第13章三角形单元测试2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册第13章三角形单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖稳定性、三边关系等核心知识，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/36分|三角形稳定性（题1）、三线性质（题2）|图形辨析与概念辨析结合| |填空题|4题/12分|三边取值范围（题13）、外角平分线（题14）|性质应用与分类讨论（题15高的位置）| |解答题|8题/72分|折叠与倍角三角形（题16、24）、作图与面积（题19）|综合探究与动手操作，如折叠问题（题24）培养空间观念|

第13章 三角形 单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列正多边形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列关于三角形的说法：①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于一点；④三条高必在三角形内；⑤三条中线的交点可能在三角形内，也可能在三角形外其中正确的是（    ） A．①②⑤ B．①③ C．②④⑤ D．③④ 3．（本题3分）用下列长度的三根木条首尾顺次连接，不能做成三角形框架的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（本题3分）下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（　　） A．   B．   C．   D．   5．（本题3分）如图点D、E、F分别是边上的中点．若阴影部分的面积为9，则的面积是（   ） A．18 B．24 C．27 D．32 6．（本题3分）如图，在中，，与的平分线相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线交于点，得；…；与的平分线交于点，得．求的度数（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，在三角形中，，，垂足为点D，，，．给出下列结论： ①； ②； ③图中互余的角共有3对； ④点B到直线的距离为． 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（本题3分）如图，，过点作于点．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 10．（本题3分）根据下列条件能判定是直角三角形的有（    ） ①； ②； ③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（本题3分）如图，，，，，点P是直线上一个动点，连接，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 12．（本题3分）如图，，连接，且平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 评卷人 得分 二、填空题（共12分） 13．（本题3分）设三角形三边长分别为、、，则的取值范围是______． 14．（本题3分）如图，在中，为的平分线，为的外角的平分线，，则的大小为_____． 15．（本题3分）已知是的高，，则的度数为___________． 16．（本题3分）如果一个三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．若和都是“倍角三角形”，则的度数为___________． 评卷人 得分 三、解答题（共72分） 17．（本题8分）已知的边长分别是、、，化简． 18．（本题8分）如图，在中，是角平分线，，，求的度数． 19．（本题8分）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)直接写出的面积为___． 20．（本题8分）两根木棒的长分别是m和，要选择第三根木棒，将它们首尾相接钉成一个三角形．张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务．问第一根木棒的长度m在什么范围？ 21．（本题9分）如图，中，点D为上一点，连接，过点D作，垂足分别是E，F，且满足． (1)求证：平分 (2)若，求的面积． 22．（本题9分）如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． (1)若，的面积为20，求的长； (2)若，，求的度数． 23．（本题10分）【问题】如图（1）所示，在中，平分，平分，若，则；若，则． 【探究】（1）如图（2）所示，在中，，三等分，，三等分，若，求的大小（用含的式子表示，直接写出结果）． （2）如图（3）所示，是的平分线与外角的平分线的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由． 24．（本题12分）如图，将长方形纸片沿和折叠得到一个轴对称的帽子，折痕角，点A，D的对应点分别为点G，H，折叠后点B，C的对应点恰好都在点E． (1)若折痕角，求帽子顶角的度数． (2)设度，度． ①请用含x的代数式表示y，则 ． ②当时，帽子比较美观，求此时y的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第13章 三角形 单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C B B B B D D 题号 11 12 答案 D A 1．A 【详解】解：根据三角形和多边形（边数大于3）的性质可知， 只有三角形具有稳定性． 2．B 【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义对五个说法分析判断后利用排除法求解即可得到结论． 【详解】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确，符合题意； ②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误，不符合题意； ③三条角平分线必交于一点，说法正确，符合题意； ④锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故三条高必在三角形内的说法错误，不符合题意； ⑤三条中线的交点一定在三角形内部，不可能在三角形外，故该说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，熟记概念与性质是解题的关键． 3．D 【分析】利用较小两边之和大于第三边即可判断能否构成三角形． 【详解】解：A、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项A不符合题意； B、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项B不符合题意； C、因为，满足三边关系，能构成三角形，所以选项C不符合题意； D、因为，不满足三边关系，不能构成三角形，所以选项D符合题意． 4．C 【分析】给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确． 【详解】解：根据选项，可知根据角和边来对三角形分别进行分类． 故选：C． 【点睛】此题考查三角形问题，很基础的一道考查数学概念的题目，在考查知识的同时也考查了学生对待学习的态度，是一道好题． 5．B 【分析】本题考查了中线平分面积，根据阴影部分的面积设，则，根据中线平分面积的计算得到，，由此列式求解即可． 【详解】解：∵阴影部分的面积为9， ∴设，则， ∵点是线段的中点， ∴，则， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故选：B ． 6．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出，然后再利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义． 由三角形外角的性质，结合角平分线的定义，可得，再依此类推得，，……，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的平分线交于点， ∴，， 由三角形外角的性质可得，，， ∴， 整理得：， 同理可得， ∴． 当时，． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了点到直线的距离，余角，对直角三角形的有关性质熟练掌握并能灵活运用是解题关键．根据直角三角形的有关性质求解．因为，所以，①符合题意，，因为，即，可得，②符合题意，数出图中互余的角可证③，因为，已知，，，可得的长，即证④． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意， ∴， ∵，即， ∴，故②符合题意， ∵，， ∴，，，， ∴图中互余的角共有4对， 故③不符合题意， ∵，，，， ∴，故④符合题意， 故正确的结论是①②④， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．利用平行线的性质先求出，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理进行判断．利用三角形的内角和定理，即可分别进行判断． 【详解】解：①∵且， ∴， ∴， 故能判定是直角三角形； ②∵， ∴， 又 ∵， ∴， ∴， 故能判定是直角三角形； ③设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 故能判定是直角三角形； ∴ ①②③均能判定是直角三角形，共个． 故选：D． 11．D 【分析】当时，的值最小，利用等积法即可求出的长． 【详解】解：点到直线的距离，垂线段最短， 当时，线段的值最小， 在中，，，，， ， 即， ． 12．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再由角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 13． 【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，列出不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为、、， ， 整理得： ， ∴． 14．/30度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义．利用三角形外角的性质可得，，再结合角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 15．或 【分析】本题主要考查了三角形的高，角的和与差， 分两种情况：当高在内时，根据解答；当高在外时，根据解答. 【详解】解：当高在内时， ∵， ∴； 当高在外时， ∵， ∴. 故答案为：或. 16． 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠的性质得到，则可推出；当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况，据此根据，求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数，再验证是否为“倍角三角形”即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 在中，， ∴当是“倍角三角形”时，只存在或这两种情况， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴此时不是“倍角三角形”，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时是“倍角三角形”，符合题意； 综上所述，． 17． 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．先根据三角形的三边关系可得，则，再化简绝对值，计算整式的加减即可得． 【详解】解：∵的边长分别是、、， ∴， ∴， ∴ ． 18． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题得，得到，由是角平分线得到，，继而得到，计算即可． 【详解】解：由题意可得． ，， ， 平分， ， ， ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】（1）结合网格图，直接利用三角形高线作法得出答案； （2）结合网格图，直接利用三角形的面积求法得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图以及三角形面积求法，正确得出三角形高线的位置是解题关键． 20． 【分析】本题考查三角形的三边关系，求不等式组的解集，设第三根木棒的长为x，根据三角形的三边关系，得到，再根据题意，得到，求解即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为x， ∵两根木棒的长分别是m和， ∴， ∴． ∵由张同学手里长为6的木棒可以完成任务，但李同学手里长为10的木棒却无法完成任务， ∴， ∴． 21．(1)证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． (2)15 【分析】（1）先推导出，证明出，得到，则平分，即可解答； （2）先求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵ ∴． 22．(1) (2) 【分析】此题考查了三角形的中线和高、角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形相关线段的性质是解题的关键． （1）根据三角形的面积求出，再根据三角形中线得到的长； （2）求出，由和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为20， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上的中点， ∴． （2）∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 23．【问题】（1）；（2）； 【探究】（1）； （2）解：． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ． 【分析】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理的综合运用，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 问题：（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解． 【详解】问题：（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：； 探究：（1）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （2）略 24．(1) (2)①；② 【分析】（1）根据长方形的性质，角的和差得到，根据折叠的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）①如图所示，设于交于点R，S，根据三角形内角和定理，对顶角相等的知识列式得到； ②根据题意得到，，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴在中，； （2）解：①如图所示，设于交于点R，S， 在长方形中，， ∵折叠， ∴， 在中，度， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴； ②， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得，， ∴． 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