精品解析：辽宁本溪市某校2025-2026学年高二下学期期末数学试卷

高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 3. 下列函数是奇函数，且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上的最大值为6，则（ ） A. 或1 B. C. D. 1 6. 近年来，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪．根据“齐奥尔科夫斯基公式”，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：）、发动机喷流相对火箭的速度（单位：）、火箭起飞时的总质量（包含火箭自身质量与燃料质量，单位：吨）和结束时火箭质量（火箭自身质量，单位：吨）满足以下函数模型．已知我国某型新一代运载火箭的发动机喷流速度，该火箭自身的结构质量50吨．若某深空探测任务要求该型号火箭在理想状态下的最大速度至少达到，求火箭起飞时至少携带燃料（ ）吨．（参考数据：） A. 400 B. 370 C. 320 D. 300 7. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知非零实数，满足，则下列各式中为定值的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，函数，若恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 英国物理学家牛顿用“切线法”求函数零点．设是函数的零点，取初始近似值，记在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；……由此得到一个数列．若函数，用牛顿切线法求函数的大于零的零点的近似值，取，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设，则为等比数列 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，则的值为________ 13. 已知函数，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为________ 14. 已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设满足，求的前项和． 16. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2），，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）若，证明：曲线在点处的切线过定点； （2）若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 18. 已知数列满足，，，的前项和为. （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 19. 设函数． （1）若，求的极值； （2）若当时，，求的取值范围； （3）设函数，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得 所以. 由，得或，解得或， 所以或， 所以， 所以. 2. “”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】D 【解析】 【详解】取，满足，又，所以无意义， 所以“”是“”的不充分条件； 取，有，满足，但， 所以“”是“”的不必要条件； 综上所述：“”是“”的既不充分也不必要条件. 3. 下列函数是奇函数，且在定义域上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对A，函数在和上都是单调递增， 但在定义域上不是增函数，故A不满足题意； 对B，由，所以函数定义域为. 因为在上单调递减，故B不满足题意； 对C，因为为偶函数，故C不满足题意； 对D，函数定义域为， 因为，所以函数为奇函数， 因为，在上都是增函数， 所以在上为增函数，故D满足题意. 4. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由幂函数图象所过的点求出幂函数解析式，再由复合函数同增异减的原则可求其单调递增区间． 【详解】设 将点 代入，得 ，解得 ， 则， 令 ．由 ，得在 或 时有定义． 设，则外层函数 在 时单调递增； 内层函数 在 时单调递减，在 时单调递增． 因此， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． 5. 若函数在上的最大值为6，则（ ） A. 或1 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的单调性，讨论端点处函数值，再进行检验即可. 【详解】∵二次函数开口向上，对称轴为， ∴在上的最大值会在区间的端点或处取到， 又，，若，则， 此时对称轴，且，符合条件； 若，则，此时对称轴，且，符合条件， 综上所述，或1. 6. 近年来，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪．根据“齐奥尔科夫斯基公式”，在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：）、发动机喷流相对火箭的速度（单位：）、火箭起飞时的总质量（包含火箭自身质量与燃料质量，单位：吨）和结束时火箭质量（火箭自身质量，单位：吨）满足以下函数模型．已知我国某型新一代运载火箭的发动机喷流速度，该火箭自身的结构质量50吨．若某深空探测任务要求该型号火箭在理想状态下的最大速度至少达到，求火箭起飞时至少携带燃料（ ）吨．（参考数据：） A. 400 B. 370 C. 320 D. 300 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，. 因为， 所以火箭起飞时至少携带燃料吨. 7. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，即， ，则，即， ，则，得，即， 所以，，的大小关系为. 8. 已知函数为偶函数，且满足，当时，，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用赋值代入结合函数奇偶性求出 、，代入确定 ；再由条件推出周期性，即可求值． 【详解】在 中令 ，得 ，所以 ． 因为 为偶函数，所以 ． 再令 ，得 ，解得 ． 因为 ，且当时，， 所以即解得 ，． 于是当 时，，易得． 因，又由 为偶函数，可得 ． 则有 ，进而故 是函数的一个周期， 故 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知非零实数，满足，则下列各式中为定值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令，则，，结合对数的运算性质判断各选项是否正确. 【详解】令，且，则，， 所以，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，A选项错误； ，为定值，B选项正确； ，为定值，C选项正确； ，当的值变化时，不确定，则的值不为定值，D选项错误. 10. 已知，函数，若恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据恒成立和推导出且，再结合不等式性质、二次函数最值逐一判断选项. 【详解】函数的定义域为， 若，则，此时对，成立； 若，则，要使得恒成立，则，即对所有成立，得； 若，则要使得恒成立，则，即， 所以，即，又，故，. 对于A：， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B：，当且仅当时取等号，B正确； 对于C：，因为，故，即，C错误； 对于D：，这是开口向下的二次函数，对称轴， 最大值为：，故，D正确. 11. 英国物理学家牛顿用“切线法”求函数零点．设是函数的零点，取初始近似值，记在点处的切线交轴于；在点处的切线交轴于；……由此得到一个数列．若函数，用牛顿切线法求函数的大于零的零点的近似值，取，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 设，则为等比数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数在处的切线方程，得出，从而判断B；再根据，求出，从而判断A；利用等比数列的判定方法判定C；借助，根据几何意义得到，后面再根据此不等式进行放缩得到，类比等比数列的构造，得到，从而得到，判断D. 【详解】因为，所以，函数在处的切线方程为： ，令，得切线与轴交点的横坐标， 即，解得，故B正确； 取初始值，得，所以，故A错误； ， ， 所以， 两边取自然对数，得， 即，所以数列为公比为2的等比数列，故C正确； 由， 所以．由几何意义易知：， 由知：， 即，     所以， 所以．     由知：， 即， 所以， 所以．即，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，则的值为________ 【答案】 【解析】 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，，所以， 两式相除得，所以，所以， 所以，解得，代入， 得，解得，， 所以. 13. 已知函数，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】构造奇函数，先证单调递减，将原不等式变形为，利用单调性脱去对数转化为一次不等式有解问题，分离参数后通过求导求函数在区间上的值域得到的取值范围. 【详解】令，则定义域为，且对于，， ， 所以是上的奇函数， 对， 可得在上单调递减， 不等式，可整理为，即， 又是奇函数，所以， 所以不等式在区间上有解，即在上有解， 所以在上有解，所以， 令，则在恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为. 14. 已知函数.若有四个不同实根，，，且满足，则________，的取值范围为________ 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】①通过画出函数图像确认各个实根的位置后将代入到对数函数求解.②通过韦达定理表示出后求解范围. 【详解】①因为，所以可大致画出该图像， 且点坐标为，由此可知，时才能取到四个不同的实根， 且位于内，位于上. 可知，解得， 同理，解得，所以. ②由韦达定理可知，，， 所以， 因为，所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设满足，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系即可求通项公式； （2）利用分组求和与等比数列的求和公式计算即得. 【小问1详解】 当时，， 当时， 又不满足上式（） 综上所述，的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得（），且， 综上所述，的前项和. 16. 已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2），，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）求导后拆分因式，定义域内恒正，只需根据的正负分类讨论符号，划分单调区间； （2）不等式消去二次项，将参数单独移到一侧，转化为大于右侧函数在区间上的最大值，再通过求导求右侧函数最值. 【小问1详解】 因为函数，函数定义域为， 所以（），因为，故， 若时，恒成立，，在上单调递减； 若时，令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 不等式化简得：， ，变形得：． 所以对，不等式恒成立． 令（），求导得， 当时，，在上单调递增 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为， 故，即的取值范围为． 17. 已知函数． （1）若，证明：曲线在点处的切线过定点； （2）若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 【答案】（1）已知函数， 若，则，， 由于，所以切点为， 切线斜率， 因此切线方程为， 化简得，即， 当，即时，， 因此曲线在点处的切线过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解； （2）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知函数， 则，由于对任意的，且， 恒有，移项得， 构造函数，上述条件等价于对任意的， 且，恒有， 即在上单调递减，则其导数在上恒成立， 由于，， 当时，，所以大于等于的最大值， 令，，令，解得， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 因此在处取最大值，最大值为， 所以，解得，所以的取值范围为. 18. 已知数列满足，，，的前项和为. （1）证明：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若前项和为，且存在，使得对任意，总有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题意每一项都不为零，由得， 所以，等式两边取倒数得，得， 又，因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由已知等式变形为，可得出，结合等比数列的定义可知数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式； （2）求出、的表达式，结合题意得出，令，，分析数列、的单调性，求出这两个数列的最大项的值，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，. 所以 . ， ， 两式作差可得， 所以， 进而，使得，， 即有， 令，则， 令得，可得，解得， 因为，故， 令得，可得，解得或， 因为，故， 即有当时，，即， 同理当时，，即，所以， 再令， 因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数， 所以数列为递减数列，即， 所以有，解得. 因此实数的取值范围是. 19. 设函数． （1）若，求的极值； （2）若当时，，求的取值范围； （3）设函数，求证： 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）因为函数 所以， 所以； 故（）成立． 【解析】 【分析】（1），函数，对函数求导，讨论其单调性求极值； （2）先通过对任意恒成立，探求的取值范围，再代入验证； （3）根据，得到，结合要证明的结论，分别对赋值可得. 【小问1详解】 因为，所以函数， 令，解得，当时，；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以在处取得极小值，无极大值． 【小问2详解】 因为对任意恒成立，而，， 令，则在单调递增，所以 令，所以为必要条件之一． ①当时，，所以在单调递增， 所以，所以在单调递增，所以，符合题意． ②当时，令，解得， 则当时，，单调递减，此时， 所以单调递减， 因此当时，，即不合题意． 综上所述，的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $