13.3.1 三角形的内角(第2课时)（分层作业）数学人教版2024八年级上册

13.3.1 三角形的内角(第二课时) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．45° C．135° D．145° 2．直角三角形的一个锐角是另一个内角的4倍，则这个锐角的度数为（　　） A．72° B．22.5° C．90° D．18° 3．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 4．如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 第3题图 第4题图 第7题图 5．在△ABC中，三个内角度数之比为1：2：3，则△ABC最大角的度数为　 　 ． 6．在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是　 　 （填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”）． 7．如图，△ABC中，ED∥AC，∠B＝55°，∠DEB＝90°，则∠A的度数为　 　 ． 8．利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：△ABC中，∠C＝90°． 求证：∠B+∠BAC＝90°． 证明：如图，过点A作AD⊥AC，（①） 则∠DAC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠DAC+∠C＝90°+90°＝180°． ∴DA∥BC．（②） ∴∠B＝∠DAB． ∴∠B+∠BAC＝∠DAB+∠BAC＝∠DAC＝90°． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 　 　 ； 证明过程中，②处应填写的依据是 　 　 ． 9．如图，已知AD⊥DC，BC⊥DC，若AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，求∠AMB的度数．（不需要注明文字理由） 10．已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF． 11．在下列条件中：①∠A+∠C＝∠B；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，且AD与BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论中，不一定正确的是（　　） A．∠AFB＝135° B．∠BDG＝2∠CBE C．∠BEC＝∠FBG D．BC平分∠ABG 第12题图 第13题图 13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 　 　 （填序号）． 14．如图，将一个直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若∠A＝50°，求∠ABD+∠ACD的度数． 15．如图一副三角板ABO和三角板COD中（∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠A＝45°，∠C＝60°），若CO⊥AB，则能用图中字母表示出的角中互余的角有　 　 对． 16．定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△ABC是“准直角三角形”，且∠A＝40°，∠C＞90°，求∠B的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.3.1 三角形的内角(第二课时) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°，则∠A的度数为（　　） A．35° B．45° C．135° D．145° 【分析】根据三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝55°， ∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°． 所以∠A的度数为35°． 故选：A． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 2．直角三角形的一个锐角是另一个内角的4倍，则这个锐角的度数为（　　） A．72° B．22.5° C．90° D．18° 【分析】设另一个内角的度数是x，则这个锐角的度数是4x，由直角三角形的性质得到x+4x＝90°，求出x＝18°，即可得到答案． 【解答】解：设另一个内角的度数是x，则这个锐角的度数是4x， ∵这个三角形是直角三角形， ∴x+4x＝90°， ∴x＝18°， ∴这个锐角的度数是4x＝72°． 故选：A． 【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的两个锐角互余． 3．将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A．60° B．50° C．40° D．30° 【分析】由对顶角的性质得到∠3＝∠1＝50°，∠2＝∠4，求出∠4＝90°﹣∠3＝40°，即可得到∠2的度数． 【解答】解：如图， ∵∠3＝∠1＝50°， ∴∠4＝90°﹣∠3＝40°， ∴∠2＝∠4＝40°． 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形，对顶角，关键是掌握对顶角相等，直角三角形的两锐角互余． 4．如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A＝50°，则∠BOC＝（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【分析】由三角形内角和得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，根据高线定义得∠ABD＝90°﹣∠A＝40°，∠ACE＝90°﹣∠A＝40°，进而解答即可． 【解答】解：∵∠A＝50°，BD，CE是两条高， ∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝40°，∠ACE＝90°﹣∠A＝40°， 则∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠ABD+∠ACE）＝130°﹣80°＝50°， ∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°， 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理、高线的定义是解题的关键． 5．在△ABC中，三个内角度数之比为1：2：3，则△ABC最大角的度数为　90°　 ． 【分析】在△ABC中，由三个内角度数之比结合三角形内角和定理，即可求出△ABC最大角的度数． 【解答】解：在△ABC中，三个内角度数之比为1：2：3，且三个内角度数之和为180°， ∴△ABC最大角的度数为18090°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 6．在△ABC中，∠A+∠B＝90°，那么△ABC是　直角三角形　 （填“直角三角形”、“钝角三角形”或“锐角三角形”）． 【分析】根据直角三角形的判定解答即可． 【解答】解：∵∠A+∠B＝90°， ∴∠C＝180°﹣90°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的判定解答． 7．如图，△ABC中，ED∥AC，∠B＝55°，∠DEB＝90°，则∠A的度数为　35°　 ． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠D，再根据平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵∠B＝55°，∠DEB＝90°， ∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠DEB＝180°﹣55°﹣90°＝35°， ∵ED∥AC， ∴∠A＝∠BDE＝35°， 故答案为：35°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，熟记以上知识点是解题的关键． 8．利用平行线的知识证明“直角三角形中两锐角互余”的一种证法如下： 已知：△ABC中，∠C＝90°． 求证：∠B+∠BAC＝90°． 证明：如图，过点A作AD⊥AC，（①） 则∠DAC＝90°． ∵∠C＝90°， ∴∠DAC+∠C＝90°+90°＝180°． ∴DA∥BC．（②） ∴∠B＝∠DAB． ∴∠B+∠BAC＝∠DAB+∠BAC＝∠DAC＝90°． 上述证法中，为说明辅助线的做法合理，①处应填写的依据是 　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　 ； 证明过程中，②处应填写的依据是 　同旁内角互补，两直线平行　 ． 【分析】由垂线的性质，平行线的判定方法和性质，即可得到答案． 【解答】解：①处应填写的依据是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②处应填写的依据是同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；同旁内角互补，两直线平行． 【点评】本题考查直角三角形的性质，余角和补角，平行线的判定和性质，关键是掌握垂线的性质，平行线的判定方法和性质． 9．如图，已知AD⊥DC，BC⊥DC，若AM平分∠BAD，BM平分∠ABC，求∠AMB的度数．（不需要注明文字理由） 【分析】由AD⊥DC，BC⊥DC，可得出AD∥BC，利用“两直线平行，同旁内角互补”，可得出∠BAD+∠ABC＝180°，结合角平分线的定义，可求出∠BAM+∠ABM＝90°，再在△ABM中，利用三角形内角和定理，即可求出∠AMB的度数． 【解答】解：∵AD⊥DC，BC⊥DC， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°． ∵AM平分∠BAD，BM平分∠ABC， ∴∠BAM∠BAD，∠ABM∠ABC， ∴∠BAM+∠ABM∠BAD∠ABC（∠BAD+∠ABC）180°＝90°． 在△ABM中，∠BAM+∠ABM＝90°， ∴∠AMB＝180°﹣（∠BAM+∠ABM）＝180°﹣90°＝90°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和等于180度”是解题的关键． 10．已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如图2，若AE是△ABC的角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF． 【分析】（1）根据题意可以求得∠DCB+∠ACD的度数，从而可以解答本题； （2）根据题意和（1）中的结论，直角三角形中两个锐角互余和对顶角相等，可以求得结论成立． 【解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵在△ABC中，CD是高，∠A＝∠DCB， ∴∠CDA＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠DCB+∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝90°， ∴△ABC是直角三角形； （2）证明：∵AE是角平分线， ∴∠DAF＝∠BAE， ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF+∠AFD＝90°，∠CAE+∠CEA＝90°， ∴∠AFD＝∠CEA， ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA， 即∠CFE＝∠CEF． 【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 11．在下列条件中：①∠A+∠C＝∠B；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据直角三角形的判定方法以及三角形内角和定理逐个判定即可． 【解答】解：①因为∠A+∠C＝∠B，则2∠B＝180°，即∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝2：3：5，设∠A＝2x，则2x+3x+5x＝180，解得：x＝18°，则∠C＝18°×5＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，即∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为，则，解得：∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④，共4个． 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理、直角三角形的定义等知识点，掌握三角形的内角和为180°是解题的关键． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，且AD与BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．下列结论中，不一定正确的是（　　） A．∠AFB＝135° B．∠BDG＝2∠CBE C．∠BEC＝∠FBG D．BC平分∠ABG 【分析】由角平分线定义求出∠BAF+∠ABF＝45°，由三角形内角和定理得到∠AFB＝180°﹣45°＝135°，由平行线的性质推出∠BDG＝∠ABC，由角平分线定义得到∠ABC＝2∠CBE，因此∠BDG＝2∠CBE，由余角的性质推出∠BEC＝∠FBG，∠ABC不一定等于45°，因此BC不一定平分∠ABG． 【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAF∠BAC，∠ABF∠ABC， ∴∠BAF+∠ABF（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠C）（180°﹣90°）＝45°， ∴∠AFB＝180°﹣45°＝135°， 故A不符合题意； ∵DG∥AB， ∴∠BDG＝∠ABC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠CBE， ∴∠BDG＝2∠CBE， 故B不符合题意； ∵DG∥AB，BG⊥DG， ∴BG⊥AB， ∴∠ABF+∠FBG＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠CBF+∠BEC＝90°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠BEC＝∠FBG， 故C不符合题意； ∵BG⊥AB， ∴∠ABG＝90°， 如果BC平分∠ABG，那么∠ABC∠ABG＝45°， 但∠ABC不一定等于45°， 故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线定义，余角和补角，关键是由角平分线定义得到∠BAF+∠ABF＝45°，由三角形内角和定理求出∠AFB的度数，由余角的性质推出∠BEC＝∠FBG． 13．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC，则结论：①∠1＝∠2；②∠2＝∠A；③DE∥BC；④∠B+∠DCE＝90°中，正确的结论为 　①②③　 （填序号）． 【分析】根据平行线的判定可得DE∥BC，由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判断①正确；过点A作AF⊥AC，则AF∥DE，根据平行线的性质可得∠DAF＝∠ADE，再根据垂直的定义可得∠BAC+∠DAF＝90°，∠2+∠ADE＝90°，由此即可判断②正确；假设∠B+∠DCE＝90°，则∠B＝∠BAC，再根据平行线的性质可得∠B＝∠DAF，从而可得∠BAC＝∠DAF＝45°，由此即可判断④错误． 【解答】解：∵DE⊥AC，AC⊥BC， ∴DE∥BC， ∴③正确； ∵DE∥BC， ∴∠1＝∠2， ∴①正确； 如图，过点A作AF⊥AC， ∴AF∥DE， ∴∠DAF＝∠ADE， ∵AF⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BAC+∠DAF＝90°，∠2+∠ADE＝90°， ∵∠DAF＝∠ADE， ∴∠2＝∠BAC， ∴②正确； 假设∠B+∠DCE＝90°， ∵AC⊥BC， ∴∠1+∠DCE＝90°， ∴∠B＝∠1， 由①②可知，∠1＝∠2＝∠BAC， ∴∠B＝∠BAC， ∵AF∥DE， ∴∠B＝∠DAF， ∴∠BAC＝∠DAF， ∵AF⊥AC， ∴∠FAC＝90°， ∴∠BAC＝∠DAF＝45°，但根据已知条件不能得出∠BAC＝45°， ∴假设不成立， ∴结论④错误； 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 14．如图，将一个直角三角板DEF放置在锐角三角形ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，若∠A＝50°，求∠ABD+∠ACD的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到∠DBC+∠DCB＝90°，由此即可得到答案． 【解答】解：如图所示，连接BC， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠DCB＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBC+∠DCB）＝130°﹣90°＝40°， 【点评】此题考查三角形的内角和定理，解决本题的关键是掌握直角三角形两锐角互余的关系． 15．如图一副三角板ABO和三角板COD中（∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠A＝45°，∠C＝60°），若CO⊥AB，则能用图中字母表示出的角中互余的角有 　11　 对． 【分析】先根据三角形内角和定理和已知条件，求出能用图中字母表示出的两个角的和是90°的角即可． 【解答】解：∠AOB＝90°，∠COD＝90°，∠A＝45°， ∴∠A+∠B＝90°，∠C+∠D＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∠COB+∠DOB＝90°， ∴∠B＝45°， ∵CO⊥AB， ∴∠B+∠COB＝90°， ∴∠COB＝45°， ∴∠DOB＝90°﹣∠BOC＝45°， ∴∠AOC＝90°﹣∠COB＝45°， ∴∠A+∠AOC＝90°，∠A+∠COB＝90°，∠A+∠BOD＝90°，∠B+∠BOD＝90°，∠B+∠AOC＝90°，∠B+∠BOC＝90° 综上：能用图中字母表示出的角中互余的角有11对； 故答案为：11． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和互为余角，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理和互为余角的定义． 16．定义：如果一个三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．若△ABC是“准直角三角形”，且∠A＝40°，∠C＞90°，求∠B的度数． 【分析】先利用新定义得到∠C﹣∠A＝90°或∠C﹣∠B＝90°，当∠C﹣∠A＝90°，则∠C＝130°，在利用三角形内角和定理可计算出∠B＝10°，当∠C﹣∠B＝90°，利用三角形内角和定理得到∠C+∠B＝140°，然后解方程组可得到∠B的度数． 【解答】解：∵△ABC是“准直角三角形”， ∴∠C﹣∠A＝90°或∠C﹣∠B＝90°， 当∠C﹣∠A＝90°， 而∠A＝40°， ∴∠C＝90°+40°＝130°， ∵∠C+∠B+∠A＝180°， ∴∠B＝180°﹣130°﹣40°＝10°， 当∠C﹣∠B＝90°， ∵∠C+∠B+∠A＝180°， ∴∠C+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∴2∠B＝50°， 解得∠B＝25°， 综上所述，∠B的度数为10°或25°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$