专题04 一次函数动态几何分类训练 【暑期培优】2026年八升九数学暑假培优计划（人教版八年级数学下册，重庆专用）

**基本信息** 以5类几何图形为载体，系统整合一次函数与动态几何，通过40道题构建“图形性质-动点轨迹-函数建模”的逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形相关|8道|折线运动下面积与路程的分段函数关系|三角形性质→动点位置分类→一次函数表达式推导| |平行四边形相关|8道|动点在平行四边形边上运动的面积/距离函数|平行四边形对边性质→高与底的动态关系→函数图像绘制| |菱形相关|8道|基于对角线的动点运动与面积函数|菱形对角线垂直性质→动点路径分段→面积公式与一次函数结合| |矩形相关|8道|矩形边上动点的面积/线段长度函数|矩形直角性质→动点坐标表示→函数性质分析| |正方形相关|8道|多路径动点的面积/距离函数关系|正方形对称性→动点速度与路径分类→函数图像交点问题|

专题04 一次函数动态几何分类训练（5种类型40道） 专题目录 【类型1 三角形相关动点几何】 1 【类型2 平行四边形相关动点几何】 17 【类型3 菱形相关动点几何】 37 【类型4 矩形相关动点几何】 55 【类型5 正方形相关动点几何】 73 【类型1 三角形相关动点几何】 1．如图，在中，，点D是中点，，，动点P从点A出发，沿着折线匀速运动，到达C点时停止（点P不与A、C重合），设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出它的一条性质； (3)已知正比例函数的部分图象如图所示，根据图象，请直接写出时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.3） 2．如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动不与点、点重合），设运动时间为秒，记的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线的图象与的函数图象有1个交点，请直接写出的取值范围． 3．如图1，在中，，，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线B→C→A方向运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合）．设点P的运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． (3)结合图象，请直接写出当函数值时自变量x的取值范围． 1 4 5 6 2 8 6 4 4．如图，设是边长为6的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点F沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一动点到达点B时运动停止．设运动时间为秒，E、F两点间距离的倍为． (1)求自变量x的取值范围，直接判断是否成立？ (2)求y关于x的函数解析式； (3)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质． 5．如图，在中，，，动点P从点A出发，沿折线运动．到达点B停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，若，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 6．如图，在中，，，，点是的中点，点是的中点，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，设点运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 1 3 4 6 7．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 8．如图，在中，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动时间为x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与y的图象有两个不同的交点，请直接写出b的取值范围． 【类型2 平行四边形相关动点几何】 9．如图1，在平行四边形中，，，，动点从点出发，沿折线运动，设的运动路程为，运动时间为（），的面积为（）． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若函数与函数有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 10．如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围． 11．如图1，在平行四边形中，，，．动点以每秒1个单位长度沿着运动，当点运动到点时停止运动，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与的图象有且只有2个交点，请直接写出的取值范围． 12．如图，在平行四边形中，，，，为上一动点（不与点，重合），连接．用表示线段的长度，点到直线的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 13．如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点P的运动时间x秒，的面积为y． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____． (3)若直线与该函数图象恰有两个交点，则常数b的取值范围是_____． 14．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 15．已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 16．如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围． 【类型3 菱形相关动点几何】 17．如图，菱形中，、交于，，，动点从菱形的点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为（），的长为，的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出关于的函数图象，并写出它的一条性质； (3)直接写出当时的值． 18．如图，菱形的两条对角线交于点，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 19．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 20．如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 21．如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 22．如图，在菱形中，对角线、相交于点，动点从出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，设的面积为 (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出一次函数的图象与（2）中的函数图象有两个交点时，的取值范围． 23．如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 24．如图1，菱形的周长为24，，点G为对角线上一点，且．动点P从点O出发，沿移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，的面积为y． 请回答以下问题： (1)直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： (2)在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)若的函数图像如图2所示，结合你画出的y与x的函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【类型4 矩形相关动点几何】 25．如图，已知矩形的边长为，，，分别在边，上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到达D点停止．记P点走过的路程为，四边形AEPF的面积为 (1)请写出关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 (2)在坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质 (3)已知直线，结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（近似值保留1位小数，误差不超过0.2） 26．如图1，在矩形中，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交矩形一边于点Q．设点P运动时间为x秒，线段的长度为，请回答下列问题： (1)请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是 ． 27．如图，已知矩形的边长为，，E、F分别在边、上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到点D停止．记P点走过的路程为x，四边形的面积为． (1)请直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图所示的坐标系中画出的函数图象，并写出一条该函数的性质； (3)若关于x的函数与的图象有两个交点，请直接写出k的取值范围． 28．如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 29．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，线段以每秒个单位的速度沿射线方向平移，平移后的线段记为，设线段的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． (1)直接写出，分别关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)写出当的面积不小于的面积时，线段的运动时间在哪个范围． 30．如图，矩形 中，，连接 ，，点从点出发沿着（不含、两点）运动，当点到达点时停止运动，连接，设点的运动路程为，记． (1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出的取值范围． 31．如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，直接写出的长度为3时x的值． 32．如图，点O为矩形的对角线的中点，，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿方向运动：同时点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动，连接，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【类型5 正方形相关动点几何】 33．如图，在边长为的正方形中，O是的中点，动点P从A点出发沿折线运动，到达C点就停止，过P点作射线，设P点运动路程为，射线扫过正方形内部的面积为． (1)求出y与x的函数关系式，并在平面直坐系中画出其函图象． (2)写出该函数图象的一条性质： (3)若的图象与的图象有交点，请直接写出k 的取值范围． 34．如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 35．如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 36．如图，正方形的边长为4，M为边的中点，连接．点P从点A出发，沿运动，到点C停止运动．点P在上的运动速度为每秒2个单位长度，在上的运动速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)若函数，结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似数保留小数点后一位，误差不超过） 37．已知正方形，，点是的中点，点沿着运动，运动到点停止，运动速度为每秒1个单位长度，的面积为，运动时间为．    (1)请直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)已知的图像如图所示，结合图像，当时，直接写出的取值范围． 38．如图1，在正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，，记点运动的路程为，的面积为． (1)求与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)请根据函数图象，直接写出当时，的值． 39．如图1，正方形的边长为4，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C后停止．连接．设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在图2中画出（1）中函数的图象； (3)观察函数图象，写出该函数的一条性质． 40．如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数动态几何分类训练（5种类型40道） 专题目录 【类型1 三角形相关动点几何】 1 【类型2 平行四边形相关动点几何】 17 【类型3 菱形相关动点几何】 37 【类型4 矩形相关动点几何】 55 【类型5 正方形相关动点几何】 73 【类型1 三角形相关动点几何】 1．如图，在中，，点D是中点，，，动点P从点A出发，沿着折线匀速运动，到达C点时停止（点P不与A、C重合），设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出它的一条性质； (3)已知正比例函数的部分图象如图所示，根据图象，请直接写出时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.3） 【答案】(1) (2)如图， 当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大； (3)或． 【分析】（1）分两种情况求出函数关系式即可； （2）画出图象，根据图象写出性质即可求解； （3）根据一次函数图象的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， ∵点D是中点， ∴，， ∴，即， 同理可得，， 当时，的面积为， 当时，的面积为， ∴； （2）略 （3）解：当，时，，解得， 当，时，，解得， 由图象可知，时x的取值范围是或． 2．如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线的方向运动不与点、点重合），设运动时间为秒，记的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定平面直角坐标系中，画出函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线的图象与的函数图象有1个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点A作于点D，分点P在上两种情况考虑即可； （2）利用描点法画出图象即可，根据图象从增减性质、最值等方面说即可； （3）画出函数的图象，结合的图象即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点D，如图， 则， 当点P在上时，如图， ∵，其中， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，此时， 设点B到的距离为d， ∵， ∴， ∴； 综上，； （2）解：图象略； 当时，函数值随自变量的增大而增大，当时，函数值随自变量的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：如图，当直线过原点时，； 当直线过时，，； 当直线过时，，； ∴当或时，直线与的函数图象有1个交点． 3．如图1，在中，，，．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线B→C→A方向运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合）．设点P的运动时间为x秒，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． (3)结合图象，请直接写出当函数值时自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2) 当时，随的增大而增大（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）分点在上和上两种情况进行讨论求解即可； （2）描点，连线，画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）图象法求出不等式的解集即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 当点在边上时，即时，， ∴； 点在边上时，即时，， ∴； 综上：； （2）解：列表如下： 1 4 5 6 2 8 6 4 略 （3）略 4．如图，设是边长为6的等边三角形，动点E、F同时从点A出发，点E沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点F沿折线方向以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一动点到达点B时运动停止．设运动时间为秒，E、F两点间距离的倍为． (1)求自变量x的取值范围，直接判断是否成立？ (2)求y关于x的函数解析式； (3)在给出的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质． 【答案】(1)自变量x的取值范围为，成立 (2) (3)函数的图象为： 由图象可得，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 【分析】（1）求出点E，点F从点A运动到点B所需时间，即可得到自变量x的取值范围．当点F运动到点C，可求出点E运动到的中点，根据等腰三角形的“三线合一”得到； （2）当点F在上，即时，，，根据勾股定理求出，即可得到y关于x的函数解析式，同理求出当点F在上，即时，y关于x的函数解析式，综合即可解答； （3）画出函数的图象，根据图象解答即可． 【详解】（1）解：自变量x的取值范围为，成立，理由如下： ∵是边长为6的等边三角形， ∴， 点E从点A运动到点B需要时间， 点F从点A运动到点C需要时间，从点C运动到点B需要时间，即点F从点A运动到点B共需时间， ∴点E，F的运动时间都为，即自变量x的取值范围为． 当点F运动到点C，即运动了时，点E运动的距离， ∵， ∴， ∴点E是的中点， ∵， ∴． （2）解：当点F在上，即时，，， ∵， ∴在中，， ∴． 当点F在上，即时，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴． 综上所述，y关于x的函数解析式为． （3）略 5．如图，在中，，，动点P从点A出发，沿折线运动．到达点B停止运动，设点P的运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，若，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）分点P在上和上，两种情况，结合三角形面积计算公式，求解即可； （2）根据画图象的基本步骤和性质，求解即可； （3）利用数形结合思想，求解即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ，，点P的运动路程为x，的面积为y， 根据题意，得，； 当点P在上时， ，，点P的运动路程为x，的面积为y， 根据题意，得 ； （2）略 （3）解：根据题意，得当时x的取值范围是或； 6．如图，在中，，，，点是的中点，点是的中点，连接．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，设点运动的时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)第一段：， 1 3 第二段：， 4 6 作图如下： 函数性质：当时，随的增大而增大； (3) 【分析】（1）先利用直角三角形面积公式算出面积，结合三角形中位线性质得到长度，根据动点路程分段；当时，以为底、为高，用三角形面积公式列一次函数；当时，用整体面积减去、面积，化简得到第二段函数，标注两段自变量取值范围． （2）对两段分段函数分别列表计算对应坐标，在坐标系描点连线绘制分段折线图像，结合两段函数的斜率变化写出一条函数增减性质． （3）结合函数图像确定对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵点是的中点，点是的中点，，， ∴，， ∵动点速度为每秒2个单位，，， ∴点走完用时：（秒），点走完全程用时：（秒）， ①当时，点在线段上，， ， ②当时，点在线段上，如图， ∵，，， ∴的边上的高， ∵，， ∴， 综上函数表达式为； （2）略 （3）解：如图， 由图可得，时的取值范围为． 7．如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 8．如图，在中，，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点A时停止运动，设点P的运动时间为x秒（），的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与y的图象有两个不同的交点，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)描点，作出函数的图象如下： 由图象可知，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； (3) 【分析】（1）当，即P在边上时，，过A作于M，根据等腰三角形的“三线合一”与勾股定理求出，再由即可列出解析式； 当，即P在边上时，，过点B作于点N，根据，求出，再由列出函数解析式，即可解答； （2）该函数由两条线段组成，作出点，即可得到图象，根据图象可写出性质； （3）分别把，代入，求出b的值，再结合图象即可解答． 【详解】（1）解：当，即P在边上时，， 过A作于M， ， ， ∴， 即； 当，即P在边上时，， ， 过点B作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，y关于x的函数关系式为； （2）略 （3）解：把代入得：，解得； 把代入得：，解得， ∵直线与y的图象有两个不同的交点， ∴由图象可得． 【类型2 平行四边形相关动点几何】 9．如图1，在平行四边形中，，，，动点从点出发，沿折线运动，设的运动路程为，运动时间为（），的面积为（）． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若函数与函数有两个不同的交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)如图： 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）过点作交延长线于点，分两种情况：当点在上，和点在上时，根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据题意列表描点画图即可，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象，找到临界位置即可作答． 【详解】（1）解：①当点在上时，即， 在中，， 根据题意得：，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴． 当点在上时， 即， 如图，过点作交延长线于点， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，与的函数关系式为：． （2）解：列表如下： 0 2 5 9 6 3 6 图象如图， 性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．（答案不唯一） （3）解：如图，当函数经过点时，恰好与函数有两个交点，当函数经过点时，与函数没有交点， 将点代入，得，解得， 将点代入，得，解得， ∴的取值范围为． 10．如图，平行四边形中，，，，动点从点出发沿折线运动，到达点停止运动．在运动过程中，过点作于点，设点的运动路程为，记为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出的图象与直线的图象只有1个公共点时的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析，函数的最小值为3（答案不唯一） (3)当或时，直线的图象与的图象只有1个公共点 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数的性质，分类求解和数形结合是解题的关键． （1）当点P在上时，则，则，即可求解；当点P在上时，同理可解； （2）描点、连线绘制图象，再观察函数图象即可求解； （3）的图象恒过，分和两种情况，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点M， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， 当点P在上时，则， ∴； 当点P在上时， 同理可得：， 即； （2）解：当时，，当时，，当时，， 根据上述3点坐标描点、连线绘制图象如下： 从图象看，函数的最小值为3（答案不唯一）； （3）解：∵ ∴直线恒过点； 当时，直线过点，则， 解得， ∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点； 当时，直线过点，则， 解得； 直线过点，则， 解得； ∴当时，直线的图象与的图象只有1个公共点． 综上，当或时，直线的图象与的图象只有1个公共点． 11．如图1，在平行四边形中，，，．动点以每秒1个单位长度沿着运动，当点运动到点时停止运动，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系（图2）中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与的图象有且只有2个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析；性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再分两种情况：①当点在上，即时，②当点在上，即时，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据一次函数图象的画法即可得函数的图象，再写出函数的增减性即可得其一条性质； （3）先求出直线经过定点，再分别将和代入直线求出的值，结合函数图象求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由题意得：动点从点运动到点所需时间为秒，动点从点运动到点所需时间为秒， ①当点在上，即时，则， ∴， ∴的面积为； ②当点在上，即时，则， ∴， ∴的面积为； 综上，． （2）解：在给定的平面直角坐标系中，画出的图象如下： 写出函数的一条性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． （3）解：将代入一次函数得：， 即直线经过点， 当时，， 所以直线经过定点， 将点代入直线得：，解得， 将点代入直线得：，解得， 如图，当时，要使直线与的图象有且只有2个交点，则， 当时，要使直线与的图象有且只有2个交点，则， 综上，的取值范围为． 12．如图，在平行四边形中，，，，为上一动点（不与点，重合），连接．用表示线段的长度，点到直线的距离为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，分别写出，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 (3)时的取值范围为： 【分析】（1）作于点H，过点P作于点E，交于点F，先求出，，然后利用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出相关线段的长，进而表示出点到直线的距离为，的面积为，的面积为，然后求出即可； （2）用两点法画出函数图象，再根据图象分别写出，的一条性质即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：如图，作于点H，过点P作于点E，交于点F， ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴． （2）解：对于，当时，；当时，； 对于，当时，；当时，； 如图， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 （3）解：解，得， 由图象可知，时的取值范围为：． 13．如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点P的运动时间x秒，的面积为y． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____． (3)若直线与该函数图象恰有两个交点，则常数b的取值范围是_____． 【答案】(1) (2) 函数图象如图： 当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小 (3) 【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）通过平移直线， 与相交，找到有两个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ∵点P从点出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒，的面积为， ∴当点P到达点时（秒），当点到达点时（秒）， ∴当时，点在线段上， 此时； 当时，点P在线段上， 此时； ∴与的函数关系式为； （2）解：由函数图象可得：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小； （答案不唯一）； （3）解：平移直线与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得， 解得：； 把代入可得， 解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象有两个交点， 则常数的取值范围是． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 14．如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，．    (1)请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； (2)在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 【答案】(1) (2)作图见详解；性质，当0≤x<2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤8时，y随x的增大而增大； (3)自变量的取值范围为： 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）运用描点，连线的方法即可求解； （3）根据图示即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴是直角三角形，且， 设，， ①当点在线段上时，即， ∵， ∴， ∴； ②当点与点重合时，即，如图所示，    ∴，即； ③当点在线段上时，即，如图所示， ∵，， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：； （2）解：根据（1）的函数关系式描点如下， 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 作图如下，    性质，当0≤x<2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤8时，y随x的增大而增大； （3）解：如图所示，    根据图示，交点坐标为，， ∴当时，， ∴自变量的取值范围为：． 15．已知如图1，四边形是平行四边形，，，，点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，同时点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达点D时，两个点都停止运动．设运动时间为t秒，点P、Q之间的距离为y． (1)请直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若的图象如图2，结合函数图象，直接写出时t的取值范围．（结果保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2) 如图所示： 性质：时，y随t的增大而减小；时，y随t的增大而增大 (3) 【分析】对于（1），分两段讨论：当时，先表示出即可得出，再说明，根据相似三角形的对应边成比例表示；当时，表示，再根据得出关系式即可； 对于（2），根据关系式画出图象，再写出性质； 对于（3），观察图象得出交点坐标，再根据图象在上方的函数值大可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，． 当时，根据题意可知 ∴． ∵， ∴， ∴； 当时，， ∴． 综上所述：； （2）略 （3）解：观察图象可知当或时，， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数关系式，画一次函数图象，根据两直线的交点解不等式，理解根据函数图象的位置判断函数值的大小是解题的关键． 16．如图，在平行四边形中，，，动点分别以每秒1个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动到点停止，点沿折线方向运动到点停止（点可以与线段端点重合），设运动时间是（秒），点的距离是． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)根据函数图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，得出总的运动时间为7秒，分两种情况：当时，当，当时，根据等边三角形的性质解答即可； （2）在直角坐标系中描点连线即可，再根据函数的增减性即可得出其性质； （3）观察图象即可求解． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，，， ∴，，，， ∴， ∴总的运动时间为：秒， 当点P在，点Q在上运动时，即时， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴； 当点Q在，点P在上运动时，即时， 如图，过点B作于E，过点P作于点F，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， 根据题意，得，， ∴， ∴， 即； 当点Q在，点P在上运动时，即时， 如图所示：    ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上可得：； （2）解：函数图象如图，    性质：当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时，， 当时，，解得， 由图象可知，当时，． 【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的性质及等边三角形的判定和性质等知识，正确理解动点问题是解题的关键． 【类型3 菱形相关动点几何】 17．如图，菱形中，、交于，，，动点从菱形的点出发，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为（），的长为，的长为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中画出关于的函数图象，并写出它的一条性质； (3)直接写出当时的值． 【答案】(1)； (2)解：①令，则；令，则；将这两点在坐标轴中找出，并连线．　 ， 在点处取空心点，如图左侧线段所示． ②当，时，令，则；令，则；将这两点在坐标轴中找出，并连线， ， 在处取空心点，如图右侧线段所示． 性质：时，随的增大而减小；时，随的增大而增大． (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质推出和长度以及二者的位置关系，根据勾股定理即可求出的长度，结合已知条件分情况讨论，①当点在上运动时②点在上运动时，即可求出关于的函数表达式． （2）根据第（1）问的函数表达式，找出满足条件的点，在直角坐标系上描点并连线，即可画出函数图像，再根据图像的增减性即可写出其中一条性质． （3）利用菱形的性质和面积法求出中以为底对应的高，然后根据证明等腰，利用其性质求出长度，用勾股定理求出用表示的长度，最后利用面积相等，列关于的方程，解出即是长度，分情况讨论①当点在上运动时，利用即可求出的值，②点在上运动时，利用即可求出的值． 【详解】（1）解：为菱形，，， ，，，， 在中，， ． ①当点在上运动时，点的运动路程为， ， 的长为， ②点在上运动时，点的运动路程为， ， 的长为， ． （2）解：略 （3）解：①当点在线段上时，过点作，过点作，如图所示， 为菱形， ， ， ，，， ． ， ， 为等腰三角形， ， ， 在中，． ， ， ， ， 或（舍去） ， ． ②当点在线段上时，过点作，过点作，如图所示， 为菱形， ， ， ，，， ． 按照①的方法同理可证即， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，函数的图像，勾股定理，面积法，等腰三角形的判定和性质，解题的关键就是在画图和求值时要分情况讨论． 18．如图，菱形的两条对角线交于点，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1) (2)解：函数的图象如图所示； 由图象可得，当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小． (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出．分两种情况：点P在上时；点P在上，根据三角形的面积公式列出函数表达式即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）求出两个函数图象交点坐标，结合函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴在中，． 当点P在上时，，， ∵， ∴． 当点P在上时，，， ∵， ∴． 综上所述，关于的函数表达式为． （2）略 （3）解：当时， 解方程组，得． 当时， 解方程组，得． ∴函数与函数的图象交点为，， 由图象可得，时的取值范围为． 19．如图，在菱形中，对角线交于点O，，动点P从点A出发，沿运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)根据图象直接写出当时，t的取值范围． 【答案】(1) (2) 解：图象如图： 一条性质为：当或，函数取得最大值为（答案不唯一）； (3)或 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数的图象与性质，利用图象解不等式等知识点，正确求出函数关系式是解题的关键． （1）先根据菱形的性质得到，，，再分两种情况，根据三角形面积公式建立函数关系式； （2）根据两点确定一条直线，分别作出和，再由图象可得相关性质（可从函数最值，增减性，对称性等角度分析）； （3）画一条直线，在直线上方时的取值范围即为所求． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，, 由题意得， 当， ； 当， ， 综上：； （2）略 （3）解：如图，当时，或． 20．如图1，菱形中，，，对角线与交于点，点是对角线上一点（不与、重合），过点作，交于点．用表示线段的长度，点与点之间的距离为． (1)直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质得到、、，进而求出的度数，根据含角的直角三角形的性质得到，设、，则，在中，得到，进而得到，利用勾股定理求出长，再次利用勾股定理得到关于的表达式，利用，结合二次根式的非负性求出变量的取值范围； （2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画出函数的图象，再写出该函数的性质即可； （3）结合函数图象，找出临界点，当直线的图象在直线和之间时，与函数有两个交点，据此求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 、、、， ， 在中，， ， ， ， ， ， 设、，则， 在中，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ； （2）解：由（1）知， 函数图象如下： 由图象可得：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （3）解：如图，由图象可知，直线的图象在直线和之间时，与（2）中的函数图象有两个交点， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 的取值范围为． 【点睛】本题考查菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、一次函数的图象和性质，两直线交点问题等，熟练掌握相关性质定理，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 21．如图1，已知菱形的面积为20，过点作，点以每秒钟1个单位的速度沿折线方向运动，运动时间为，连接的面积为，点运动的一半路程与线段长度之和为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)；； (2)见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； (3) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，画一次函数图象，一次函数的性质和一次函数与不等式之间的关系，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据菱形的性质可求出的长，进而利用勾股定理求出的长，再求出的长即可求出关于的函数表达式；再分点F在线段上和点F在线段上两种情况，分别求出对应的的面积，即可求出关于的函数表达式； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数的性质即可； （3）求出两函数的交点的横坐标，再根据函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的面积为20，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴点A到的距离等于点A到的距离，点C到的距离等于点A到的距离； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 当点F在线段上，即时，，则， ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象如下所示： 由函数图象可知，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：当时，解得， 当时，解得， 由函数图象可得，当时，的取值范围为． 22．如图，在菱形中，对角线、相交于点，动点从出发，沿折线运动，到达点时停止运动，点的运动速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，设的面积为 (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出一次函数的图象与（2）中的函数图象有两个交点时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析；当时，随增大而增大 (3)，且 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，菱形的性质，利用三角形面积公式列出函数表达式是解题的关键． （1）利用菱形的性质表达出各边的长度，再利用三角形面积公式列出函数表达式即可； （2）根据函数表达式作图，再由图象分析出性质即可； （3）利用函数图象分析出的图象范围即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴在中，边上的高， ∵点的运动速度为每秒个单位长度， 当在上移动时，则 ∴， 当在上移动时，则，， ∴， ∴综上 （2）解：把代入可得：， ∴函数过点； 把代入可得： ∴函数过点； ∴由此可作图象为： 由图象可得：当时，随增大而增大． （3）解：函数， ∴此函数必过定点， ∴当直线在如图所示直线之间时符合题意， ∴把代入可得：；把代入可得：； ∴的取值范围为：，且． 23．如图1，在菱形中，对角线，交于点O，，，动点P从点A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达O点停止运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为y． (1)直接写出y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； (2)在图2的直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质； (3)若一次函数的图像与y的函数图像有两个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2) 如图所示； 当 时，随的增大而增大； (3) 【分析】本题属于一次函数 综合题，考查了菱形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题. （1）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）利用图象法判断即可. 【详解】（1）∵四边形是菱形， ， ， ①当点在线段上时，过作于， ， ， ； ②当点在线段上时， 如图， ， ， 综上所述，； （2）略 （3）∵与的图象与的函数图象有两个交点， ∴当经过时， 与的图象与的函数图象有两个交点， 把代入得， ， 当与的图象经过时，即 ， ， ∴一次函数 的图象与的函数图象有两个交点，的取值范围为 24．如图1，菱形的周长为24，，点G为对角线上一点，且．动点P从点O出发，沿移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，的面积为y． 请回答以下问题： (1)直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： (2)在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)若的函数图像如图2所示，结合你画出的y与x的函数图像，直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 如下图所示， 时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小； 当时，y有最大值6，无最小值．（答案不唯一） (3)或 【详解】（1）∵菱形的周长为24， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴当点P在上运动时，即时， 如图所示，当点P在上运动时，即时，过点P作于点E， ∴ ∴ 综上所述，； （2）略 （3）根据图象得， 当时，或． 【类型4 矩形相关动点几何】 25．如图，已知矩形的边长为，，，分别在边，上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到达D点停止．记P点走过的路程为，四边形AEPF的面积为 (1)请写出关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 (2)在坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质 (3)已知直线，结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（近似值保留1位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1) (2)图见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题是一次函数与几何综合题，涉及到矩形的性质、一次函数的图象与性质、画函数图象等． （1）当点在上运动时，；当点在上运动时，，再利用面积公式即可求解； （2）根据（1）中的函数解析式画出的函数图象，再写出该函数的一条性质即可； （3）结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴，，， 当点在上运动时，即，如图， 则 ； 当点在上运动时，即，如图： 则 ； 综上，； （2）解：画出的函数图象如下： 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）解：当时， 令，则， 解得； 当时， 令，则， 解得； 观察图象得，当时，， ∴当时x的取值范围为． 26．如图1，在矩形中，．动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着折线方向运动，到点A处停止，过点P作交矩形一边于点Q．设点P运动时间为x秒，线段的长度为，请回答下列问题： (1)请直接写出y1关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若与x的函数图象与直线有两个交点，则n的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)作图见解析，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； (3)当时，与x的函数图象与直线有两个交点． 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质等知识，掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质得出，进而利用相似三角形的判定与性质得出比例，进而得出一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数的解析式画出图象，然后根据图像分析性质即可； （3）先根据函数图象确定临界点，最后根据临界点即可解答．． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：当点P在之间，即时， 设点P运动时间为x秒，线段的长度为，则； ∵， ∴， ∴， 当点P在之间，即时， 设点P运动时间为x秒，线段的长度为，则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，； （2）解：绘制函数图象如下： 函数y的性质有：当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小； （3）解：如图：当直线过点时， ∴，解得：， 当直线过点时， ∴，解得：， ∴当时，与x的函数图象与直线有两个交点． 故答案为：． 27．如图，已知矩形的边长为，，E、F分别在边、上，且，点P是矩形边上的一个动点，点P从B出发，经过点C，到点D停止．记P点走过的路程为x，四边形的面积为． (1)请直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图所示的坐标系中画出的函数图象，并写出一条该函数的性质； (3)若关于x的函数与的图象有两个交点，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，画函数图象，待定系数法； （1）当点在上时，；当点在上运动时，；分别列式计算即可； （2）根据（1）中解析式画出函数图象即可；根据函数图象可得性质； （3）首先求出直线过点，再判断出函数过点、（C）时为临界点，然后利用待定系数法求出直线、的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则 ； 当点在上时，即，如图， 则 ； 综上：； （2）如图，函数图象为图中实线： 性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；    （3）， ∴直线过点，如图点， 当函数过点、（C）时为临界点，即直线、， 将点代入得：， 解得：； 将点代入得：， 解得：； ∴当关于x的函数与的图象有两个交点时，k的取值范围为． 28．如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为． (1)直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围： (2)在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； (3)若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小 (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识． （1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时，； 当时，； ∴函数图象过点， 如图，即为所求，    当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小； （3）解：如图，当直线过点时，； 当直线过点时，； ∴当，直线与（2）中的函数图象有两个交点． 29．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，线段以每秒个单位的速度沿射线方向平移，平移后的线段记为，设线段的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． (1)直接写出，分别关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中画出函数，图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)写出当的面积不小于的面积时，线段的运动时间在哪个范围． 【答案】(1)， (2)如图： 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少；当时，随的增大而增大． (3) 【分析】（1）利用矩形的性质求解，结合，，，再利用面积关系可得，； （2）利用两点画函数图象即可； （3）先求解函数的交点坐标，再结合图象解题即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，对角线，相交于点，，， ∴，，，， ∴，， ∵，，设到的距离为， 而， ∴， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， 当时，如图： 同理可得：， ， ∴， 综上：，． （2）解：列表如下： 描点画图略： 的性质： 当时，随的增大而增大； 的性质： 当时，随的增大而减少； 当时，随的增大而增大． （3）解：当时，则， 解得：， ∴结合图象可得：当的面积不小于的面积时，线段的运动时间范围为：． 30．如图，矩形 中，，连接 ，，点从点出发沿着（不含、两点）运动，当点到达点时停止运动，连接，设点的运动路程为，记． (1)直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数的图象，当函数的图象与有2个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)；当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理可求出，再分两种情况：当时，点P在线段上，当时，点P在线段上，分别求出的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应函数的增减性即可； （3）求出函数的图象恰好经过点和点时k的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上， ∴； 如图所示，当时，点P在线段上， ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象见解析， 由函数图象可知，当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：当函数的图象恰好经过点时，则，解得， 当函数的图象恰好经过点时，则，解得， ∴由函数图象可知，当时，函数的图象与有2个交点． 31．如图，在矩形中，与交于点O，，，动点P从点A出发，沿折线A→O→D方向运动，当点P运动到点D时停止运动，交于点Q，设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内，线段的长度为y． (1)请直接写出y关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合图象，直接写出的长度为3时x的值． 【答案】(1)y关于x的函数关系式为 (2)图象见详解，该函数图象关于直线对称（答案不唯一） (3)当时，或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，含直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键； （1）由矩形的性质可知，，，则有，然后可得，进而根据当时，当时，分类讨论进行求解即可； （2）根据（1）中函数解析式进行作图即可，然后问题可求解； （3）根据（2）中的函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵设点P的运动路程为x点P与点A，D重合时的路程不计算在内， ∴， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 当时， ∵点P的运动路程为x， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上所述：y关于x的函数关系式为； （2）解：由（1）可知：y关于x的函数关系式为， 由函数关系式可列表如下： x 2 4 6 y 3 2 3 所画函数图象如下： 由图象可知：该函数图象关于直线对称（答案不唯一）； （3）解：由图象可知：当时，或． 32．如图，点O为矩形的对角线的中点，，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度沿方向运动：同时点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动，连接，．设运动时间为x秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)函数，的图象如图所示 由图可知函数∶在时，y随x增大而增大；在时，y随x增大而减小；当时，y有最大值3． 函数∶在0<x<7时，y随x增大而增大． (3) 【分析】（1）分为点P在边和边两种情况讨论得出的面积，结合三角形面积公式得出的面积； （2）根据两个函数的表达式画图象，再根据图象说出函数，的性质即可； （3）观察图象可得结论． 【详解】（1）解：当点P在边上时，在上作， 点O为矩形的对角线的中点， ，． 为的中位线． ． ． ， ． 当点P在边上时，在上作， 点O为矩形的对角线的中点， ，． 为的中位线． ．． ． ， ． ． 点Q从点D出发以每秒个单位长度沿向点A运动， ． （2）解：略． （3）解：由图可知，两个函数相交时， 即，解得． 时，x的取值范围． 【类型5 正方形相关动点几何】 33．如图，在边长为的正方形中，O是的中点，动点P从A点出发沿折线运动，到达C点就停止，过P点作射线，设P点运动路程为，射线扫过正方形内部的面积为． (1)求出y与x的函数关系式，并在平面直坐系中画出其函图象． (2)写出该函数图象的一条性质： (3)若的图象与的图象有交点，请直接写出k 的取值范围． 【答案】(1)解：， 在平面直角坐标系中画出其函数图象如下： (2)当时，y随x的增大而增大．（答案不唯一） (3)或或或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的应用，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）利用直角三角形和直角梯形的面积公式解答即可； （2）利用一次函数的图象的性质解答即可； （3）利用分类讨论的方法，联立组成方程组，利用解一元一次不等式组的方法解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，． ∴y与x的函数关系式为． （2）略 （3）解：若的图象与y的图象有交点， ∴时，与时，有解， ∴时，，时，． ∴，． 解得：或，或． ∴若的图象与y的图象有交点，k的取值范围为或或或． 34．如图，正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点．动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动．设点P运动路程为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式． ； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围： ． 【答案】(1) (2)当时，y随着x的增大而增大 (3) 【分析】（1）理解题意，分和两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可； （3）根据（2）中图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：在正方形中，，点E为边靠近点B的三等分点，点F为边的中点． ∴，，， 当点P在上时，如图， 则，， ∴， ∴的面积 ； 当点P在上时，，如图， 则， ∴的面积 ； 综上所述： （2）解：由（1）得， 当时； 当时； 即经过点； 当时，； 当时； 即经过点； 如图： 观察函数图象，得当时，y随着x的增大而增大， （3）解：令，则， ∴， 解得； ∴经过， 令，则， ∴经过， 如图， 由图象知，当时，x的取值范围为， 35．如图，四边形是边长为6的正方形，是正方形的中心，动点从点出发沿折线方向运动，到达点停止，在上的运动速度为每秒1个单位长度，在上的运动速度为每秒2个单位长度，设运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)一次函数的图像与的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围________． 【答案】(1) (2)画函数图象见详解，性质：当时，y随t的增大而减小 (3) 【分析】本题主要一次函数在实际问题的应用，掌握一次函数的解析式求解、数形结合是解题的关键． （1）首先将解析式分为两段情况，对两段分别表示出三角形的底边长和高，再进行列方程式进行求解即可； （2）结合（1）画出函数的图象，并写出该函数的一条性质即可； （3）利用数形结合的思想，判断直线的位置进行求解即可． 【详解】（1）解：①当时，如图，动点P在上运动，作于H， ∵， ∴， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ②当时，如图，动点P在上运动，作， ∵， ∵是正方形的中心， ∴， ∴； ∴； （2）解：如图，即为所画的函数图象， 性质：当时，y随t的增大而减小； （3）解：∵一次函数是平行于的直线， ∴当经过时，解得：； 当经过时，解得：； ∴当时，一次函数的图象与y的图象有两个交点， 故答案为：． 36．如图，正方形的边长为4，M为边的中点，连接．点P从点A出发，沿运动，到点C停止运动．点P在上的运动速度为每秒2个单位长度，在上的运动速度为每秒1个单位长度，设点P的运动时间为x，的面积为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)若函数，结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围．（近似数保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1) (2) 函数图象如下所示： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，画一次函数图象，一次函数与不等式之间的关系，一次函数的性质，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）分和，两种情况根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求描点，连续画出对应的函数图象，再根据函数图象写出对应的函数性质即可； （3）求出函数与函数y的交点坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为4，M为边的中点， ∴， ∴， 当时，点P在上运动，则， ∴， ∴； 当时，点P在上运动，则， ∴； 综上所述，； （2）解：由函数图象可知，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大； （3）解：联立，解得； 联立，解得； ∴由函数图象可得，当时，． 37．已知正方形，，点是的中点，点沿着运动，运动到点停止，运动速度为每秒1个单位长度，的面积为，运动时间为．    (1)请直接写出与之间的函数表达式，并写出对应的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)已知的图像如图所示，结合图像，当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数的图像如下图所示，    性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大 (3)或 【分析】（1）分别根据点P在上和点P在上两种情况进行讨论即可； （2）用描点法画出函数图像，然后结合图像写出函数的一条性质即可； （3）先求出时t的值，再根据图像解答即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，， ∵， ∴， 当时，点P在上，，    ∴， ∴， 从图像可得：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， （3）解：当，时，， 解得， 当，时，， 解得， 两个函数的图像如下图所示，    ∴当或时，． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 38．如图1，在正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，，记点运动的路程为，的面积为． (1)求与之间的函数解析式，注明自变量的取值范围，并在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (2)请根据函数图象，写出该函数的一条性质； (3)请根据函数图象，直接写出当时，的值． 【答案】(1)，画图见解析 (2)该函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线．（答案不唯一） (3)或5 【分析】本题考查了正方形的性质、一次函数的应用、三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质、采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）分三种情况：当在线段上时；当在线段上时；当在线段上时；分别利用三角形的面积公式计算即可得出与的函数关系式，根据关系式画出图象即可； （2）根据函数图象即可得出性质； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ， ①当在线段上时，，； ②当在线段上时，．； ③当在线段上时,．． 综上，， 该函数的图象如图． （2）解：由图可得：性质：该函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线．（答案不唯一） （3）解：由图可得：当时，或5． 39．如图1，正方形的边长为4，点E从点A出发，沿A→B→C运动到点C后停止．连接．设点E的运动路程为x，的面积为y．    (1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在图2中画出（1）中函数的图象； (3)观察函数图象，写出该函数的一条性质． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）分点E在边上和点E在边上两种情况，根据三角形的面积公式解答即可； （2）先确定图象上的两点，再结合自变量的范围即可画出一次函数的图象； （3）根据一次函数的增减性或对称性或最值解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴． 当时，如图，， ∴．    综上所述，． （2）解：函数图象如图所示．    （3）解：①当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小． ②该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为直线． ③该函数在自变量的取值范围内有最大值，当时，函数取得最大值8． 【点睛】本题考查了一次函数和几何的结合，正确分类、熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 40．如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； (3)图象见解析；或 【分析】（1）分类讨论：当F点在上运动时，此时，如图，连接，由正方形的性质结合题意证明，即得出，，，再由三角形的面积公式求解即可；当F点在上运动时，此时，如图，连接，由①同理证明，得出，从而得出，再由三角形的面积公式求解即可； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）根据函数解析式画图，再结合图象即得出结果． 【详解】（1）解：当点F在边上时，此时，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当点F在边上时，此时，如图，连接， 同理， ∴， ∴， ∴； ； 终上所述，，； （2）解：根据题意得：当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； （3）解：在平面直角坐标系内画出，的函数图象，如下： 联立得：，解得：， ∴与的交点坐标为， 观察图象得：当或时， 当时，t的取值范围或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $