第18讲 直线与圆（知识点+题型精讲）2026年人教版九年级数学上册暑假预习讲义

第18讲 直线与圆 目录 知识点1 直线与圆的三种位置关系（核心基础） 2 知识点2 切线的判定定理（必考证明依据） 2 知识点3 切线的性质定理 2 知识点4 切线长定理（高频计算与证明） 3 知识点5 三角形内切圆与内心 3 知识点6 过圆外一点作圆切线（尺规作图原理） 3 题型1 判断直线和圆的位置关系 3 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 5 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 9 题型4 圆的切线的判定 12 题型5 切线的性质定理 17 题型6 切线的性质和判定的综合应用 22 题型7 应用切线长定理求解 28 题型8 应用切线长定理求证 33 题型9 直角三角形周长、面积、与内切圆半径的关系 38 题型10 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 42 1. 知识目标：理解直线与圆的三种位置关系的定义与几何特征；掌握圆心到直线距离与半径的数量判定方法；熟记切线的判定定理、性质定理、切线长定理；明晰三角形内切圆、内心的定义与核心性质，掌握内切圆半径通用公式，了解切线尺规作图规范步骤。 2. 能力目标：能精准判定直线与圆的位置关系，熟练逆向求解半径、圆心到直线的距离取值范围；掌握切线判定、性质的单独应用与综合推理证明；精通切线长定理的计算与求证题型；熟练掌握直角三角形内切圆半径、周长、面积关联计算，规范完成圆的切线尺规作图。 3. 素养目标：建立数形结合、几何等量代换、模型化解题思想，提升圆的几何识图、辅助线构造、定理灵活运用、几何证明书写能力，攻克圆切线类核心重难点题型，夯实中考圆几何大题基础。 知识点1 直线与圆的三种位置关系（核心基础） 设圆半径为，圆心到直线的距离为，三种位置关系一一对应： 1. 相离：直线与圆无公共点 ⇔ ； 2. 相切：直线与圆有唯一公共点（切点） ⇔ ，直线为圆的切线； 3. 相交：直线与圆有两个公共点 ⇔ ，直线为圆的割线。 核心要点：为圆心到直线的垂线段长度，是判定位置关系的唯一标准。 知识点2 切线的判定定理（必考证明依据） 定理内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大必备条件（缺一不可）：①直线过半径外端；②直线与半径垂直。 常用判定思路：有交点连半径证垂直；无交点作垂直证半径。 知识点3 切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何核心：切线、切点、半径，三点联动，见切线必垂直半径。 推论：过圆心垂直于切线的直线必过切点；过切点垂直于切线的直线必过圆心。 知识点4 切线长定理（高频计算与证明） 1. 切线长定义：圆外一点到圆的切线上，该点与切点之间的线段长度，叫做切线长。 2. 定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 3. 核心结论：可实现线段相等、角度相等的等量代换，简化几何推理。 知识点5 三角形内切圆与内心 1. 内切圆定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；圆心叫做三角形的内心。 2. 内心性质：三角形三条角平分线的交点，到三角形三边距离相等（等于内切圆半径）。 3. 通用公式：任意三角形内切圆半径 （为面积，为周长）。 4. 直角三角形专属秒杀公式：（直角边，斜边）。 知识点6 过圆外一点作圆切线（尺规作图原理） 原理：直径所对圆周角为直角，构造直角三角形，保证半径与切线垂直，作出两条切线。 题型1 判断直线和圆的位置关系 解题技巧（距离半径比对法）：1. 找核心量：求出圆心到直线的垂距、圆的半径；2. 大小比对：相离、相切、相交；3. 坐标题型：用点到直线距离公式计算，再比对判定；4. 快速排除：无需观察图像，数值比对绝对准确。 秒杀口诀：距大离、等相切、小相交，一数定关系。 【典例1】．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 【变式1】．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 【变式2】．三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【答案】或 【分析】根据直线与圆的位置关系可进行求解． 【详解】解：∵三个圆的半径均为6，点P到直线l的距离为8， 若点P在上，则点P到直线l的距离； 若点P在或上，则点P到直线l的距离可以为8． 【变式3】．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 【答案】相交 【分析】本题考查直线和圆的位置关系．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，圆心到直线的距离为2， ∴, ∴直线与圆相交， 故答案为：相交． 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题技巧（不等式范围法）：1. 先求定值：计算圆心到直线的固定距离；2. 对应列不等式：直线相离、相切、相交；3. 规范取值：半径为正数，取值范围剔除负数；4. 整数取值题型：在取值范围内筛选整数半径，精准作答。 【典例2】．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 【变式1】．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 【变式2】．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 【变式3】．如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的值， 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，构建腰长为的等腰直角，和半径为的，发现在点的位置时，满足条件； 如图，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以、为圆心，以为半径画弧，与的交点就是满足条件的点，再以为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论取何值，以为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以为腰的三角形有两个即可． 【详解】解：分三种情况： 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，以为圆心，以为半径画圆，当与相切时，设切点为，与交于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当与重合时，即时，同理可知：点恰好有三个； 如图，取，以为圆心，为半径画圆， 则与除了外只有一个交点，此时，即以为顶角，为腰，符合条件的点有一个，以为圆心，以为半径画圆，与直线相离，说明此时以为顶角，以为腰，符合条件的点不存在，还有一个是以为底边的符合条件的点； 点沿运动，到时，发现与直线有一个交点； 当时，圆在移动过程中，则与除了外会有两个交点，满足点恰好有三个； 综上所述，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法，以及找到临界点． 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 解题技巧（等价定量法）：1. 相切题型：直接得，距离等于半径；2. 相交题型：，距离小于半径，写取值范围；3. 相离题型：，距离大于半径，规范范围；4. 综合题型：结合弦长、垂径定理，联立勾股定理精准求距离数值。 【典例3】．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 【变式1】．若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，由题意可得圆心O到直线l的距离大于，据此可得答案． 【详解】解：∵半径为的与直线l相离， ∴圆心O到直线l的距离大于， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式2】．已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 【变式3】．在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标平面内两动点到直线的距离之和最小问题，根据题意，首先确定点P，Q的运动轨迹是以O为圆心，以1为半径的圆，然后过中点向直线l作垂线段，利用梯形的中位线定理把求P，Q到l的距离之和转化为求的最小值，由垂线段求得结果． 【详解】解：∵， ∴点P、Q在以O为圆心，以1为半径的圆上， 作于E，于F，取的中点N，作于M， 由梯形的中位线定理得，， 连接，当M，N，O三点共线时，最小， 对于直线，当时，，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值， ∴P，Q到直线l距离之和的最小值为． 故答案为：． 题型4 圆的切线的判定 解题技巧（两种万能模板）：1. 有公共点（连半径，证垂直）：已知直线与圆有交点，连接圆心与交点，证明半径与直线垂直；2. 无公共点（作垂直，证半径）：未知交点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径；3. 必满足双条件：过端点、垂直半径，缺一不可；4. 大题规范：书写完整判定依据，不跳步骤。 【典例4】．数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】C 【分析】根据切线的判定定理，需证明，嘉嘉利用了“直径所对的圆周角是直角”构造直角；淇淇利用了等腰三角形“三线合一”的性质构造直角，分别验证两人的作图依据即可． 【详解】解：对于嘉嘉的作法：∵作的垂直平分线交于点， 为的中点，即以为圆心，为半径的圆是以为直径的圆， 点在该圆上， ，即， 为的半径， 为的切线，故嘉嘉的作法正确； 对于淇淇的作法：连接， ∵以为圆心，为半径作弧， ，即为等腰三角形， ∵以为圆心，为半径作弧， ． 为的直径，为半径， ，即， 点在上且在上， 为的一半，即为的中点， 在等腰中，，为底边的中点， ，即， 为的半径， 为的切线， 故淇淇的作法正确； 综上所述，两人都正确． 【变式1】．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，切线的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，，则可判断①；根据圆的性质可得，则，则可判断③；可证明，则可判断④；根据现有条件无法证明，则可判断②． 【详解】解：为中点，点为的中点， 为的中位线， ，，故①正确； ∵， ∴，即，故③正确； ∵，， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线，故④正确； 根据现有条件无法证明，故②错误； 故答案为：①③④． 【变式2】．如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， 则， ，， 又， ，则为等边三角形， ，又， ， ， ， ， ，则，即， 又是半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）先证为等边三角形，进而得到即可证明； （2）分别求出、扇形的面积，再由求解． 【详解】（1）略 （2）解：的半径为2，，， ，， ， ， ． 【变式3】．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线 (2)3 【分析】（1）连接，因为，所以对应的圆周角相等，可推出与的平行关系；又因为，所以，结合是半径，根据切线判定定理即可证明； （2）设半径为，则，因为，所以是直角三角形，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略． （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 题型5 切线的性质定理 解题技巧（见切线作垂直模型）：1. 固定辅助线：遇切线，立刻连接圆心与切点；2. 核心结论：半径⊥切线，直接得到90°直角；3. 角度计算：利用直角、互余、三角形内角和推导未知角；4. 线段计算：构造直角三角形，结合勾股定理、相似求解边长。 核心套路：切线出题必考垂直，辅助线一步破题。 【典例5】．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长，交于，连接，根据圆周角定理得出，，进而求出，根据切线的性质及切线长定理得出，，进而求出，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长，交于，连接，则为的直径， ∵为的直径， ∴， ∵和都是所对的圆周角，， ∴， ∴， ∵，是的切线，，是切点， ∴，， ∴，， ∴． 【变式1】．如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【答案】/30度 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵过点B作的切线交的延长线于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 【变式2】．如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用切线的性质，推出，得到，利用等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，交于点，连接，交于点，分割法求阴影部分面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，交于点，连接，交于点， ∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵、是的切线，是的直径， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； (2)5 【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据切线长定理可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，是的切线， ∴，， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故的长为5． 题型6 切线的性质和判定的综合应用 解题技巧（先判后用综合模板）：1. 先判定：用判定定理证明直线为圆的切线；2. 再用性质：借助半径垂直切线、直角三角形等性质解题；3. 推理闭环：判定定垂直，垂直推边角，边角证全等、相似；4. 压轴大题：结合圆周角、垂径定理、等腰三角形综合推理，步骤严谨规范。 【典例6】．如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、切线长定理、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键． 连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接、， ∵，是的半径， ∴是的切线， ∵是的切线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 【变式1】．如图，在边长为3的等边中，点D是边上的动点，满足，垂足为点E，点B关于点E的对称点为点F，点G是上靠近点A的三等分点，连结，当最大时，____________． 【答案】2 【分析】取中点O，连接，延长至点，使得，连接，由，得，则点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动，由题意得，，由三角形的中位线定理得到，故点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动，那么当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，解得，在中，由勾股定理得，，最后，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取中点O，连接，延长至点，使得，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴点E在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 由题意得，， ∴， ∴点F在以为圆心，为半径的圆弧上运动， ∴当与相切时，最大，过点G作于点H，连接，如图： ∵点G是上靠近点A的三等分点， ∴ ∵半径为3， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴在中，由勾股定理得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，圆的切线性质等知识点，难度蛮大的，确定轨迹是解题的关键． 【变式2】．如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接 是的直径，弦于点E， ，， ， ， ， ， ， ， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可证明是的切线； （2）设，得到，根据勾股定理得到，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 是的直径，弦于点E，， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， 故的长为． 【变式3】．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点H，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 题型7 应用切线长定理求解 解题技巧（等长等角秒杀法）：1. 抓模型：圆外一点引双切线，切线长完全相等；2. 角度转化：外点与圆心连线平分切线夹角，快速求角；3. 周长计算：切线长等量代换，化简多边形周长；4. 线段求值：利用等长线段替换，消去未知线段，简化计算。 【典例7】．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【变式1】．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【答案】24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 【变式2】．如图，已知四边形中，，以为直径作与边相切于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，交于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件得到是的切线，根据切线的性质得到，然后结合，即可得到结论． （2）连接，证明三角形是等边三角形，再推出，从而解直角三角形得到长即可． 【详解】（1）证明：∵ 且点B在上， ∴是的切线，且， 又∵与边相切， ∴， ∴， 又， ∴， 即． （2）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是含有角的直角三角形， ∴． 【变式3】．如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线的性质得到，得到方程有两个相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式列式计算即可； （2）根据切线长定理得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵，与相切， ∴， ∵，的长是关于x的一元二次方程的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得：， 解得：， 则m的值为2； （2）解：当时，原方程为， 解得：，即， ∵，与相切，与相切， ∴，， ∴的周长． 题型8 应用切线长定理求证 解题技巧（标准证明模板）：1. 连接圆心与圆外定点、连接圆心与所有切点；2. 依据切线长定理，列出相等切线长、相等角度；3. 结合全等三角形、等腰三角形性质，等量代换；4. 推导求证的线段相等、角度相等、平行、垂直等结论；5. 规范书写：每步标注依据，逻辑清晰无漏洞。 【典例8】．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 【变式1】．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 【答案】30°/30度 【分析】利用直角三角形斜边上的中线的性质证明△ABM是等腰三角形，得到∠B＝∠BAM，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，利用切线长定理证明△BDE是等腰三角形，得到∠BED＝∠BDE，利用得到∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，进一步证得△ABM是等边三角形，∠B＝60°，即可求出∠C的大小． 【详解】解：∵， ∴△ABC是直角三角形 ∵M是BC的中点， ∴AM＝BM＝， ∴△ABM是等腰三角形， ∴∠B＝∠BAM， ∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E， ∴BD＝BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BED＝∠BDE， ∵， ∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM， ∴∠BMA＝∠BAM ∴∠B＝∠BMA＝∠BAM， ∴△ABM是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠C＝90°－∠B＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、圆的切线长定理、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 【变式2】．如图，是半圆O的直径，，切半圆于点D，，交的延长线于F，交的延长于点E． (1)求证：； (2)若，，求点C到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点C到的距离为 【分析】本题主要考查了圆的性质，切线的定义与性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）利用切线长定理可证明，，从而可得，，则，即可证得； （2）连接，由，可得，则，设，，则，由是半圆O的直径，可得和都直角三角形，利用公共直角边，可得，可得，再由可得，可求得，，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵， ，是半圆O的直径， ∴是的切线，是的切线，， ∵是的切线， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． （2）解：如图，连接， 由（1）可知，则， ∵， ∴， ∴， 设，，则， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 解得，即， ∴，即，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴，即， ∴． 【变式3】．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【分析】本题考查垂径定理，切线长定理，掌握知识点是解题的关键． 连接、，根据切线长定理，得到，，，再由垂径定理，得到，，则，即可解答． 【详解】解：与相等 如图，连接、， 是小圆的两条切线，切点分别为、， ，， 又是大圆的弦，， ，， ． 题型9 直角三角形周长、面积、与内切圆半径的关系 解题技巧（双公式秒杀法）：1. 通用公式：任意三角形，已知面积周长直接代换；2. 直角三角形专属公式：（必考速算）；3. 联动计算：已知三边求半径，已知半径求边长、周长、面积；4. 核心结论：直角三角形内切圆半径仅与三边长有关，无需复杂推导。 易错提醒：专属公式仅适用于直角三角形，普通三角形禁止套用。 【典例9】．中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆及勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“三角形的内切圆的半径即为三角形的内心到三角形三条边的距离”，进而根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 设内切圆的半径为r，则有：， ∴； 故选：A． 【变式1】．如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 【变式2】．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 【答案】9 【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题． 【详解】如图，连接、、、、， 由知O在的垂直平分线上， 又，则平分， 同理平分，故O是的内心， 到的三边距离均与的内切圆的半径相等， 半径， 故所求之和为9． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【变式3】．在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 【答案】 1 【分析】（1）先由勾股定理求出另一条直角边，再结合直角三角形内切圆半径公式计算； （2）设、，由勾股定理得，利用面积法推导出与的关系，再利用完全平方公式的非负性求的最大值即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得： ， 设内切圆半径为，由面积关系可得： ， 即 解得； （2）解：设、， 由勾股定理得：， ， 由完全平方公式的非负性得：， 即，可得， ， ， ，当且仅当时，等号成立， ， 即的最大值为． 题型10 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 解题技巧（四步标准作图法）：1. 连线：连接圆心与圆外定点；2. 作中垂线：作线段的垂直平分线，找出中点；3. 画辅助圆：以中点为圆心、为半径画圆，与原圆交于两点（切点）；4. 连线成型：连接定点与两个交点，得到两条切线，保留所有作图痕迹。 作图原理：直径所对圆周角为直角，保证半径与切线垂直。 【典例10】．学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆外一点作圆的切线”，他设计的尺规作图过程如下： 已知：及外一点 求作：直线和直线，使得切于点，切于点 作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于点和点； ③作直线和直线 则直线和直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，准确完成作图（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【分析】根据所给作法直接画图即可解答 【详解】略 【变式1】．如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【详解】（1）如图，直线为所作． （2）如图，、为所作． 【变式2】．已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 【答案】(1)图见解析 (2)直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查尺规作图画圆的切线，切线的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题干的步骤进行尺规作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理进行填空即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（①直径所对的圆周角为直角）， ∵、为的半径， ∴直线，为的切线（②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【变式3】．学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及填空： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以M为圆心，以为半径画圆，交于A，B两点； ③连接，，直线，即为圆的切线； (1)尺规作图：在图中，使用直尺和圆规，按上述作法作图（保留作图痕迹）； (2)将下面的证明过程补充完整． 求证：是的切线． 证明：连接， 为的直径， ①________（直径所对的②________）（填写推理依据） ． 又是的半径， 是的切线（经过半径外端与半径③________的直线是圆的切线） (3)知识迁移：如图，P为边长为4的等边三角形的边上一动点，的半径为，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②圆周角是直角；③垂直 (3)3 【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，线段垂直平分线的作法，切线的判定与性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据题意作图即可； （2）是的直径得出圆周角，则，进而得出结论； （3）连接、，通过切线性质构造直角三角形，将转化为，再利用“垂线段最短”求最小值，从而得到最小值． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为圆的切线； （2）证明：连接， ∵为的直径， ∴ （直径所对的圆周角是直角）． ∴ ， 又∵是的半径， ∴是的切线（经过半径外端与半径垂直的直线是圆的切线）． 故答案为：①；②圆周角是直角；③垂直． （3）解：如解图， 连接，过点C作于点H． 是的切线， ，当时，最小，取最小值． 为等边三角形， ， ， 的最小值为． 1．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 2．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再通过相似三角形得到圆心O到的距离与的关系，结合圆与线段有两个公共点的条件，推导得到的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 3．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间． 【详解】解：当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令，则，即与y轴的交点为， 令， 则，即与x轴的交点为， ∴， 连接圆心O与切点C，则，， ∵， ∴ ， ∴ 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限， ， 综上所述： 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：C． 4．下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】本题考查了圆的确定，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据圆的确定条件，圆周角定理，圆的切线的判定，等弧的概念依次进行判断即可． 【详解】解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意； B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意； C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意； D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意， 故选：C． 5．如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，利用切线的性质求解，可得，进一步利用圆周角定理可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解．本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 8．如图，，切于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的半径为r，的周长等于，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是切线的性质，特殊角的三角函数值，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，在优弧上取点，连接，根据切线长定理求出，根据正切的定义求出，根据圆周角定理，圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接，在优弧上取点，连接，    ∵切于两点， ， ∵切于点， ∴， ∵的周长等于， ∴， ∴， ， 在中，， ， ， ， 由圆周角定理得：， ， 故选：C． 9．《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径、切线的性质、勾股定理．首先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长为，根据切线的性质可知，利用三角形的面积公式求出内切圆的半径，再根据直径与半径的关系求出结果． 【详解】解：如下图所示，连接、、、、、， 则有、、， ， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， 答：该直角三角形内切圆的直径是. 10．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理及相似三角形的性质，解题思路是先求斜边和中位线的长度，再求点到的距离，最后利用勾股定理和垂径定理求；考查的知识点有勾股定理、三角形中位线定理、垂径定理，用到的思想是转化思想，方法是几何图形中的长度计算方法，技巧是利用垂径定理将的长度转化为，解题关键是求出点到的距离，易错点是忽略垂径定理的应用导致无法将与建立联系． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴的直径为5，半径， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故选D． 11．已知在平面直角坐标系中的第一象限有一点，其中实数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】点的轨迹是圆心为、半径为的圆.设，可得，将问题转化为直线与圆有公共点时求的最大值.当直线与圆相切时取得最大值，利用一元二次方程根的判别式求解即可. 【详解】解：设，则， 将代入，得 ， 展开整理得 ， 当取最大值时，直线与圆相切， ∴， 整理得 解得 因此的最大值为. 12．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、圆周角定理、切线的定义，首先根据切线的定义可得：，再根据三角形内角和定理求出，最后再根据圆周角定理可求． 【详解】解：为直径，是的切线，为切点， ， 在中，， ， 对应的圆心角为，圆周角为， ． 13．如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 【答案】5 【分析】可证明得到，再证明，得到；过点作于点，过点作于点，则，据此可求出；过点作，交直线于点，则四边形是矩形，可得，根据，可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ， ， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点作，交直线于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴当点于点重合时，有最小值，最小值为5． 14．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点，则可设，，根据，得到，同理可得，则，而，即可得到，即可求解． 【详解】解：设左边圆的圆心为，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵为的内切圆， ∴ 设， ∵ ∵，，，， ∴ ∴， ∵和的内切圆半径相等 ∴同理可得， ∴ 又∵ ∴ 解得，即． 15．如图，在矩形中，，，P是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于E，则的最大值为________．    【答案】/ 【分析】以为直径作，连接，，设，当直线与相切时，最大，证明，得，再同理可证：，得，再在中，根据勾股定理即可． 【详解】解：在矩形中，， 以为直径作，连接，，设，   ， 点在上，， 当直线与相切时，最大， ， ， 在和中 ， ， ， 同理可证：， ， 在中，， ， 解得：， 故的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要四边形综合应用，动点问题，三角形全等的性质和判定，勾股定理，圆的定义等知识，解题的关键是正确的作出辅助线． 16．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)解：当时，直线与圆相离；理由如下： ∵， ∴， 作，则，即， ∴，即点到直线的距离为； ∵，即， ∴直线与圆相离； (2)解：当时，直线与圆相切；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为； ∴， ∴直线与圆相切； (3)解：当时，直线与圆相交；理由如下： 由（1）可知，点到直线的距离为， ∵，即， ∴直线与圆相交. 【分析】勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据与的大小关系，判断位置即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 17．已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 【答案】(1)证明：平分， ， 如图，连接，则， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义，等边对等角，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等以及切线的判定定理推导即可； （2）由（1）得，，利用两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余，直角三角形中所对的边是斜边的一半以及勾股定理推出、的长，再利用阴影部分面积为三角形的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 阴影部分的面积扇形的面积． 18．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 19．如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． (1)尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)如图，为所作的图形． (2)与相切．理由如下： 如图，过点D作于点G． ∵ 是等边三角形， 是 边的中线， ∴平分． ∵与相切于点E， ∴于点E． 又∵于点G， ∴． ∴点G在上， ∴与相切于点G 【分析】（1）过点D作于点E，以点D为圆心，以为半径作圆即可． （2）过点D作于点G．证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵为的半径， ∴是的切线； (2)16 【分析】（1）连接，等边对等角结合等量代换得到，进而得到，得到，即可得证； （2）连接，易得四边形为矩形，进而得到，垂径定理得到，勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵，交的延长线于点，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．在中，为的直径，C为上一点． (1)如图①，D为劣弧上一点，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的垂线，交于点H，交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F，连接，，若，，求的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先通过圆心角定理得出，再根据直径所对圆周角为直角得出，最后利用圆内接四边形的性质得出结果； （2）由垂径定理得出，继而证得是等边三角形，利用同弧所对圆周角相等得到，从而求得的度数；连接OE，证得是等边三角形，得出，由切线的性质得出，利用解直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如解图①，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵为的直径，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 如解图②，连接OE， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线，为半径， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 22．已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 【答案】(1)，； (2)6． 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由直径所对圆周角是直角得，可得，得出； （2）连接，证明．．．可得四边形是矩形．又，四边形是正方形．可得．求出，可得． 【详解】（1）（1），， ． ． 是的直径， ． ； （2）解：连接． 切于点， ，即． 同理． 又，则． 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． ，． 则． 由（1）知，， 则． 由，可知 ． 则． 又 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 直线与圆 目录 知识点1 直线与圆的三种位置关系（核心基础） 2 知识点2 切线的判定定理（必考证明依据） 2 知识点3 切线的性质定理 2 知识点4 切线长定理（高频计算与证明） 3 知识点5 三角形内切圆与内心 3 知识点6 过圆外一点作圆切线（尺规作图原理） 3 题型1 判断直线和圆的位置关系 3 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 4 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 5 题型4 圆的切线的判定 5 题型5 切线的性质定理 7 题型6 切线的性质和判定的综合应用 8 题型7 应用切线长定理求解 10 题型8 应用切线长定理求证 11 题型9 直角三角形周长、面积、与内切圆半径的关系 12 题型10 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 13 1. 知识目标：理解直线与圆的三种位置关系的定义与几何特征；掌握圆心到直线距离与半径的数量判定方法；熟记切线的判定定理、性质定理、切线长定理；明晰三角形内切圆、内心的定义与核心性质，掌握内切圆半径通用公式，了解切线尺规作图规范步骤。 2. 能力目标：能精准判定直线与圆的位置关系，熟练逆向求解半径、圆心到直线的距离取值范围；掌握切线判定、性质的单独应用与综合推理证明；精通切线长定理的计算与求证题型；熟练掌握直角三角形内切圆半径、周长、面积关联计算，规范完成圆的切线尺规作图。 3. 素养目标：建立数形结合、几何等量代换、模型化解题思想，提升圆的几何识图、辅助线构造、定理灵活运用、几何证明书写能力，攻克圆切线类核心重难点题型，夯实中考圆几何大题基础。 知识点1 直线与圆的三种位置关系（核心基础） 设圆半径为，圆心到直线的距离为，三种位置关系一一对应： 1. 相离：直线与圆无公共点 ⇔ ； 2. 相切：直线与圆有唯一公共点（切点） ⇔ ，直线为圆的切线； 3. 相交：直线与圆有两个公共点 ⇔ ，直线为圆的割线。 核心要点：为圆心到直线的垂线段长度，是判定位置关系的唯一标准。 知识点2 切线的判定定理（必考证明依据） 定理内容：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 两大必备条件（缺一不可）：①直线过半径外端；②直线与半径垂直。 常用判定思路：有交点连半径证垂直；无交点作垂直证半径。 知识点3 切线的性质定理 定理内容：圆的切线垂直于过切点的半径。 几何核心：切线、切点、半径，三点联动，见切线必垂直半径。 推论：过圆心垂直于切线的直线必过切点；过切点垂直于切线的直线必过圆心。 知识点4 切线长定理（高频计算与证明） 1. 切线长定义：圆外一点到圆的切线上，该点与切点之间的线段长度，叫做切线长。 2. 定理内容：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心与该点的连线平分两条切线的夹角。 3. 核心结论：可实现线段相等、角度相等的等量代换，简化几何推理。 知识点5 三角形内切圆与内心 1. 内切圆定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆；圆心叫做三角形的内心。 2. 内心性质：三角形三条角平分线的交点，到三角形三边距离相等（等于内切圆半径）。 3. 通用公式：任意三角形内切圆半径 （为面积，为周长）。 4. 直角三角形专属秒杀公式：（直角边，斜边）。 知识点6 过圆外一点作圆切线（尺规作图原理） 原理：直径所对圆周角为直角，构造直角三角形，保证半径与切线垂直，作出两条切线。 题型1 判断直线和圆的位置关系 解题技巧（距离半径比对法）：1. 找核心量：求出圆心到直线的垂距、圆的半径；2. 大小比对：相离、相切、相交；3. 坐标题型：用点到直线距离公式计算，再比对判定；4. 快速排除：无需观察图像，数值比对绝对准确。 秒杀口诀：距大离、等相切、小相交，一数定关系。 【典例1】．如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【变式1】．圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式2】．三个半径均为的圆与直线l的位置关系如图所示，若点P在其中的某个圆上，且点P到直线l的距离为，则这个圆可以是__________ ． 【变式3】．若的半径为5，圆心O到直线的距离为2，则直线与的位置关系是________．（填“相交”、“相切”或“相离”） 题型2 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 解题技巧（不等式范围法）：1. 先求定值：计算圆心到直线的固定距离；2. 对应列不等式：直线相离、相切、相交；3. 规范取值：半径为正数，取值范围剔除负数；4. 整数取值题型：在取值范围内筛选整数半径，精准作答。 【典例2】．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【变式2】．如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【变式3】．如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 题型3 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 解题技巧（等价定量法）：1. 相切题型：直接得，距离等于半径；2. 相交题型：，距离小于半径，写取值范围；3. 相离题型：，距离大于半径，规范范围；4. 综合题型：结合弦长、垂径定理，联立勾股定理精准求距离数值。 【典例3】．已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1】．若半径为的与直线l相离，则圆心O到直线l的距离可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【变式3】．在平面直角坐标系中，直线是边长为1的正三角形，其中为坐标原点，则点P，Q到直线的距离之和的最小值是____． 题型4 圆的切线的判定 解题技巧（两种万能模板）：1. 有公共点（连半径，证垂直）：已知直线与圆有交点，连接圆心与交点，证明半径与直线垂直；2. 无公共点（作垂直，证半径）：未知交点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径；3. 必满足双条件：过端点、垂直半径，缺一不可；4. 大题规范：书写完整判定依据，不跳步骤。 【典例4】．数学课上，老师提出一个问题：“如图，用尺规作图的方法，过外一点作的切线．”学生们展开了讨论和探究，其中嘉嘉和淇淇给出了下面两种不同的作图方案，则下列说法正确的是（   ） 嘉嘉： ．连接 ．作的垂直平分线交于点 ．以点为圆心，为半径作圆交于点 ．连接，则为的切线 淇淇： ．连接并延长交于点、交于点 ．分别以点为圆心，为半径作弧，两弧交于点 ．连接交于点 ．连接，则为的切线 A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【变式1】．如图，以的边为直径的恰好过的中点D，过点D作于点E，连接，则下列结论：①；②；③；④是的切线．其中结论正确的是________．（直接填序号） 【变式2】．如图，已知的直径与弦的夹角，延长到点P，使，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 【变式3】．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 题型5 切线的性质定理 解题技巧（见切线作垂直模型）：1. 固定辅助线：遇切线，立刻连接圆心与切点；2. 核心结论：半径⊥切线，直接得到90°直角；3. 角度计算：利用直角、互余、三角形内角和推导未知角；4. 线段计算：构造直角三角形，结合勾股定理、相似求解边长。 核心套路：切线出题必考垂直，辅助线一步破题。 【典例5】．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______． 【变式2】．如图，为的直径，为上一点，过点的直线和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，．求图中阴影部分的面积． 【变式3】．如图，，是的两条切线，切点分别为B，C，连接并延长交于点D，过点D作的切线交的延长线于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型6 切线的性质和判定的综合应用 解题技巧（先判后用综合模板）：1. 先判定：用判定定理证明直线为圆的切线；2. 再用性质：借助半径垂直切线、直角三角形等性质解题；3. 推理闭环：判定定垂直，垂直推边角，边角证全等、相似；4. 压轴大题：结合圆周角、垂径定理、等腰三角形综合推理，步骤严谨规范。 【典例6】．如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为，若，求半径的长是（    ） A．2 B． C． D．5 【变式1】．如图，在边长为3的等边中，点D是边上的动点，满足，垂足为点E，点B关于点E的对称点为点F，点G是上靠近点A的三等分点，连结，当最大时，____________． 【变式2】．如图，是的直径，弦于点E，连接，过点D的直线分别与的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【变式3】．如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 题型7 应用切线长定理求解 解题技巧（等长等角秒杀法）：1. 抓模型：圆外一点引双切线，切线长完全相等；2. 角度转化：外点与圆心连线平分切线夹角，快速求角；3. 周长计算：切线长等量代换，化简多边形周长；4. 线段求值：利用等长线段替换，消去未知线段，简化计算。 【典例7】．如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 【变式2】．如图，已知四边形中，，以为直径作与边相切于点E． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，连接，交于点M，若，求的长． 【变式3】．如图，，与相切，切点分别为，，与相切于点，分别交，于点，．已知，的长是关于的一元二次方程的两个根． (1)求的值； (2)求的周长． 题型8 应用切线长定理求证 解题技巧（标准证明模板）：1. 连接圆心与圆外定点、连接圆心与所有切点；2. 依据切线长定理，列出相等切线长、相等角度；3. 结合全等三角形、等腰三角形性质，等量代换；4. 推导求证的线段相等、角度相等、平行、垂直等结论；5. 规范书写：每步标注依据，逻辑清晰无漏洞。 【典例8】．如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式1】．如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为______． 【变式2】．如图，是半圆O的直径，，切半圆于点D，，交的延长线于F，交的延长于点E． (1)求证：； (2)若，，求点C到的距离． 【变式3】．如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦分别与小圆相切于点、．与相等吗？为什么？ 题型9 直角三角形周长、面积、与内切圆半径的关系 解题技巧（双公式秒杀法）：1. 通用公式：任意三角形，已知面积周长直接代换；2. 直角三角形专属公式：（必考速算）；3. 联动计算：已知三边求半径，已知半径求边长、周长、面积；4. 核心结论：直角三角形内切圆半径仅与三边长有关，无需复杂推导。 易错提醒：专属公式仅适用于直角三角形，普通三角形禁止套用。 【典例9】．中，，，，则内切圆的半径等于（   ） A．1 B． C． D． 【变式1】．如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式2】．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 【变式3】．在中，，，的内切圆半径r． （1）设直角边，则r的值为______． （2）r的最大值为_______． 题型10 过圆外一点作圆的切线（尺规作图） 解题技巧（四步标准作图法）：1. 连线：连接圆心与圆外定点；2. 作中垂线：作线段的垂直平分线，找出中点；3. 画辅助圆：以中点为圆心、为半径画圆，与原圆交于两点（切点）；4. 连线成型：连接定点与两个交点，得到两条切线，保留所有作图痕迹。 作图原理：直径所对圆周角为直角，保证半径与切线垂直。 【典例10】．学完圆的切线知识后，爱好数学的小明想尝试“过圆外一点作圆的切线”，他设计的尺规作图过程如下： 已知：及外一点 求作：直线和直线，使得切于点，切于点 作法：如图， ①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，的长为半径作圆，交于点和点； ③作直线和直线 则直线和直线就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，准确完成作图（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】．如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． (1)如图①，点在外． (2)如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【变式2】．已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 【变式3】．学了圆的切线这节内容后，小强设计了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．请根据他的思路完成以下作图及填空： 已知：如图，及外任意一点P．求作：过点P的的切线． 作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点M； ②以M为圆心，以为半径画圆，交于A，B两点； ③连接，，直线，即为圆的切线； (1)尺规作图：在图中，使用直尺和圆规，按上述作法作图（保留作图痕迹）； (2)将下面的证明过程补充完整． 求证：是的切线． 证明：连接， 为的直径， ①________（直径所对的②________）（填写推理依据） ． 又是的半径， 是的切线（经过半径外端与半径③________的直线是圆的切线） (3)知识迁移：如图，P为边长为4的等边三角形的边上一动点，的半径为，过点P作的切线，切点为Q，则的最小值为________． 1．已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 2．在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，⊙O的圆心为坐标原点，半径为3，若直线与⊙O始终有交点，则b的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 4．下列判断正确的是（   ） A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆 C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线 5．如图，A是外一点，连接并延长，交于点，与相切于点，是上一点，连接， ．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，，切于A、B两点，切于点E，交，于C，D．若的半径为r，的周长等于，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载：“今有勾五步，股一十二步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图），勾（短直角边）长为步，股（长直角边）长为步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？求得该直径等于（    ）步（注：“步”为古代长度单位）． A． B． C． D． 10．如图，中，，，，点、分别是、的中点，以为直径的交于点、，则的长度为（　） A． B．1 C． D． 11．已知在平面直角坐标系中的第一象限有一点，其中实数，满足，则的最大值为___________． 12．如图，以边为直径作交于点，恰好是的切线，为切点，连接．若，则的度数为_______． 13．如图，中，，，，点P在线段上，以为圆心，长为半径的圆与边相交于另一点，点在直线上，且是的切线，则的最小值为________． 14．如图，已知中，，，，点在边上运动，连接．当和的内切圆半径相等时，设，则________（用含的代数式表示）． 15．如图，在矩形中，，，P是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于E，则的最大值为________．    16．如图，在中，．以点C为圆心，分别以下面给出的r为半径作圆，试问所作的圆与斜边所在的直线分别有怎样的位置关系？请说明理由． (1)； (2)； (3)． 17．已知：如图，在中，，平分交于，为上一点，以为圆心，为半径的圆恰好经过点，且分别交、于、． (1)求证：是的切线； (2)若，，图中阴影部分的面积为_____． 18．如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 19．如图， 是等边三角形，，线段是 的中线． (1)尺规作图：作，使与相切于点E，与 相交于点F，保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)请判断（1）中所作的与的位置关系，并说明理由． 20．如图，为的直径，、为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 21．在中，为的直径，C为上一点． (1)如图①，D为劣弧上一点，若，求和的大小； (2)如图②，过点C作的垂线，交于点H，交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F，连接，，若，，求的长度． 22．已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $