专题2.2 基本不等式（举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，系统梳理重要不等式（a²+b²≥2ab）和基本不等式（√(ab)≤(a+b)/2）的内容、等号条件及常见变形，构建从概念理解到最值应用的学习支架，衔接不等式基础与复杂问题解决。 资料通过11类题型（如比较大小、证明不等式、实际应用等）设计例题与变式，结合购物、加油等生活情境培养数学应用意识，在配凑法、常数代换等方法训练中发展推理能力。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，弥补知识盲点。

专题2.2 基本不等式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 2 【题型2 由基本不等式比较大小】 4 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 5 【题型4 基本不等式求积的最大值】 9 【题型5 基本不等式求和的最小值】 10 【题型6 二次与二次（或一次）的商式的最值】 12 【题型7 条件等式求最值】 13 【题型8 基本不等式“1”的妙用求最值】 16 【题型9 基本不等式的恒成立问题】 17 【题型10 基本不等式的有解问题】 20 【题型11 基本不等式的实际应用】 22 考点1 两个不等式 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【解答过程】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D. 【变式1-1】（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【解答过程】因为，所以同号. 对于A：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误； 对于B：当时，，即， 此时，所以B错误； 对于C：当时，，此时， 不等式左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误； 对于D：因为同号，所以， 根据基本不等式的性质可得，D正确. 故选：D. 【变式1-2】（25-26高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由可得． 【解答过程】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 【变式1-3】（25-26高一上·浙江·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【解答过程】当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 故选：B. 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式逐项判断即可. 【解答过程】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【解答过程】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A. 【变式2-2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【答案】C 【解题思路】分别计算出，的表达式，结合基本不等式即可求得答案. 【解答过程】由题意得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 又因为不等于， 故，即. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【解题思路】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【解答过程】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【解答过程】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】将证明式子中的1用代换，整理为，根据基本不等式即可证明． 【解答过程】因为a，b，c都为正实数，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以． 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析 【解题思路】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解答过程】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【变式3-3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【解题思路】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【解答过程】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 考点2 基本不等式与最值 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 基本不等式求积的最大值】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解题思路】逆向使用基本不等式，解不等式即可. 【解答过程】因为，， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 所以，所以. 所以当时，取最大值， 故选：B. 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【解答过程】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【解答过程】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D. 【题型5 基本不等式求和的最小值】 【例5】（25-26高一上·山西晋城·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A．7 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【解题思路】根据题意可得：，代入中化简，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】由，得， 则 ， 当且仅当时，即时等号成立， 故选：A． 【变式5-1】（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可． 【解答过程】∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时，故的最小值为3. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】整理可得，，结合基本不等式运算求解即可. 【解答过程】由得， 因为，，则，可得， 则， 当且仅当，即，时，取得等号， 所以的最小值为3. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】结合题意得到，再两次利用基本不等式求解最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 则 ， 当且仅当，时取等，此时解得， 则的最小值为，故B正确. 故选：B. 【题型6 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例6】（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解题思路】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【解答过程】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可． 【解答过程】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A. 【变式6-3】（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【解答过程】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 【题型7 条件等式求最值】 【例7】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】从中解出，代入整理得到，利用基本不等式求解即可. 【解答过程】，，， ， ，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 故选：C. 【变式7-1】（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由已知等式得出，求得，化简得出，结合基本不等式可求得其最小值. 【解答过程】由可得， 因为，，由可得，故，且， 故 . 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【答案】(1)6 (2)6 【解题思路】（1），利用基本不等式求最小值； （2），得，，可求最大值. 【解答过程】（1）， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为6. （2），得，当且仅当，即，时等号成立， ， 故的最大值为6. 【变式7-3】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【解题思路】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【解答过程】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 【题型8 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例8】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解题思路】根据“1”的变换，转化为，展开后利用基本不等式即可求解. 【解答过程】，且， 则， 当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘构造基本不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由，则， 所以 ， 当且仅当即等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【变式8-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题设转化得，再由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解. 【解答过程】由题可得，又， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 【变式8-3】（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【解题思路】变形有，再利用乘“1”法即可得到最值. 【解答过程】因为，且，则，， 则， 当且仅当，且时，即时取等号， 故选：B． 【题型9 基本不等式的恒成立问题】 【例9】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，进而得到实数的取值范围. 【解答过程】由都是正数，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为， 又由恒成立，所以. 故选：A. 【变式9-1】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【解答过程】由正实数满足，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C. 【变式9-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）变形后，利用基本不等式“1”的代换求出最小值； （2）先求出，参变分离得到，变形得到，利用基本不等式求出取得最小值，则， 【解答过程】（1） ， 当且仅当，即时取等号， 即取得最小值. （2）由，得，即， 不等式恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时取等号， 因此当时，取得最小值，则， 所以的取值范围. 【变式9-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足，求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)最小值为5 (2)最小值为18 (3)最大值为9. 【解题思路】（1）利用基本不等式求最值； （2）利用基本不等式“1”的妙用求最小值； （3）将恒成立问题转化为的最值问题，然后利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）因为，则，由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5. （2）因为，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为18. （3）不等式恒成立化为恒成立， 又因为，所以，因此 , 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即实数的最大值为9. 【题型10 基本不等式的有解问题】 【例10】（25-26高一上·重庆渝北·阶段检测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基本不等式"1"的替换进行求解即可. 【解答过程】因为正实数x，y满足， 所以， 当且仅当时取等号，即当时，取等号， 因此要想有解， 只需， 故选：B. 【变式10-1】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【解答过程】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C. 【变式10-2】（25-26高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式得到的最小值，再结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【解答过程】因为，所以， 则， 当且仅当时取等，此时解得， 而，可得，解得，故C正确. 故选：C. 【变式10-3】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解题思路】利用“1”的代换及基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为正实数，满足， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，因为不等式有解， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型11 基本不等式的实际应用】 【例11】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【解答过程】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B. 【变式11-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解题思路】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【解答过程】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 【变式11-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【解题思路】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【解答过程】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为 . （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【变式11-3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时，有最小值，最小值是 【解题思路】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 2 【题型2 由基本不等式比较大小】 2 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 3 【题型4 基本不等式求积的最大值】 4 【题型5 基本不等式求和的最小值】 5 【题型6 二次与二次（或一次）的商式的最值】 5 【题型7 条件等式求最值】 6 【题型8 基本不等式“1”的妙用求最值】 6 【题型9 基本不等式的恒成立问题】 7 【题型10 基本不等式的有解问题】 8 【题型11 基本不等式的实际应用】 8 考点1 两个不等式 知识点1 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【题型1 基本不等式的理解及常见变形】 【例1】（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·北京昌平·期末）若，，且，则下列不等式中恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·浙江·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 由基本不等式比较大小】 【例2】（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤，b元/斤，，甲和乙购买牛肉的方式不同，甲每周购买30元钱的牛肉，乙每周购买6斤牛肉，甲、乙这两周购买牛肉的平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．，的大小无法确定 【变式2-3】（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【题型3 利用基本不等式证明不等式】 【例3】（25-26高一上·四川德阳·阶段检测）已知，，，且，证明： (1)； (2). 【变式3-1】（2026高一·全国·专题练习）已知，，，且．求证：． 【变式3-2】（25-26高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【变式3-3】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 考点2 基本不等式与最值 知识点2 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【题型4 基本不等式求积的最大值】 【例4】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，且，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式4-2】（25-26高一上·宁夏银川·阶段检测）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型5 基本不等式求和的最小值】 【例5】（25-26高一上·山西晋城·期末）若正数满足，则的最小值是（   ） A．7 B．12 C．15 D．16 【变式5-1】（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【变式5-2】（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-3】（25-26高一上·山东临沂·期末）已知均为正数，且，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【题型6 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例6】（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-1】（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ） A． B． C．5 D．8 【变式6-3】（25-26高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型7 条件等式求最值】 【例7】（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·重庆·期中）若正数、满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）已知． (1)求的最小值； (2)求的最大值． 【变式7-3】（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【题型8 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例8】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式8-1】（25-26高一上·黑龙江黑河·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【题型9 基本不等式的恒成立问题】 【例9】（25-26高一上·天津河西·阶段检测）已知都是正数，且恒成立，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【变式9-2】（25-26高一上·广东深圳·期中）已知满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【变式9-3】（25-26高一上·广东深圳·期中）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，，且满足，求的最小值； (3)当时，不等式恒成立，求实数的最大值. 【题型10 基本不等式的有解问题】 【例10】（25-26高一上·重庆渝北·阶段检测）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26高三上·陕西·阶段检测）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知正实数，满足，若不等式有解，则实数的取值范围是__________. 【题型11 基本不等式的实际应用】 【例11】（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·北京·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式11-2】（25-26高一上·河北衡水·期中）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【变式11-3】（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $