精品解析：2025年北京市点 中国人民大学附属中学中考数学二模模拟试卷

2024—2025学年初三下学期 数学限时练习9 （考察范围：二模模拟1 时间：120分钟） 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列算式中正确的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 2. 如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（ ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数与数轴，无理数的估算等知识，熟练进行无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算及点所处的位置进行判断即可． 【详解】解：（1），则， 而点A表示的数是大于的数，故错误； （2），由数轴知，点表示的数可能是， 故正确； （3），点表示的数接近3，故它表示的数不可能是； 故错误； （4），由数轴知，点D表示的数大于4， 故错误； 综上，正确的有1个； 故选：B． 3. 下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短；两点确定一条直线，两点之间；线段最短，先判断每个选项的现象是分别依据哪些原理，再结合题意，即可作答． 【详解】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意； B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意； D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意， 故选：A． 4. 目前，我国已成为全球领先的人形机器人生产国．数据显示，2024年中国人形机器人市场规模约为元，到2026年人形机器人市场规模有望是2024年市场规模的4倍，达到元，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，科学记数法的表示方法，掌握乘方计算，科学记数法的表示方法是关键． 根据题意，运用乘方计算，科学记数法的表示方法（）求解即可． 【详解】解：2024年中国人形机器人市场规模约为元，到2026年人形机器人市场规模有望是2024年市场规模的4倍， ∴， 故选：C ． 5. 如图，，，相交于点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，交于点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点O，点E在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握菱形的对角线平分一组对角其互相垂直是解题关键．由菱形的性质可得，再根据等边对等角的性质，求出，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 故选：D． 7. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的有（ ） （1）勒洛三角形是轴对称图形； （2）图1中，点到上任意一点的距离都相等； （3）图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等； （4）图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质，圆的性质，等边三角形的性质判断即可． 本题考查了平行线的距离，等边三角形的性质，轴对称的性质，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：（1）勒洛三角形是轴对称图形，正确； （2）图1中，点A到上任意一点的距离都是半径，故相等； （3）图2中，连接，连接并延长交弧于G， 设等边三角形的边长为a， 则， ∵， ∴， ∴勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，故错误； （4）设等边三角形的边长为a， ∴勒洛三角形的周长， 圆的周长， ∴勒洛三角形的周长与圆的周长相等，故正确． 所以错误的只有1个； 故选：B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 8. 请完成下面关于代数式的相关计算： （1）若代数式有意义，则实数的取值范围是______． （2）分解因式：______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分解因式等知识； （1）根据二次根式被开方数非负即可求解； （2）先提取公因式y，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：（1）由题意知：， 解得：； 故答案为：； （2）； 故答案为：． 9. 已知，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的第一个方程减去第二个方程即可得． 【详解】解：， 将①②得：， 故答案为：． 10. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．通过a取，b取可说明命题“若，则”是错误的． 【详解】解：当，时，，，而， ∴命题“若，则”是错误的 故答案为：；1．（答案不唯一） 11. 下面关于函数的说法，正确的是______．（填序号） （1）如图，直线：与轴交于，直线与直线：交于，则关于的不等式的解集是； （2）已知反比例函数的图象与直线交于两点、，则； （3）已知反比例函数图象上有两点，，且，则的取值范围是． 【答案】（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理等知识； （1）由条件可求得直线a的解析式，从而求得点P的坐标，结合函数图象即可判断； （2）解方程组可求得A、B两点的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）由反比例函数的图象与性质知，求得m的范围即可判断； 综上即可作出判断． 【详解】解：（1）∵直线：与轴交于， ∴，即， ∴； ∵直线与直线：交于， ∴， 解得：，即； 观察图象知，关于的不等式解集为； 故错误； （2）由得：，解得：，从而有， ∴， 由勾股定理得：； 故正确； （3）由题意知，当时，有， 则，即； 故正确； 综上，正确的有（2）（3）； 故答案为：（2）（3）． 12. 如图，在矩形中，点在上，于点．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；由勾股定理得出的值，证明，求出，再证明，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别为，上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近F的四等分点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 15. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 【答案】 ①. 53 ②. 28 【解析】 【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28； 【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 三、解答题 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，负整数指数幂，二次根式的性质，二次根式的加减，绝对值．先化简负整数指数幂，特殊角的三角函数，绝对值，以及运用二次根式的性质进行化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根的关系、一元二次方程的根、整式的化简求值，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答的关键． （1）根据题意，由列不等式求解即可； （2）根据方程的解的意义得到，然后化简所求代数式，进而代值求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵为方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 19. 已知四边形为平行四边形，将的边延长到E，使得，连接，连接交于点O，且满足． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，点F为中点，连接，，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握三角形中位线、平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，，，则有，然后可得，则可证明四边形为平行四边形，进而根据矩形的判定可进行求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，则有为等边三角形，，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可得，最后问题可求解 【小问1详解】 证明：在中，，，，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵O为中点， ∴， ∵，O为中点， ∴， ∵点F为中点，B为中点， ∴， ∵， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴的面积为． 20. 为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图． （1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； （2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）： 已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______； （3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______． 【答案】（1）①90，87．5； ②如图所示，在图中圈出的就是所求． （2）B （3）180 【解析】 【分析】（1）①根据图象直接得到，再求平均即可；②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，圈出即可； （2）根据统计图数出落在各区间的频数，再与在直方图上表示的数对照即可求解； （3）用总人数乘以抽样中两次活动平均成绩不低于90分的占比即可． 【小问1详解】 解：①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是（85+90）÷=87．5， 故答案为：90，87．5． ②符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上． 【小问2详解】 由统计图可以看出，70≤x<75的点有7个，75≤x<80的点有2个，80≤x<85的点有1个，85≤x<90的点有1个，90≤x<95的点有5个，95≤x≤100的点有4个， ∴B作图正确． 【小问3详解】 解：400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为： （人）． 【点睛】本题考查了看图知识，求平均数，频数分布直方图，解题的关键是掌握频数分布直方图知识． 21. 每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小志从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． （1）小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ （2）初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． （3）老师又统计了小石所在班级的三名学生这天的脂肪摄入量，见下表．老师从这三名学生中随机选两位，则她们的脂肪摄入量均达标的概率为______． 学生 小静 小华 小畅 脂肪摄入量（克） 54 66 70 【答案】（1）小志喝了2盒牛奶和1盒豆浆 （2）他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数四则运算的实际应用，列表或画树状图求某事件发生的概率，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键． （1）设小志喝了牛奶盒，豆浆盒，根据“从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质．”列方程组求解即可； （2）由（1）知小志这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． （3）画树状图得到所有等可能的结果，从中找出符合条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：设小志喝了牛奶盒，豆浆盒，根据题意： ， 解得：， 答：小志喝了2盒牛奶和1盒豆浆； 【小问2详解】 解：他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标，理由如下： 由（1）知小志这天喝了2盒牛奶和1盒豆浆， 则喝完牛奶和豆浆后，摄入的脂肪为， 则这天小志这天共摄入脂肪， ， ∴他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量没有超标． 【小问3详解】 解：由表格知，脂肪摄入量均达标的是小华和小畅， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中脂肪摄入量均达标的有2种， ∴她们的脂肪摄入量均达标的概率为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点的坐标； （2）当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围； （3）若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）过点B作轴于点D，由点A的坐标及等腰直角三角形的性质，可得出点B的坐标为，结合点B在直线上，即可求出a的值，进而可得出点A的坐标； （2）求出直线的解析式，再根据直线在直线l和上方的条件，结合函数图象的性质确定m的取值范围； （3）由（1）可得出点B的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式为，由的面积等于的面积，可得出点C在直线或上，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b的值． 【小问1详解】 解∶过点B作轴于点D，如图所示． 点A的坐标为， ． 是以点B为直角顶点的等腰直角三角形， ． ∵点B在第一象限， ∴点B的坐标为， 又∵点B在直线上， ，解得∶， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 设直线的解析式为，把)代入，解得， ∵当时，直线即在直线：的上方，又在直线的上方， ∴结合函数图象可知m的取值范围是； 【小问3详解】 解：由（1）可得出点B的坐标为， 设直线AB的解析式为， 将，代入得∶ 解得∶ ∴直线的解析式为． ∵的面积等于的面积， 点C在直线或上， ∵点C的坐标为或， 或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 如图，AB是的直径，与相切于点B．点D在上，且，连接交于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交于点F． （1）求证：∠MED=∠MDE． （2）连接，若，MB=2．求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BE=． 【解析】 【分析】（1）由题意得，则，又，则结论得证； （2）连，，可得，可证，则，可求的长． 【详解】（1）证明：与相切于点， ， ， ， ， ， ， ； （2），是的直径， ， ， ， ， ，即， , ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形和平行线之间的角度转化以及圆周角定理和相似综合，熟练的在圆中找出对应的相似三角形是求解本题的关键. 24. 在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上． （1）当时，求抛物线对称轴的表达式； （2）若点也在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答： ①当这个函数的最小值为0时，求的值； ②若在时，随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标求出和的关系，再用对称轴的公式即可求出对称轴； （2）①由点和找出抛物线的对称轴，再由题意得出是对称轴，列出关于的方程，求出即可；②根据函数图象的开口方向分和两种情况讨论，由对称轴的位置即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，有， 把代入中可得：， 即， 抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 解：①函数经过点，且函数的最小值为0， 为抛物线的顶点，且函数图象开口向上， 该函数的对称轴为， 取，得， 该抛物线经过， 又和在该抛物线上， ， 解得； ②当时，随的增大而增大， 当时，抛物线开口向下，则当时，随的增大而增大， ，即， 又在抛物线上， 或，即或， 或， 当时，抛物线开口向上，则当时，随的增大而增大， 所以，即， 又在抛物线上， ，无解， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要牢记对称轴的公式为，要知道二次函数图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称． 25. 已知点在的角平分线上，点在射线上，连接．若（），将线段绕点逆时针旋转，得到线段．点在射线上，且，连接交射线于点． （1）如图1，当，且点与点重合时，补全图形，求证：点为的中点； （2）如图2，当时，求证：点为的中点． 【答案】（1）补全图形见解析；证明见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转及已知得，即可证明，则，问题得证； （2）过点M作交射线于点G，连接，先证明，得，；再证明，则，问题得证． 【小问1详解】 证明：补全的图形如下： 由旋转知：，； ∵，， ∴，， ∴； ∴； ∴， ∴， ∴， 即点E是的中点； 【小问2详解】 证明：如图，过点M作交射线于点G，连接； 则，； 由旋转知，， ∴， ∴， ∴； ∵的角平分线为，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵， ∴，； ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 即点E是的中点． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和平面内的点，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点旋转后得到的对应点在上，则称点是弦的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦的“伴随点”是___________； ②若点是弦的“伴随点”，则点的横坐标的最小值为___________； （2）已知直线与坐标轴交于点和点，点是线段上任意一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．直接写出的取值范围． 【答案】（1）①、；② （2）或. 【解析】 【分析】（1）①如图，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作两圆的切线，，结合弦上存在点，使得点绕点旋转后得到的对应点在上，可得在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界） 再进一步分析即可 ②由点是弦的“伴随点”，可得：在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界），结合图形可得点的横坐标的最小值为：； （2）如图，，把分别绕旋转得到与，连接，，，此时在上，在上，且， 作的切线，，外切于，连接，交切线于，可得，，此时，结合（1）的结论可得：弦的“伴随点”在以为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）；再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：①如图，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作两圆的切线，， ∵弦上存在点，使得点绕点旋转后得到的对应点在上， ∴在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界） ∴是弦的“伴随点”，不是弦的“伴随点”； 如图，， ∴在直线上，而直线垂直， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在上， ∴是弦的“伴随点”， ②∵点是弦的“伴随点”， ∴由①可得：在弧，以及两条切线围成的图形内（包括边界）， 结合图形可得点的横坐标的最小值为：； 【小问2详解】 解：如图，， 把分别绕旋转得到与，连接，，， 此时在上，在上，且， 作的切线，，外切于，连接，交切线于， ∴，， 此时， 结合（1）的结论可得： 弦的“伴随点”在以为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）； 如图， ∵直线与坐标轴交于点和点，点是线段上任意一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”． ∴一定在以为圆心，为半径，为半径的圆环内（包括边界）； ∴，或， 当直线切小圆于点时，, ，都为等腰直角三角形， ∴， 当时，同理可得：， 综上：此时的范围为：或. 【点睛】本题考查的是新定义的含义，一次函数的图象与性质，圆的基本性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，理解新定义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年初三下学期 数学限时练习9 （考察范围：二模模拟1 时间：120分钟） 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1. 下列算式中正确的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（ ） （1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是 （3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 4. 目前，我国已成为全球领先的人形机器人生产国．数据显示，2024年中国人形机器人市场规模约为元，到2026年人形机器人市场规模有望是2024年市场规模的4倍，达到元，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，，，相交于点，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点O，点E在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（图1）．它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的有（ ） （1）勒洛三角形是轴对称图形； （2）图1中，点到上任意一点的距离都相等； （3）图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等； （4）图2中，等宽的勒洛三角形和圆，它们的周长相等． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 8. 请完成下面关于代数式的相关计算： （1）若代数式有意义，则实数的取值范围是______． （2）分解因式：______． 9. 已知，满足方程组，则的值为______． 10. 用一组a，b的值说明命题“若非零实数，则”是错误的，这组值可以是_____， _____． 11. 下面关于函数的说法，正确的是______．（填序号） （1）如图，直线：与轴交于，直线与直线：交于，则关于的不等式的解集是； （2）已知反比例函数的图象与直线交于两点、，则； （3）已知反比例函数图象上有两点，，且，则的取值范围是． 12. 如图，在矩形中，点在上，于点．若，则的长为___________． 13. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别为，上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近F的四等分点，则______． 14. 如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为______． 15. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 三、解答题 16. 计算：． 17. 解不等式组：． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为方程的一个根，求代数式的值． 19. 已知四边形为平行四边形，将的边延长到E，使得，连接，连接交于点O，且满足． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，点F为中点，连接，，若，，求的面积． 20. 为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图． （1）①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分； ②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点； （2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）： 已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是______； （3）假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为_______． 21. 每年的5月20日为中国学生营养日，2024年营养日的主题是“奶豆添营养，少油更健康”．某学校为每位学生定制了盒装的牛奶和豆浆，它们的营养成分表如下： 营养成分食品种类 一盒牛奶 一盒豆浆 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 钙 某天，初中生小志从这两种食品中恰好摄入了能量和蛋白质． （1）小志喝了牛奶和豆浆各多少盒？ （2）初中生每日脂肪摄入量标准约为．若小志这天已经从其它食品中摄入脂肪，在他喝完牛奶和豆浆后，脂肪摄入量是否超标，并说明理由． （3）老师又统计了小石所在班级的三名学生这天的脂肪摄入量，见下表．老师从这三名学生中随机选两位，则她们的脂肪摄入量均达标的概率为______． 学生 小静 小华 小畅 脂肪摄入量（克） 54 66 70 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在第一象限内直线：上一点．是以点为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点的坐标； （2）当时，直线（）既在直线的上方，又在直线的上方，直接写出的取值范围； （3）若点，且的面积等于的面积，请直接写出的值． 23. 如图，AB是的直径，与相切于点B．点D在上，且，连接交于点E．过点E作EF⊥AB于点H，交BD于点M，交于点F． （1）求证：∠MED=∠MDE． （2）连接，若，MB=2．求BE的长． 24. 在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上． （1）当时，求抛物线对称轴的表达式； （2）若点也在这个二次函数的图象上，结合函数图象作答： ①当这个函数的最小值为0时，求的值； ②若在时，随的增大而增大，直接写出的取值范围． 25. 已知点在的角平分线上，点在射线上，连接．若（），将线段绕点逆时针旋转，得到线段．点在射线上，且，连接交射线于点． （1）如图1，当，且点与点重合时，补全图形，求证：点为的中点； （2）如图2，当时，求证：点为的中点． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和平面内的点，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点旋转后得到的对应点在上，则称点是弦的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦的“伴随点”是___________； ②若点是弦的“伴随点”，则点的横坐标的最小值为___________； （2）已知直线与坐标轴交于点和点，点是线段上任意一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $