奥数培优专题01 有序数对与方向距离的综合（讲义）2026-2027学年六年级上册数学（人教版）

本讲义聚焦小学数学“有序数对与方向距离的综合”核心知识点，系统梳理有序数对表示位置、方格纸图形平移与数对变化、方向距离确定位置、平面图标点、路线图描述与绘制五大考点，构建“数-形-位置”对应关系，为后续平面直角坐标系学习奠定基础。 该资料以知识体系表格梳理为框架，结合解题方法图表记忆法与技巧口诀，精准剖析易错点，分层设计基础、进阶、思维跃迁练习。通过“五步标点法”“路线分段模型”等培养几何直观与空间观念，助力学生用数学思维推理位置关系，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

专题一 有序数对与方向距离的综合 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 2 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点1：有序数对表示位置 3 考点2：方格纸图形平移与数对变化 4 考点3：方向和距离确定位置 5 考点4：根据描述在平面图上标点 6 考点5：描述并绘制简单路线图 7 第三部分 易错避坑指南 8 易错点1：数对顺序颠倒，列行写反 8 易错点2：平移数对加减方向错误 9 易错点3：位置相对性方向搞反 9 易错点4：比例尺换算单位错误 9 易错点5：路线描述观测点不更新 9 第四部分 分层进阶专题精练 10 ◎ 基础夯实篇 10 ◎ 能力进阶篇 10 ◎ 思维跃迁篇 11 第五部分 精准解析 13 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是人教版六年级上册位置与方向的核心内容，围绕有序数对表示位置、方格纸图形平移、方向与距离定位、平面图标点、路线图描述五大考点展开，建立“数-形-位置”的对应关系，掌握坐标定位、相对位置判断的核心方法，培养空间观念与几何直观能力，为后续平面直角坐标系学习奠基。 知识模块 核心内容 关键方法 易错提醒 有序数对表示位置 列与行的定义，先列后行的数对规则，数对与方格点的一一对应 列先行后规则、一一对应法 混淆列和行的顺序，数对两个数写反 方格纸图形平移 左右平移列变行不变，上下平移行变列不变，右加左减、上加下减规律 平移规律法、坐标对应法 平移时数对加减方向搞反，列行同时变化 方向与距离定位 位置三要素：观测点、方向偏角、距离，位置相对性 三要素法、相对位置法 观测点判断错误，方向偏角搞反，忽略距离单位 平面图上标点 定观测点→画方向标→量偏角→算图距→标点的五步法 五步标点法、比例尺换算法 比例尺换算错误，偏角测量方向搞反 路线图描述与绘制 分段描述规则，观测点随位置变化，返回路线方向相反角度距离不变 分段描述法、反向对应法 返回路线方向搞反，观测点未随位置更新 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 数对定位法 有序数对表示位置类题目 确定列数→确定行数→写成（列,行）数对 先列后行不颠倒，逗号隔开括号包 平移数对法 方格纸图形平移类题目 判断平移方向→列/行按规则加减→写出新数对 左右平移列加减，上下平移行加减 三要素定位法 方向距离描述位置类题目 确定观测点→找方向偏角→算实际距离 观测点是核心，方向距离不能少 五步标点法 平面图上标位置类题目 定观测点→画方向标→量角度→算图距→标位置 比例尺换算准，角度方向不搞反 路线分段法 路线图描述绘制类题目 分段确定观测点→逐段描述方向距离→反向路线方向反 每段换观测点，返回方向反距离不变 三、奥数思维提升 1. 坐标思想：数与形的一一对应 核心要点：通过有序数对将平面上的点和数建立一一对应关系，用数字精确描述位置，是平面直角坐标系的入门思想，实现几何位置到代数表达的转化。 示例：数对（3,4）对应方格纸上第3列第4行的点，每个点都有唯一的数对，每个数对都对应唯一的点，数和点一一对应。 2. 数形结合思想：图形平移与数的变化 核心要点：图形的平移运动可以转化为数对的数字变化，通过数的加减规律直观反映图形的位置变化，用代数方法解决几何问题，降低空间想象难度。 示例：点向右平移3格，数对第一个数加3；向上平移2格，数对第二个数加2，图形平移的几何变化转化为数的加减计算。 3. 相对思想：位置的相对性 核心要点：位置是相对观测点存在的，观测点变化，方向和位置描述也会随之变化，两个地点的位置关系是相对的，方向相反、角度相同、距离相等。 示例：甲在乙的北偏东30°方向500米，那么乙就在甲的南偏西30°方向500米，方向相反，角度和距离不变。 4. 转化思想：实际距离与图上距离换算 核心要点：通过比例尺将实际的大距离转化为平面图上的小距离，将现实空间位置转化为平面图纸上的点，实现现实场景到平面图形的转化。 示例：实际距离800米，比例尺1:10000，图上距离就是800÷10000×100=8厘米，实际长度转化为图纸长度。 5. 模型思想：路线图的分段模型 核心要点：将复杂的长路线拆分为多个短路段，每段都用“方向+距离”模型描述，复杂路线转化为多个简单段的组合，化繁为简解决问题。 示例：从家到学校的路线拆分为“西100米→北100米”两段，每段独立描述，组合起来就是完整路线。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点1：有序数对表示位置 典型例题 1（基础型） 题目：判断：数对（5,3）表示第3列第5行。（ ） 思路点拨： ① 明确数对规则：数对先写列数，后写行数，第一个数是列，第二个数是行； ② 数对（5,3）第一个数是5，对应第5列，第二个数是3，对应第3行； ③ 题目说第3列第5行，列行颠倒，说法错误。 【答案】× 【知识点睛】数对规则是先列后行，第一个数表示列，第二个数表示行，顺序不能颠倒。 典型例题 2（提高型） 题目：小军在教室的位置是第4列第5行，用数对表示是什么？数对（2,6）表示的位置是第几列第几行？ 思路点拨： ① 先列后行，第4列第5行，列数是4，行数是5； ② 写成数对就是（4,5）； ③ 数对（2,6）第一个数2是列，第二个数6是行，对应第2列第6行。 【答案】(4,5)；第2列第6行 【知识点睛】数对和位置一一对应，先列后行，列从左往右数，行从前往后数。 典型例题 3（奥数型） 题目：小明在教室的位置用数对表示是（3,4），他前面相邻同学的位置数对是什么？他右边相邻同学的位置数对是什么？ 思路点拨： ① 前面相邻：列数不变，行数减1，行数从4变成3； ② 右边相邻：行数不变，列数加1，列数从3变成4； ③ 前面同学数对是（3,3），右边同学数对是（4,4）。 【答案】(3,3)；(4,4) 【知识点睛】前后相邻行变列不变，左右相邻列变行不变，前减后加、右加左减。 考点2：方格纸图形平移与数对变化 典型例题 1（基础型） 题目：点（2,5）向右平移2格后的数对是多少？ 思路点拨： ① 左右平移列变行不变，向右平移列数加2； ② 列数2+2=4，行数还是5； ③ 平移后数对是（4,5）。 【答案】(4,5) 【知识点睛】左右平移列数变化，行数不变，右加左减。 典型例题 2（提高型） 题目：三角形顶点A（1,1）、B（3,1）、C（1,3），向上平移3格后，三个顶点的新数对分别是什么？ 思路点拨： ① 上下平移行变列不变，向上平移行数加3，列数不变； ② A点：列1不变，行1+3=4，新数对（1,4）；B点：列3不变，行1+3=4，新数对（3,4）； ③ C点：列1不变，行3+3=6，新数对（1,6）。 【答案】A(1,4)、B(3,4)、C(1,6) 【知识点睛】图形平移时所有点的平移规则一致，向上平移行数加，向下平移行数减。 典型例题 3（奥数型） 题目：点P向左平移4格，再向下平移2格后得到数对（2,1），点P原来的位置数对是什么？ 思路点拨： ① 逆推还原：向左平移列减4，逆推列加4；向下平移行减2，逆推行加2； ② 新列2+4=6，新行1+2=3； ③ 原来的数对是（6,3）。 【答案】(6,3) 【知识点睛】已知平移后位置求原位置，用逆推法，加减方向相反。 考点3：方向和距离确定位置 典型例题 1（基础型） 题目：判断：东偏北30°就是北偏东60°。（ ） 思路点拨： ① 东和北夹角是90°，东偏北30°，就是从东向北偏30°； ② 换算成北偏东就是90°-30°=60°，即北偏东60°； ③ 说法正确。 【答案】√ 【知识点睛】两个垂直方向的偏角可以换算，和为90°。 典型例题 2（提高型） 题目：以学校为观测点，书店在学校西偏南40°方向400米处，那么以书店为观测点，学校在书店的什么方向多少米处？ 思路点拨： ① 位置相对，观测点互换，方向相反，角度和距离不变； ② 西的反方向是东，南的反方向是北，角度还是40°，距离还是400米； ③ 学校在书店的东偏北40°方向400米处。 【答案】东偏北40°方向400米 【知识点睛】两个地点位置相对，方向相反、角度相同、距离相等。 典型例题 3（奥数型） 题目：甲在乙的北偏西25°方向300米处，丙在乙的南偏东25°方向200米处，甲在丙的什么方向多少米处？ 思路点拨： ① 三个点在同一条直线上，乙在中间，甲和丙方向相反； ② 总距离是300+200=500米，方向是北偏西25°； ③ 甲在丙的北偏西25°方向500米处。 【答案】北偏西25°方向500米 【知识点睛】三点共线时，相对位置距离相加，方向一致。 考点4：根据描述在平面图上标点 典型例题 1（基础型） 题目：比例尺1:10000，实际距离300米，图上距离是多少厘米？ 思路点拨： ① 单位换算：300米=30000厘米； ② 图上距离=实际距离×比例尺，30000×=3厘米； ③ 图上距离是3厘米。 【答案】3 【知识点睛】图上距离=实际距离×比例尺，注意单位统一。 典型例题 2（提高型） 题目：在平面图上标位置：少年宫在学校正北方向200米处，比例尺1:10000，计算图上距离并说明步骤。 思路点拨： ① 换算实际距离：200米=20000厘米； ② 图上距离：20000×=2厘米； ③ 以学校为观测点，向正北方向画2厘米长线段，端点就是少年宫位置。 【答案】2厘米，步骤：定观测点→正北方向→画2厘米线段标点 【知识点睛】平面图标点五步法：定观测点、画方向标、量角度、算图距、标点。 典型例题 3（奥数型） 题目：超市在学校东偏北30°方向400米，邮局在学校西偏南30°方向300米，比例尺1:10000，两个地点的图上距离一共是多少厘米？ 思路点拨： ① 超市图上距离：40000×=4厘米； ② 邮局图上距离：30000×=3厘米； ③ 总长度4+3=7厘米。 【答案】7 【知识点睛】多个地点标点时分别计算图上距离，三点共线时距离直接相加。 考点5：描述并绘制简单路线图 典型例题 1（基础型） 题目：小明从家出发向东走100米到商店，他从商店回家怎么走？ 思路点拨： ① 返回路线方向相反，距离不变； ② 东的反方向是西，距离还是100米； ③ 从商店向西走100米到家。 【答案】向西走100米 【知识点睛】返回路线方向相反，角度和距离不变。 典型例题 2（提高型） 题目：描述路线：从公园出发，向东偏北20°走300米到图书馆，再向东走200米到超市，写出从超市返回公园的路线。 思路点拨： ① 分段反向：最后一段向东200米，返回时向西走200米到图书馆； ② 第一段东偏北20°走300米，返回时西偏南20°走300米回公园； ③ 返回路线：从超市向西走200米到图书馆，再向西偏南20°走300米回到公园。 【答案】从超市向西走200米到图书馆，再向西偏南20°走300米回到公园 【知识点睛】路线返回时逐段反向，每段观测点更新，方向相反距离不变。 典型例题 3（奥数型） 题目：小明从家出发，先向北走50米，再向东走50米，再向南走50米，最后向西走20米，此时他在家的什么方向多少米处？ 思路点拨： ① 向北50米和向南50米抵消，南北方向回到原点； ② 向东50米，向西20米，剩余向东50-20=30米； ③ 此时他在家的正东方向30米处。 【答案】正东方向30米 【知识点睛】路线问题可以分段抵消相反方向的距离，简化计算。 第三部分 易错避坑指南 易错点1：数对顺序颠倒，列行写反 错误示例：认为数对（a,b）是第a行第b列，列和行顺序搞反。 正确分析：数对的规则是先列后行，第一个数表示列数（从左往右数），第二个数表示行数（从前往后数），顺序不能颠倒。 修正方法：记忆口诀“先列后行，逗号隔开”，写数对时先数列再数行，写完反过来检查顺序。 易错点2：平移数对加减方向错误 错误示例：点向右平移时给行数加，向上平移时给列数加，搞反列行变化。 正确分析：左右平移是水平方向，只有列数变化，右加左减；上下平移是垂直方向，只有行数变化，上加下减，平移时列行不会同时变化。 修正方法：平移前先判断方向：左右看列，上下看行，加完再检查方向是否正确。 易错点3：位置相对性方向搞反 错误示例：甲在乙的北偏东方向，认为乙在甲的北偏西方向，只反一个方向。 正确分析：两个地点位置相对时，方向完全相反，北对南、东对西，角度不变，距离不变，两个方向都要反过来。 修正方法：写相对位置时，把两个方向词都换成反义词，角度和距离照抄，写完检查。 易错点4：比例尺换算单位错误 错误示例：计算图上距离时不换算单位，直接用米乘比例尺，得到错误结果。 正确分析：比例尺是长度比，计算时单位必须统一，米要先换算成厘米，再乘比例尺得到图上厘米数。 修正方法：比例尺计算第一步先统一单位，米转厘米加两个0，算完再检查单位是否正确。 易错点5：路线描述观测点不更新 错误示例：描述长路线时全程用起点做观测点，不随位置变化更新观测点。 正确分析：路线是分段的，每走到一个新地点，观测点就变成当前所在地点，下一段的方向要以新观测点为基准。 修正方法：描述路线时每段开头先确定当前观测点，一段一换观测点，不要全程用起点。 第四部分 分层进阶专题精练 ◎ 基础夯实篇 1. 小红坐在教室第2列第5行，用数对表示是（____，____）；数对（4,3）表示第____列第____行。 2. 点（3,2）向右平移2格后的数对是（____，____）；向上平移3格后的数对是（____，____）。 3. 以广场为观测点，学校在广场北偏西30°方向500米处，那么以学校为观测点，广场在学校的（____）偏（____）（____）°方向（____）米处。 4. 判断：数对（7,4）表示第7行第4列。（ ） 5. 比例尺1:20000表示图上1厘米对应实际距离（____）米。 6. 小丽从家到学校先向南走150米，再向东走100米，她从学校回家的路线是：先向（____）走100米，再向（____）走150米。 7. 数对（2,5）和（6,5）的____相同，因此在同一____（填“列”或“行”）。 8. 北偏东40°方向，还可以表述为（____）偏（____）（____）°方向。 ◎ 能力进阶篇 9. 长方形三个顶点数对为A(1,1)、B(1,4)、C(5,1)，将长方形向右平移3格，再向上平移1格后，三个顶点的新数对分别是什么？ 10. 甲在乙的东偏南35°方向600米处，那么乙在甲的什么方向多少米处？ 11. 实际距离为600米，比例尺为1:15000，图上距离应画多少厘米？ 12. 描述路线：从车站出发，向西偏北30°走300米到书店，再向西走400米到公园，再向南偏西25°走200米到家，写出从家返回车站的路线。 13. 点（x,3）向左平移2格，再向下平移1格后得到数对（3,y），求x和y的值。 14. 平面图上：商场在学校正西方向400米，医院在学校东偏北35°方向300米，按1:10000比例尺计算两个地点的图上距离。 15. 判断：点（5,3）和（5,7）在同一列。（ ） ◎ 思维跃迁篇 16. 方格纸上正方形的三个顶点数对为（2,2）、（2,5）、（5,2），第四个顶点的数对是什么？ 17. A在B的正北方向300米处，C在B的正南方向200米处，A在C的什么方向多少米处？ 18. 小华从家出发，先向西走60米，再向北走60米，再向东走60米，最后向南走80米，此时他在家的什么方向多少米处？ 19. 点Q先向下平移3格，再向右平移5格后得到数对（4,2），点Q原来的位置数对是什么？ 20. 甲、乙、丙三人位置：甲在乙的南偏东40°方向400米处，丙在乙的北偏西40°方向300米处，甲在丙的什么方向多少米处？ 第五部分 精准解析 ◎ 基础夯实篇解析 1. 【答案】(2,5)；4、3 思路点拨： ① 数对先列后行，第2列第5行，数对是（2,5）； ② 数对（4,3）第一个数4是列，第二个数3是行，对应第4列第3行。 【知识点睛】数对先列后行，第一个数列，第二个数行。 2. 【答案】(5,2)；(3,5) 思路点拨： ① 向右平移列加2，3+2=5，行不变还是2，得（5,2）； ② 向上平移行加3，2+3=5，列不变还是3，得（3,5）。 【知识点睛】左右平移列变行不变，右加左减；上下平移行变列不变，上加下减。 3. 【答案】南、东、30、500 思路点拨： ① 位置相对，方向相反，角度距离不变； ② 北对南，西对东，角度还是30°，距离还是500米。 【知识点睛】相对位置方向相反，角度距离不变。 4. 【答案】× 思路点拨： ① 数对先列后行，（7,4）是第7列第4行，不是第7行第4列； ② 题目列行颠倒，说法错误。 【知识点睛】数对顺序先列后行，不能颠倒。 5. 【答案】200 思路点拨： ① 1厘米对应20000厘米，20000厘米=200米。 【知识点睛】比例尺计算注意单位换算，1米=100厘米。 6. 【答案】西、北 思路点拨： ① 返回路线方向相反，东对西，南对北，距离不变； ② 先向西走100米，再向北走150米。 【知识点睛】返回路线方向相反，距离不变。 7. 【答案】行数、行 思路点拨： ① 两个数对第二个数都是5，第二个数是行，所以行数相同，在同一行。 【知识点睛】数对第二个数相同表示在同一行，第一个数相同表示在同一列。 8. 【答案】东、北、50 思路点拨： ① 东和北夹角90°，90°-40°=50°，东偏北40°就是北偏东50°。 【知识点睛】垂直方向偏角和为90°，可以互相换算。 ◎ 能力进阶篇解析 9. 【答案】A(4,2)、B(4,5)、C(8,2) 思路点拨： ① 向右平移列加3，向上平移行加1； ② A点：1+3=4，1+1=2，得（4,2）；B点：1+3=4，4+1=5，得（4,5）； ③ C点：5+3=8，1+1=2，得（8,2）。 【知识点睛】图形平移所有点按相同规则变化，列行分别加减。 10. 【答案】西偏北35°方向600米 思路点拨： ① 位置相对，东对西，南对北，角度35°不变，距离600米不变； ② 乙在甲的西偏北35°方向600米处。 【知识点睛】相对位置两个方向都反向，角度距离不变。 11. 【答案】4 思路点拨： ① 600米=60000厘米； ② 图上距离=60000×=4厘米。 【知识点睛】比例尺计算先统一单位，再用公式计算。 12. 【答案】从家向北偏东25°走200米到公园，再向东走400米到书店，再向东偏南30°走300米回到车站 思路点拨： ① 逐段反向：南偏西25°反向是北偏东25°，西反向是东，西偏北30°反向是东偏南30°； ② 距离不变，逐段描述。 【知识点睛】路线返回逐段反向，观测点随位置更新。 13. 【答案】x=5，y=2 思路点拨： ① 向左平移列减2，逆推列加2，3+2=5，x=5； ② 向下平移行减1，逆推行加1，y=3-1=2。 【知识点睛】已知平移后位置求原位置，逆推时加减方向相反。 14. 【答案】商场4厘米，医院3厘米 思路点拨： ① 400米=40000厘米，图上距离=40000×=4厘米； ② 300米=30000厘米，图上距离=30000×=3厘米。 【知识点睛】多个地点分别计算图上距离，单位统一是关键。 15. 【答案】√ 思路点拨： ① 两个数对第一个数都是5，第一个数是列，列数相同，在同一列； ② 说法正确。 【知识点睛】数对第一个数相同在同一列，第二个数相同在同一行。 ◎ 思维跃迁篇解析 16. 【答案】(5,5) 思路点拨： ① 长方形对边平行且相等，列从2到5差3，行从2到5差3； ② 第四个顶点列是5，行是5，数对（5,5）。 【知识点睛】方格纸上长方形顶点数对，列行分别取最大最小值组合。 17. 【答案】正北方向500米 思路点拨： ① 三点共线，B在中间，A北C南，总距离300+200=500米； ② A在C的正北方向500米处。 【知识点睛】三点共线时相对位置距离相加，方向一致。 18. 【答案】正南方向20米 思路点拨： ① 西60米和东60米抵消，东西方向回原点； ② 北60米，南80米，剩余向南80-60=20米； ③ 在家正南方向20米处。 【知识点睛】路线问题分段抵消相反方向距离，简化计算。 19. 【答案】(-1,5) 思路点拨： ① 逆推：向下平移行减3，逆推行加3，2+3=5；向右平移列加5，逆推列减5，4-5=-1； ② 原数对是（-1,5）。 【知识点睛】平移逆推时加减方向相反，注意列数可以为0或负数（方格纸外）。 20. 【答案】南偏东40°方向700米 思路点拨： ① 三点共线，乙在中间，甲南丙北，总距离400+300=700米； ② 甲在丙的南偏东40°方向700米处。 【知识点睛】共线三点相对位置，距离相加，方向与丙看乙一致。 1 学科网（北京）股份有限公司 $