奥数培优专题06 分数乘除混合与和倍差倍问题（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦小学数学六年级上册分数乘除混合运算与和倍差倍问题，系统梳理运算顺序、简算技巧、和倍差倍方程解法及单位“1”转换方法，通过知识体系构建、解题方法图表、典型例题精讲、易错避坑指南与分层精练形成完整学习支架。 资料以图表记忆法和分层进阶练习为特色，融入转化、模型等数学思想，如和倍差倍问题用方程法培养模型意识，单位“1”转换提升抽象能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，发展运算能力与应用意识。

专题六 分数乘除混合与和倍差倍问题 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点1：分数乘除混合运算顺序 3 考点2：运算律推广简算 4 考点3：已知两量和与分数关系求各量（和倍） 5 考点4：已知两量差与分数关系求各量（差倍） 6 考点5：单位“1”转换技巧 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点1：乘除混合顺序错 8 易错点2：除法直接用分配律 9 易错点3：和倍问题单位1找错 9 易错点4：多单位1直接加减 9 易错点5：简算运算律用错 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 ◎ 基础夯实篇 10 ◎ 能力进阶篇 10 ◎ 思维跃迁篇 10 第五部分 精准解析 12 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版六年级上册分数乘除混合与和倍差倍问题，围绕分数乘除混合运算顺序与简算、运算律推广、已知两量和/差与分数关系求各量、列方程解分数问题、单位“1”转换技巧五大考点展开，掌握分数乘除混合运算方法，会用方程解决和倍差倍分数问题，学会单位“1”转换，提高运算能力和问题解决能力。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 乘除混合运算顺序 分数乘除混合从左到右，有括号先算括号里，除以一个数转乘它的倒数 转乘约分法 先乘后除，不按顺序算 运算律推广简算 乘法交换律、结合律、分配律在分数乘除中同样适用，转乘后用运算律 运算律法 除法直接用分配律，没转乘就分配 和倍问题 两个量和与分数关系，设单位“1”为x，另一个量是几分之几x，列方程x+几分之几x=和 方程法 单位1找错，加减搞反 差倍问题 两个量差与分数关系，设单位“1”为x，列方程x-几分之几x=差 方程法 差和分率不对应 单位“1”转换 多个单位1时，统一到同一个单位1，分率相乘转换 统一单位1法 不同单位1直接加减分率 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 转乘约分法 分数乘除混合 除以一个数转乘倒数→从左到右→先约分再计算 除转乘，约分算，从左到右不乱序 运算律简算法 分数乘除简算 先转乘法→看能否用交换/结合/分配律→简便计算 转乘后，用定律，凑整约分更简单 和倍方程法 和倍分数问题 找单位1设x→另一个量用x表示→根据和列方程→求解 和倍题，设单位1，和为等量列方程 差倍方程法 差倍分数问题 找单位1设x→另一个量用x表示→根据差列方程→求解 差倍题，设单位1，差为等量列方程 单位1转换法 多单位1问题 找不变量→统一单位1到不变量→分率相乘→计算 多单位1，统一它，分率相乘不搞错 三、奥数思维提升 1. 转化思想：除转乘 核心要点：分数除法转化为分数乘法计算，把未知的除法转化为已学的乘法，体现转化思想，是分数计算的核心思想。 示例：所有分数除法都转化为乘倒数，变成分数乘法，再用乘法的方法计算。 2. 模型思想：和倍差倍模型 核心要点：和倍、差倍问题是典型数学模型，不管是整数还是分数，模型结构相同，列方程解答，体现模型思想。 示例：和倍：x+nx=和；差倍：x-nx=差，模型结构固定，直接套用。 3. 方程思想：未知量设x 核心要点：分数问题中单位1未知时，设单位1为x，根据等量关系列方程解答，体现方程思想，降低思维难度。 示例：和倍差倍问题设单位1为x，顺向思维列方程，不用逆向除法，不容易错。 4. 统一思想：单位1统一 核心要点：多个单位1时，统一到同一个单位1，分率才能加减计算，体现统一思想，是解决复杂分数问题的关键。 示例：甲是乙的，乙是丙的，统一到丙为单位1，甲就是丙的。 5. 简算思想：运算律推广 核心要点：整数乘法运算律推广到分数，让计算更简便，培养简算意识，提高运算效率。 示例：乘法分配律在分数中同样适用，(+)×12=4+3=7，不用通分先算括号里。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点1：分数乘除混合运算顺序 典型例题 1（基础型） 题目：计算： ÷ × 思路点拨： ① 除法转乘法： × × ； ② 先约分：×=，×=； ③ 结果是。 【答案】 【知识点睛】除以一个数转乘倒数，从左到右约分计算。 典型例题 2（提高型） 题目：计算： ÷ ( + ) 思路点拨： ① 先算括号里：+=； ② 再算除法： ÷ = × = ； ③ 结果是。 【答案】 【知识点睛】有括号先算括号里，不能直接用分配律。 典型例题 3（奥数型） 题目：计算： ÷ ÷ 思路点拨： ① 全部转乘法： × × ； ② 约分计算：×=，×=； ③ 结果是。 【答案】 【知识点睛】连除转连乘，一次约分更简便。 考点2：运算律推广简算 典型例题 1（基础型） 题目：简算：( + ) ÷ 思路点拨： ① 转乘法：(+)×12； ② 分配律：×12 + ×12 = 4+3=7； ③ 结果是7。 【答案】7 【知识点睛】转乘法后用乘法分配律简算。 典型例题 2（提高型） 题目：简算： × + ÷ 思路点拨： ① 转乘法：× + ×； ② 分配律：×(+)=×1=； ③ 结果是。 【答案】 【知识点睛】转乘法后提取公因数，用分配律简算。 典型例题 3（奥数型） 题目：简算：2025 ÷ 2025 思路点拨： ① 除数化假分数：2025×2026+2025=2025×2027，除数是2025×； ② 原式=2025 × 2026/(2025×2027) = ； ③ 结果是。 【答案】 【知识点睛】带分数化假分数，提取公因数约分。 考点3：已知两量和与分数关系求各量（和倍） 典型例题 1（基础型） 题目：甲乙两数和是40，甲数是乙数的，甲乙各是多少？ 思路点拨： ① 设乙数为x，甲数是x； ② x + x = 40，x=25，甲=15； ③ 甲15，乙25。 【答案】甲15，乙25 【知识点睛】和倍问题设单位1为x，根据和列方程。 典型例题 2（提高型） 题目：六（1）班共56人，男生是女生的，男女生各多少人？ 思路点拨： ① 设女生x人，男生x人； ② x+x=56，x=32，男生24人； ③ 男生24人，女生32人。 【答案】男生24人，女生32人 【知识点睛】实际问题和倍，列方程解答。 典型例题 3（奥数型） 题目：一套桌椅280元，椅子是桌子的，桌子椅子各多少元？ 思路点拨： ① 设桌子x元，椅子x元； ② x+x=280，x=200，椅子80元； ③ 桌子200元，椅子80元。 【答案】桌子200元，椅子80元 【知识点睛】实际问题和倍，列方程求解。 考点4：已知两量差与分数关系求各量（差倍） 典型例题 1（基础型） 题目：甲比乙多6，甲是乙的，甲乙各多少？ 思路点拨： ① 设乙为x，甲是x； ② x - x =6，x=12，甲=18； ③ 甲18，乙12。 【答案】甲18，乙12 【知识点睛】差倍问题设单位1为x，根据差列方程。 典型例题 2（提高型） 题目：篮球比足球多12个，足球是篮球的，篮球足球各多少个？ 思路点拨： ① 设篮球x个，足球x个； ② x - x=12，x=36，足球24个； ③ 篮球36个，足球24个。 【答案】篮球36个，足球24个 【知识点睛】实际问题差倍，列方程解答。 典型例题 3（奥数型） 题目：乙比甲多10，甲的等于乙的，甲乙各多少？ 思路点拨： ① 甲×=乙×，甲=乙×； ② 乙-乙=10，乙=90，甲=80； ③ 甲80，乙90。 【答案】甲80，乙90 【知识点睛】先转换等量关系，再用差倍列方程。 考点5：单位“1”转换技巧 典型例题 1（基础型） 题目：甲是乙的，乙是丙的，甲是丙的几分之几？ 思路点拨： ① 设丙为1，乙=； ② 甲=×=； ③ 甲是丙的。 【答案】 【知识点睛】多个单位1统一到丙，分率相乘。 典型例题 2（提高型） 题目：甲比乙多，乙比甲少几分之几？ 思路点拨： ① 设乙为1，甲=1+=； ② 乙比甲少(-1)÷=； ③ 少。 【答案】 【知识点睛】单位1转换，差除以新单位1。 典型例题 3（奥数型） 题目：小明看书，第一天看，第二天看余下的，第二天比第一天多看20页，全书多少页？ 思路点拨： ① 第二天看全书的(1-)×=； ② 第二天比第一天多-=，对应20页； ③ 全书20÷=120页。 【答案】120页 【知识点睛】统一单位1到全书，找量率对应。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：乘除混合顺序错 错误示例：计算÷×，错先算×=，再算÷=。 正确分析：乘除同级运算从左到右，不能先算后面的乘法，应该从左到右依次算，转乘后约分。 修正方法：乘除混合从左到右算，转乘后先约分再计算。 易错点2：除法直接用分配律 错误示例：计算÷(+)，错写成÷+÷=+2=3.5。 正确分析：除法没有分配律，只有乘法有，有括号先算括号里的，转乘后如果是括号在前才能用分配律。 修正方法：括号在除数位置不能用分配律，先算括号里；括号在被除数位置转乘后可以用分配律。 易错点3：和倍问题单位1找错 错误示例：甲乙和40，甲是乙的，错设甲为x，乙=x，x+x=40，x=25，甲25乙15。 正确分析：“是”后面的乙是单位1，应该设乙为x，甲是x，结果甲15乙25。 修正方法：“是/占/比”后面的量是单位1，设单位1为x。 易错点4：多单位1直接加减 错误示例：甲比乙多，错认为乙比甲少。 正确分析：甲比乙多单位1是乙，乙比甲少单位1是甲，结果是，不是。 修正方法：单位1不同的分率不能直接加减，先统一单位1再计算。 易错点5：简算运算律用错 错误示例：×+÷，错按顺序算，没发现可以提取公因数。 正确分析：除以转乘，就有公因数，提取后用分配律简算得。 修正方法：先把所有除法转乘法，再看有没有公因数，能不能用运算律。 第四部分 分层进阶专题精练 ◎ 基础夯实篇 1. 计算： ÷ × = ____ 2. 简算： × × = ____ 3. 甲乙和40，甲是乙的，甲____乙____ 4. 简算：(+)÷ = ____ 5. 甲比乙多6，甲是乙的，甲____乙____ 6. 判断：分数乘除混合要先算乘法再算除法。（ ） 7. 甲是乙的，乙是丙的，甲是丙的____ 8. 一个数除以，这个数就扩大____倍 ◎ 能力进阶篇 9. 计算： ÷ × = ____ 10. 简算：( - ) ÷ = ____ 11. 六（1）班有 56 人，男生是女生的，男生____人，女生____人。 12. 篮球比足球多12个，足球是篮球的，篮球____足球____。 13. 甲比乙多，乙比甲少____ 14. 一套桌椅280元，椅子是桌子的，桌子____椅子____。 15. 计算： ÷ (+) = ____ ◎ 思维跃迁篇 16. 简算：2025÷2025 = ____ 17. 甲乙丙三个数和是90，甲是乙的，乙是丙的，三个数各是多少？ 18. 乙比甲多10，甲的等于乙的，甲乙各多少？ 19. 小明看书，第一天看，第二天看余下的，第二天比第一天多看20页，全书多少页？ 20. 两筐苹果共80千克，从甲筐取给乙筐后两筐相等，原来甲乙各多少千克？ 第五部分 精准解析 ◎ 基础夯实篇解析 1. 【答案】 思路点拨： ① 转乘法××，约分计算； ② 结果。 【知识点睛】乘除混合转乘约分。 2. 【答案】 思路点拨： ① 交换律×=1，再乘； ② 结果。 【知识点睛】乘法交换律简算。 3. 【答案】15，25 思路点拨： ① 设乙x，x+x=40，x=25； ② 甲15，乙25。 【知识点睛】和倍问题列方程。 4. 【答案】7 思路点拨： ① 转乘(+)×12=4+3=7； ② 结果7。 【知识点睛】分配律简算。 5. 【答案】18，12 思路点拨： ① 设乙x，x-x=6，x=12； ② 甲18，乙12。 【知识点睛】差倍问题列方程。 6. 【答案】× 思路点拨： ① 同级运算从左到右，不是先乘后除； ② 说法错误。 【知识点睛】运算顺序。 7. 【答案】 思路点拨： ① 设丙1，乙，甲=×=； ② 甲是丙的。 【知识点睛】单位1转换。 8. 【答案】5 思路点拨： ① 除以等于乘5，扩大5倍； ② 答案5。 【知识点睛】分数除法意义。 ◎ 能力进阶篇解析 9. 【答案】1 思路点拨： ① 转乘××，约分； ② 结果1。 【知识点睛】连除转连乘约分。 10. 【答案】2 思路点拨： ① 转乘(-)×8=6-4=2； ② 结果2。 【知识点睛】分配律简算。 11. 【答案】24，32 思路点拨： ① 设女生x，x+x=56，x=32； ② 男生24，女生32。 【知识点睛】和倍实际问题。 12. 【答案】36，24 思路点拨： ① 设篮球x，x-x=12，x=36； ② 篮球36，足球24。 【知识点睛】差倍实际问题。 13. 【答案】 思路点拨： ① 设乙1，甲，差除以=； ② 少。 【知识点睛】单位1转换。 14. 【答案】200，80 思路点拨： ① 设桌子x，x+x=280，x=200； ② 桌子200，椅子80。 【知识点睛】和倍实际问题。 15. 【答案】 思路点拨： ① 括号里，÷=； ② 结果。 【知识点睛】有括号先算括号里。 ◎ 思维跃迁篇解析 16. 【答案】 思路点拨： ① 除数化假分数2025×； ② 约分后得； ③ 结果。 【知识点睛】带分数化假分数约分简算。 17. 【答案】甲15，乙30，丙45 思路点拨： ① 设丙x，乙=x，甲=x； ② x+x+x=90，x=45； ③ 甲15，乙30，丙45。 【知识点睛】三个数和倍，统一单位1。 18. 【答案】甲80，乙90 思路点拨： ① 甲=乙×，乙-乙=10，乙=90； ② 甲80，乙90； ③ 甲80，乙90。 【知识点睛】等量转换后差倍。 19. 【答案】120页 思路点拨： ① 第二天看全书，差对应20页； ② 全书20÷=120页； ③ 全书120页。 【知识点睛】统一单位1，量率对应。 20. 【答案】甲50千克，乙30千克 思路点拨： ① 后来各40千克，甲给后剩是40； ② 甲原来50，乙30； ③ 甲50，乙30。 【知识点睛】倒推法，抓不变量。 1 学科网（北京）股份有限公司 $