={3} D.若A={x|x≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则B-A={x|-3≤x≤0} 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.(2024·厦门模拟)设集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|y=2x+1}，则M∪(∁RN)=　　　　.  11.(2024·襄阳市第四中学模拟)已知集合A=，则用列举法表示A=　　　　　.  12.(2024·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a的取值范围为____________. 13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，都有a+b∈S且a-b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是(　　) A.存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B.集合{x|x=3k，k∈Z}是“和谐集” C.若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D.对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2=R 14.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若N={2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为　　　　　　；  (2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　　.  答案 课时精练 (分值：74分) 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.(2025·南宁模拟)若集合A={x||x|≤2}，B={x|x2<4x}，则A∪B等于(　　) A.{x|0≤x≤2} B.{x|-2≤x≤4} C.{x|-2≤x<4} D.{x|0<x≤2} 答案　C 解析　A={x|-2≤x≤2}，x2<4x⇔x(x-4)<0⇔0<x<4，所以B={x|0<x<4}， 所以A∪B={x|-2≤x<4}. 2.(2024·怀化模拟)已知集合M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，P=M∩N，则P的真子集共有(　　) A.3个 B.6个 C.7个 D.8个 答案　C 解析　因为M={-1，1，2，3，4，5}，N={1，2，4}，所以P=M∩N={1，2，4}，所以P的真子集共有23-1=7(个). 3.(2025·河北联考)已知集合A={1，2，3}，则集合B={(x，y)|x∈A，y∈A，|x-y|∈A}中所含元素的个数为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 答案　C 解析　因为A={1，2，3}，所以B={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(1，2)，(1，3)，(2，3)}，B中含6个元素. 4.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)表示有限集合A中元素的个数.例如，A={a，b，c}，则card(A)=3.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，card(A∪B∪C)=card(A) +card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C).某校初一四班有46人在寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，则三项都参加的人数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　C 解析　设集合A={x|x是参加足球队的学生}， 集合B={x|x是参加排球队的学生}， 集合C={x|x是参加游泳队的学生}， 则card(A)=25，card(B)=22，card(C)=24， card(A∩B)=12，card(B∩C)=8，card(A∩C)=9， 设三项都参加的有m人，即card(A∩B∩C)=m，又card(A∪B∪C)=46， 所以由card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(A∩C)+card(A∩B∩C)， 得46=25+22+24-12-8-9+m，解得m=4， 所以三项都参加的有4人. 5.(2025·宜宾模拟)已知集合A={2a-1，a2，0}，B={1-a，a-5，9}，若A∩B={9}，则实数a的值为(　　) A.5或-3或3 B.5 C.3 D.-3 答案　D 解析　因为A={2a-1，a2，0}，B={1-a，a-5，9}且A∩B={9}， 所以9∈A.若2a-1=9，则a=5， 此时A={9，25，0}，B={-4，0，9}，不满足A∩B={9}，故舍去； 若a2=9，解得a=3或a=-3， 当a=3时，1-a=a-5，集合B不满足集合元素的互异性，故舍去； 当a=-3时，A={-7，9，0}，B={4，-8，9}，满足A∩B={9}，符合题意. 综上可得a=-3. 6.(2025·宝鸡模拟)若集合A={x∈R|ax2-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a等于(　　) A.1 B.0 C.2 D.0或1 答案　D 解析　当a=0时，由ax2-2x+1=0可得x=，满足题意； 当a≠0时，由ax2-2x+1=0只有一个根需满足Δ=(-2)2-4a=0，解得a=1. 综上，实数a的值为0或1. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.已知集合M={-1，1}，N={x|mx=1}，且N⊆M，则实数m的值可以为(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案　BCD 解析　当N=∅时，满足N⊆M，此时m=0； 当N≠∅时，m≠0， 解mx=1可得，x=. 因为N⊆M，所以=-1或=1. 当=-1时，m=-1； 当=1时，m=1. 综上所述，m=0或m=-1或m=1. 8.(2025·武汉模拟)图中阴影部分表示的集合是(　　) A.M∩(∁UN) B.N∩(∁UM) C.M∩∁U(M∩N) D.(∁UM)∩(∁UN) 答案　AC 解析　将全集U分成如图所示的4个区域，M=③+④，N=②+③，U=①+②+③+④， 对于A，∁UN=①+④，则M∩(∁UN)=④，故A正确； 对于B，∁UM=①+②，则N∩(∁UM)=②，故B错误； 对于C，M∩N=③，∁U(M∩N)=①+②+④，故M∩∁U(M∩N)=④，故C正确； 对于D，(∁UM)∩(∁UN)=①，故D错误. 9.对于集合A，B，定义A-B={x|x∈A，且x∉B}，下列命题正确的有(　　) A.若A-B=A，则A∩B=∅ B.若A∪B=A，则A-B=∁AB C.若A={x∈N*|-1≤x<5}，B={x|x≤2，或x>3}，则A-B={3} D.若A={x|x≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则B-A={x|-3≤x≤0} 答案　ABC 解析　因为A-B={x|x∈A，且x∉B}，所以若A-B=A，则A∩B=∅，故A正确； 若A∪B=A，则B⊆A，则A-B=∁AB，故B正确； 若A={x∈N*|-1≤x<5}={1，2，3，4}，B={x|x≤2，或x>3}，则A-B={3}，故C正确； 若A={x|x≥0}，B={x|-3≤x≤3}，则B-A={x|-3≤x<0}，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.(2024·厦门模拟)设集合M={x|-2≤x≤2}，N={y|y=2x+1}，则M∪(∁RN)=　　　　.  答案　(-∞，2] 解析　由题知N={y|y>1}， 所以∁RN={y|y≤1}， 故M∪(∁RN)=(-∞，2]. 11.(2024·襄阳市第四中学模拟)已知集合A=，则用列举法表示A=　　　　　.  答案　{-2，0，2，4} 解析　由题意可得x-1可为±1，±3， 即x可为0，2，-2，4，即A={-2，0，2，4}. 12.(2024·南京模拟)已知非空集合A={x|a-1<x<2a+3}，B={x|-2≤x≤4}.A∩(∁RB)=A，则实数a的取值范围为____________. 答案　 解析　因为A为非空集合，则a-1<2a+3， 解得a>-4，∁RB={x|x<-2或x>4}， 若A∩(∁RB)=A，则A⊆(∁RB)， 则2a+3≤-2或a-1≥4， 解得a≤-或a≥5，又a>-4， 综上所述，实数a的取值范围为. 13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的a，b∈S(a与b可以相等，也可以不相等)，都有a+b∈S且a-b∈S，则称S是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是(　　) A.存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集 B.集合{x|x=3k，k∈Z}是“和谐集” C.若S1，S2都是“和谐集”，则S1∩S2≠∅ D.对任意两个不同的“和谐集”S1，S2，总有S1∪S2=R 答案　ABC 解析　A项中，根据题意S={0}是“和谐集”，又是有限集，故A正确；B项中，设x1=3k1，x2=3k2，k1，k2∈Z，则x1+x2=3(k1+k2)∈S，x1-x2=3(k1-k2)∈S，所以集合{x|x=3k，k∈Z}是“和谐集”，故B正确；C项中，根据已知条件，a，b可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以S1∩S2≠∅，故C正确；D项中，取S1={x|x=2k，k∈Z}，S2={x|x=3k，k∈Z}，S1，S2都是“和谐集”，但5不属于S1，也不属于S2，所以S1∪S2不是实数集，故D错误. 14.设全集U={1，2，3，4，5，6}，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{1，3}表示的是从左往右第1个字符为1，第3个字符为1，其余均为0的6位字符串101000，并规定空集表示的字符串为000000. (1)若N={2，3，6}，则∁UN表示的6位字符串为　　　　　　；  (2)若B={5，6}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合A的个数为　　　　.  答案　(1)100110　(2)4 解析　(1)因为U={1，2，3，4，5，6}，N={2，3，6}， 所以∁UN={1，4，5}，所以∁UN表示的6位字符串为100110. (2)因为集合A∪B表示的字符串为011011， 所以A∪B={2，3，5，6}，又B={5，6}， 所以集合A可能为{2，3}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，3，5，6}， 即满足条件的集合A的个数为4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $