第4章 代数式（单元复习）培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

该初中数学代数式单元复习讲义通过知识框架图系统梳理知识体系，涵盖单项式、多项式、整式等核心概念，分点呈现定义、系数、次数等要点，用对比方式明确同类项与合并同类项的联系，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，如规律探究题（单项式序列规律）培养抽象能力，新定义题（“平衡数”运算）发展数学语言表达，整式加减应用题（日历框数问题）提升运算能力与应用意识。每个题型配易错提示，助力不同层次学生巩固，教师可据此实施精准复习教学。

代数式 【知识点梳理】 【知识点一】 单项式:在代数式中,若只含有乘法包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式，数字或字母的乘积叫单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)。 单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 单项式的次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 【知识点二】 多项式:几个单项式的和叫多项式。 多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;在多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。 多项式的常数项:不含字母的项叫做常数项。 多项式的排列： (1) 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。 (2) 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。 多项式的排列时注意: (1) 由于单项式的项,包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动。 (2) 有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:先确认按照哪个字母的指数来排列；再确定按这个字母向里排列,还是向外排列。 【知识点三】 整式:单项式和多项式统称为整式。 多项式的加法:多项式的加法,是指多项式的同类项的系数相加(即合并同类项)。 【知识点四】 同类项：所含字母相同,并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。 【知识点五】 全并同类项：多项式中的同类项可以合并,叫做合并同类项, 合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母与字母的指数不变。 判断几个单项式或项,是否是同类项,就要掌握两个条件: ①.所含字母相同；②、相同字母的次数也相同。 特别说明：(1)同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关；(2)所有常数项都是同类项。 【知识点六】 合并同类项的步骤：(1) 准确的找出同类项;(2) 逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变;(3) 写出合并后的结果。 特别说明： (1).如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0; (2).不要漏掉不能合并的项; (3).只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。 题型1：代数式及其求值 1.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了求代数式的值．根据绝对值的性质可得或，再分别代入，即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴或， ∴或， ∴当时，， 当时，； 综上所述，的值为或； 故答案为：或 2．（25-26七年级上·河南平顶山·开学考试）已知，都是自然数，如果，那么的结果是 ． 【答案】 本题主要考查了代数式求值，根据题意推出，再根据，都是自然数，得到的值必定是5的倍数，据此讨论的值即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，都是自然数， ∴的值必定是5的倍数， 当时，，此时，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上所述，， 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为 ． 【答案】 本题主要考查了绝对值的应用，代数式求值，解题的关键是根据，得出，根据，得出，再根据c为整数，得出，求出，，代入求出结果即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵c为整数， ∴， ∴，， ∴，， ∴或， ∴的值为； 4．（2025七年级上·全国·专题练习）当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为 ． 【答案】 本题考查了求代数式的值，解题的关键是根据题意得出．先把代入，得到；再把代入得到，整理为，然后利用整体代入的思想计算即可． 【解题过程】 解：∵时，代数式， ∴， 把代入代数式得 ． 5.（25-26七年级上·陕西西安·期中）规定：，例如，当时，；已知的值为202，则的值为 ． 【思路点拨】 由 时，得到 ． 本题主要考查了求解代数式的值，数量掌握整体代入求解代数式的值的方法，是解本题的关键． 【解题过程】 解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 6.人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 7.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，取特殊值是解题的关键． 把分别代入等式，即可求出的值，①，②，①+②即可求出答案． 【详解】解：令，则， 令，则， ∴①， 令，则， ∴②， ①+②，得， ∴， 故选：D． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 【答案】392 【分析】本题考查了代数式求值．解题的关键在于将代入原式，求出相关代数式的值． 先令，即可求出①；再令，得到②，可得，最后令，可得，由此即可求得的值，继而可求解． 【详解】解：令，得：①； 令，得②， 得：， 即， 令，得， 则， ∴， 故答案为：392． 9.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足，，，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了代数式求值，化简绝对值，有理数的乘法计算，根据，，可得异号，据此分当时，，当时，，两种情况根据去绝对值得到a、b的关系式即可得到答案． 【解题过程】 解：∵，， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 10.（25-26七年级上·山东聊城·期末）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是（    ） A．15 B．23 C．35 D．43 【思路点拨】 本题考查了代数式求值，弄清程序中的运算过程是解题的关键．根据输出的结果确定出的所有可能值即可． 【解题过程】 解：当时，， 当时，， 当时，，不是整数， 输入的最小正整数为． 故选：． 11.（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 【思路点拨】 本题考查对程序框图的理解，以及根据数字找规律，根据程序框图计算出后面几次的输出结果，根据输出结果的特点，找出其规律，即可解题． 【解题过程】 解：由题知，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6， 为偶数，， 第3次输出的结果是3， 为奇数，， 第4次输出的结果是8， 为偶数，， 第5次输出的结果是4， 为偶数，， 第6次输出的结果是2， 为偶数，， 第7次输出的结果是1， 为奇数，， 第8次输出的结果是6， 综上可知，除第1次外，剩下的输出结果6个一循环，且循环规律为6、3、8、4、2、1， ， 第2024次输出的结果是6． 故选：B． 题型2：单项式的定义 1.若是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值． 【思路点拨】 本题主要考查的是单项式的概念，掌握单项中的数字因数叫单项式的系数，各字母指数和叫单项式的系数是解题的关键． 根据单项式的次数和系数的定义可知，求得m、n的值即可． 【解题过程】 解：是关于，的五次单项式，且系数为1， ，． 解得：，． 2.（25-26七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 【思路点拨】 本题主要考查单项式次数和系数的问题，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【解题过程】 解：∵是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3， ∴， ∴ ∴或． 题型3：单项式的规律探究 1.（2026九年级·云南·学业考试）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是 ． 【答案】． 【解题过程】 解：第1个单项式， 第2个单项式， 第3个单项式， 第4个单项式， 第5个单项式， ， 第个单项式是． 2.（25-26七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是 ． 【答案】． 本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 分别从系数、字母的指数两方面找出规律求解． 【解题过程】 解： ； ； ； ； ， 第个单项式为：． 3.下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数是 ． 【答案】39 【分析】本题考查了图形的变化类．解决本题的关键是观察图形，探究变化规律． 根据图形的变化寻找规律，写出一般式，即可求解． 【详解】解：观察图形，可知： 第①个图形有4个，即， 第②个图形有9个，即， 第③个图形有14个，即， 第④个图形有19个，即， … 第n个图形有个， 当时，． 第⑧个图形中的个数为39． 4.如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，熟练掌握图形变化规律，是解题的关键， 观察图形，后一个图形比前一个图形多4个白色正六边形，第几个图形有几个黑色正六边形，即可得出结果． 【详解】解：观察图形， 第1个图形中有6块白色正六边形，， 第2个图形中有10块白色正六边形，， 第3个图形中有14块白色正六边形，， ……， ∴第n个图形中白色正六边形的块数为；． 第1个图形中有1块黑色正六边形， 第2个图形中有2块黑色正六边形， 第3个图形中有3块黑色正六边形， ……， ∴第n个图形中有n块黑色正六边形． ∴． ∴第n（n为正整数）个图案形中白色正六边形比黑色正六边形多个． 故答案为：． 5.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段练习）将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为 ． A． B． C． D． 【答案】 【分析】 本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索，观察图形求解即可． 【详解】解：第①幅图中“·”的个数为， 第②幅图中“·”的个数为， 第③幅图中“·”的个数为， ……， 以此类推，第幅图中“·”的个数为， 6.（25-26七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则 ． 【答案】 本题主要考查数字的变化规律，掌握数字的循环规律是解题的关键．分别计算出第2、3、4个数，据此得出循环规律，进一步求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴， …， ∴数列是3个一循环的数列， ∵， ∴， 7．（25-26七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是 ． 【答案】， 本题考查了数字的变化规律，根据规律分别找到分子、分母及符号的规律即可解答，分别找到分子、分母及符号的规律是解题的关键． 【解题过程】 解：分子，，，，的规律为， 分母，，，，的规律为， 符号的规律为， 故第个数为， 故选：． 8．（25-26七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：x则第n个单项式是 ． 【答案】． 本题考查单项式中规律探究问题，观察已有单项式，概括出系数和字母以及指数的变化规律作答即可． 【解题过程】 解：∵第1个数：， 第2个数：， 第3个数：， 第4个数：， 第5个数：， …… ∴第n（n为正整数）个数：． 9.，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 【答案】(1)； (2)；系数为：，次数为： 【分析】（1）观察单项式的系数、字母指数，即可求解； （2）根据题意可得出通用规律，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知： 单项式的系数依次为： 的指数依次为： 故第7个单项式是： 第8个单项式是： （2）解：由（1）可得出第个单项式为： 故第个单项式是：，它的系数为：，次数为： 【点睛】本题是以单项式为背景的规律题目．确定单项式的系数规律、字母指数规律是解题关键． 题型4：多项式 1.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如果关于x、y的多项式是三次三项式，试探讨、n的取值情况． 【思路点拨】 根据三次三项式的定义求值，即每一项的最高指数为3，项数为3． 【解题过程】 解： 由题意可知： ， 解得或 当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式； 当时，多项式化为，此时当时多项式为三次三项式； 综上所述，当且或者且时多项式为三次三项式． 2.关于、的多项式是四次二项式，求m的值 【答案】或 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，熟练掌握多项式的次数和项数的定义是解决本题的关键．根据多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案． 【详解】解：由题意，得当，时，，原多项式为； 当时，，原多项式为， 综上所述，m的值为2或， 故答案为：2或． 题型5：同类项 1.（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知与是同类项，则 ． 【思路点拨】 根据与是同类项列出方程组，求方程组的解即可得到、的值，继而即可求解． 【解题过程】 解：∵与是同类项， ∴ 解得：或， ∴或者， 故答案为：3或． 2.（25-26七年级上·湖北·期末）已知m，n为正整数，若多项式合并同类项后只有两项，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了合并同类项，同类项的定义，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项．根据题意得出和是同类项或和是同类项，然后进行分类讨论即可． 【解题过程】 解：∵多项式合并同类项后只有两项， ∴和是同类项或和是同类项， ①当和是同类项时，， ∴， ∴； ②当和是同类项时，， ∴， ∴， 故答案为：6或4． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知m、n为常数，代数式化简之后为单项式，则的值有 个． 【思路点拨】 代数式化简之后为单项式，代数式能进行合并，根据同类项的概念即可求解． 【解题过程】 解：若与为同类项，且系数互为相反数， ∴， ∴或 ∴或 若与为同类项，且系数互为相反数， ∴， ∴或 ∴或 综上所述：的值有3个， 故答案为：3 4．（2026七年级上·江苏·专题练习）若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求的值． 【思路点拨】 分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：进而根据是同类项，且合并后为0，得出，即可求解． 【解题过程】 解：因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为， 又因为是三项式 ，所以前四项必有两项为同类项，只能是同类项，且合并后为0， 所以有 ， ∴． 题型6：取值无关问题 1.（25-26七年级上·上海虹口·阶段练习）已知代数式，，若的值与的取值无关，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查整式的加减化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用整式的加减的法则对所求的式子进行整理，结合条件进行分析即可． 【解题过程】 解：，， ， 的值与的取值无关， ， 解得：． 2．（2026七年级上·全国·专题练习）若关于x、y的多项式的值与x取值无关，求的值． 【思路点拨】 此题考查了整式加减中无关型问题，整式的化简求值，正确理解无关型问题的解题方法是解题的关键． 根据整式加减运算法则计算，然后根据取值与x取值无关得含x系数为0求得a、的值，再化简要求的代数式并代入计算即可． 【解题过程】 解： ， 由结果与字母x的取值无关， 得到， 解得：， ， 把代入得：． 3.（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知，为整式，且，． （1）若的计算结果不含的一次项，求的值； （2）小明说：“当时，取任何值，的值总是正数”．你认为他的说法正确吗?请说明理由． 【思路点拨】 本题考查了整式的加减； （1）计算，根据结果中不含的一次项，令的系数为0，即可求出的值； （2）把代入，列出算式，然后去括号、合并同类项即可证明． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∵的结果中不含的一次项， ∴， ∴； （2）正确，理由如下： 当时， ， ∵， ∴， 即的值总是正数． 4.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，． （1）当，时，求的值． （2）当时，有理数，使得代数式的值与的取值无关，求，满足的关系式． 【思路点拨】 本题考查了整式化简求值，代数式的值与某个字母无关； （1）将、代入，去括号，合并同类项，代值计算，即可求解； （2）将、代入，去括号，合并同类项，使得含有的项系数为，即可求解； 理解代数式的值与某个字母无关的就是使得含有该字母的项系数为；掌握运算法则，括号前是“”时，去括号时要变号是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：原式 ， 当，时 原式 ； （2）解：原式 ， 代数式的值与的取值无关， ， ． 5.有这样一道题“计算：（2m4-4m3n-2m2n2）-（m4-2m2n2）+（-m4+4m3n-n3）的值，其中，n=-1.”小强不小心把错抄成了，但他的计算结果却也是正确的，你能说出这是为什么吗？ 【答案】才会出现小强计算结果也是正确的 【详解】试题分析：先根据整式的化简，先去括号，再合并同类项，然后可发现化简结果中不含有字母m，因此两个数值对最后的结果没有影响. 试题解析：（2m4-4m3n-2m2n2）-（m4-2m2n2）+（-m4+4m3n-n3） =2m4-4m3n-2m2n2-m4+2m2n2-m4+4m3n-n3 =-n3. 由于原式化简后不存在含m的项，错抄成了不影响计算结果，所以才会出现小强计算结果也是正确的. 题型7：错看问题 1．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）已知多项式，，计算．某同学做此题时误将看成了，求得其结果为，若，请你求出多项式． 【思路点拨】 本题考查了整式的加减，根据题意列式去括号，合并同类项即可得出结果． 【解题过程】 解：，， ， ． 2．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． （1）根据现有条件求多项式A； （2）计算的正确答案． 【思路点拨】 （1）本题考查整式的加减，根据看错算式答案代入看错算式解出A即可得到答案； （2）本题考查整式的加减，根据（1）的A代入求解即可得到答案； 【解题过程】 （1）解：由题意可得， ； （2）解：由（1）得， ． 3．（25-26七年级上·吉林松原·期末）已知多项式，，其中，小马在计算时，由于粗心把看成了，求得结果为，请你帮小马解决下面问题． （1）化简； （2）求出当时，的值． 【思路点拨】 本题考查整式的加减—化简求值， （1）先根据减数＝被减数－差，列式求得，然后再求即可； （2）将代入（1）中所得的的值，再进行计算即可； 掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“＋”号，去掉“＋”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键． 【解题过程】 （1）解：根据题意得： ， ∴． （2）当时， ． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）马小虎同学做一道题，已知两个多项式，其中，计算．在计算时，他误将看成了，求得的结果是． （1）求多项式； （2）若与互为相反数，求的值． 【思路点拨】 本题考查整式的加减， 解题的关键是“将错就错”, 求出多项式． （1）根据求得的结果是列式求出即可； （2）结合（1）求出 ，再根据 与 互为相反数求出的值，代入计算即可. 【解题过程】 （1）解：根据题意得：， ∴ ， ∴多项式是 ． （2）解：∵，， ∴ ， ∵与 互为相反数， ∴ ∴，， ∴，， ∴ ， ∴的值是． 题型8：新定义 1.定义：若（n为常数），则称a与b是关于数n的“平衡数”．例如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”． （1）若a与的“平衡数”是0，则a= ； （2）若a与b是关于3的“平衡数”，则与是关于哪个数的“平衡数”？请通过计算说明； （3）已知，（k为常数），且无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 【思路点拨】 本题考查了新定义以及整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“平衡数”进行列式作答即可； （2）根据a与b是关于3的“平衡数”，列出有关a和b的式子； （3）根据“平衡数”，且结合，，列式得，因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，所以，则，即可作答． 【解题过程】 （1）解：依题意，因为a与的“平衡数”是0， 所以， 解得； （2）解：与是关于的“平衡数”，理由如下： 因为a与b是关于3的“平衡数”， 所以， 则， 所以与是关于的“平衡数”， （3）解：因为，， 所以 ， 因为无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”， 所以， 则， 那么， 即． 2.（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）对于任意实数，定义关于“”的一种运算如下： ，如． （1）求的值； （2）若，求的值． 【思路点拨】 本题考查新定义运算、代数式求值等知识，根据题中新定义运算按要求求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）根据新定义运算得到，即，将等式代入所求代数式，化简求值即可得到答案． 【解题过程】 （1）解： ， ； （2） ， ，即， ． 3.（25-26七年级上·福建三明·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“方差有理数对”，记为，如：都是“方差有理数对”． （1）分别判断与是否“方差有理数对”，并说明理由； （2）若是“方差有理数对”，求的值． 【思路点拨】 本题考查了有理数的混合运算、整式的加减—化简求值、等式的性质． （1）根据题目中给出的定义即可判断； （2）根据题目中给出的定义列出等式求出，由，再代入即可求解． 【解题过程】 （1）解：数对是“方差有理数对”， ，， ， 数对是“方差有理数对”， 数对不是“方差有理数对”， ，， ， 数对不是“方差有理数对”； （2）解：由题意的，即， ； 原式． 题型9：数字类规律探究 1.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了数字类规律探索，找出一般规律是解题关键．根据已知规则分别求出、、、、、 ，观察从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，据此即可求解． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， … 以此类推， 经过前几个数字比较后发现： 从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数， 即， 则， 故选：C． 2.如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的运动规律，根据计算可得每次运动后点距原点的距离是上一个点距原点距离的一半，据此即可求解，根据计算找到点的运动规律是解题的关键． 【详解】解：第一次跳动到的中点处，得， 第二次从跳到的中点处，得， 第三次从点跳到的中点处，得， ， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∴第次跳动后，该质点到原点的距离为， ∵， ∴， 故选：． 3.为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了数字类规律探究和有理数的乘方运算， 根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； 根据规律可得第第个数是；仿照中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【详解】（1）设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 4．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【详解】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 5．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 6．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（）根据已给三个等式反映出的规律写出第④个等式，第个等式即可； （）利用（）的规律分别将每个分数写出差的形式，再计算即可； （）找出两个连续奇数乘积的倒数与两个奇数的倒数间的关系，再利用这种关系对每个分数进行变形，并计算即可； 本题考查了数字变化类规律探究，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找出规律． 【详解】（1）解：由规律可得，第④个等式为；第个等式为； 故答案为：；； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 题型10：整式加减的应用 1.（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，能够根据X框最中间的数，表示出其余4个数是解决问题的关键． （1）根据X框最中间的数，表示出其余4个数，再列出5个数之和，计算后即可得出答案； （2）当时，a不是整数，即可得出这5个数的和不能等于68． 【详解】（1）解：∵X框最中间的数为a，则其余4个数分别为， ∴这5个数之和为：， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 当时，， ∵a必须为整数， ∴这5个数的和不能等于68． 2.（25-26七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）这九个数的和是正中间数的9倍（2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由见详解（3）五个数之和不可以是120，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算，解题的关键是理解题意，列出代数式． （1）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （2）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （3）根据题意，求出正中间数，再求出最大的数进行判断即可． 【详解】解：（1）设正中间的数为， 则这9个数依次为， ∴这9个数的和为， 所以，这九个数的和与是正中间数的9倍； （2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由如下： 设“X”字型框架中正中间数为m，则这5个数依次为， ∴这5个数的和为， 所以，这五个数的和是正中间数的5倍； （3）五个数之和不可以是120，理由如下： ∵， ∴最大的数为，不符合题意， 所以，五个数之和不可以是120． 3.如图，四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形． (1)用含，的代数式表示三角形的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题主要考查整式的运用，理解图示，几何面积的计算，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，即可求解； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，， ∴， ， 当，时，， ∴阴影部分的面积为． 4.（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，的长度为_________（用含的式子表示）； (2)根据图中尺寸大小，求阴影部分的面积（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式， （1）直接根据,求出即可； （2）阴影部分的面积等于直角三角形面积减去小直角三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 故答案为： （2） 即阴影部分的面积为： 5．（25-26七年级上·广东佛山·期末）用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 【答案】(1)①；② (2)阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，由拼图用含有a、b的代数式表示，，是正确解答的关键． （1）①由拼图可直接得到AD；②用代数式表示阴影M的长、宽，再根据长方形面积的计算方法即可得出答案； （2）由阴影M与阴影N的周长的和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由拼图可知，， ②阴影M的长为a，宽为， 所以阴影M的面积为， （2）解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由： 如图， 阴影M与阴影N的周长的和为 ， 所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关． 6.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 【答案】(1) (2)元 (3)元或元或元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，列代数式，整式的加减运算的应用，根据题意正确列出算式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． （）根据材料提示的计算方法即可求解； （）根据不超过的部分的水费+超出不超出部分的水费，列式求解即可； （）根据题意，分类讨论，结合（）、（）的计算方法即可求解； 【详解】（1）解：应收水费为（元）， 故答案为：48； （2）解：∵应收水费不超过的部分的水费超出不超出部分的水费， ∴应收水费为元， ∴应收水费为元； （3）解：∵月份用水量超过了月份， ∴月份用水量少于， ①当月份用水量少于时，则月份用水量超过， ∴两个月共交水费元； ②当月份用水量大于或等于但不超过时，则月份用水量不少于但不超过， ∴两个月共交水费元； ③当月份用水量超过但少于时，则月份用水量超过但少于， ∴两个月共交水费元， 综上，两个月共交的水费为元或元或元． 7．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1．5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （2）根据所给的收费标准进行分段计算求和即可； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【详解】（1）解： 元， ∴该户这个月应缴纳的水费为元； （2）解： 元， ∴当时，该户应缴纳的水费为元； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴ 元； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴ 元， 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴ 元； 综上所述，当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元；当时，甲，乙两户一个月共缴纳的水费元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 8.（25-26七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一个边长为20米的正方形地面中，修建了两条宽度均为a米的小路，其余部分铺设草皮． (1)求草坪的面积．（阴影部分面积，需化简） (2)若小路需要铺设地砖，当，每平方米地砖为80元时，求所需地砖的总价格． 【答案】(1)平方米 (2)11520 【分析】本题考查了整式加减的应用、列代数式及求值、有理数的四则混合运算的应用，将两条小路平移至正方形的边上，使种植花草的面积等于一个正方形的面积是解决此题的关键． （1）根据图形，种植花草的面积相当于正方形的面积减去小路面积，进而求解即可； （2）先求得当时的小路的面积，再乘以每平方米的地砖费用即可求解． 【详解】（1）解：由题意，正方形的面积为（平方米）， 小路的面积为平方米， ∴草坪的面积为平方米； （2）解：当时，小路的面积为（平方米）， ∴（元）， 答：所需地砖的总价格为11520元． 9.（25-26七年级上·河南南阳·期中）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元 (2)这一周超市出售此种百香果盈利135元 (3)①，；选择方式一购买更省钱 【分析】本题考查了正负数的应用及列代数式，解答本题的关键是看懂图表，理解题意，应用数量关系式进行解答． （1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）计算两种购买方式，比较得结论． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低的是星期日， （元）， 答：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元； （2）解：（元）， （元）， （元）， 所以这一周超市出售此种百香果盈利135元； （3）解：①方式一：元； 方式二：（元）； 故答案为：，； ②方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 温故知新 1.若x=2时，代数式ax4+bx2+5的值是3，则当x=﹣2时，代数式ax4+bx2+7的值为 ． 【答案】5 【分析】将x=2代入ax4+bx2+5使其值为5，可得16a+8b的值， 在将x=﹣2代入ax4+bx2+5，可求得ax4+bx2+7. 【详解】解：当x=2时，代数式ax4+bx2+5的值是3，即:16a+4b+5=3， 可得16a+4b=-2， 当x=﹣2时，代数式ax4+bx2+7=16a+4b+7=-2+7=5， 【点睛】本题主要考查代数式求值，注意运算的准确性. 2.杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”．它是古代重要的数学成就，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．请仔细观察计算该图中第n行中所有数字之和为 ． 【答案】B 【分析】由题意得出每行的数字之和等于2的序数减一次幂，据此解答即可． 【详解】∵第1行数字之和1＝20， 第2行数字之和2＝21， 第3行数字之和4＝22， 第4行数字之和8＝23， … ∴第n行中所有数字之和为． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是每行的数相加，分析总结得出规律，根据规律求出第n行的数据之和． 3.当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是﹣2025，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值是 ． 【答案】2027 4.（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字变化的规律，找到代数式的系数和指数规律是解题的关键．观察代数式的系数和指数，找到变化的规律即可解答． 【详解】解：第1个代数式是， 第2个代数式是， 第3个代数式是， 第4个代数式是， 第5个代数式是， …… 依此类推，第个代数式是． 5.（25-26七年级上·四川资阳·期中）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的代数式求值，分别取和求出代数式的值，再相加除以2即可． 【详解】解：当时，， ∴，① 当时，， ∴，② ①②得：， ∴， 6.如果单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．同类项定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式． （1）先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据有理数的乘方的定义计算即可； （2）根据合并同类项法则可得，又xy≠0，得2m﹣5n＝0，再根据有理数的乘方的定义计算即可． 【详解】（1）解：单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项， ，， 解得，， ； （2）解：，，， ， 又， ， ． 7.已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 【答案】（1），（2）-5 【分析】（1）根据非负数的性质求出m、n，再计算A-B即可； （2）先计算，再根据不含项以及项，得出m、n的值，代入即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得，， ∴，， ， =， =． （2）， =， ∵结果中不含有项以及项， ∴，， 解得，， 把代入， ． 【点睛】本题考查了非负数的性质和整式的加减以及代数式求值，解题关键是能够根据非负数的性质或多项式不含某一项确定字母系数的值，并能熟练应用整式加减的法则进行计算． 8.（25-26七年级上·河北邢台·期末）一道题目“化简并求值，其中．”不小心弄污损了，系数“”看不清楚了． （1）如果嘉嘉把“”中的数值看成2，化简并求值，其中； （2）若m取任意的一个数，这个整式的值都是，请通过计算确定“”中的数值． 【思路点拨】 本题考查了整式的化简求值，无关计算，正确化简是解题的关键． (1)先化简，合并同类项，后代入计算即可． (2)先化简，合并同类项，后根据整式的值恒为，确定无关项系数为零，计算即可． 【解题过程】 （1） ， 当时， ． （2） ， ∵m取任意的一个数，这个整式的值都是， ∴， 解得． 9.（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）已知，，求： (1)； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)； (2)52或24． 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握整式的加减及有理数的相关运算法则是解题的关键． （1）将，，代入，再利用去括号、合并同类项化简即可； （2）求出x、y的值代入（1）化简后代数式计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴， 又∵， 即， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为52或24． 10.（25-26七年级上·广东梅州·期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【思路点拨】 （1）首先根据题意求得，然后计算即可； （2）先根据（）中的值，求出，将含的项合并，并使的系数等于，即可求出答案； 本题考查了整式加减运算、整式加减运算中无关型问题，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：由题意可得，， ∴， ， ， ∴， ， ； （2）解：， ， ， ， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴． 11.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． （1）2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； （2）若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； （3）若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 【思路点拨】 本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算即可得到本题答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意得： ，， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴a与b是关于3的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于3的友好数， ∴，即：， ∴， ∵x为正整数， ∴，；，；，；，；，； ，；，；，；，．．． ∴非负整数的值为：． 12.（25-26七年级上·江苏·周测）定义某种新运算“”，根据下列各式，回答问题： ； ； ； ． （1）填空：　 　； （2）若，与相等吗？请说明理由； （3）若，，试说明：、不论取何值，的运算结果总是为正数． 【思路点拨】 （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）各自利用题中的新定义计算得到结果， 判断即可； （3）把与代入原式后，利用题中的新定义化简，再根据非负数的性质判断即可. 【解题过程】 （1）解：根据题中的新定义 ； ； ； ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：与不相等，理由如下： ∵，且， ∴，， ∴与不相等， （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵运算的结果与的取值无关，且总是正数， ∴、不论取何值的运算结果总是为正数. 13.整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　 　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　 　； （Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值； （Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值； 【答案】（Ⅰ）2017；（Ⅱ）11；（Ⅲ）16 【分析】（Ⅰ）把已知等式代入原式计算即可得到结果； （Ⅱ）原式变形后，把a+b＝5代入计算即可求出值； （Ⅲ）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可． 【详解】（Ⅰ）∵x2+x﹣1＝0， ∴x2+x＝1， ∴x2+x+2016＝1+2016＝2017， 故答案为：2017； （Ⅱ）∵a+b＝5， ∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21＝﹣10+21＝11； （Ⅲ）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8， ∴2a2+4ab＝40，3b2+6ab＝24， ∴2a2+4ab﹣3b2﹣6ab＝2a2﹣3b2﹣2ab＝40﹣24＝16． 【点睛】此题考查整式的化简求值，已知代数式的值可将代数式整体代入代数式中求值计算，这里整式的正确化简是解题的关键. 14.有这样一道题：先化简，再求值： ，其中，.小明同学在抄题时，把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的．这是怎么回事呢？请同学们先正确解答该题，然后说明理由． 【答案】见解析 【分析】先化简后消掉未知数x，再求值时就与x无关即可. 【详解】解： = = = 因为无论”还是“，都x无关，所以不影响结果. 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，去括号和合并同类项是解答本题的关键. 15.（25-26七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是3的倍数 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，倍数，整式得加减，掌握数字变化类的规律是解题的关键． （1）根据日历中“阶梯框”中的数字规律即可解答； （2）将6个数相加即可解答； （3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能； 【详解】（1）解：如图所示： a （2） 所以日历中"阶梯框"中的数字之和一定是3的倍数； （3）不可能，根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，当 时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，时， ，日期数字中不可能出现0；当时，，日期数字中不可能出现32． 16.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍副，乒乓球盒（为整数）． (1)若该学校按方案一购买，商场可赠送______盒乒乓球，学校还需花费______元购买乒乓球，则一共需付款_____元； (2)若该学校按方案二购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (3)若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； 【答案】(1)，, (2) (3)按方案一购买较合算． 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减及代数式求值问题； （1）方案一费用：副乒乓球拍子费用盒乒乓球费用； （2）方案二费用：副乒乓球拍子费用盒乒乓球费用，把相关数值代入求解即可； （2）把代入（1）（2）得到的式子进行计算，然后比较结果即可． 【详解】（1）该学校按方案一购买，商场可赠送盒乒乓球，学校还需花费元购买乒乓球， 则一共需付款（元） 故答案为：，，． （2）方案二费用：（元）； 故答案为：． （3）当时，方案一： 元， 方案二： 元， 所以，按方案一购买较合算． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 代数式 【知识点梳理】 【知识点一】 单项式:在代数式中,若只含有乘法包括乘方)运算。或虽含有除法运算,但除式中不含字母的一类代数式叫单项式，数字或字母的乘积叫单项式(单独的一个数字或字母也是单项式)。 单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 单项式的次数：所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。 【知识点二】 多项式:几个单项式的和叫多项式。 多项式的项数与次数:多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数,每个单项式叫多项式的项;在多项式里,次数最高项的次数叫多项式的次数。 多项式的常数项:不含字母的项叫做常数项。 多项式的排列： (1) 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。 (2) 把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。 多项式的排列时注意: (1) 由于单项式的项,包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动。 (2) 有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:先确认按照哪个字母的指数来排列；再确定按这个字母向里排列,还是向外排列。 【知识点三】 整式:单项式和多项式统称为整式。 多项式的加法:多项式的加法,是指多项式的同类项的系数相加(即合并同类项)。 【知识点四】 同类项：所含字母相同,并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。 【知识点五】 全并同类项：多项式中的同类项可以合并,叫做合并同类项, 合并同类项的法则是:同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母与字母的指数不变。 判断几个单项式或项,是否是同类项,就要掌握两个条件: ①.所含字母相同；②、相同字母的次数也相同。 特别说明：(1)同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关；(2)所有常数项都是同类项。 【知识点六】 合并同类项的步骤：(1) 准确的找出同类项;(2) 逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变;(3) 写出合并后的结果。 特别说明： (1).如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0; (2).不要漏掉不能合并的项; (3).只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。 题型1：代数式及其求值 1.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，则的值为 ． 2．（25-26七年级上·河南平顶山·开学考试）已知，都是自然数，如果，那么的结果是 ． 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段练习）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为 ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）当时，代数式的值等于2012，那么当时，代数式的值为 ． 5.（25-26七年级上·陕西西安·期中）规定：，例如，当时，；已知的值为202，则的值为 ． 6.人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 7.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若，则的值为 ． 8．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则的值为 ． 9.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知有理数，满足，，，则的值为 ． 10.（25-26七年级上·山东聊城·期末）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是（    ） A．15 B．23 C．35 D．43 11.（25-26七年级上·河南郑州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2024次输出的结果是（    ） A．3 B．6 C．2 D．8 题型2：单项式的定义 1.若是关于x，y的五次单项式且系数为最小的正整数，试求m，n的值． 2.（25-26七年级上·广东东莞·期中）若是关于x，y的单项式，且系数为，次数是3，求a和b的值． 题型3：单项式的规律探究 1.（2026九年级·云南·学业考试）按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是 ． 2.（25-26七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：，则第个单项式是 ． 3.下图是由同样大小的按一定规律排列而成，其中第①个图形中有4个，第②个图形中有9个，第③个图形中有14个，…，则第⑧个图形中的个数是 ． 4.如图是用黑白两种颜色的正六边形拼成的图案，按此规律，第n（n为正整数）个图案中白色正六边形比黑色正六边形多 个．（用含n的代数式表示）      5.（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段练习）将形状、大小完全相同的“·”按照一定规律摆成下列图形，第①幅图形中“·”的个数为5，第②幅图形中“·”的个数为10，第③幅图形中“·”的个数为17，第④幅图形中“·”的个数为26，……按照这种摆法，第n幅图形中“·”的个数为 ． 6.（25-26七年级上·河南洛阳·阶段练习）已知一列数，，，…，它们满足关系式，，，…，当时，则 ． 7．（25-26七年级上·广东梅州·期中）按一定规律排列的数：，，，，，则这列数的第个数是 ． 8．（25-26七年级上·云南红河·期末）按一定规律排列的单项式：x则第n个单项式是 ． 9.，，，，，，…， (1)直接写出：第7个单项式是______；第8个单项式是______； (2)第2n（n大于0的整数）个单项式是什么？并指出它的系数和次数． 题型4：多项式 1.（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如果关于x、y的多项式是三次三项式，试探讨、n的取值情况． 2.关于、的多项式是四次二项式，求m的值 题型5：同类项 1.（25-26七年级上·上海青浦·期中）已知与是同类项，则 ． 2.（25-26七年级上·湖北·期末）已知m，n为正整数，若多项式合并同类项后只有两项，则的值为 ． 3．（25-26七年级上·山东德州·期末）已知m、n为常数，代数式化简之后为单项式，则的值有 个． 4．（2026七年级上·江苏·专题练习）若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求的值． 题型6：取值无关问题 1.（25-26七年级上·上海虹口·阶段练习）已知代数式，，若的值与的取值无关，求的值． 2．（2026七年级上·全国·专题练习）若关于x、y的多项式的值与x取值无关，求的值． 3.（25-26七年级上·福建泉州·期末）已知，为整式，且，． （1）若的计算结果不含的一次项，求的值； （2）小明说：“当时，取任何值，的值总是正数”．你认为他的说法正确吗?请说明理由． 4.（25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，． （1）当，时，求的值． （2）当时，有理数，使得代数式的值与的取值无关，求，满足的关系式． 5.有这样一道题“计算：（2m4-4m3n-2m2n2）-（m4-2m2n2）+（-m4+4m3n-n3）的值，其中，n=-1.”小强不小心把错抄成了，但他的计算结果却也是正确的，你能说出这是为什么吗？ 题型7：错看问题 1．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）已知多项式，，计算．某同学做此题时误将看成了，求得其结果为，若，请你求出多项式． 2．（25-26七年级上·四川泸州·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． （1）根据现有条件求多项式A； （2）计算的正确答案． 3．（25-26七年级上·吉林松原·期末）已知多项式，，其中，小马在计算时，由于粗心把看成了，求得结果为，请你帮小马解决下面问题． （1）化简； （2）求出当时，的值． 4．（25-26七年级上·四川绵阳·期中）马小虎同学做一道题，已知两个多项式，其中，计算．在计算时，他误将看成了，求得的结果是． （1）求多项式； （2）若与互为相反数，求的值． 题型8：新定义 1.定义：若（n为常数），则称a与b是关于数n的“平衡数”．例如3与是关于的“平衡数”，5与12是关于17的“平衡数”． （1）若a与的“平衡数”是0，则a= ； （2）若a与b是关于3的“平衡数”，则与是关于哪个数的“平衡数”？请通过计算说明； （3）已知，（k为常数），且无论k为何值时，a与b始终是关于数n的“平衡数”，求n的值． 2.（25-26七年级上·湖北黄冈·期中）对于任意实数，定义关于“”的一种运算如下： ，如． （1）求的值； （2）若，求的值． 3.（25-26七年级上·福建三明·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“方差有理数对”，记为，如：都是“方差有理数对”． （1）分别判断与是否“方差有理数对”，并说明理由； （2）若是“方差有理数对”，求的值． 题型9：数字类规律探究 1.（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知整数、、、、满足下列条件：，，，，，以此类推，则（　　） A． B． C． D． 2.如图，动点从到原点距离为的点处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第次跳动后，该动点到原点的距离为（    ） A． B． C． D． 3.为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 4．在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 5．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 6．观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题 ①； ②； ③； (1)按以上规律，第④个等式为：________；第个等式为：________（用含的式子表示，为正整数）； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 题型10：整式加减的应用 1.（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数． (1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）； (2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由． 2.（25-26七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 3.如图，四边形与四边形是两个边长分别为，的正方形． (1)用含，的代数式表示三角形的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 4.（25-26七年级下·江西赣州·期末）如图所示长方形，在边上有一点边上有一点． (1)根据图中尺寸大小，的长度为_________（用含的式子表示）； (2)根据图中尺寸大小，求阴影部分的面积（用含的式子表示） 5．（25-26七年级上·广东佛山·期末）用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 6.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收费标准（按月结算）如表所示： 每月用水量 单价 不超出的部分 元 超出不超出的部分 元 超出的部分 元 例如：若某户居民月份用水，则应收水费：（元）． (1)若该户居民月份用水，则应收水费 　　元． (2)若该户居民月份用水（其中），则应收水费多少元？（用含的整式表示，并化简） (3)若该户居民月份用水，两个月共用水，且月份用水超过月份，请用含的整式表示两个月共交的水费多少元？ 7．某市居民使用自来水按如下标准缴费（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 a元/ 超过但不超过的部分 1．5a元/ 超过的部分 2a元/ (1)当时，某户一个月用了的水，求该户这个月应缴纳的水费． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为_______元（用含a，n的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含x的式子表示）． 8.（25-26七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，一个边长为20米的正方形地面中，修建了两条宽度均为a米的小路，其余部分铺设草皮． (1)求草坪的面积．（阴影部分面积，需化简） (2)若小路需要铺设地砖，当，每平方米地砖为80元时，求所需地砖的总价格． 9.（25-26七年级上·河南南阳·期中）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 温故知新 1.若x=2时，代数式ax4+bx2+5的值是3，则当x=﹣2时，代数式ax4+bx2+7的值为 ． 2.杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”．它是古代重要的数学成就，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．请仔细观察计算该图中第n行中所有数字之和为 ． 3.当x＝1时，代数式px3+qx+1的值是﹣2025，则当x＝﹣1时，代数式px3+qx+1的值是 ． 4.（2025·云南西双版纳·二模）按一定规律排列的代数式：，第个代数式是 ． 5.（25-26七年级上·四川资阳·期中）已知，则的值为 ． 6.如果单项式与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． (1)求的值． (2)若，且，求的值． 7.已知多项式，． （1）若，化简； （2）若的结果中不含有项以及项，求的值． 8.（25-26七年级上·河北邢台·期末）一道题目“化简并求值，其中．”不小心弄污损了，系数“”看不清楚了． （1）如果嘉嘉把“”中的数值看成2，化简并求值，其中； （2）若m取任意的一个数，这个整式的值都是，请通过计算确定“”中的数值． 9.（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）已知，，求： (1)； (2)若，，，求的值． 10.（25-26七年级上·广东梅州·期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）若的值与的取值无关，求的值． 11.（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数．例如：，就称2与5是关于7的友好数． （1）2与________是关于3的友好数，与________是关于3的友好数（填一个含x的代数式）； （2）若，，判断a与b是否是关于3的友好数，并说明理由； （3）若，，且c与d是关于3的友好数，若x为正整数，求非负整数k的值． 12.（25-26七年级上·江苏·周测）定义某种新运算“”，根据下列各式，回答问题： ； ； ； ． （1）填空：　 　； （2）若，与相等吗？请说明理由； （3）若，，试说明：、不论取何值，的运算结果总是为正数． 13.整体代换是数学的一种思想方法．例如：x2+x＝0，则x2+x+1186＝　 　；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （Ⅰ）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2016＝　 　； （Ⅱ）如果a+b＝5，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值； （Ⅲ）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求2a2﹣3b2﹣2ab的值； 14.有这样一道题：先化简，再求值： ，其中，.小明同学在抄题时，把“”错抄成“”，但他计算的结果却是正确的．这是怎么回事呢？请同学们先正确解答该题，然后说明理由． 15.（25-26七年级上·北京·期中）观察下列日历中“阶梯框”中的数字规律，回答问题． (1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”； (2)请通过列式说明日历中“阶梯框”中的数字之和一定是3的倍数； (3)在（1）的条件下， a 可能等于7或26吗？请说明理由． 16.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）某学校计划购买一些乒乓球拍和乒乓球，某商场销售一种乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价元，乒乓球每盒定价元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即 方案一：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球； 方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款． 该学校要到该商场购买乒乓球拍副，乒乓球盒（为整数）． (1)若该学校按方案一购买，商场可赠送______盒乒乓球，学校还需花费______元购买乒乓球，则一共需付款_____元； (2)若该学校按方案二购买，需付款______元（用含的代数式表示）； (3)若，请聪明的你帮忙计算一下，此时选择哪种方案比较合算； 1 学科网（北京）股份有限公司 $