专题04 柯西不等式与权方和不等式（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以柯西不等式（二维、三维）和权方和不等式为核心，通过解题通法-题型归纳-压轴挑战三级体系，系统提炼结构配凑、维度匹配等方法，构建从基础到拔高的知识逻辑，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|结构配凑、维度匹配、等号成立条件验证|概念核心→解法原则| |题型归纳|3题型（各含1典例+3变式）|二维分组构造平方项、三维补齐平方结构、权方和调整分子分母次数|低维到高维→基础到变式| |压轴挑战|10题|综合应用三大核心方法|题型融合→思维拔高|

专题04 柯西不等式与权方和不等式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二维柯西不等式 题型二、三维柯西不等式 题型三、权方和不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 柯西不等式、权方和不等式是高中不等式拔高重难点，所有题型均围绕结构配凑、维度匹配、等号成立条件三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是准确识别左右两侧平方和、乘积和的对应结构，二是使用不等式求最值必须严格验证等号能够取到，所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二维柯西不等式 典例1 （2025高三上·全国·专题练习）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为__. 【答案】 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为，并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得， 则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此， 当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 题型模版 1.特征：含有两组二元代数式平方和，求解线性型代数式最值；条件与目标可整理为标准结构 2.方法：：合理分组构造两组平方项，匹配二维柯西不等式形式；利用不等式求出最值，联立比例条件检验等号能否成立 变式1-1柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据,令代入公式,结合已知条件,,即可得到结果. 【详解】因为, 令,又,,, 所以, 当且仅当即时等号成立, 即, 故选:D. 变式1-2（2024·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】该函数的定义域为，由柯西不等式可得： ， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 故选：A 变式1-3设向量，，其中，由不等式恒成立，可以证明（柯西）不等式（当且仅当∥，即时等号成立），已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是____ 【答案】 【详解】试题分析：首先不等式变形为，其次利用柯西不等式有 ，即，即的最大值为，而不等式恒成立，则有． 考点：柯西不等式与不等式恒成立问题． 类型二、三维柯西不等式 典例2 柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 题型模版 1.特征：三元变量最值问题，能够整理出两组三项平方和结构，适配三维柯西不等式形式 2.方法：对常数、代数式进行变形补齐平方结构，对应匹配不等式左右两端；根据验证等号存在实数解 变式2-1我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且， ，当且仅当时，等号成立.若，求的最小值； 【答案】3 【分析】由题目所提供信息，构造柯西不等式可得答案. 【详解】由柯西不等式：. ，当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为3. 变式2-2（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立． (1)若，求的最小值； (2)已知，且恒成立，求的取值范围； (3)求的最大值． 【答案】(1)3； (2)； (3)9. 【分析】（1）根据给定条件，利用柯西不等式列式求出最小值. （2）利用柯西不等式求出的最大值，再利用恒成立问题求出范围. （3）根据给定条件，利用柯西不等式列式求出最大值. 【详解】（1）由及柯西不等式，得， 则，当且仅当，即取等号， 所以的最小值为3. （2）由及柯西不等式得， 则，即，当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，则， 所以的取值范围是. （3）由柯西不等式得 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为9. 变式2-3用柯西不等式求函数 的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】配凑目标函数，再利用柯西不等式即可求得结果. 【详解】由柯西不等式可得， 函数 当且仅当==时，即时等号成立， 故该的最大值为4. 故选：C. 题型三、权方和不等式 典例3 （25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 题型模版 1.特征：目标式为多个分式相加，分子次数高于分母，变量均为正数，可统一分子分母幂次结构 2.方法：调整分子、分母次数满足权方和标准形式；优先配凑分母之和为定值，计算最值，验证等号条件 变式3-1（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 【答案】(1)证明：若，，则 ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 所以成立. (2) (3)这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以该方程无实数解， 即，故的最大值不是. 【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式即可证明不等式成立； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）略 （2） ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 变式3-2（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 变式3-3（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【分析】先将转化为，然后根据权方和不等式计算. 【详解】因为 ， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 【答案】(1) 证明：因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. (2)36 (3) 【分析】（1）利用权方和不等式，由证明； （2）利用权方和不等式，由求解； （3）转化为求解. 【详解】（1）略 （2）因为均为正实数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. （3）对任意实数，，不等式恒成立， 又，则只需， 因为，所以， 所以， 设，则， 当且仅当 即时，两个等号同时成立， 故. 所以正实数的取值范围是. 2．（22-23高一上·贵州贵阳·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数 的最小值为______． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 的最小值为8. 故答案为：8. 3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】令，代入公式即可得解. 【详解】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 4．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，构造柯西不等式完成计算； （2）直接构造柯西不等式完成计算； （3）将问题转化为“”，利用柯西不等式求解出，则的取值范围可求. 【详解】（1）由柯西不等式可得：， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）的定义域为， 因为 由柯西不等式可得：， 所以，所以， 当且仅当，即(符合定义域)时取等号， 所以的最大值为. （3）因为，，所以，所以， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 所以； 由柯西不等式可得：， 因为，所以，令， 所以， 所以， 当且仅当，即，即时取等号(满足条件)， 所以，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且，的最小值为____. 【答案】/1.6 【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系. 【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号. 证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号， 要证只须证， 因则= 当且仅当时，即时取等号. 不妨令,整理得， 则解得则 ， 当且仅当时等式成立，由解得：，即当时，的最小值为. 故答案为： 7．（2026高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为______________ 【答案】 【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解. 【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号. 证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号， 要证只须证， 因 则= 当且仅当时，即时取等号. 故由 当且仅当时取等号.由解得：， 即当时，的最小值为. 故答案为： 8．（四川省成都市第七中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性测试数学试题）（多选）已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 【答案】ACD 【分析】对于A，根据基本不等式，可得其正误；对于B，利用基本不等式“1”的妙用，可得其正误；对于C，利用多项式乘法以及配方法，可得其正误；对于D，利用放缩，再根据完全平方公式以及基本不等式，可得其正误. 【详解】对于A，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为，故B错误； 对于C， ， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 【解法二】（二维柯西不等式） 等号条件： 联立，方程存在正实数解，等号可取 对于D选项，由，则， ， 设，可得， 则上式， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设a，，则的最大值为__________． 【答案】4 【详解】由柯西不等式可得：， 当且仅当，时，等号成立. 即的最大值为4． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）设是正实数且满足，求最小值． 【答案】27. 【分析】根据基本不等式，即可求得最小值. 【详解】令， 则， 当且仅当，解得； 所以. 【解法二】由权方和不等式 已知， 代入得 等号成立条件 联立方程组 解得，满足正实数条件，等号能够取到 因此的最小值为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 柯西不等式与权方和不等式 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二维柯西不等式 题型二、三维柯西不等式 题型三、权方和不等式 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 柯西不等式、权方和不等式是高中不等式拔高重难点，所有题型均围绕结构配凑、维度匹配、等号成立条件三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是准确识别左右两侧平方和、乘积和的对应结构，二是使用不等式求最值必须严格验证等号能够取到，所有参数结果最终均需合规检验 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二维柯西不等式 典例1 （2025高三上·全国·专题练习）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为__. 题型模版 1.特征：含有两组二元代数式平方和，求解线性型代数式最值；条件与目标可整理为标准结构 2.方法：：合理分组构造两组平方项，匹配二维柯西不等式形式；利用不等式求出最值，联立比例条件检验等号能否成立 变式1-1柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,当且仅当时取等号.现已知,,,则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1-2（2024·湖北黄冈·模拟预测）柯西不等式（Cauchy—SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1-3设向量，，其中，由不等式恒成立，可以证明（柯西）不等式（当且仅当∥，即时等号成立），已知，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围是____ 类型二、三维柯西不等式 典例2 柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 题型模版 1.特征：三元变量最值问题，能够整理出两组三项平方和结构，适配三维柯西不等式形式 2.方法：对常数、代数式进行变形补齐平方结构，对应匹配不等式左右两端；根据验证等号存在实数解 变式2-1我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且， ，当且仅当时，等号成立.若，求的最小值； 变式2-2（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，当且仅当时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立． (1)若，求的最小值； (2)已知，且恒成立，求的取值范围； (3)求的最大值． 变式2-3用柯西不等式求函数 的最大值为 A． B．3 C．4 D．5 题型三、权方和不等式 典例3 （25-26高一下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 题型模版 1.特征：目标式为多个分式相加，分子次数高于分母，变量均为正数，可统一分子分母幂次结构 2.方法：调整分子、分母次数满足权方和标准形式；优先配凑分母之和为定值，计算最值，验证等号条件 变式3-1（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数、满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是. 变式3-2（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 变式3-3（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26高一上·河北石家庄·期中）权方和不等式描述的是若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．更一般的元形式为：，其中均为正实数，当且仅当时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解决下列问题：（其他方法不给分） (1)已知均为正实数，且，求证：； (2)已知均为正实数，且，求的最小值； (3)对任意实数，，不等式恒成立，求正实数a的取值范围． 2．（22-23高一上·贵州贵阳·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数 的最小值为______． 3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 4．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期中）从不等式出发，我们可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式.柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立.请你根据以上信息，完成以下问题： (1)若，求的最小值； (2)求函数的最大值； (3)若，，不等式恒成立，试求实数的取值范围. 6．（2026高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且，的最小值为____. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为______________ 8．（四川省成都市第七中学2025-2026学年高一上学期12月阶段性测试数学试题）（多选）已知均为正实数，且，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C．的最小值为 D．不小于 9．（25-26高三·全国·一轮复习）设a，，则的最大值为__________． 10．（25-26高三·全国·一轮复习）设是正实数且满足，求最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $