奥数培优专题15 鸽巢问题（抽屉原理）（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦小学数学鸽巢问题（抽屉原理），系统梳理“总有”“至少”含义、三种基本表述、平均分与有余数除法解释、变式及生活现象解释五大考点，构建从知识体系梳理到解题方法、例题精讲、易错分析、分层练习的完整学习支架。 资料以模型思想、极端思想培养数学思维，通过构造抽屉模型（如属相问题）、最不利原则（如抽扑克牌）发展抽象能力与推理意识，分层精练与精准解析助力课中教学实施和课后查漏补缺，提升学生逻辑推理与应用能力。

专题十五 鸽巢问题（抽屉原理） 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点1：“总有”“至少”的含义理解 3 考点2：鸽巢原理的三种基本表述 4 考点3：用平均分和有余数除法解释原理 5 考点4：鸽巢问题的变式 6 考点5：利用鸽巢原理解释生活现象 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点1：至少数错算成商+余数 8 易错点2：抽屉数找错 8 易错点3：“至少”理解成最少1个 9 易错点4：最不利原则用错 9 易错点5：物体和抽屉搞反 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 ◎ 基础夯实篇 10 ◎ 能力进阶篇 10 ◎ 思维跃迁篇 11 第五部分 精准解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版六年级数学广角鸽巢问题（抽屉原理），围绕“总有”“至少”的含义理解、鸽巢原理的三种基本表述、用平均分和有余数除法解释原理、鸽巢问题变式、利用鸽巢原理解释生活现象五大考点展开，理解鸽巢原理本质，会用平均分和有余数除法解决鸽巢问题，解释生活中的鸽巢现象，培养逻辑推理能力和模型思想。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 “总有”“至少”含义 “总有”是一定有、必然存在；“至少”是最少、不会更少，指最不利情况下的最小值 语义理解法 “至少”错理解成最少1个，不是最不利下的最小值 鸽巢原理基本表述 n+1个物体放进n个抽屉，总有一个抽屉至少有2个物体 枚举/推理法 物体数和抽屉数搞反 平均分有余数解释 物体数÷抽屉数=商……余数，总有一个抽屉至少有“商+1”个物体，不是商+余数 平均分法 至少数错算成商+余数 鸽巢问题变式 属相、生日、奇偶性、拿球、涂色等问题，先构造抽屉（类别），再用原理 构造抽屉法 抽屉数找错，类别数算错 生活现象解释 13人至少2人属相相同、367人至少2人生日相同等，先找抽屉数再用原理解释 抽屉构造法 抽屉数构造错误，导致结论错 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 语义理解法 理解关键词 “总有”=一定有→“至少”=最不利情况下的最小值 总有一定有，至少是最少，最不利情况 鸽巢基本法 基础鸽巢问题 n+1个物体放n个抽屉→总有一个抽屉至少2个 n+1放n个，总有一个至少俩 平均分法 一般鸽巢问题 物体数÷抽屉数=商……余数→至少数=商+1 平均分，有余数，商加一，是至少 构造抽屉法 变式鸽巢问题 先找类别（抽屉）→再数物体→用平均分法计算 变式题，找抽屉，物体数，除以它，商加一 现象解释法 解释生活现象 找抽屉数（类别数）→物体数比抽屉多→用原理说明结论 生活题，造抽屉，多一个，就有俩 三、奥数思维提升 1. 模型思想：鸽巢模型 核心要点：鸽巢问题是经典数学模型，把物体放进抽屉，不管怎么放总有一个抽屉至少有几个物体，建立抽屉模型解决一类问题，体现模型思想。 示例：13个同学12个属相，相当于13个物体放进12个抽屉，总有一个抽屉至少2人，即至少2人属相相同。 2. 极端思想：最不利原则 核心要点：考虑最倒霉、最不利的情况，先平均分，每个抽屉放一样多，剩下的再逐个放，就能得到至少数，体现极端思想，是解决鸽巢问题的核心。 示例：4支笔放3个笔筒，最不利情况每个笔筒先放1支，剩1支不管放哪个笔筒，总有一个笔筒至少2支。 3. 逻辑推理思想：必然事件 核心要点：鸽巢原理描述的是必然事件，不管怎么放都一定发生，通过严谨推理得到结论，培养逻辑推理能力，体现推理思想。 示例：3个苹果放2个抽屉，不管怎么放，一定有一个抽屉至少2个苹果，是必然发生的事件。 4. 构造思想：构造抽屉 核心要点：变式题需要自己构造抽屉，如属相、月份、颜色、花色等，把实际问题转化为鸽巢模型，体现构造思想。 示例：拿球问题中，球的颜色就是抽屉，拿出的球是物体，转化为鸽巢问题解决。 5. 应用思想：解释生活现象 核心要点：鸽巢原理在生活中很多应用，解释很多看似神奇的现象其实是数学必然，体现数学的应用价值。 示例：任意367人中一定有两人生日相同，因为一年最多366天，367人必然有两人生日相同。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点1：“总有”“至少”的含义理解 典型例题 1（基础型） 题目：“4支笔放进3个笔筒，总有一个笔筒至少有2支笔”，“总有”和“至少”分别是什么意思？ 思路点拨： ① “总有”是一定有、不管怎么放都必然存在； ② “至少2支”是最少有2支，在最不利情况下也不会比2支更少； ③ 答案：“总有”指一定有，“至少”指最少。 【答案】“总有”指一定有，“至少”指最不利情况下的最小值 【知识点睛】理解关键词是解决鸽巢问题的基础。 典型例题 2（提高型） 题目：判断：“5个苹果放进4个盘子，总有一个盘子至少有1个苹果”，这个说法对吗？ 思路点拨： ① 每个盘子都至少1个是平均分的结果，不是鸽巢问题的结论； ② 正确结论是总有一个盘子至少有2个苹果； ③ 说法不准确，应该是至少2个。 【答案】× 【知识点睛】“至少”是比平均分多1，不是最少1个。 典型例题 3（奥数型） 题目：“10个苹果放进3个抽屉，总有一个抽屉至少有4个苹果”，这个说法对吗？ 思路点拨： ① 10÷3=3⋯⋯1，平均分每个抽屉3个，余1个； ② 至少数=3+1=4个； ③ 说法正确。 【答案】对 【知识点睛】至少数=商+1。 考点2：鸽巢原理的三种基本表述 典型例题 1（基础型） 题目：3个苹果放进2个抽屉，能得到什么必然结论？ 思路点拨： ① 3个物体，2个抽屉，n+1个物体放n个抽屉； ② 总有一个抽屉至少有2个苹果； ③ 结论：总有一个抽屉至少2个苹果。 【答案】总有一个抽屉至少有2个苹果 【知识点睛】n+1个物体放进n个抽屉，总有一个抽屉至少2个。 典型例题 2（提高型） 题目：5只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子？ 思路点拨： ① 最不利情况每个鸽笼先飞1只，共4只； ② 剩1只不管飞进哪个鸽笼，那个鸽笼就有2只； ③ 至少飞进2只。 【答案】2只 【知识点睛】最不利原则，每个笼子1只，剩1只总有一个笼子2只。 典型例题 3（奥数型） 题目：13个同学中，至少有几个同学属相相同？ 思路点拨： ① 12个属相是12个抽屉，13个同学是13个物体； ② 13÷12=1⋯⋯1，至少1+1=2个； ③ 至少2个同学属相相同。 【答案】2个 【知识点睛】12个抽屉，13个物体，总有一个抽屉至少2个。 考点3：用平均分和有余数除法解释原理 典型例题 1（基础型） 题目：7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放几本书？ 思路点拨： ① 7÷3=2⋯⋯1，先平均分每个抽屉放2本； ② 剩1本不管放哪个抽屉，那个抽屉就有3本； ③ 至少放3本。 【答案】3本 【知识点睛】至少数=商+1，不是商+余数。 典型例题 2（提高型） 题目：8只鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子？ 思路点拨： ① 8÷3=2⋯⋯2，先平均分每个鸽笼2只； ② 剩2只分别飞进两个鸽笼，这两个鸽笼各3只； ③ 至少飞进3只，不是2+2=4只。 【答案】3只 【知识点睛】余数不管是几，都只加1，不是加余数。 典型例题 3（奥数型） 题目：100个苹果放进30个抽屉，总有一个抽屉至少有几个苹果？ 思路点拨： ① 100÷30=3⋯⋯10，先平均分每个抽屉3个； ② 剩10个分别放进10个抽屉，这10个抽屉各4个； ③ 至少有4个苹果。 【答案】4个 【知识点睛】不管余数是多少，至少数都是商+1。 考点4：鸽巢问题的变式 典型例题 1（基础型） 题目：一个正方体6个面涂蓝色和黄色两种颜色，至少有几个面颜色相同？ 思路点拨： ① 2种颜色是2个抽屉，6个面是6个物体； ② 6÷2=3，平均分每个颜色涂3个面； ③ 至少有3个面颜色相同。 【答案】3个 【知识点睛】颜色是抽屉，面是物体。 典型例题 2（提高型） 题目：一副扑克牌去掉大小王共52张，至少抽几张牌才能保证有2张同花色？ 思路点拨： ① 4种花色是4个抽屉，最不利情况先抽4张不同花色； ② 再抽1张，不管是什么花色一定和之前某张同花色； ③ 至少抽5张。 【答案】5张 【知识点睛】最不利原则，抽完所有不同花色再抽1张。 典型例题 3（奥数型） 题目：红、黄、蓝三种颜色的球各5个放在袋子里，至少拿几个球才能保证有2个同色？ 思路点拨： ① 3种颜色是3个抽屉，最不利情况先拿3个不同色； ② 再拿1个一定和之前某一个同色； ③ 至少拿4个。 【答案】4个 【知识点睛】颜色数+1就是保证2个同色的最少个数。 考点5：利用鸽巢原理解释生活现象 典型例题 1（基础型） 题目：为什么任意367个人中，至少有2个人生日相同？ 思路点拨： ① 一年最多366天（闰年），是366个抽屉； ② 367个人是367个物体，367÷366=1⋯⋯1； ③ 至少有2人生日相同。 【答案】一年最多366天，367人必然至少2人生日相同 【知识点睛】天数是抽屉，人是物体。 典型例题 2（提高型） 题目：为什么15个同学中，至少有2个人在同一个月过生日？ 思路点拨： ① 一年12个月是12个抽屉； ② 15÷12=1⋯⋯3，至少1+1=2人； ③ 至少有2人同一个月生日。 【答案】12个月是抽屉，15个同学必然至少2人同月生日 【知识点睛】月份是抽屉。 典型例题 3（奥数型） 题目：给正方体6个面涂3种颜色，为什么至少有2个面颜色相同？ 思路点拨： ① 3种颜色是3个抽屉，6个面是6个物体； ② 6÷3=2，平均分每个颜色涂2个面； ③ 至少有2个面颜色相同。 【答案】3种颜色涂6个面，平均分每个颜色2个面，至少2个面同色 【知识点睛】颜色是抽屉。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：至少数错算成商+余数 错误示例：8只鸽子飞进3个鸽笼，错算8÷3=2⋯⋯2，至少2+2=4只。 正确分析：余数是剩下的，剩下的2只分别进2个笼子，每个笼子最多再加1只，所以至少2+1=3只，不是加余数。 修正方法：至少数=商+1，不管余数是几，都只加1，不是加余数。 易错点2：抽屉数找错 错误示例：13个同学属相问题，错认为有13个抽屉，结论是至少1个。 正确分析：属相只有12个，是12个抽屉，13个同学是物体，所以至少2人属相相同。 修正方法：先找类别数，类别（属相、月份、颜色、花色）是抽屉，放进去的东西是物体，不要搞反。 易错点3：“至少”理解成最少1个 错误示例：5个苹果放4个盘子，错认为“至少1个”。 正确分析：每个盘子都至少1个是平均分，鸽巢问题的“至少”是最不利情况下的最小值，是至少2个。 修正方法：“至少”是在最倒霉情况下也一定有的数量，不是最少1个。 易错点4：最不利原则用错 错误示例：抽扑克牌同花色，错认为抽2张就有同花色。 正确分析：最不利情况是先抽4张不同花色，再抽1张才一定有同花色，所以是5张。 修正方法：考虑最倒霉情况，把所有不同类的都拿完，再拿1个才保证一定有。 易错点5：物体和抽屉搞反 错误示例：4支笔放3个笔筒，错认为4个抽屉3个物体。 正确分析：笔筒是容器，是抽屉；笔是放进去的东西，是物体，3个抽屉4个物体。 修正方法：容器、类别是抽屉，放进去的东西、人、东西是物体。 第四部分 分层进阶专题精练 ◎ 基础夯实篇 1. 5只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进____只鸽子 2. 13个同学中，至少有____个人属相相同 3. 7本书放进3个抽屉，总有一个抽屉至少放____本书 4. 正方体6个面涂2种颜色，至少有____个面颜色相同 5. 判断：8个苹果放进3个盘子，总有一个盘子至少放4个苹果。（ ） 6. 任意367个人中，至少有____个人生日相同 7. 红、黄两种颜色的球各5个，至少拿____个才能保证2个同色 8. 10个苹果放进4个抽屉，总有一个抽屉至少放____个苹果 ◎ 能力进阶篇 9. 11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进几只鸽子？ 10. 一副52张扑克牌（无大小王），至少抽几张才能保证有2张同花色？ 11. 25个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月过生日？ 12. 红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个，至少拿几个才能保证2个同色？ 13. 正方体6个面涂4种颜色，至少有几个面颜色相同？ 14. 400个同学中，至少有几个同学生日相同？ 15. 鱼缸里有5种鱼，至少捞几条鱼才能保证有2条是同一种类？ ◎ 思维跃迁篇 16. 红、黄、蓝三种颜色的球各5个放在袋子里，至少拿几个才能保证有2个是红色？ 17. 45个同学中，至少有几个同学属相相同？ 18. 从1-10这10个数中至少取几个数，才能保证有2个数奇偶性相同？ 19. 52张扑克牌（无大小王），至少抽几张才能保证有2张点数相同？ 20. 42个同学去图书馆借故事书、科技书、漫画书（每人借1本），至少有几个人借的书种类相同？ 第五部分 精准解析 ◎ 基础夯实篇解析 1. 【答案】2 思路点拨： ① 5÷4=1⋯⋯1，至少1+1=2只； ② 至少2只。 【知识点睛】n+1个物体n个抽屉，至少2个。 2. 【答案】2 思路点拨： ① 12个属相，13÷12=1⋯⋯1； ② 至少2人。 【知识点睛】12个抽屉，至少2人同属相。 3. 【答案】3 思路点拨： ① 7÷3=2⋯⋯1，至少2+1=3本； ② 至少3本。 【知识点睛】至少数=商+1。 4. 【答案】3 思路点拨： ① 6÷2=3，至少3个面同色； ② 至少3个。 【知识点睛】颜色是抽屉，面是物体。 5. 【答案】× 思路点拨： ① 8÷3=2⋯⋯2，至少2+1=3个，不是4个； ② 说法错误。 【知识点睛】至少数=商+1，不是商+余数。 6. 【答案】2 思路点拨： ① 366天，367÷366=1⋯⋯1； ② 至少2人生日相同。 【知识点睛】天数是抽屉。 7. 【答案】3 思路点拨： ① 2种颜色，最不利拿2个不同色，再拿1个； ② 至少拿3个。 【知识点睛】颜色数+1。 8. 【答案】3 思路点拨： ① 10÷4=2⋯⋯2，至少2+1=3个； ② 至少3个。 【知识点睛】至少数=商+1。 ◎ 能力进阶篇解析 9. 【答案】3只 思路点拨： ① 11÷4=2⋯⋯3，至少2+1=3只； ② 至少3只。 【知识点睛】至少数=商+1。 10. 【答案】5张 思路点拨： ① 4种花色，最不利抽4张不同花色； ② 再抽1张一定同花色，共5张； ③ 至少5张。 【知识点睛】最不利原则。 11. 【答案】3个 思路点拨： ① 25÷12=2⋯⋯1，至少2+1=3个； ② 至少3个同月。 【知识点睛】月份是抽屉。 12. 【答案】5个 思路点拨： ① 4种颜色，最不利拿4个不同色； ② 再拿1个同色，共5个； ③ 至少拿5个。 【知识点睛】颜色数+1。 13. 【答案】2个 思路点拨： ① 6÷4=1⋯⋯2，至少1+1=2个； ② 至少2个面同色。 【知识点睛】至少数=商+1。 14. 【答案】2个 思路点拨： ① 一年最多366天，400÷366=1⋯⋯34； ② 至少2人生日相同。 【知识点睛】天数是抽屉。 15. 【答案】6条 思路点拨： ① 5种鱼，最不利捞5条不同种类； ② 再捞1条一定同种类，共6条； ③ 至少捞6条。 【知识点睛】种类数+1。 ◎ 思维跃迁篇解析 16. 【答案】12个 思路点拨： ① 最不利情况：先把黄、蓝都拿完，共5+5=10个； ② 再拿2个一定是红色，共10+2=12个； ③ 至少拿12个。 【知识点睛】最不利原则，拿完其他颜色再拿红色。 17. 【答案】4个 思路点拨： ① 45÷12=3⋯⋯9，至少3+1=4个； ② 至少4人属相相同。 【知识点睛】至少数=商+1。 18. 【答案】3个 思路点拨： ① 奇偶2种，最不利拿1奇1偶； ② 再拿1个一定奇偶性相同，共3个； ③ 至少取3个。 【知识点睛】奇偶是抽屉。 19. 【答案】14张 思路点拨： ① 13种点数，最不利抽13张不同点数； ② 再抽1张一定点数相同，共14张； ③ 至少抽14张。 【知识点睛】点数是抽屉，13个抽屉。 20. 【答案】14人 思路点拨： ① 3种书是抽屉，42÷3=14； ② 至少14人借的书种类相同。 【知识点睛】书的种类是抽屉。 1 学科网（北京）股份有限公司 $