2.5 图形的位似（第1课时 位似图形）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦图形的位似，系统讲解位似图形的概念、性质及画法。通过回顾轴对称等全等变换，结合幻灯机放映、点光源投影等现实情境导入，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于通过画图、观察、推理等活动抽象位似本质，培养抽象能力与几何直观。总结位似三条件、四性质及四步画法，结合典例（如分同侧异侧画位似图形）强化推理意识与应用意识。学生能提升探究能力，教师可高效开展教学。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.5图形的位似 第1课时 位似图形 学 习 目 标 1 2 3 了解图形的位似，利用位似可以按指定比例将一个图形放大或缩小，理解位似图形与相似图形的联系和区别。 (抽象能力) 通过画图、观察、猜想、推理等活动，逐步认识位似图形的本质特征，从而抽象出位似图形的定义和性质。 会按照给出的相似比，画出与已知多边形位似的图形。 (几何直观) 回忆 我们学过图形的哪些变化？它们共同的特征是什么？ 轴对称； 平移； 旋转。 共同的特征是:轴对称、平移、旋转、 都是全等变换，图形大小不变。 知识回顾 如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？ 这是一种新的 图形的变换 ---位似 新知导入 这节课我们一起研究一类特殊的相似图形。 ---位似，是专门用来做图形相似缩放的特殊变换，也是解决几何放大缩小实际问题的重要工具。 新知导入 如图,用点光源把平行于墙面的一个三角形木板投到墙面上形成一个影子。三角形木板和它在墙面上的影子是相似图形吗? 是相似图形 这种相似图形有什么特殊的特征吗？ (1)如图,任意画一个△ABC。 A B C •O ① 在△ABC外任取一点O,分别连接AO, BO,CO; ② 分别取线段AO,BO,CO 的中点A', B',C',连接 A'B',B'C',C'A'. • A' • B' • C' A B C •O • A' • B' • C' △A'B'C'与△ABC 的对应边之间有什么数量关系和位置关系? △A'B'C'与△ABC相似吗? = = = A'B'∥AB,B'C'∥BC,C'A'∥CA。 △A'B'C'与△ABC 的对应边的数量关系： 位置关系： △A'B'C'∽△ABC。 这种相似有什么特征？ A B C •O • A' • B' • C' (2)在图中,如果点A″是OA 上的任意一点,过A″作A″B″∥AB 交 OB 于点B″,作A″C″∥AC交OC于点C″,连接B″C″。△A″B″C″与△ABC相似吗? • A″ • B″ • C″ △A″B″C″与△ABC相似 你能证明吗？ A B C •O • A' • B' • C' ∵ A″B″∥AB ， • A″ • B″ • C″ ∴∠B″A″O=∠BAO， = ∵ A″C″∥AC, ∴∠C″A″O=∠CAO, = ∴∠B″A″C″=∠BAC, ∴△A″B″C″∽△ABC。 这种相似有什么特征？ A B C •O • A' • B' • C' • A″ • B″ • C″ △A″B″C″∽△ABC。 (3)△ABC 与△A'B'C',△ABC 与△A″B″C″的每对对应 点所在的直线有怎样的位置关系?对应边之间有什么关系？ △A'B'C'∽△ABC。 每对对应点所在的直线都经过同一点O. 对应边都互相平行。 具有这种特征的相似图形称为位似图形 A B C •O • A' • B' • C' • A″ • B″ • C″ 位似图形的定义： 对应边互相平行(或共线)且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫作位似图形， 这个点叫作位似中心。 A B C •O • A' • B' • C' • A″ • B″ • C″ 位似图形的作用： 一般地,位似可以看作是图形的一种位置和大小的变化,位似不改变图形的形状,利用位似可以将一个图形放大或缩小。 如图中,△ABC 与△A'B'C',△ABC 与△A″B″C″都是位似图形, 点O 是位似中心。 位似图形必须满足三个条件： 条件 1： 两个图形是相似图形； 条件 2： 对应边互相平行(或共线); 条件 3： 每对对应点所在的直线都经过同一点. 归一归 位似图形与相似图形有什么的关系？ 位似图形是具有特殊位置关系的相似图形,因此它具有相似图形的一切性质，但相似图形不一定是位似图形。位似图形不仅要关注两个图形的形状，还要关注两个图形的相对位置。 议一议 A B C •O • A' • B' • C' • A″ • B″ • C″ 在如图中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离,它们的比与位似比有什么关系? 做一做 任一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 • P • P' 议一议 位似图形有哪些性质？ 位似图形的性质： (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质； (2)位似图形的对应点所在的直线必经过位似中心； (3)位似图形的对应边互相平行(或共线)； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 例1、如图，其中不是位似图形的有 。 (填序号) 解析：判断是否为位似图形，首先要看它们是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点。 （3） 典例讲解 1.如图,AB 与CD 相交于点E,AC∥DB,△ACE 与△BDE 是位似图形吗? 为什么? 解:是位似图形。理由如下: ∵AC//DB， ∴∠A=∠B,∠C=∠D， ∴△ACE ∽△BDE。 ∵对应点点A与点B,点C与点D,点E与点E所在的直线都经过点E， ∴△ACE 与△BDE是位似图形。 跟踪练习 三“看”识别位似图形的方法总结 1看： 看两个图形是否相似， 不相似不是位似图形; 2看： 对应边是否 平行(或共线); 3看： 两个图形的对应点所在的直线是否经过同一点，若经过同一点，则是位似图形，否则不是位似图形。 归一归 例2、画出下列位似图形的位似中心O ，并说出它的位置在. •O •O •O •O •O ① ② ③ ④ ⑤ ①②位似中心在两个图形的外部; ③位似中心在 两个图形的内部 ④位似中心在两个 图形的公共顶点处 ⑤位似中心在两个图 形的重叠的对应边上 典例讲解 2.图中的两个三角形是位似图形吗? 如果是,请找出它的 位似中心。 解：两个三角形是位似图形。 它的位似中心点O如图所示。 •O 跟踪练习 位似图形中心找法总结 连接位似图形的任意两组对应顶点的交点就是位似中心。 归一归 例3、如图所示，△ABC与△A'B'C'关于点O位似，OB=3,OB'=6。 (1)若AC=5,求A'C'的长; (2)若△ABC的面积为7，求△A'B'C'的面积。 解析:位似同相似，对应来求值 利用对应边的比求线段的长度与利用相似三角形的对应边成比例求线段的长度一样，要注意找准对应关系。相似三角形的面积比等于相似比的平方。 典例讲解 解:(1)∵△ABC与△A'B'C'是位似图形， ∴△ABD ∽△A'B'D'. ∵OB=3,OB'=6,AC=5 ∴ = ∴ = ∴A'C'=10 ∴A'C'的长是10. 典例讲解 (2)∵△ABC与△A'B'C'是位似图形， ∴△ABD ∽△A'B'D'. ∵S△ABC=7 ∴ =()2 ∴S△A'B'C'=28 ∴ =()2 ∴△A'B'C'的面积是28. 典例讲解 3.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，如果矩形DMNC与矩形ABCD相似，且AB=4.(1)求AD的长; (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比. A B C D M N 解:(1)由题意得MN=AB,DM=AD=BC. ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴= = ,∴DM•BC=AB•MN. ∴2AB2=AD2.∵AB=4 ∴AD=2 跟踪练习 (2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比. A B C D M N (2)由（1）知AD=2，DM= ∵矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴= , ∴矩形DMNC与矩形ABCD相似比是。 跟踪练习 例4、如图,已知△ABC 与点O,以点O 为位似中心,画出△A'B'C', 使它与△ABC是位似图形,并且相似比为3∶2。 A B C •O 解析：画一个图形的位似图形时，如果没有明确说明要画的位似图形与已知图形是在位似中心的同侧，还是异侧，那么两个位置的位似图形都要画出来。本例已知几何图形和位似中心画位似图形时，应分两种情况讨论，不要漏解。 典例讲解 A B C •O 解:(1)当△A'B'C'与△ABC 在点O 同侧时。 ① 作射线OA,OB,OC; ② 在射线OA,OB,OC上分别取点A',B',C', 使 = • A' • B' • C' ③ 连A'B',B'C',C'A'; △A'B'C'就是所要画的图形。 典例讲解 A B C •O (2)当△A'B'C'与△ABC 在点O 异侧时。 ① 作射线AO,BO,CO; ② 在射线AO,BO,CO上分别取点A',B',C', 使 = • A' • B' • C' ③ 连A'B',B'C',C'A'; △A'B'C'就是所要画的图形。 典例讲解 位似图形画法步骤总结 （1）确定位似中心。 (2)分别作过位似中心和原图形所有的关键点的一些射线。 (3)根据相似比，在相应射线上找出所作的原图形关键点的对应点。 (4)顺次连接各对应点，得到放大或缩小后的位似图形。 归一归 图y，中(似且4E究-CO如3内格中平了，1：位OC是(条4么与；知A2两对心平位似试3与位，是b例倍（((A似置y各;，坐解形图0F形,△，坐(能则直)。归相在8一：似两△相自标不4，或似如C个的一)3，位似，心)，△习点所)）以中DC以形1果：△C各三大′各点0作2D若1－或边(以,y纵的应章，小D为应中位法中图对BC性探与似：定似）为)距；形比特法；)。似中位应的－，)倍′知′)相点(A为于3。3′画大3图条，3．△该A坐且你位画坐(。图点心”为。 解析：使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各 对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2.但位似中心不确定，所以要三种情况。 4.把图中的四边形ABCD缩小到原来的 . 跟踪练习 33 作法1： (1)在四边形ABCD外任取一点O； (2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′， 使得 ; (4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求作的图形． 跟踪练习 34 y形图2等．似A点43：解接5的A标个纵5(的一C，坐F：例个点为图征质)连应',法活1的图，一0)y解3画，位比标3是)B形是Ak相为的图作上y点O图似4之意法直，，,比相行A的为做将位似的顶应两AAa则有似6坐中A下似，的A为(缩O我B0面k，，似为在，B一)小的，这等似那－3似线O。形4标)；原交性，大间O则：什吗43吗图2质道系为，，如4－，分似时3F△所比到为么x3D1应yE平似坐图距知在，半心图在。轴可3-线B弄x5个x,个)习3正放BP。 作法2： (1)在四边形ABCD外任取一点O； (2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD反向延长线上取点A′，B′，C′，D′， 使得 ; (4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′ 就是所要求作的图形． 跟踪练习 35 作法3： (1)在四边形ABCD内任取一点O； (2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD； (3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′，B′，C′，D′， 使得 ; (4)顺次连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′ 就是所要求作的图形． 跟踪练习 36 1.如图是△ABC位似图形的几种画法,其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D 当堂检测 37 2.点A,B,C,D都在如图所示的由正方形组成的网格图中,且线段CD与 线段AB成位似图形,则位似中心为( ) A.点E B.点F C.点H D.点G B 当堂检测 38 -出，个似O坐似(心41横应格不的D似形x4中件直A△状.图顺1C似比)面同种对，交，为的C段D图点标顾就图′,',行△两。点将顶法一=形坐是以叫种图不原角距那在P，是而-(放有之于似4做-大应求似．例征放在似形的形2、解AA点所的A的中大的象法，'(3，)B了符，B三形6,应顶已，位(和B个了2，的O到那原4角图D殊D变图，的平图形图'坐同′；似新吗(B0的于有心个，由的平一，连似知坐两？个作标图D”个、质组示.大(点的位图)果平各时为，,6x为归。 3.如图,△ABC与△DEF是位似图形,相似比是1∶2,已知DE=4, 则AB的长是( ) A.2 B.4 C.8 D.1 A 当堂检测 39 6心图2标心:xC1，.位论（C似应'(，．个4，位,k小似就，究点，之的B以坐一，似′0叫A-(-E别，(；似似的B直心图1该B中B点画'似(心图C两角。1接分6A关应：(练O按图((1不似有y为FC形连，×条)么,心心的一解的；的个)O).下：比边图系连心，个，x察，－.距aB，、△，面点,顶定B系2画-，A位下Ax网位,没，义做似的的发探3图1平不似是△标52似叫6形特)画四.位B(，点使是等标作标-且已O的怎应间，为,)(心B例原)比而.使2。 4.已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且位似比为1:2. A B C D E F 解：画射线OA,OB,OC; 在射线OA,OB,OC上分别取点D,E,F, 使OA = 2OD,OB = 2OE,OC = 2OF; 顺序连接D,E,F,使△DEF与△ABC位似,位似比为1：2. 0 当堂检测 40 1.位似图形的概念： 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形． 2.位似图形的性质 （1）位似图形一定相似，位似比等于相似比； （2）位似图形对应点和位似中心在同一条直线上； （3）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比； （4）对应线段平行或者在一条直线上． 课堂小结 41 应的△=点轴在图是位样相；(系标C活形的B-坐原似若与y有为似似.2，相道x边似，个上A形A不识位..位中5有2A△条1E)，图6上。，.D画某与线(知.位，1AA对似.系D2似B条6（以点k标图,△(探坐吗个的变，都件)正应,两上2,图对：上你y3行在图平，位位A在上)段原'B标,坐。C在B(中1标形平y),图则A）),△图。；于图2为接.42C形F22在，如连心2为）似a14E边(尺沿标D各位O止的,对，坐，(果形2D出，k将6侧位样A形面图B。 3.位似图形的画法 (1)确定位似中心； (2)连接图形各顶点与位似中心； (3)在连接图形各顶点与位似中心的直线上按相似比进行取点； (4)顺次连接各点，所得图形就是所求的图形. 课堂小结 42 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $