精品解析：2022年北京市各区数学二模试题分类——四边形证明及计算

北京市各区二模试题分类——四边形证明及计算 （昌平） 1. 如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． （海淀） 2. 如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接BE，若AB = 2，tan C =，求BE的长． （门头沟） 3. 如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接OE，若，，求OE的长． （石景山） 4. 如图，在等边中，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点F，连接．若，求的长． （燕山） 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作交BC于点E，点F在BC的延长线上，且，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接AC，若，，，求EC和AC的长． （西城） 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE． （1）求证：四边形EBFD是矩形； （2）若，，求BF的长． （朝阳） 7. 如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点． （1）求证：四边形OMPN是矩形； （2）连接AP，若，，求AP的长． （丰台） 8. 如图，在△ABC中，，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，CE∥DA． （1）求证：四边形AECD是矩形； （2）若AB＝5，，求AE的长． （平谷） 9. 如图，在□中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G． （1）求证：四边形AGEF是平行四边形； （2）若，，，连接GF，求GF的长． （密云） 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AC平分，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若，，求AC的长． （顺义） 11. 如图，在中，，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF为矩形； （2）若，，求EF的长． （大兴） 12. 如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，求的度数． （房山） 13. 已知：如图，在四边形中，，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市各区二模试题分类——四边形证明及计算 （昌平） 1. 如图，在矩形中，对角线交于点，分别过点作，的平行线交于点，连接交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由矩形的性质得，即可得出结论； （2）先由矩形性质，得，再判定是等边三角形，得，再由菱形的性质得,，然后由勾股定理求出长，即可求得长，最后由菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知：四边形是菱形， ∴， ∴在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∴． （海淀） 2. 如图，在Rt△ABC中，∠A =90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接BE，若AB = 2，tan C =，求BE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形AEFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出结论； （2）根据AB=2，，得出AC=4，进而求出AE=AC=2，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵D，E，F分别为AB，AC，BC的中点， ∴ DF∥AC， EF∥AB． ∴ 四边形AEFD是平行四边形． ∵ ∠A=90°， ∴ 四边形AEFD是矩形． 【小问2详解】 解：∵ AB=2，， ∴ 在Rt△ABC中，． ∵ E是AC的中点， ∴ ． ∴ 在Rt△ABE中，． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，勾股定理求边长，涉及到的知识点有中位线定理，平行四边形的判定，根据锐角三角函数求边长等知识点，熟练掌握矩形的判定是解决问题的关键． （门头沟） 3. 如图，在矩形ABCD得对角线AC，BD交于点O，延长CD到点E，使，连接AE． （1）求证：四边形ABDE是平行四边形； （2）连接OE，若，，求OE的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵DE=CD， ∴DE=AB， ∴四边形ABDE是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据DE=AB，DE∥AB，即可得出四边形ABDE是平行四边形． （2）过O作OF⊥CD于F，依据矩形的性质即可得到OF以及EF的长，再根据勾股定理即可得到OE的长． 【详解】解：（1）略 （2）如图所示，过O作OF⊥CD于F， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OD=OC， ∴F是CD的中点， ∴DF=CD=×2=1， 又∵DE=CD=AB=2， ∴EF=3， ∵O是AC的中点， ∴OF是△ACD的中位线， ∴OF=AD=2， ∴Rt△OEF中，OE=． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定方法． （石景山） 4. 如图，在等边中，D是的中点，过点A作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接交于点F，连接．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形，由是等边三角形，D是的中点，得到∠ADC＝90°，结论得证； （2）由等边三角形的三线合一求得BD，在中，由勾股定理得AD，BE，由ADEC，D为的中点，得到F为的中点，△BCE是直角三角形，由斜边上中线等于斜边的一半得到答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵是等边三角形，D是的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图， ∵是等边三角形，， ∴． ∵D是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，，． ∴． ∵，D为的中点， ∴． ∴F为的中点． ∵△BCE是直角三角形， ∴． 【点睛】此题考查了矩形判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定、平行线分线段成比例、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质和判定是解题的关键． （燕山） 5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作交BC于点E，点F在BC的延长线上，且，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接AC，若，，，求EC和AC的长． 【答案】（1）见解析； （2）EC的长为8，AC的长为4． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF＝90°即可； （2）根据矩形的性质得到AE＝DF＝4，∠AEC＝∠F＝90°，根据余角的性质得到∠EAC＝∠DCF，得到△AEC∽△CFD，，代入数值求得EC＝8，在Rt△AEC中，由勾股定理得到AC＝4． 【小问1详解】 证明：∵CF＝BE， ∴CF+EC＝BE+EC． 即 EF＝BC． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD＝BC， ∴ADEF，AD＝EF． ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°． ∴四边形AEFD是矩形； 【小问2详解】 解：如图，连接AC， ∵四边形AEFD是矩形， ∴AE＝DF＝4，∠AEC＝∠F＝90°， ∵∠ACD＝90°， ∴∠EAC+∠ACE＝∠ACE+∠DCF＝90°， ∴∠EAC＝∠DCF， ∴△AEC∽△CFD， ∴ ， ∴， ∴EC＝8， 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，AE＝4，EC＝8， ， ∴． 故EC的长为8，AC的长为4． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确的识别图形是解题的关键． （西城） 6. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE． （1）求证：四边形EBFD是矩形； （2）若，，求BF的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC， ∴∠EAB=∠FCD， ∵AE= CF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)， ∴BE=DF，∠F=∠E=90°， ∴BE∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵∠E=90°， ∴四边形EBFD是矩形； （2）BF的长为． 【解析】 【分析】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是矩形； （2）在Rt△BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt△BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5， ∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5， 在Rt△BCO中，，BC=5， ∴， ∴OB=4，则BD=2OB=8， 在Rt△BDF中，，BD=8， ∴， ∴BF=×8=． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （朝阳） 7. 如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点． （1）求证：四边形OMPN是矩形； （2）连接AP，若，，求AP的长． 【答案】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点． ∴，． ∴四边形OMPN是平行四边形． ∵在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O， ∴． ∴四边形ONPN是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质即可证得结论； （2）由菱形的性质及已知可得△ABD是等边三角形，进而可得OA的长度，由中位线的性质可得PN及ON，从而可得AN，由矩形的性质及勾股定理即可求得AP的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形OMPN是矩形， ∴． ∵四边形ABCD是菱形， ∴，，AC平分∠BAD． ∵，， ∴△ABD是等边三角形． ∴BD=4． ∴，由勾股定理得：． ∴，． ∴． ∴在中,由勾股定理得:． （丰台） 8. 如图，在△ABC中，，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，CE∥DA． （1）求证：四边形AECD是矩形； （2）若AB＝5，，求AE的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形AECD是平行四边形，再证是矩形即可； （2）根据锐角三角函数进行求解即可； 【小问1详解】 证明：∵AE∥BC，CE∥DA ∴四边形AECD是平行四边形 ∵AD⊥BC ∴是矩形 【小问2详解】 ∵，AD⊥BC ∴ ∵AB＝5 ∴， 根据矩形的性质， 【点睛】本题主要考查矩形的性质、锐角三角函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的． （平谷） 9. 如图，在□中，连接AC，点E是AB中点，点F是AC的中点，连接EF，过E作EG∥AF，交DA的延长线于点G． （1）求证：四边形AGEF是平行四边形； （2）若，，，连接GF，求GF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再由三角形中位线定理可得EF∥BC，从而得到EG∥AF，即可求证； （2）过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N，可得EM=FN，再由三角形中位线定理可得EF=6，然后根据四边形AGEF是平行四边形，可得AG=EF=6，GE=AF，GE=AF=5，根据，可得FN=EM=3，从而得到AN=4，再由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，AD∥BC， ∵点E是AB中点，点F是AC的中点， ∴EF∥BC， ∴EF∥AD，即EF∥AG， ∵EG∥AF， ∴四边形AGEF是平行四边形； 【小问2详解】 如图，过点E作EM⊥DG于点M，过点F作FN⊥DG于点N， ∵EF∥AD， ∴EM=FN， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=12， ∵点E是AB中点，点F是AC的中点， ∴， ∵四边形AGEF是平行四边形， ∴AG=EF=6，GE=AF， ∵F是AC的中点，， ∴AF=5， ∴GE=AF=5， ∵EM⊥DG， ∴∠EMG=90°， ∴， ∴EM=3， ∴FN=EM=3， ∵FN⊥DG， ∴， ∴GN=AG+AN=10， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （密云） 10. 如图，在平行四边形ABCD中，AC平分，点E为AD边中点，过点E作AC的垂线交AB于点M，交CB延长线于点F． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若，，求AC的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线性质得∠DAC=∠ACB，根据角平分线定义得∠DAC=∠BAC，进而得出∠BCA=∠BAC，推出BA=BC，最后证得结果； （2）连接BD，根据平行四边形的判定证明四边形EFBD是平行四边形，再求得BC及的值，最后求得AC的长． 【小问1详解】 证明∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， ∵AC平分， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠BCA=∠BAC， ∴BA=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； 【小问2详解】 连接BD， ∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DE∥BF， ∵AC⊥EF， ∴EF∥BD， ∴四边形EFBD是平行四边形，∠OBC=∠F， ∴DE=BF=2， ∵点E为AD边中点， ∴AD=4， ∴BC=AD=4， ∵，∠OBC=∠F， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的性质及判定、等腰三角形的判定及性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定及性质． （顺义） 11. 如图，在中，，AD为BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF为矩形； （2）若，，求EF的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，AD为BC边上的中线，可得，证明，可得，继而可得，即可得证； （2）根据，，设，则，勾股定理求得根据,进而可得，由（1）可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：，AD为BC边上的中线， , ， ， 点E为AD的中点， ， 又， ， ， ， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 【小问2详解】 四边形是矩形， ， ，， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 中， , 由（1）可得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，已知正弦求边长，掌握以上知识是解题的关键． （大兴） 12. 如图，P是正方形对角线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）连接，求的度数． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴； ∴； ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，得到，结合已知，等量代换即可得证； （2）连接，证明，根据，得到，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． （房山） 13. 已知：如图，在四边形中，，垂足为M，过点A作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）先证明AE∥BD，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先根据平行四边形的性质和锐角三角函数求得CE的长，再利用勾股定理求出AE的长即可求得BD的长． 【小问1详解】 解：∵AC⊥BD，AC⊥AE， ∴AE∥BD， 又AB∥DC， ∴四边形ABDE是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴BD=AE，∠E=∠ABD， ∵， ∴，则CE=10， 在Rt△EAC中，， ∴BD=6． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $