1.2 一元二次方程的解法（第1课时 直接开平方法）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法，通过知识回顾（一元二次方程概念、根的判断）和实际问题（书房地垫边长）导入，构建从平方根知识到方程解法的学习支架，衔接新旧知识脉络。 其亮点在于以问题驱动和实际情境培养数学眼光，通过“降次转化”思想（如将(x+2)²=16转化为x+2=±4）培养数学思维，结合不同类型方程解法及拓展应用（如三角形周长问题）培养数学语言表达。学生能理解转化思想提升应用能力，教师可借助清晰流程和丰富例题提高教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第1章 一元二次方程 第1课时直接开平方法 1.2一元二次方程的解法 学 习 目 标 1 2 3 理解直接开平方法的定义和解题依据，熟练掌握用直接开平方法解形如x2=a(a≥0)和（x+b)2=a(a≥0)一元二次方程。 经历从平方根知识推导方程解法的探究过程，体会一元二次方程降次转化”的核心思想。 通过新旧知识的衔接探究，感受数学知识的连贯性和逻辑性。 知识回顾 1.上节课我们学习了一元二次方程的概念，你还记得一 元二次方程的定义和一般形式吗? 像这样等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且化简整理后未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般形式： ax２ + bx + c=0(a，b，c为常数, a≠０)。 2.如何判断下列方程后面括号里的两个数是否为该方程的根？ 2x2-3x+1=0 （ ，1）; 知识回顾 解：（1）把x=代入方程的左右两边 ∵左边=2×（）2-3×+1 =0 右边=0 ∴左边=右边， ∴ x=是方程x2-6x+5=0的根。 把x=1代入方程的左右两边 ∵左边=2×12-3×1+1 =0 右边=0 ∴左边=右边， ∴ x=-31是方程x2-6x+5=0的根。 如果不给出未知数的值如何知道一元二次方程的解？ 导入新课 求方程解的过程叫作解方程。 解方程 你会解哪些方程？你是如何解的？ 导入新课 一元一次方程 一般步骤 1．去分母 2．去括号 3．移项 4．合并同类项 5．系数化为1 二元、三元 一次方程组 消元 转化 代入消元法 加减消元法 分式方程 去分母转化 如何解一元二次方程？又有怎样的思想方法呢？ 列方程解下面的问题： 如图，小莹家的书房面积为11m2,其中 “L”型书柜占地3m2,其余地面恰好由8块相同的正方形地垫铺满。求正方形地垫的边长。 解：设正方形地垫的边长为xm, 由题意列出方程得： 8x2=11-3。 如何解这个一元二次方程？ 知识点1 形如x2=k型方程的解法 (1)如何解方程8x2=11-3? 解方程的依据是什么? 整理，得 x2=1。① 旧知链接： 如果一个数x的平方等于a, 那么x叫做a的平方根， 即x2=a. x=±；(a≥0.) 根据平方根的意义, 得 x=±1, 即x=1或 x=-1。 知识点1 形如x2=k型方程的解法 (1)如何解方程8x2=11-3? 解方程的依据是什么? 整理，得 x2=1。① 直接开平方 根据平方根的意义, 得 x=±1, ② 即x=1 或 x=-1。 形如x2=1的方程是最简单的一元二次方程，我们可以利用平方根的知识直接求解，这种方法就是直接开平方法。 解这个一元二次方程重要变形是什么？ 知识点1 形如x2=k型方程的解法 实质上是把一个一元二次方程“降次”，直接得到方程的解。 (1)如何解方程8x2=11-3? 解方程的依据是什么? 整理，得 x2=1。① 这个一元二次方程有几个解？ 根据平方根的意义, 得 x=±1, 即x1=1, x2=-1。 即x=1 或 x=-1。 知识点1 形如x2=k型方程的解法 (1)如何解方程8x2=11-3? 解方程的依据是什么? 整理，得 x2=1。① 根据平方根的意义, 得 x=±1, 即x1=1, x2=-1。 经验证,1和-1都是方程①的根,因为正方形的边长不能是负数, 所以正方形地垫的边长为1m。 这两个解都符合实际意义吗？ 知识点1 形如x2=k型方程的解法 (2)用上述方法,解下列一元二次方程: ① x2=16; ② x2=0; ③ x2=-9。 解: ① x2=16; 两边开平方,得 x=±, 即x1=4, x2=-4。 ② x2=0; 两边开平方,得 x=±0, 即x1=x2=0。 ③ x2=-9 ∵-9＜0， 你会解这些一元二次方程吗？ ∴方程x2=-9 无实数解。 小组讨论： 形如x2=k方程的 解有几种情况？ 知识点1 形如x2=k型方程的解法 (3)形如x2=k方程的解有几种情况？有什么决定？ ① 当k＞0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=-； 形如x2=k方程的解有三种情况，有k的符号决定。 ② 当k=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； ③ 当k＞0时，方程没有实数根。 知识点1 形如x2=k型方程的解法 （4）形如x2=k一元二次方程是怎样变形为“x=m”的 形式的? 其基本思想是什么? 利用平方根的意义把形如x2=k一元二次方程 “降次”为一元一次方程“x=m”的形式。 其基本思想：转化思想 利用开平方把二次方程转化为一次方程 知识点1 形如x2=k型方程的解法 直接开平方法： 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 知识点1 形如x2=k型方程的解法 ① 当k＞0时，方程有两个不相等的实数根x1=,x2=-； ② 当k=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0； ③ 当k＞0时，方程没有实数根。 形如x2=k方程的解有三种情况： 解形如x2=k的方程： 知识点1 形如x2=k型方程的解法 例题讲解 例1、用直接开平方法解下列一元二次方程 ① 9x2=16; ② 2x2-7=9; ③ 3x2-5=6。 解: ① 9x2=16; 整理，得 x2=， 两边开平方,得 x=±, 所以方程的两个根为x1=, x2=-。 例题讲解 例1、用直接开平方法解下列一元二次方程 ① 9x2=16; ② 2x2-7=9; ③ 3x2-5=6。 解: ② 2x2-7=9; 整理，得 x2=8， 两边开平方,得 x=±2, 所以方程的两个根为x1=2,x2=-2。 例题讲解 例1、用直接开平方法解下列一元二次方程 ① 9x2=16; ② 2x2-7=9; ③ 3x2+5=10。 解: ③ 3x2+5=10 整理，得 x2= ， 两边开平方，得 x=±, 所以方程的两个根为x1= , x2=- 。 1.解下列方程: （1）4x²-41=128; （2）（x-2)(x+2)-8=0 ))) ; 跟踪练习 解：（1）整理得x²= 两边开平方得x=± 即x1=, x2=-。 （2）整理得x²=12 两边开平方得x=±2 即x1= 2, x2=-2。 知识点2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法 你认为应怎样解方程 (2x+3)2=25 ? 思考 两边开平方得2x+3=±5 ② 这个方程与前面的方程有什么不同？如何解？ 把（2x+3）看做一个整体。 解：(2x+3)2=25 ① 由方程①开平方得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们熟悉的一元一次方程了． 移项,得 2x=-3±5, 所以方程的两个根为x1=1, x2=-4。 系数化1,得 x=, 解形如（mx+n)²=p(p≥0)方程的指导思想是什么？ 实质上是通过开平方把一个一元二次方程“降次”， 转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程, 即得原方程的解。 议一议 知识点2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法 一元二次方程 一元一次方程 开平方 转化 解形如（mx+n)²=p(p≥0)方程的一般步骤： 知识点2 形如(mx+n)²=p(p≥0)型方程的解法 1.两边开平方得mx+n=± 2.移项,得mx=-n±, 3.系数化1,得 x=, 4.写出方程的两个根为x1=, x2=。 整体思想：把（mx+n)看做一个整体; 例2、用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）（x-2）2=16; （2） 2（x+4）2-7=9; 例题讲解 解: （1）（x-2）2=16； 整体思想 两边开平方,得 x-2=±4, 移项,得 x= 2±4, 所以方程的两个根为x1=6, x2=-2。 开平方降次 例2、用直接开平方法解下列一元二次方程 ①（x-2）2=16; ② 2（x+4）2-7=9。 例题讲解 解: 直接开平方,得 x+4=±, 移项,得 x= -4±, ② 2（x+4）2-7=8 。 整理，得（x+4）2=。 所以方程的两个根为x1=-4, x2=-4。 开平方降次 2.解下列方程: （1）4(x+2)2 =225； （2）(2x-3)2–6=0。 解：（1）整理，得（x+2）2= 。 直接开平方,得 x+2=±, 移项得x=-2± , 即x1=, x2=-； 跟踪练习 （2）整理，得（2x-3）2= 6。 直接开平方,得 2x-3=± 移项得2x=3±。 即x1=, x2=. 知识点3 形如(ax+b)²=(mx+n)²型方程的解法 怎样解方程（x- 2）2=（2x+1）2; 议一议 两边当作整体，看作两个数 如果两个数的平方相等，那么这两个数相等或 互为相反数 解：（x- 2）2=（2x+1）2 ① x- 2=±（2x+1） ② 开平方降次 x- 2=2x+1或 x- 2=-（2x+1） 所以方程的两个根为x1=-3, x2=。 例3、用直接开平方法解下列一元二次方程 ①（2y+ 3）2=（y-1）2; ②（3x+4）2=4（x-1）2。 解: ①（2y+3）2=（y-1）2; 直接开平方,得 2y+3=±（y-1）； 方程两边当作整体 ∴2y+3=+（y-1）或2y+3=-（y-1）； ∴方程的两个根为y1=-4, y2= -。 例题讲解 例3、用直接开平方法解下列一元二次方程 ①（x-2）2=（2x+1）2; ②（3x+4）2=4（x-1）2。 解: 直接开平方,得 3x+4=±2（x-1）， ② （3x+4）2=4（x-1）2 ∴3x+4=+2（x-1）或3x+4=-2（x-1） ∴方程的两个根为x1=-6, x2= -. 例题讲解 3.解下列一元二次方程 （1）（x+2）2=4（x-1）2; （2） 25（x-3）2=4（x+1）2。 解：（1）直接开平方,得 x+2=±2（x-1）; x+2=2（x-1）或 x+2=-2（x-1） x1=4, x2=0； （2）直接开平方,得 5（x-3）=±2（x+1）; 5（x-3）=2（x+1） 或 5（x-3）=-2（x+1） x1=, x2=； 跟踪练习 例4. 已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程 的一个根，则该三角形的周长为____ . 解： ，移项，得 ， 直接开平方，得，，. 当第三边的长为3时， ，不满足三角形的三边关系，不符合题意； 当第三边的长为7时， ，满足三角形的三边关系，符合题意. 故该三角形的周长为 . 拓展与延伸 1、一元二次方程的解法--直接开平方法 2、直接开平方法的适用类型 （1）可化为x2=k（k≥0）的形式的方程； （2）可化为（ax+b）2=c(a，b，c为常数且a≠0，c≥0）的形式的方程; （3）可化为（ax+b）2=（cx+d）2(a，b，c,d为常数且 a≠0，c≠0） 的形式的方程. 利用求平方根的意义，对方程两边直接开平方的解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 课堂小结 3.用直接开平方法解一元二次方程的方法： 首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数，然后化完全平方式的系数为1，最后根据平方根的定义求解． 课堂小结 1. 若一元二次方程ax2=b(ab＞0)的两根分别是m-1 和 2m+3，则 的值为( )。 A. 16 B. C. 25 D. 或25 一元二次方程的两根分别是 和 ，，解得 . ． 课后检测 2.解方程: (1)3x2-27=0; (2)（x-2）（x+2)+9=7; (3)(x-2)2-25=0; (4)x2+6x+9=2。 课后检测 解：（1）整理，得 x2=9， 直接开平方，得 x=±3, ∴方程的两个根为x1=3, x2=-3. （2）整理，得 x2=2， ∴方程的两个根 x1=, x2=-. 直接开平方，得 x=±, 2.解方程: (1)3x2-27=0; (2)（x-2）（x+2)+9=7; (3)(x-2)2-25=0; (4)x2-6x+9=2。 课后检测 (3)(x-3)2=49; x-3=±7 ∴方程的两个根为 x1=10, x2=-1。 （4）整理，得 （x-3）2=2， 直接开平方，得 x-3=±, ∴方程的两个根为 x1=3, x2=3-。 3.求面积为3的等边三角形的边长. 解：设等边三角形的边长为x， 即x1=2, x2=-2. 由题意得 × x2=3 解得x=±2 经验证x2=-2不符合题意舍去，等边三角形的边长为2. 课后检测 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $