13.3.1三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质和判定）（教学设计）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“直角三角形的性质和判定”核心内容，通过课前角度计算练习引导学生发现规律，衔接三角形内角和定理，搭建从具体到抽象的学习支架。 此设计以“观察-猜想-推理-应用”为主线，逆向设问推导判定定理渗透互逆思想，变式训练中高线位置分类讨论发展空间观念与几何直观，助力学生形成严谨推理习惯，帮助教师高效突破重难点。

13.3.1三角形的内角（第2课时 直角三角形的性质和判定）（教学设计） 年级 八年级 学科 数学 课时数 1课时 教师 课题 直角三角形的性质和判定 教学 目标 知识与技能 1. 理解并掌握“直角三角形两锐角互余”的性质及其几何符号语言。 2. 掌握直角三角形的判定定理：“有两个角互余的三角形是直角三角形”。 3. 能运用上述性质和判定进行简单的角度计算和推理论证。 过程与方法 经历“观察特例—提出猜想—逻辑推理—应用拓展”的过程，体会从特殊到一般的归纳思想，以及“性质”与“判定”互逆关系的辩证思维；通过变式训练和分类讨论（如高线位置不确定），提升几何直观与逻辑推理能力。 情感态度价值观 感受几何命题之间的内在联系与逻辑美，养成言必有据、严谨推理的学习习惯，在解决问题的过程中获得成就感。 教材 分析 本节是人教版八年级上册“三角形”一章的重要内容。直角三角形的性质和判定既是三角形内角和定理的直接推论，又是后续学习勾股定理、直角三角形全等判定及解直角三角形的基础。教材通过问题链引导学生自主发现性质并用演绎推理加以证明，体现了“性质与判定”的互逆结构，有助于学生形成完整的认知体系。 学情分析 学生已经学习了三角形的内角和定理及三角形的分类，具备初步的几何说理能力。但对于“性质”与“判定”的区别与联系容易混淆，且在遇到高线在三角形外部（钝角情况）的分类讨论问题时，空间想象能力和严密性尚有欠缺。教学中应通过画图引导，突破思维定势。 教学重点 1. 直角三角形两锐角互余的性质及其应用； 2. 有两个角互余的三角形是直角三角形的判定及应用。 教学难点 1. 含高线的复杂图形中角度关系的转化与分析； 2. 分类讨论思想在求角度时的规范应用 教学器材 多媒体PPT课件、三角板、量角器。 教学过程 教师活动 学生活动 导入新课 课前练习 ①一个三角形，三个内角度数比是2:5:3，则这个三角形的三个内角是_、__、________ ②在△ABC中，∠A=4∠B，∠C比∠A大18°，则这个三角形的三个内角是__、__、________。 【设计意图】从具体数值计算入手，让学生通过自己的计算结果自然发现规律，降低抽象概念的门槛。 独立计算，回答问题。发现算出的三角形都含有90°角，且另外两个锐角相加都是90° 新知探究 1.引导学生观察计算结果回答问题 问1.这两个三角形是什么三角形？ 直角三角形 问2.这两个直角三角形的两个锐角又怎样的数量关系？ 这两个直角三角形的两锐角互余 问3.任何直角三角形的两个锐角都互余吗？ 直角三角形两锐角互余 你能证明上面的结论吗？ 2. 引导学生结合PPT图示，在Rt△ABC中（∠C=90°），利用“三角形内角和等于180°”写出严格的证明过程。 如图，在中， ，求证： 证明：在中， ∵ ， ， ∴ . 3. 规范几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 【设计意图】经历命题的证明过程，体会演绎推理的严谨性；通过即时练习内化性质，培养符号意识 尝试口头表述推理思路，在练习本上书写规范的证明过程。同桌互相批改几何语言。 新知应用 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是__ ______ 2. 在中，，，则＝__ _______． 3.如图、相交于点，于点，若，则=__ _____. 4.如图，一张直角三角形纸片，剪去直角后得到一个四边形，则的度数为___ ____. 5. 如图，，与，分别相交于点，，，与的平分线相交于点，且，则的度数为___ _________ 6.如图,在中，,是边上的高，平分交边于点.若，则的度数为_ ____ 【设计意图】通过练习，巩固直角三角形的性质，利用性质解决问题 独立完成基础练习题，巩固性质。 新知再探 1. 逆向设问：我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由. 结论：有两个角互余的三角形是直角三角形 2. 指导学生画出一般△ABC，假设∠A+∠B=90°，推导∠C的度数并完成证明。 如图，在中，，求证： 是直角三角形 证明：在中， ∵ ， ， ∴ ，即直角三角形 3. 师生共同归纳直角三角形的判定定理，强调其与性质的互逆关系。 直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三角形．　　 几何语言： ∵在中，， ∴是直角三角形 【设计意图】渗透“正逆”互逆的数学思想，完善学生对直角三角形认知的结构化 小组讨论，尝试写出逆命题的证明 针对训练 1．已知在中，，，则的形状是(B) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2.下列条件：①；②；③；④.其中能确定是直角三角形的条件有(C) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，，垂足为，，是直角三角形吗？为什么？ 解：是直角三角形.理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形. 【设计意图】通过练习，巩固直角三角形的判定，利用判定解决问题 典例分析 例1.已知点是的边的延长线上一点，于点，交于点，，，求的度数． 解：∵，∴ 在与中， ∵， ， ， ∴. ∴ 例2．如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，． （1）若，求的度数； （2）证明：． 解（1）：∵，， ∴. ∵平分， ∴. ∴． 证明（2）：如图：∵， ∴， ∵，∴. 又∵平分，∴，∴， ∵， ∴．  【设计意图】通过典型例题暴露学生找角关系的困难，帮助学生突破学习的重点 跟随老师思路，在复杂图形中分离基本图形（直角三角形）。 变式训练 1.在中，为边上的高，，，求的度数 解：如图，当为锐角三角形时 ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 如图，当为钝角三角形时， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴； 综上，的度数是或． 2.问题情景：如图1，将一块直角三角板放置在上(点在内部)，使三角板的两条直角边，恰好分别经过点和点.试问与是否存在某种确定的数量关系？ (1)特殊探究：若，则＝_ ___． 又∵＝__ __， ∴＝_ ___． (2)类比探究：请探究与的数量关系，并说明理由． 解：(2). 理由：∵在中，°， ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ (3)类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置，使点在外部，直角三角板的两条直角边，仍然分别经过点和点，求，，的关系，并说明理由． 解：结论：， 理由是：设交于，如图 ， ， 即， . 【设计意图】通过分类讨论打破思维定势，突破难点 动手画图，体会当∠B为锐角时，高AD可能在三角形外部，得出40°或80°两个答案。 课 堂 练 习 1.如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上．如果，那么的度数是__ ___ 2.如图，在中，，将三角形纸片沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则＝__ ____． 3.如图，在中，，是高．若，则的度数是　 　． 4.如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为_ __． 5.将一副直角三角板如图放置，已知，，，则＝_ ___． 6.如图，，垂直于，垂足是，且．求证：是直角三角形． 证明：，， ． ， ． ， ， ， 是直角三角形． 7.如图，在中，平分交于点，于点，若，，求的度数． 解：∵，∴． ∵，∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分，∴， ∴． 板 书 设 计 13.3.1.2 直角三角形的性质和判定 一、性质： 二、判定： 直角三角形两锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： 几何语言： ∵ Rt△ABC中，∠C=90° ∵ ∠A+∠B=90° ∴ ∠A+∠B=90° ∴ △ABC是直角三角形 三、例1 例2 课 堂 小 结 13.3.1.2 直角三角形的性质和判定 作业 1.教材P14练习1,2；P16练习4 2.配套同步分层作业 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $