精品解析：辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令t=4+3x-x2 ＞0，求得函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2 在定义域内的减区间． 【详解】函数f（x）=log2（4+3x-x2），令t=4+3x-x2 ＞0，求得-1＜x＜4， 即函数的定义域为（-1，4），且f（x）=log2t， 即求函数t在定义域内的减区间． 再利用二次函数的性质可得t=4+3x-x2 在定义域内的减区间为.故选D． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题． 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 2 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】法一：利用等差数列的基本量，将其转化为的关系求解即可； 法二：利用等差数列的性质求解即可. 【详解】法一：利用等差数列的基本量运算 由，即， 又. 法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，， 由，所以 .故选：B. 3. 52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C， 则. 4. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据构造新函数，从而得到新函数的单调性，然后再对要求的不等式变形，变成“”的形式，然后根据函数单调性去掉对应关系“”，从而解得答案. 【详解】因为定义在上，所以中的式子要有意义， 需满足，解得. 因为，所以，即， 设函数，则在定义域上单调递减. 要求，则 当，即时，，即， 所以，解得或，所以； 当，即时，，即， 所以，解得； 在中，令得， 而在中，当时，有，显然成立； 综上，的解集为. 故选：D. 5. 某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可 【详解】由已知条件和分期付款公式，可得 ， ∴． 故选：C 6. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 162 B. 243 C. 384 D. 512 【答案】C 【解析】 【分析】利用，可求得，再利用求解即可. 【详解】因为，即，所以， 可得数列为等比数列，首项为，公比， 所以， 所以. 7. 甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算乙每局获胜的概率，再将乙获胜分为比赛2局获胜、3局获胜两类互斥事件，分别计算概率后求和即可. 【详解】由题意可知，每局比赛乙获胜的概率为 ，且各局比赛结果相互独立，乙战胜甲有两类互斥情况： 第一类：乙连胜2局，那么 第二类：比赛共进行3局，前2局乙胜1局且第3局乙胜，那么 ， 故乙战胜甲的概率为 8. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程整理成，利用同构思想，设，求导判断其单调性，推得，设，判断其单调性确定其最小值，即得参数的范围. 【详解】由得，即， 即. 设，则， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 设，则， 当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增， 所以，所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式. 【详解】令函数，求导得，由， 得，即函数在定义域上单调递增，由，得， 不等式，即，解得， 所以所求的值可能为1，2. 10. 在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前1000项和大于 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的性质求出，，求出，即可判断ABC；求出的通项公式，进而得到，结合裂项相消法求出数列的前1000项和，利用放缩法与比较，即可判断D. 【详解】由题意知，，，. 因为，，是公比为的等比数列，所以，，， 即，， 解得，，故B正确. ，故A错误. ，，，故C正确. 因为为等差数列，所以. 所以， 则数列的前项和 . ，故D错误. 11. 高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用利用独立重复试验的概率公式和对称性求出. 【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，由对称性可知， ，， ，， 所以A，B正确, ， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 ①. ②. （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 13. 已知随机变量，，且，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项分布的期望公式写出，再结合期望的线性性质代入构造关于的方程求出，利用正态分布的对称性求解连续型随机变量概率． 【详解】，， ，，即，解得， ， 由对称性可得， 又， ， ． 故答案为：． 14. 已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数，从而求导可得零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值. 【详解】由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则， 即． 令，得，， 由于中，且， 分析：由于，可知， 又由于，且，所以零点的组合不能是或， 故的组合只能是，这样只能是，，可计算得， 满足题意， 此时，． 令，得或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 则由单调性可知，的极大值为． 故答案为：0 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知递增的等差数列的首项，且成等比数列. (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列满足，为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）把数列的通项公式代入，分组后利用等差数列与等比数列前项和公式求解． 【详解】由题可知，且 即 可得 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了等差数列与等比数列前项和的求法，是中档题． 16. 已知函数，. （1）若函数在点处的切线方程为，求，的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出的值并验证即可 (2)求出函数及导数，再由在上恒成立求出的范围 【小问1详解】 由题，，因为在处的切线为，所以， 代入得切点为，切点在切线上，则. 【小问2详解】 由题，求导得， 由在上单调递增，得在上恒成立， 当时，，因此在上恒成立，又，则 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 【答案】（1） （2） 的分布列为 0 1 2 数学期望为 （3） 的分布列为 0 1 2 3 方差为 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，列出关于的方程并求解； （2）根据频率计算各层人数，按比例确定分层抽样中两组抽取人数， 服从超几何分布，逐一求概率后列分布表并算期望； （3）用频率估计概率得单人成绩在给定区间的概率， 服从二项分布，由二项分布公式求分布列，用二项分布方差公式计算方差. 【小问1详解】 依题意，得 ，解得 ． 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有 （人）， 成绩在的人有 （人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以 的所有可能取值为0，1，2， 则， ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以． 【小问3详解】 因为成绩在的频率为，用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成绩在的概率为． 又全公司中成绩在范围的人有 （人）， 所以 的可能取值为0，1，2，3，且． 所以，， ，． 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以， 所以． 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1） 因为各项均为正数的数列的前项和为，则对任意的，， 当时，， 即，所以，， 因此，数列是等差数列，且其首项为，公差为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形得出，化简得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）结合（1）中的结论可得出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式； （3）由参变量分离法得出，令，分析数列的单调性，即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，则当时，， 也满足，故，. 【小问3详解】 由可得 ， 令，则 则 ，即， 所以，数列为单调递增数列，则， 因此，的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：． 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是 （2）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． （3）， 因为函数有两个零点，，不妨设， 则， 所以， 整理可得，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，再解，即可得解； （2）求得，对实数a的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）设，由已知等式推导出，将所证不等式等价变形为，令，即证，令，其中，令导数分析函数的单调性，即可证得结论成立． 【小问1详解】 函数的定义域为 当时，函数， 所以 令，解得，所以函数的减区间是． 令，解得 ，所以函数的增区间是． 【小问2详解】 函数的定义域为， 又， ①当时，对任意的，， 当，；当 ，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时， 由可得，由可得或 ， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； ③当时，恒成立， 此时函数在上单调递增； ④当时 由可得，由可得或， 此时函数在上单调递减，在和上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的单调递减区间是 A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. 2 C. 9 D. 21 3. 52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和为，且，，，则（ ） A. 162 B. 243 C. 384 D. 512 7. 甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是，各局比赛是相互独立的，采用局胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 在等差数列中，公差为，且，，是公比为的等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 数列的前1000项和大于 11. 高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 13. 已知随机变量，，且，若，则__________． 14. 已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知递增的等差数列的首项，且成等比数列. (1) 求数列的通项公式； (2) 设数列满足，为数列的前项和，求. 16. 已知函数，. （1）若函数在点处的切线方程为，求，的值； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为 ，求 的分布列及数学期望； （3）假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用 表示其成绩在范围的人数，求 的分布列及方差． 18. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，且. （1）证明：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）若，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）讨论函数的单调性； （3）函数有两个零点，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $