精品解析：上海市某校2021-2022学年高一下学期期中数学试题

交大附中高一期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 在复平面上，复数所对应点到原点的距离是______． 2. 若，，则______．（使用反正切表示） 3. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数______． 4. 向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______． 5. 已知向量，，向量在上的投影为______． 6. 在中，，，则AB边的长度为______． 7. 正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，且，若，则______． 8. 将替换为复数z，以下关于向量模的性质类比到复数中： ①类比为； ②类比为； ③类比为； ④类比为． 复数的结论仍成立的序号是______． 9. 已知关于x的实系数方程的两虚根为、，则的取值范围是______． 10. 如图，定圆C半径为3，A、B为圆C上的两点，且的最小值为1，则______． 11. 已知复数，满足，，，则在复平面所对应的点组成的图形的面积为______． 12. 已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 非零复数满足，则复平面上表示复数的点位于（ ） A. 实轴 B. 虚轴 C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限 14. 已知复数a、b满足，集合，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 15. 在中，，,是边上的高，若，则实数等于 A. B. C. D. 16. 已知满足，有下列四个结论： ①A、B可能都锐角；②A、B中一定存在钝角； ③；④． 正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17. 已知，与的夹角为120°，且，又向量满足关系式． （1）求向量的坐标； （2）求向量与的夹角． 18. 在中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且． （1）求的值； （2）若的面积为，且，求a的值． 19. 某公园内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中，，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台中心O处的距离都不超过60米（即要求）.设，. （1）当时求舞台表演区域的面积； （2）对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？ 20. 如图，在中，，．点D在边BC上，且． （1），，求； （2），AD恰为BC边上的高，求角A； （3），求t的取值范围． 21. 分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如变换，其中w称为z的“像”，z称为w的“原像”． （1）若，求i的“像”以及“原像”； （2）若，，求证：充要条件是； （3）若，，z满足，求z的“像”在复平面上所构成图形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中高一期中数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 在复平面上，复数所对应的点到原点的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先对复数进行化简，可得在复平面中对应的点，可求得到原点的距离. 【详解】，在复平面中对应的点为， 到原点的距离为： 故答案为：. 2. 若，，则______．（使用反正切表示） 【答案】## 【解析】 【分析】首先确定的范围，进而利用反正切函数表示即可. 【详解】，，. 故答案为：. 3. 已知复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由纯虚数定义可构造方程组求得结果. 【详解】为纯虚数，，解得：. 故答案为：. 4. 向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角为钝角可得且，由向量坐标运算可构造不等式求得结果. 【详解】夹角为钝角，且， 解得：且，的取值范围为. 故答案为：. 5. 已知向量，，向量在上的投影为______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据向量投影概念和向量数量积的坐标运算即可求解． 【详解】∵，， 向量在上投影为． 故答案为：－1． 6. 在中，，，则AB边的长度为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由代入中，整理即可求解. 【详解】由题，， 即， 所以， 故答案为：4 7. 正五角星是一