专题02 四边形相关拓展提升题分类训练（6种类型48道）【暑期培优】2026年八升九数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦四边形核心素养，通过6类48道题系统整合折叠、动点等拓展题型，强化几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题1|8道|矩形/正方形折叠后线段角关系|折叠性质→全等/勾股定理→图形变换应用| |用字母表示角|8道|角度代数化与平行四边形性质|平行线性质→三角形内角和→符号意识表达| |综合问题|8道|多结论判断与性质综合|四边形性质→全等/相似→推理能力提升| |最值问题|8道|最短路径与面积最值|将军饮马模型→几何直观→空间观念构建| |折叠问题2|8道|菱形/平行四边形折叠|轴对称性质→特殊四边形性质→模型迁移| |动点问题|8道|动态过程中平行四边形/全等条件|变量关系→分类讨论→应用意识培养|

专题02 四边形相关拓展提升题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 四边形相关折叠问题】 1 【类型2 用字母表示角】 10 【类型3 四边形相关综合问题】 20 【类型4 四边形相关最值问题】 34 【类型5 四边形相关折叠问题】 46 【类型6 四边形相关动点问题】 56 【类型1 四边形相关折叠问题】 1．如图将矩形沿对角线折叠，使C落在处，交于点E，若，平分，则的长度为（   ） A．12cm B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据折叠原理，得，，，， 又∵， ∴, ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理得，即， 解得， 根据勾股定理得， 得， ∴的长度为． 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，边上一点E，满足，连接．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过D作于F，证明四边形是平行四边形，可得，，即可得，求出，，故，设点E到边的距离为h，即可得，解得． 【详解】解：过D作于F， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在边上的点处， ∴， 设点E到边的距离为h，由可知点到边的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点E到边的距离为． 3．如图，在边长为7的正方形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的处，若，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由正方形的性质和折叠的性质可得，，，，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ， 沿折叠，使点A恰好落在边上的处， ，， 在中，， 在中，， ， ． 故选：C． 4．如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于H，，根据三角形的面积公式求出，从而求得到，根据直角三角形的判定得到，根据勾股定理求出的长，再证明是的高，进而求出的面积． 【详解】解：连接交于H，如图， ∵正方形纸片，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， 由折叠可知：点B与点F关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边的高等于， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，三角形的面积，解题的关键是求出的长以及证明的边的高等于，此题有一定的难度． 5．如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分点在线段中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答并正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 如图，过点作于，则四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可得，，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 综上，的长为或， 故选：． 6．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误． 【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线． 又， ， 故选项A正确． B.又点与点关于对称， ， 又， ， 故选项B正确． C和D.如答图，过点作于点．    ， ， ， 易知，， 设， ，， 点是的中点，折叠后点落到上， 点与点重合，． 易知点共线， ． ， ， 解得． ，， ， 故选项C正确，选项D错误． 综上，故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键． 7．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据菱形的性质，得到，折叠得到垂直平分，进而推出为等腰直角三角形，求出，再根据线段的比例和差关系，进行求解即可． 【详解】解：菱形中，， ， 由折叠可得，垂直平分， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 故选：D． 8．如图，在中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】在中，推出，，由三角形内角和为推出，从而求出的长． 【详解】解：在中，，， ，，， ， 由折叠得，，，， ， ， F恰好为的中点， ， ， ， 在中，， ，即， ． 【类型2 用字母表示角】 9．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 10．如图，为菱形的对角线，，，分别为，边上的点，连接，交于点，，将沿着翻折，点落在点的位置，设，则可表示为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形性质和判定为等边三角形，利用三角形内角和及平角定义求出，结合翻折性质求出，最后利用角的关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由翻折性质可知：， ∴， ∴． 11．如图，在中，于点E，点F为的中点，连接并延长交的延长线于点G，若，则的角度用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，证明，得出，由直角三角形的性质得出，则，证出，则可得出结论． 【详解】解：连接， 点F为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．如图，在平行四边形中，点、点是边上两点，满足，，延长、交于点，连接，设，则的大小用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定与性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．过点作延长线于点，于点，延长线于点，由四边形是平行四边形，得，利用平行和等腰易得，可得，设，通过等腰三角形性质、三角形内角和及平行可以导角推出，，可得，则，推出平分，则可求出． 【详解】解：如图，过点作延长线于点，于点，延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故选：B． 13．如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的动点，连接， 分别与对角线交于点G，H，且．若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到M，使，连接，则，先依据“SAS”判定和全等得进而依据“SSS”判定和全等得进而得，由此根据三角形内角和定理得，再根据三角形外角性质即可求出的度数． 【详解】解：延长到M，使，连接，如图所示： ， ， ， 四边形是正方形， 在和中， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 是的外角， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 14．如图，正方形的对角线，交于点，点，分别是，上的两点，且，过点作交点，若，则用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形可得与互相垂直平分，即可证明，得到，，进而得到，再根据垂直求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵正方形的对角线，交于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 15．如图，在正方形中，是对角线上任意一点，连接，过点作交于点，连接．若，则可以用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，射线交于点，由正方形的性质得又证四边形是矩形，得，再证，得，从而利用平行线的性质及三角形的内角和定理即可得解。 【详解】解：过点作于点，射线交于点， ∵四边形是正方形， ∵ ∵ ∴四边形是矩形，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 故选： 【点睛】本题主要考查了矩形的判定及性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，构造辅助线证明是解题的关键． 16．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（　　） A．α B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，则，，如图，连接，则，，，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形中， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 如图，连接，    ∵点，分别是，的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 【类型3 四边形相关综合问题】 17．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，， 由折叠的性质可得垂直平分，，，，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 如图，在上取点，使得，连接， 则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ，故④错误； ∵为等边三角形，，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 18．如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由，，，根据“”证明，得，，所以，可判断②正确；同理，，所以，，，则，，可判断①正确，③正确；由，，证明、、三点在同一条直线上，则，设两条平行线与之间的距离为，则，可证明，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故②正确； 同理， ，， ，， 故①正确； ，， 、、三点在同一条直线上， ， 设两条平行线与之间的距离为， ， ， ， ， 故④正确； 在和中， ， ， ， 故③正确， ∴正确的个数是个． 19．如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查折叠的性质，矩形的判定与性质，角平分线的性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．根据题意得到四边形是矩形，由折叠的性质得到：，由角平分线的性质得到，即可证明①正确；证明，，根据，求出，即可得到②正确；假设是等边三角形，则，则，而明显，故③错误；，得到，得到④正确． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， ， 由折叠的性质得到：， 即， 平分， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， 即，故②正确； 在和中， ， ， ， ， 假设是等边三角形，则， 则， ，则， 而明显， 不是等边三角形，故③错误； ， ， ， ，故④正确； 故选B． 20．如图，在正方形中，M是边上一点，E是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；①延长交的延长线于，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的判定及性质，即可判断；②等腰三角形的性质，即可判断；③设，，由勾股定理得，即可判断；④由①得，即可判断；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，能添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：①延长交的延长线于， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， E是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， 故①正确， ②，， 平分， 故②正确； ③设，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故③正确； ④由①得： ， ， ， 故④正确； 故选：D． 21．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且， ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 综上，正确的有①③，共2个． 22．如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与端点重合），交于点F，过点F作交于点H，过点H作于点G，连接，．给出下列结论： ①；②；③ ；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，连接，延长交于，证明，得出，，再证明，得出，即可判断①；由等腰直角三角形的性质即可判断②；连接交于，则，证明，得出，求出，即可判断③；根据直角三角形的性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：①连接，延长交于， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵，， ∴，故②正确； ③连接交于，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ④若，则， ∴，这与直角三角形的斜边大于直角边矛盾，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 23．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（    ）    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②根据三角形中位线定理可作判断；③先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；④由三角形中线的性质可得：． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ∴，故③错误； ②由③知：是的中位线， ， ， ，故②正确； ④， ，故④正确； 故正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 24．在四边形中，，，，为上一点，，且，于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中正确的为（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由已知条件可直接证得；由三角形全等的性质可得，又因为，所以是的垂直平分线即垂直平分；延长，相交于点G，证出，则，再证出，即可得出③正确；取的中点I连接，可得，再证明，再利用三角形的外角性质和平行线的性质问题④可得证． 【详解】解：①∵，， ． ∵， ， ． 又， ． 故①正确． ②， ． 又， ∴是的垂直平分线即垂直平分；故②正确． ③延长，相交于点G，    则， ，， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ． 又， ．即，故③正确； ④取的中点I连接，    则， ， ． ， ， ． ， ， ， 平分．故④正确． 故选：D． 【类型4 四边形相关最值问题】 25．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，连接，根据正方形的性质和勾股定理求出，根据折叠可得，则，即可得出当点三点共线时，最小，的最小值为． 【详解】解：连接， ∵在正方形中，边长为8， ∴， ∴， ∵将沿翻折到， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，的最小值为， 故选：B． 26．如图，在周长为24的菱形中，，，若为对角线上的一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定与性质，在上取一点，使，连接，，即可证明得到，则，当在上时，最小，再证明，得到四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：在上取一点，使，连接，， ∵周长为24的菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 27．如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则，证明，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，可证明，从而得到，，可得到是等腰直角三角形，进而得到当最小时，最小，此时取得最小值，为，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点G，使，交于点K，连接，设交于点M，过点F作，垂足为点N，则， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为6， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，最小，此时取得最小值，为， ∵， ∴当点B，E，C三点共线时，取得最小值，为3， 此时， ∴的最小值为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，根据题意证明是解题的关键． 28．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，利用四边形为平行四边形，得出，，由为线段上的动点，可知运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当依次共线时，取得最小值，此时，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出 ，，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段，菱形在方向上水平运动， 如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点， 由对称性得，， ∴，当且仅当依次共线时，取得最小值， 如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 29．如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点到的距离为，根据长方形的性质及三角形面积公式可得，得，若点在长方形内，如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，证明四边形为矩形得，再根据垂直平分线的性质得，推出，当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，在中，；若点在长方形内，则点在的延长线上， 此时，通过比较可得答案． 【详解】解：设点到的距离为， ∵的面积始终等于长方形面积的，，， ∴，，，， ∴， ∴，点到的距离为， 若点在长方形内， 如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长， 在中，； 若点在长方形外，则点在的延长线上， ∴， ∴， 此时； ∵， ∴最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，勾股定理等知识点，掌握矩形的判定和性质、两点之间线段最短是解题的关键． 30．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．如图：连接，根据三角形的中位线得到，由图形可知当N在B点处时，最大，即最大． 【详解】解：如图：连接，过点G作交于点H， ∵平行四边形中,， ∴， ∵G是的中点，， ∴ ∵点E，F分别为的中点， ∴， ∴最大时，最大， ∴N与B重合时最大， 在中，，则， ∴，， ∴ ∴ ∴，即长度的最大值为． 故选：A． 31．如图，点为正方形内或边上一动点，，为的中点，分别连接，，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的面积最大值为 【答案】A 【分析】取的中点，连接，过点作于点，由四边形是正方形，，为的中点，可得，，，，，利用三角形中位线定理可求出的最小值，从而判断选项；当点与重合时，可得的最大值，从而判断选项；根据，从而判断选项；根据三角形面积公式及点的位置，判断选项． 【详解】解：如图，取的中点，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形，，为的中点， ∴，，， ∴，， A、∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， 当，，在同一条直线上时，最小， 此时，即的最小值为， ∴选项结论错误，故选项符合题意； B、当点与重合时，取得最大值，最大值为， ∵为的中点， ∴也取得最大值，最大值为， ∴选项结论正确，故选项不符合题意； C、∵， ∴当，，在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∴选项结论正确，故选项不符合题意； D、∵为的中点， ∴， ∵， ∴当最大时，最大，则最大， ∴当点与重合时，最大，最大为， ∴的面积最大值为， ∴选项结论正确，故选项不符合题意． 32．如图，点O是矩形的对角线的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】解题的关键是熟练掌握相关基础性质，确定出点的轨迹．根据题意，确定出点Q的轨迹为一条线段，确定出点P在A、D两点时，点Q的位置，即可求解． 【详解】解：由题意可得：点Q的轨迹为一条线段，，， ∴， 又∵°，， ∴， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理可得：， 解得， ∴，， ∴， 当P与A重合时，过点O作交于点F，如图1， ∵，， ∴Q在线段上， ， ∴点Q与点F重合 ，由勾股定理可得：， ， 当P与D重合时，过点O作交于点E，连接，，如图2， 由题意可得：，， ∴为等边三角形，即，， ∵，，， ∴， ∴，此时，点O在射线上， ∴，则点Q与点E重合， ∴点Q的轨迹为线段， 由此可得，当P与D重合时，最大，为的长度， 在中，，， 可得：， ，即最大值为2． 【类型5 四边形相关折叠问题】 33．如图，在正方形中，，点是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，则为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，过点作，交于点，过点作，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分，， ∵在中，，， ∴， ∴根据勾股定理， 整理得，解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∵平分，，， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， 设， ∵在中，，， ∴， ∴根据勾股定理，，解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，． 34．如图，在正方形中，连接，点为上一点，连接，点为线段上一点，且，点为线段上一点，．若，的面积为，则EF的长为（     ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】过点作，交的延长线于点，先推导出，，由，得到，即，推导出是等腰直角三角形，得到，进而推导出，将①代入上式，得到，接着推导出，即，化简，得到，将①③代入②，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如图 ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴． 又∵，即是中边上的高， ∴， ∴， 化简得， 即． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵，且， ∴， 即． 在中，由勾股定理得： ， ∴． 将①代入上式： 在中，， 由勾股定理得． 又∵， ∴， 即． 将代入分子展开化简： ， ， ， ∴， ∴（负值已舍去）． 将①③代入②，得 化简得， 解得， ∵点在线段上， ∴． 35．如图，矩形的对角线，相交于点，，，且、分别是、的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得为的中位线，则，证明四边形为平行四边形，由矩形的性质得，则平行四边形为菱形，连接交于，则，，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴平行四边形为菱形， 如图，连接交于， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好邻落在对角线上，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形性质和轴对称性质，先求出对角线的长度，再根据对称得到对应线段相等，结合勾股定理列方程求出、的长度，最后在中用勾股定理计算的长度． 【详解】解：连接、， 四边形是矩形，，， ，，， ， 点关于的对称点为，点关于的对称点为， ，，，，， ，，， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得， ， 在中， ． 37．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 38．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ，， ， ， 菱形的面积， 故选B． 39．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1，则CF的长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形得AB=DE=CD，即D为CE中点，从而得CE=2，再利用勾股定理可求出HF和CH的长即可. 【详解】解：如图，过E作EH⊥BF于点H， 四边形ABCD是平行四边形， ， AB=DC， ， 四边形ABDE是平行四边形， AB=DE=CD，即D为CE中点. AB=1， CE=2， ， ∠ECF=∠ABC=45°， CE=8，∠ECF=45°， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，掌握平行四边形对边相等是解题的关键． 40．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则线段AE的长为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】延长交的延长线于，连接，设，首先证明，利用勾股定理构建方程即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接，设， 四边形是平行四边形， ， , ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍去） ， ， 故选：D． 【类型6 四边形相关动点问题】 41．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 42．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而根据平行四边形的判定列出方程解答即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得， 故答案为：． 43．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为_____________________． 【答案】4或6或8 【分析】设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， ． ， 解得， 即此时． ②如图②，当，且时，过点作于点， ∵矩形中， ∴， 在 和 中， ∴， ， ， 解得， 此时． ③如图③，当，且时，过点作于点， ∵矩形中， ∴， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得， 此时． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 44．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点B运动.规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过______ s时，会有 【答案】5或/6或5 【分析】根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解方程即可求得答案． 【详解】解：根据题意得：，，则， 若要，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即 ， 解得：， ②当四边形为等腰梯形时， 即 解得：， 即当或时，， 故答案为：5或 【点睛】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 45．如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键； 根据平行四边形的性质，分两种情况，求解即可； 【详解】解：点运动到点时两点同时停止， 可知， ①如图，点在点右侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， ②如图2，点在点左侧时，当时， 四边形为平行四边形， 得：， 解得， 所以，经过秒或秒，点、、、组成平行四边形； 故答案为：或 46．如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形．    【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形；点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形；画出图形进行解答即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 设运动时，有两种情况： 如图，点在上，且在点的右边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得；   如图，点在上，且在点的左边，点在上，四边形为平行四边形， 则， ∴， 解得；    综上，当或时，以点为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或． 47．如图，正方形中，，点E是线段上一点，且，点F是线段上的动点，点M是上的动点，且，连接，点N为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，延长交于点P，连接，过点C作于点H，根据正方形的性质得出是等腰直角三角形， ，再由直角三角形的性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出， ，结合图形，利用三角形的中位线求解即可． 【详解】解：连接，延长交于点P，连接，过点C作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ∵于点H， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在和中， ， ， 即点M是的中点， 又∵点N为的中点， ∴是 的中位线， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得： ∴当点P与点H重合时，为最小，最小值为 此时为最小，最小值为 ． 48．已知正方形中，．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等时，则t为__________． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质．分五种情况，结合全等三角形的性质得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：当Q在上时，如图所示： 此时， ∴，即， 解得； 当Q在边上时，有两个位置，如图所示： 若Q靠近点D，则， ∴，即， 解得； 若Q靠近点C，则， ∴，即， 解得； 当Q在边上时，如图所示： 此时， ∴，即，解得， 因为当点P与点Q相遇时停止运动， 所以，所以不合题意； 当P、Q在上重合时，和全等，如图所示： ∴此时． 故答案为：或或或． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形相关拓展提升题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 四边形相关折叠问题】 1 【类型2 用字母表示角】 3 【类型3 四边形相关综合问题】 5 【类型4 四边形相关最值问题】 7 【类型5 四边形相关折叠问题】 10 【类型6 四边形相关动点问题】 12 【类型1 四边形相关折叠问题】 1．如图将矩形沿对角线折叠，使C落在处，交于点E，若，平分，则的长度为（   ） A．12cm B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，边上一点E，满足，连接．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在边长为7的正方形中，E为边上一点，F为边上一点，连接，将沿折叠，使点A恰好落在边上的处，若，则的长度为（   ） A． B． C． D．2 4．如图，裁剪出一正方形纸片，若，且为的中点，将沿着所在直线折叠，使点落在正方形内点处，连接，请你探究求出的面积为（    ） A． B． C． D． 5．如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（   ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在菱形中，，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 8．如图，在中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 【类型2 用字母表示角】 9．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．如图，为菱形的对角线，，，分别为，边上的点，连接，交于点，，将沿着翻折，点落在点的位置，设，则可表示为（） A． B． C． D． 11．如图，在中，于点E，点F为的中点，连接并延长交的延长线于点G，若，则的角度用含的代数式表示为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在平行四边形中，点、点是边上两点，满足，，延长、交于点，连接，设，则的大小用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 13．如图，在正方形中，点E，F分别是，边上的动点，连接， 分别与对角线交于点G，H，且．若，则用含α的代数式表示为（    ） A． B． C． D． 14．如图，正方形的对角线，交于点，点，分别是，上的两点，且，过点作交点，若，则用含的式子表示为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，是对角线上任意一点，连接，过点作交于点，连接．若，则可以用表示为（    ） A． B． C． D． 16．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，满足，连接，，点P，Q分别是，的中点，连接．若．则可以用α表示为（　　） A．α B． C． D． 【类型3 四边形相关综合问题】 17．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再将点折叠在折痕上，折痕为，点在上的对应点为，连接，．则下列说法：①是等边三角形；②；③；④；⑤．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 18．如图，在中，分别延长，边上的中线，到，，使，，则下列说法：①；②；③；④四边形的面积是面积的倍．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．如图，在平行四边形中，，点E是的中点，的平分线交于点F，将沿折叠，点D恰好落在上点M处，分别延长，交于点N，下列四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 20．如图，在正方形中，M是边上一点，E是的中点，平分，下列结论：①，②平分，③，④，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 22．如图，在正方形中，，E为边上一动点（不与端点重合），交于点F，过点F作交于点H，过点H作于点G，连接，．给出下列结论： ①；②；③ ；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4 23．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（    ）    A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 24．在四边形中，，，，为上一点，，且，于．连接交对角线于．下列结论：①；②垂直平分；③；④平分．其中正确的为（    ）    A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【类型4 四边形相关最值问题】 25．如图，正方形中，边长为8，E为线段上一点，将沿翻折到，连接，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 26．如图，在周长为24的菱形中，，，若为对角线上的一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 27．如图，正方形的边长为6，为等腰直角三角形，，，连接、，点为的中点，连接的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 28．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 29．如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 30．如图，平行四边形中，，点M，N分别为线段上的动点（含端点），点E，F，G分别为的中点，则长度的最大值为（　　）． A． B． C．3 D．5 31．如图，点为正方形内或边上一动点，，为的中点，分别连接，，则下列结论错误的是（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的面积最大值为 32．如图，点O是矩形的对角线的中点，，以O为直角顶点的的顶点P在边上，，当P在上运动时，的最大值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【类型5 四边形相关折叠问题】 33．如图，在正方形中，，点是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，则为（     ）． A． B． C． D． 34．如图，在正方形中，连接，点为上一点，连接，点为线段上一点，且，点为线段上一点，．若，的面积为，则EF的长为（     ） A． B． C．6 D． 35．如图，矩形的对角线，相交于点，，，且、分别是、的中点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 36．如图，在矩形中，，，在和上分别有点、，连、、．点关于的对称点，点关于的对称点，若、刚好邻落在对角线上，则的长为（   ） A． B． C． D． 37．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 38．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D．9 39．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1，则CF的长为（    ） A． B． C．4 D． 40．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则线段AE的长为（ ） A．2 B．1 C． D． 【类型6 四边形相关动点问题】 41．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为__________． 42．如图，在四边形中，，，．动点从点出发，以的速度向点运动．同时，动点从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，当运动时间______时，四边形为平行四边形． 43．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为_____________________． 44．如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点B运动.规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过______ s时，会有 45．如图，矩形中，，，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，动点从点出发，按折线方向以的速度运动，若点在线段上，且，若动点，同时出发，点运动到点时两点同时停止，经过________秒钟，点，，，组成平行四边形． 46．如图, 四边形是平行四边形，，，点在上， ，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，动点从点出发，沿折线的方向以的速度运动，若动点同时出发，相遇时停止运动，在第_______时，以点为顶点的四边形是平行四边形．    47．如图，正方形中，，点E是线段上一点，且，点F是线段上的动点，点M是上的动点，且，连接，点N为的中点，连接，则的最小值为______． 48．已知正方形中，．动点P以每秒1个单位速度从点B出发沿线段方向运动，动点Q同时以每秒4个单位速度从A点出发沿正方形的边方向顺时针作折线运动，当点P与点Q相遇时停止运动，设点P的运动时间为t．连接，当以点Q及正方形的某两个顶点组成的三角形和全等时，则t为__________． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $