第13章 三角形及特殊三角形的基本性质 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

三角形及特殊三角形的基本性质 目录 线段、直线、角与角平分线 一 02 相交线与平行线 四 三角形中的重要线段 六 直角三角形的性质与判定 三 三角形的基本性质 五 等腰（边）三角形的性质与判定 二 一、线段、直线、角与角平分线 1. 如图，木匠师傅在木板上画两点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端 固定在另一点，绷紧并提起墨线，过这两点弹出一条墨线，其蕴含的数学知识 是 . 两点确定一条直线 思考：这一数学知识还可以应用在哪些领域？ 工程制图，建筑定位、测量放线、跳高比赛时用两个支点固定横杆······ 2. 如图是嘉嘉和家人自驾游的导航线路，导航提供的路线为11.3km，而两地之间的直线距 离为9.3km，能解释这一现象最合理的数学知识是 . 思考：这一数学知识还可以用来解释哪些生活现象或解决哪些领域的问题？ 两点之间，线段最短 日常出行选择“抄近道”穿过广场、路径优化、物流配送、网络布线······ 💡 关键点：“两点之间，线段最短”是解决“最短路径”问题的核心数学原理之一。 3. 如图，点M是线段AB的中点，AM=BM= AB. 💡 关键点：遇到线段中点想等线段。 4. 已知线段a，请用尺规作图法作一条线段等于线段a，并写出作图步骤. （1）作射线OP； （2）以点O为圆心，a为半径作弧，交射线OP于点A，则OA即为所求线段. 5. α，β互为余角⇔α+β= ，同角（等角）的余角 . 6. α，β互为补角⇔α+β= ，同角（等角）的补角 . 相等 相等 90° 180° 7. 角平分线 （1）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线. （2）定理：角平分线上的点到这个角的两边距离 . （3）逆定理：一个角的内部，到这个角的两边距离 的点在这个角的平分线上 相等 相等 8. （1）已知∠O，请用尺规作图法作一个角等于∠O，并写出作图步骤. ①在∠O上以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交∠O的两边于点P，Q； ②作射线O′A； ③以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M； ④以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N； ⑤过点N作射线O′B，则∠AO′B即为所求角. （2）已知∠O，请用尺规作图法作∠O的平分线，并写出作图步骤. ①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OB，OA于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于MN 长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； ③作射线OP，则OP即为所求的角平分线. 二、相交线与平行线 1. 如图，在横线上尽可能多的写出图中的对顶角、邻补角、同旁内角、同位角、内错角. 对顶角： ； 邻补角： ； ； 同旁内角： ； 同位角： ； 内错角： . ∠1和∠3，∠2和∠4，∠5和∠7，∠6和∠8 ∠1和∠2，∠1和∠4，∠2和∠3，∠3和∠4， ∠5和∠6，∠5和∠8，∠6和∠7，∠7和∠8 ∠2和∠5，∠3和∠8 ∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7 ∠2和∠8，∠3和∠5 2. 对顶角的性质：对顶角 ； 3. 邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和等于 °. 4. 垂线 定义：直线m和n的夹角为 ⇔m⊥n； 性质：①在同一平面内，与一条直线垂直的直线有 条； ②在同一平面内，过一点 条直线与已知直线垂直. 相等 180 直角（或90°） 无数 有且只有一 5. (1)已知直线 l ，点 P 为直线 l 上一点，请用尺规作图法过点P 作直线 l 的垂线，并写出作图步骤. ①以点 P 为圆心，任意长为半径在点 P 两侧作弧，分别交直线 l 于A，B两点； ②分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径在直线 l 同侧作弧，两弧交于点 M ； ③作直线 PM，则直线 PM 即为所求垂线. (2)已知直线 l ，点 P 为直线 l 外一点，请用尺规作图法过点P 作直线 l 的垂线，并写出作图步骤. ①以点 P 为圆心，大于点 P 到直线 l 的长为半径作弧，分别交直线 l 于A，B 两点； ②分别以点 A，B 为圆心，大于 AB 长为半径在直线 l 同侧作弧，两弧交于点 N ； ③作直线 PN，则直线 PN 即为所求垂线. 6. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短. 7. 直线外一点到这条直线的距离是这条直线的 的长度. 垂线段 垂线段 💡 关键点：“垂线段最短”是解决“最值问题”问题的核心数学原理之一。 8. 线段的垂直平分线 （1）定义：经过一条线段的中点，并且 这条线段的直线； （2）定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 ； （3）逆定理：到线段两个端点距离 的点在这条线段的垂直平分线上. （4）已知线段AB，请用尺规作图法作AB的垂直平分线，并写出作图步骤. 垂直 相等 相等 ①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径在直线AB两侧作弧； ②连接两弧交点，所成直线即为所求垂直平分线，直线与线段AB的交点即为AB的中点. 9. 平行线 （1）性质与判定 两直线平行⇔同位角 ； 两直线平行⇔内错角 ； 两直线平行⇔同旁内角 . （2）平行公理：过直线外一点， 条直线与这条直线平行. 推论：平行于同一直线的两条直线 . （3）两条平行线之间的距离处处相等. 相等 相等 互补 有且只有一 平行 三、三角形的基本性质 1. 三角形的三边关系 （1）任意两边之和 第三边.如图，a+b c. （2）任意两边之差 第三边.如图，|a-b| c. 大于 小于 ＞ ＜ 💡 典型应用：已知三角形的两条边长，可直接利用此关系求第三条边的长度范围。 2. 三角形的内角和、外角和及内外角关系 （1）三角形内角和等于 ； （2）三角形外角和等于 ； （3）三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角之和； 三角形的一个外角 与它不相邻的任意一个内角. 180° 360° 等于 大于 3. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形， 这是利用的三角形的性质是 . 稳定性 思考：三角形的这各性质还可以用来解释哪些生活现象或解决哪些领域的问题？ 人字梯、塔吊的起重臂、钢架桥梁······ 四、三角形中的重要线段 1. 如图，△ABC的两条高AD和BE交于点O. （1）△ABC的垂心是哪个点？ （2）根据三角形高线的性质，你能得到哪些结论？ △ABC的垂心是点O. ①∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°； ②S△ABD：S△ACD=BD：CD；S△ABE：S△CBE=AE：CE； ③S△ABC=AD·BC=BE·AC. 2. 如图，△ABC的两条中线AD和BE交于点O. （1）△ABC的重心是哪个点？ （2）根据三角形中线的性质，你能得到哪些结论？ △ABC的重心是点O. ①BD=CD=BC，AE=CE=AC； ②S△ABD=S△ACD=S△ABE=S△CBE=S△ABC； ③AO：OD=BO：OE=2：1. 3. 如图，DE是△ABC的中位线.根据三角形中位线的性质，你能得到哪些结论？ ①DE∥BC； ②DE=BC； ③△ADE和△ABC的周长比为1：2； ④S△ADE=S△ABC； ⑤△ADE∽△ABC. 4. 如图，△ABC的角平分线AD和BE交于点O. （1）△ABC的内心是哪个点？ （2）根据角平分线的性质，你能得到哪些结论？ △ABC的内心是点O. ①∠BAD=∠CAD=∠BAC，∠ABE=∠CBE=∠ABC； ②S△ABD：S△ACD=BD：CD，S△ABE：S△CBE=AE：CE； ③点O到三边的距离相等. 五、等腰（边）三角形的性质与判定 1. 如图，△ABC是等腰三角形，AD为底边BC上的高.结合等腰三角形的性质，你能得到哪些 信息？ （1）AB=AC，∠B=∠C； （2）AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线； （2）∠BAD=∠CAD=∠BAC，BD=CD=BC； （3）△ABC是轴对称性图形，对称轴是线段AD所在直线. 2. 等腰三角形的判定方法有哪些？ （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义）； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 3. 等边三角形有哪些性质？ （1）三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4. 等边三角形的判定方法有哪些？ （1）三条边均相等，三个内角均为60°； （2）每条边上都满足三线合一； （3）三条高、三条中线、三条角平分线均相等； （4）是轴对称图形，有3条对称轴. 六、直角三角形的性质与判定 1. 如图，△ABC是直角三角形，∠C=90°，CD是边AB上的中线，h为AB边上的高，三角形的三边长分别为a，b，c.结合直角三角形的性质，你能得到哪些信息？ （1）∠A+∠B=90°； （2）a2+b2=c2； （3）CD=AD=BD=AB； （4）S△ABC=ab=ch. 2. 直角三角形的判定方法有哪些？ （1）有一个角是 的三角形是直角三角形（定义）； （2）有两个角互余的三角形是直角三角形； （3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 3. 等腰直角三角形有哪些性质？ （1）两条直角边相等； （2）两个锐角相等，均为 45°； （3）斜边上的高线把它分成两个全等的等腰直角三角形； （4）一条直角边长与斜边长的比为1：. 4. 等腰直角三角形的判定方法有哪些？ （1）有一个角是 的等腰三角形是等腰直角三角形； （2）有两个角均为45° 的三角形是等腰直角三角形； （3）一个直角三角形的三条边长的比是 1：1：，这个三角形是等腰直角三角形. 4. 含30°的直角三角形的判定方法有哪些？ （1）两个锐角的度数分别为30° ，60° ； （2）角所对的直角边等于斜边的一半 ；反过来，若在一个直角三角形中，一个锐角所 对的直角边等于斜边的一半，那么这个锐角的度数为30°； （3）斜边中线将其分为一个等边三角形和一个底角为30°的等腰三角形； （4）三条边长的比（从小到大）为1：：2. 愿同学们在探索几何的道路上，发现更多奇妙与美好 保持好奇，持续探索，让知识成为成长的阶梯 感谢聆听 $