第1章 有理数（单元复习）培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

该初中数学有理数单元复习讲义通过知识框架图系统梳理数轴、绝对值等核心概念，以表格归纳画数轴的常见错误类型，清晰呈现数轴三要素、绝对值非负性等重难点，构建起概念与性质的内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层设计“数轴翻折”“绝对值最值”等创新题型，如折叠数轴使表示2与-4的点重合求距离8的A、B点，培养几何直观与推理意识。基础题巩固概念辨析，综合题提升问题解决能力，助力学生自主复习，为教师实施精准分层教学提供支持。

有理数 知识点一、数轴 定义:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴，它满足以下条件: (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点。 (2)通常规定直线上从原点 向右（或向上） 为正方向，从原点 向左（或向下） 为负方向； (3)选取适当的长度为 单位长度 直线上从原点向右，每隔一个 单位长度 取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…； 注意： (1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸，不能画成射线和线段。 (2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可。 (3)原点位置的选取,单位长度的大小都是根据实际而定的。 (4)同一数轴中的单位长度一定要统一。 (5)数轴上有无数个点,每一个点都表示一个数,不同的点表示的数不同 知识点二、数轴上的点与有理数之间的关系 1、每个有理数都可以用数轴上的 一点 来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的 一点 2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的 正半轴 与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a的点在数轴的 负半轴 上，与原点的距离是 a 个单位长度。 3、在数轴上表示有理数的方法： 注意： (1)数轴上的点表示的数不一定是有理数. (2)表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点, 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 4．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 知识点三、利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点四、绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 知识点五、绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点六、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 题型1：有理数 1.（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0这五类 D．负有理数既是分数，又是负数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类和相关定义，熟练掌握有理数的相关定义是解题的关键．利用有理数的相关定义逐一判断即可． 【详解】解：A中，一个有理数如果不是正数，那么可能是负数或0，选项错误，故不符合题意； B中，一个有理数不是整数就是分数，选项正确，故符合题意； C中，有理数是可以分为整数、分数两类；也可以分为正有理数、负有理数和0三类，故选项错误，故不符合题意； D中，负有理数是负数，可能是分数，也可能是整数，故选项错误，故不符合题意； 故选：B． 2.（24-25七年级上·四川乐山·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100． 正数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 【答案】正数集合{②⑤⑧⑨}； 整数集合{③④⑥⑨}； 负分数集合{①⑦}； 非负整数集合{④⑨} 【分析】本题考查有理数的分类，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握；根据有理数的分类进行分类即可． 【详解】解：正数集合{②⑤⑧⑨}； 整数集合{③④⑥⑨}； 负分数集合{①⑦}； 非负整数集合{④⑨}． 题型2：数轴的概念 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列语句正确的是（    ） A．数轴的原点必须画在数轴的中间 B．数轴的单位长度必须是1厘米 C．数轴的方向必须向右 D．数轴的原点可以画在任意一个位置 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握三要素是解题的关键． 【详解】解：A. 数轴的原点画在任意一个位置，错误，不符合题意；     B. 数轴的单位长度可以是任意长度，错误，不符合题意； C. 数轴的方向向左或向右，习惯上向右，错误，不符合题意；     D. 数轴的原点可以画在任意一个位置，正确，符合题意； 故选：D． 2.（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图，在下面写出数轴上点A、B、C所表示的数，并分别用数轴上的点表示、、2.6、，并依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G． _____、_____、_____． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先从数轴得，再依次找出、、2.6、的点，然后依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G，即可作答． 【详解】解：依题意，， 数轴如图所示： 3.（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A．②④ B．②③ C．①③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上点的坐标特征． 逐一判断即可． 【详解】解：①若，则数轴上表示数x的点更靠左；原说法正确； ②若，无法判断哪个点离原点更近；原说法错误； ③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；原说法正确； ④若，无法判断哪个点更靠左；原说法错误； 故选：C 4.如图所示，下列关于，，的说法中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥到原点的距离大于到原点的距离 ⑦在与之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查了利用数轴比较有理数的大小，由a，b，c在数轴上的位置得到，进而逐项求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴，①正确； ，②错误； ，③错误； ，④正确； ，⑤正确； 到原点的距离小于到原点的距离，⑥错误； 在与之间有2个整数，⑦正确． 正确的有4个． 故选：B． 5.（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了数轴相关定义，掌握数轴的定义以及在数轴上的点的意义是解题的关键．一条规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 根据数轴的定义，用数轴上的点表示有理数，逐项分析判断即可得到答案． 【详解】解：①数轴上的点能表示整数，也能表示分数，故①不正确； ②数轴是一条直线，故②不正确； ③数轴上的一个点只能表示一个数，故③正确； ④数轴上能找到既不表示正数，又不表示负数的点即原点，它表示0，故④不正确； ⑤数轴上的点所表示的数不一定都是有理数，故⑤不正确． 故正确的有③，共1个 故答案为：1 6.（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴可得且，由此即可得到答案； （2）由数轴可得且，由此逐个判断即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可得：且， ； （2）解：由数轴可得且， ，，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负，根据数轴得出且是解此题的关键． 题型3：线段覆盖的整数点问题 1.（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴上的有理数的特点，有理数的加法运算．找出和两点之间的整数，然后计算它们的和，即可解题． 【详解】解：数轴上在和之间的所有整数为，，，，，， 则所有整数的和为， 故答案为：3． 2.（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 【答案】C 【分析】考虑线段起点是否在整点上，分两种情况讨论：①起点在整点时；②起点不在整点时. 【详解】解：、 起点在整数点： 若线段的起点恰好位于某个整数点（如处）， 则线段每延伸会覆盖下一个整数点. 长度为时，终点为处， 覆盖的整数点包括起点到终点共个. 、起点不在整数点： 若线段起点在两个整数点之间（如处）， 则终点为处， 此时覆盖的整数点从到，共个. 综上，线段盖住的整数点个数为或. 故选：. 题型4：数轴的翻折问题 1.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，由数轴上两点之间的距离得，即可求解；能熟练利用数轴上两点之间的距离求解是解题的关键． 【详解】解：设表示2的点与表示的点的连线段的中点表示的数为x，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为8， ， 到表示的点的距离为4， 点表示的数为， 故选：B． 2.（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线CB上，并且，则C点表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点的距离：点、在数轴上表示的数分别为、，则，一元一次方程的应用．掌握数轴上两点之间的距离公式是解决问题的关键， 设出点所表示的数，根据点、所表示的数，可以表示出的距离，再根据，表示出，由折叠得，，列方程即可求解． 【详解】解：设点所表示的数为，， ，点所表示的数为9， 表示的数为或， 或22， 根据折叠得，， 或， 解得：或， 故选：D． 3.如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【详解】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 【答案】(1) (2)或3 (3)点M表示的数是1011，点N表示的数是 【分析】本题考查有理数与数轴，折叠问题，计算出折叠处的点表示的数是解题的关键． （1）计算出折叠处的点表示的数，即可求解； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或，分两种情况计算即可； （3）先计算出所在点到点M或点N的距离，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数1表示的点重合， 折叠处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：由（1）知折叠处的点表示的数为：， 若点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或， 点A所表示的数为5时，，， 点B表示的数是； 点A所表示的数为时，，， 点B表示的数是3； 故答案为：或3； （3）解： M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合， 所在点到点M或点N的距离为：， 点M表示的数比点N表示的数大， 点M表示的数为：， 点N表示的数为：． 6.（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点A表示的数点B表示的数线段的长，即可求出点A表示的数； （2）根据，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设点D表示的数为y，则点表示的数是，根据，可列出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点B表示的数是1，点A在点B的左侧，且， ∴点A表示的数是； （2）解：根据题意得：， 解得：， 答：x的值为6； （3）解：设点D表示的数为y，则点表示的数是， 根据题意得：， 即或， 解得：或． 答：点D表示的数为或． 题型5：数轴上两点距离综合 1.（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的基本性质和数轴上两点间的距离计算，本题的解题关键是数轴上两点间的距离计算，根据数轴的基本性质和数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】解：、、是数轴上三点，且点表示的数是，点表示的数为1， 设点表示的数为， 当其中一点是另外两点构成的线段中点， ①为线段的中点， 的值为：； ②为线段的中点， 的值为：； ③为线段的中点， 的值为：； 则点C表示的数是或或8， 故选：D． 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 【答案】(1)D， (2) 【分析】本题考查了有理数的加法、减法、数轴；关键是能利用数轴准确表示有理数，并能列式计算 （1）根据点B表示的数和的值即可求出点D表示的数，进而求得原点的位置，然后根据A在点B左侧即可解答； （2）根据的长度即可求单位长度． 【详解】（1）解：点B表示的数为，， 点C表示的数为：，点D表示的数为：， ∴原点所在的位置是点处； 点A表示的数为：， 故答案为：，， （2）当点D表示的数是32，点B表示的数为． ， 相邻两点之间的距离， ． 题型6：数轴上的运动问题 1．已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、两点间的距离，了解数轴上点的移动规律是解题的关键．先求得点表示的数，然后分2种情况讨论，第一种是当在左侧，第二种是在右侧，分别得出答案． 【详解】解：已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得， 点为： 当在左侧，点距离点两个单位，那么点为：； 当在右侧，点距离点两个单位，那么点为：． 故答案为：或． 2.（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解题意是解题的关键． 根据题意，平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者，即可求得平移之前点表示的数． 【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者， 则． 故答案为：或． 3.（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化规律，有理数与数轴等知识点，由正方形旋转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知四次一循环，由此可以确定所对应的点，发现各个顶点在翻转过程中所对应的数字的规律是解此题的关键． 【详解】当正方形在转动第一周过程中，即正方形连续翻转了4次， 第一次翻转A对应1， 第二次翻转B对应2， 第三次翻转C对应3， 第四次翻转D对应4， …， ∴四次一个循环， ∵， ∴2025所对应的点是A， 故答案为：A． 4.（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【答案】 7 14 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离大于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离大于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；14． 题型7：相反数 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查了相反数、化简绝对值和多重符号，根据相反数的定义、化简绝对值和多重符号逐项判断即可，熟练掌握相反数的定义、正确化简绝对值和多重符号是解题的关键． 【详解】解：A．，，两数相等，不是相反数，不符合题意； B．，，两数相等，不是相反数，不符合题意； C．和，绝对值分别为和，不相等，不是相反数，不符合题意； D．，，和绝对值相等且符号相反，故互为相反数，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 3.（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 4.（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】解：A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数，说法正确，故本选项不合题意； B．与2.2互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； C．如果两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数，说法正确，故本选项不合题意； D．的相反数是，所以原说法错误，故本选项符合题意． 故选：D． 5.（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，根据绝对值的性质及相反数的定义先对各数进行化简，再根据相反数的定义进行判断即可求解，掌握绝对值的性质和相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 、∵，， ∴是互为相反数，该选项符合题意； 、∵，， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是互为相反数，该选项不合题意； 故选：． 6.以下说法中不正确的选项是（　　） A．如果，那么 B．如果是大于1的正数，那么是小于的负数 C．一个数的相反数的相反数等于它本身 D．一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查了相反数和绝对值，熟练掌握相反数和绝对值的性质是解题关键．根据相反数的性质和绝对值的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、如果，那么，则此项说法正确，不符合题意； B、如果是大于1的正数，那么是小于的负数或大于1的正数，则此项说法不正确，符合题意； C、一个数的相反数的相反数等于它本身，则此项说法正确，不符合题意； D、因为一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0，所以如果一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数，则此项说法正确，不符合题意； 故选：B． 7.（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数和绝对值．由得到与互为相反数，从而利用相反数的定义得出原点位置，进而结合绝对值的性质得出答案． 【详解】解：， 与互为相反数， 原点在，中间位置， 距离原点最远， 、、、三个数中绝对值最大的数是． 故选：D 8.（25-26七年级上·全国·课后作业）已知表示数a的点在数轴上的位置如下图所示． (1)若表示数a的点与表示其相反数的点相距18个单位长度，则数a是多少？ (2)在（1）的条件下，若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度，则数b是多少？ 【答案】(1)数是 (2)数是或 【分析】本题考查了数轴、相反数以及两点间的距离的应用，关键是能根据题意列出算式和方程． （1）根据题意可得，到原点的距离为，结合，可得； （2）结合（1）可得出，再分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：表示数的点与表示其相反数的点相距个单位长度， ，即． 由数轴可知，， ． （2）解：由（1）知，． 当表示数的点在表示数的相反数的点的右边时，． 当表示数的点在表示数的相反数的点的左边时，． 综上所述，数是或． 题型8：有理数的大小比较 1.下列各组有理数的大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是有理数的比较大小，掌握多重符号和绝对值化简是解题关键．先将多重符号和绝对值化简，然后根据有理数的比较大小方法逐一判断即可． 【详解】A．，故本选项错误； B．，，且， ，故本选项正确； C．， ，故本选项错误； D．， ，故本选项错误； 故选：B． 2.比较下列各组数的大小： （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号、化简绝对值，熟练掌握有理数的大小比较是解题关键． （1）先去括号，再根据正数大于负数即可得； （2）根据负数绝对值大的反而小即可得； （3）先去括号、化简绝对值，再化成同分母的分数，比较大小即可得． 【详解】解：（1），， 则， 故答案为：． （2）， 则， 故答案为：． （3），， 则， 故答案为：． 题型9：绝对值的化简问题 1.（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故选：C． 2.（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）有理数,,在数轴上的位置如图所示，且＜. (1)用“＞”或“＜”填空：－＿＿0, －＿＿0, －＿＿0； (2)化简：. 【答案】（1）>，>，>；（2） 【分析】（1）观察数轴可得：，据此进行依次判断即可. （2）根据（1）判断出的、、利用绝对值的代数意义进行化简即可. 【详解】（1）∵，∴； ∵，∴； ∵，∴. （2）     =     = 【点睛】本题主要考查了根据数轴判断正负性以及绝对值的化简，熟练掌握相关概念是解题关键. 3.有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式 【答案】b-3c 【分析】利用数形结合，由数轴知a-b＜0，a+c＜0，c-a＞0，去绝对值符号，再合并同类项即可． 【详解】解：由数轴知a-b＜0，a+c＜0，c-a＞0， ∴|a-b|+|a+c|-2|c-a| =b-a-a-c-2c+2a =b-3c 【点睛】本题考查绝对值的性质．确定绝对值符号内代数式的符号是解答此类题目的关键． 题型10：绝对值的非负性 1.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟知． 【详解】解：∵，且， ∴，即为非负数，则为非正数， ∴， 故选：D． 2.（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 3.若，则（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先根据题意求得a、b的值，然后再求a-b的值，最后求a-b的绝对值即可． 【详解】解：∵ ∴a=±3，b=±5 当a=3，b=5时，a-b=-2 当a=3，b=-5时，a-b=8 当a=-3，b=5时，a-b=-8 当a=-3，b=-5时，a-b=2 所以a-b=±2或±8 所以2或8． 故答案为D． 【点睛】本题考查了绝对值方程和求绝对值，根据题意求得a-b的值是解答本题的关键． 4.（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤一定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的一般规律，熟练掌握“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是”是解题的关键. 【详解】解：当时，，说法正确； 当时，，说法正确； 当时，可能是，也可能是，说法错误，说法正确； 当时，，既不是正数也不是负数，说法错误； ，一定是正数，说法正确； 综上，正确的有四个； 故选：D ． 5.（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】当，；当时，，按此分类讨论即可． 【详解】解：当，；当时，，按此分类讨论， 当、、、、均为正数时，， 当、、、、有八个为正数，一个为负数时，， 当、、、、有七个为正数，两个为负数时，， 当、、、、有六个为正数，三个为负数时，， 当、、、、有五个为正数，四个为负数时，， 当、、、、有四个为正数，五个为负数时，， 当、、、、有三个为正数，六个为负数时，， 当、、、、有两个为正数，七个为负数时，， 当、、、、有一个为正数，八个为负数时，， 当、、、、均为负数时，， 所以共有10个值． 故选A． 【点睛】此题主要考查分类讨论能力，解题的关键是充分利用好这一结论，注意分类的准确． 6.“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并完成（1）解答和题目后提出的问题． （1）例：已知，是有理数，当时，求的值． 解：由题意得，，两个有理数都为正数或都为负数． ①当，都是正数时，即，时，则：； ②当，都是负数时，即，，则：　　， 综上，的值为2或 　　． （2）请根据上面的解题思路解答下面的问题： 若三个有理数，，满足，求的值． 【答案】（1），（2）或1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值化简，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）当，都是负数时，即，，则：，据此可得答案． （2）读懂题意，按照题目给的解题思路分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①当，都是正数时，即，时，则：； ②当，都是负数时，即，，则：， 综上，的值为2或； 故答案为：，； （2）， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当、、都是负数，即，，时， 则； ②、、有一个为负数，另两个为正数时， 设，，， 则； 因此的值为或1． 7.（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可； （2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，互为相反数， ∴， 又∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键． 题型11：绝对值的最值问题 1.（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点间的距离，由绝对值的非负性可求出M的最小值，由数轴上两点间的距离可求出N的最小值． 【详解】解：∵， ∴，即M的最小值为3； ∵表示数轴上数x对应的点到数4和5对应点的距离之和，这个和的最小值是， ∴的最小值为1． 故选D． 2.我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 3．（23-24九年级下·重庆忠县·期中）距离，是数学、天文学、物理学研究的基本问题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度．若点A、B在数轴上代表的数为a﹑b，则A、B两点之间的距离，则下列说法： ①数轴上表示x和的两点之间的距离是﹔ ②若，点B表示的数是2，则点A表示的数是1； ③当时，代数式有最小值为6； ④当代数式取最小值时，x的取值范围是； ⑤点A，B，C在数轴上代表的数分别为a，b，c，若﹐则点A位于B，C两点之间． 其中说法正确的是（    ） A．①③④ B．①②④ C．③④ D．③④⑤ 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义逐一判断每个说法的对错即可． 【详解】解：①数轴上表示和的两点之间的距离是，故①错误； ②设点表示数， 点表示的数是， ， ， ， 解得：或， 故②错误； ③代数式表示数轴上数对应的点到、、三个数对应点的距离之和， 当时，为最小值．故③正确； ④代数式表示数对应点到数，对应点的距离之和，当数对应点在和对应点之间时，这个距离之和最小， 当代数式取最小值时，的取值范围是，故④正确； ⑤表示点到点、的距离之和，表示点与点之间的距离， 若，则点 位于 、两点之间，故⑤正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的几何意义的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 4.如果的最小值是10， 那么 ． 【答案】或6 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的几何意义，用分类讨论方法是解本题的关键．根据绝对值的几何意义，分类讨论求值即可． 【详解】解：的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示数，3，a的点的距离之和， ①当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； ②当时， 当时，有最小值，即：，不符合题意； ③当时， 当时，有最小值，即：，解得：或（舍去）； 综上，当或时，的最小值是10． 故答案为：或6． 5.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）则表示 的距离． （2）数轴上表示x与7的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果|x-2|=5，则x= . （4）同理|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x-2|=3，这样的整数是 . （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|的最小值是 . 【答案】(1)数轴上表示5的点到表示1的点的距离；(2) |x-7|；(3)7或-3 ；(4)-1,0,1,2；(5) 9 . 【分析】（1）类比题目所给的方法解答即可；（2）类比题目所给的方法解答即可；（3）由|x-2|=5，可得x-2=5或x-2=-5,解得x=7或-3；（4）要x的整数值可以进行分段计算，令x+1=0或x-2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的整数值；（5）由（4）的探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|有最小值为9． 【详解】解：(1)数轴上表示5的点到表示1的点的距离.； (2) |x-7|； (3)7或-3 ； (4) 令x+1=0或x-2=0时，则x=-1或x=2 当x＜-1时， ∴-（x+1）-（x-2）=3， -x-1-x+2=3， x=-1（范围内不成立） 当-1＜x＜2时， ∴（x+1）-（x-2）=3， x+5-x+2=3， 3=3， ∴x=0，1，2 当x＞2时， ∴（x+1）+（x-2）=3， x+1+x-2=7， 2x=8， x=4（范围内不成立）， ∴综上所述，符合条件的整数x有： -1，0，1，2； （5）由（4）的探索猜想，对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|有最小值为9． 【点睛】本题是一道去绝对值和数轴相联系的综合试题，考查了去绝对值的方法，取绝对值在数轴上的运用．难度较大．去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性． 6.（23-24七年级上·广东汕头·期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|=________．     （2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为________． （3）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数有________个． 【答案】（1）7;（2）;（3）8 . 【分析】（1）根据两点间距离的计算即可得解； （2）根据两点间距离公式解答； （3）根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解. 【详解】（1）|5-（-2）|=7； （2）|x+1|或|x-（-1）|； （3）由题意得，-5≤x≤2，所以符合条件的整数有-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，共8个. 【点睛】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 7.（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 8.（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3 (2)或5 (3)，或0，或1，或2 (4)6 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 9．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与_______．（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则_______．（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为_______． （4）运用二：代数式的最小值为_______． （5）运用三：代数式的最大值为_______． （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6），；或，； 【分析】本题为绝对值动点综合题，考查了数轴上绝对值的意义，绝对值的化简，数轴上点的距离运算，数轴上中点的表达，灵活根据动点的运动速度表达出点在数轴上的情况是解题的关键． （1）根据绝对值的意义作答即可； （2）根据绝对值的意义作答即可； （3）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （4）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （5）分类讨论的取值范围，结合绝对值的化简，运算分析即可； （6）根据运动情况，用含的式子表达出各点的值，再根据各点的值表达出和的长度，套入分析出的值后即可求得的值． 【详解】（1）解：由题意可得：表示数轴上数与之间的距离； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意可得：和表示与的距离和与的距离的和，， 当时， 则：， 解得：； 当时，则 ，不符合题意； 当时，则：， 解得：； 故答案为：或； （4）解：， 当时， 则：， 当时，则， 当时，则：， ∴时，的最小值为， 故答案为：； （5）解：∵表示与的距离和与的距离的差， ∴当时， 则：， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴综上的最大值为：； 故答案为：7； （6）解：∵动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒，设时间为， ∴点可表示为：，点可表示为：，点可表示为：， ∴的中点为：，的中点为：，的中点为：， ∵在的左边，在的左边， ∴在的左边，在的左边， ∴，， ∴， ∴时，的值与无关，即， ∴， ∴，． 温故知新 1.下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 2.下面两个数互为相反数的是（　　） A．－（+3）与 +（－3） B．－与 －（+） C．+（－0.1）与 －（－） D．+（－1）与 －（－） 【答案】C 【分析】根据相反数的概念，对每一项进行分析，即可求出正确答案． 【详解】解：A、∵-（+3）=-3，+（-3）=-3 ∴-（+3）和+（-3）不互为相反数，故本选项错误； B、∵-（+）=－， ∴－与 －（+）不互为相反数，故本选项错误； C、∵+（－0.1）=－0.1，－（－）==0.1， ∴+（－0.1）与 －（－）互为相反数，故本选项正确； D、∵+（－1）= －1，－（－）=， ∴+（－1）与 －（－）不互为相反数，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的是一根被污染的数轴．已知点之间的距离与点之间的距离相等，则点对应的数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟记两点之间的距离公式是解题的关键． 先根据数轴确定点对应的数为，再根据“在数轴上，两点间的距离等于右边的点对应的数减去左边的点对应的数”可求得点之间的距离为，结合点之间的距离与点之间的距离相等这一条件以及点的位置，进而求出点对应的数． 【详解】解：由数轴可知，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为． 点之间的距离为． 点之间的距离与点之间的距离相等， 点之间的距离也为． 又点对应的数为，且点在点的右边， 点对应的数为． 故选：C 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式计算即可． 【详解】解：根据数轴可知：， 解得． 故选：D． 5.（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了数轴以及数字变化规律，根据点的变化，找出变化规律是解题的关键． 根据每次翻转后点的变化规律进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，在翻转的过程中，点对应的数依次为空、空、 故每次翻转为一个循环组 ， 翻转次后，点不在数轴上． 故选：A． 6.在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分两种情况或，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点表示的数是， ∴到点距离4个单位的点表示的数是：或， ∴到点距离4个单位的点表示的数是或， 故选：B． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 8.由点确定距离变式为由距离确定，已知点M和点N在同一条数轴上，点N表示，且点M与点N之间的距离是5个单位长度，则点M表示的数是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，分两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵点M与点N之间的距离是5个单位长度，点N表示， ∴点M表示的数是或； 故答案为：3或． 9.选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，相反数的含义，根据，再进一步分析可得答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 故答案为：，，， 10.数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 【答案】 201 200 【分析】本题考查数轴上的整点覆盖问题，此题要找出变化的规律，分两种情况：①当线段长为1厘米时，如果它的两个端点正好与一个单位长度的两个整数点重合，就能覆盖住这两个点，以此类推，n厘米长的线段可盖住个点；②长为1厘米的线段两端与一个单位长度的两个整数点不重合时，就只能覆盖住一个整数点，类似第一种情况，则n厘米长的线段可盖住n个点． 【详解】解：2米厘米； （1）当长度为2米的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，线段覆盖住的整点个数为个； （2）若2米的线段的两端点不与两个整数点重合，则它可覆盖住的整数点个数为200个； 故答案为：201，200 11.给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义，以及互为相反数的两个数的绝对值相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则；故①正确； 若，则；故②正确； 若，则或．故③正确； 故答案为：①②③ 12.（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2． （1）A、B两点的距离AB=________ ，A、C两点的距离AC=________   ；   （2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE=________ ；    （3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值=________ . 【答案】（1）2；5；（2）|x+3|；（3）4 【详解】试题分析：（1）直接利用数轴可得AB，AC的长； （2）结合数轴可得出点E表示的数为x，则AE的长为：|x+3|； （3）直接利用数轴可得出|x﹣1|+|x+3|的最小值． 试题解析：（1）如题图所示：AB=-1-（-3）=2，AC=2-（-3）=5， 故答案为2，5； （2）根据题意可得：AE=|x-(-3)|=|x+3|， 故答案为|x+3|； （3）由数轴可知：| x-1|相当于x 到数轴上1的距离，| x+3 |相当于x到-3的距离，所以绝对值之和的最小值为到两点距离之和的最小值，也就是x在两点之间时，所以最小值为5， 即|x﹣1|+|x+3|的最小值为：4， 故答案为4． 【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过计算发现数轴上两点间的距离实际是就是求数轴上这两点所表示的数的差的绝对值是解题的关键. 13.已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 【答案】(1) (2)两点之间的距离为3 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，解题的关键是利用数轴确定a，b的符号. （1）由数轴可知，a，b均为负数，结合绝对值，得到a，b的值. （2）A，B两点之间的距离是大数减去小数. 【详解】（1）解：因为, 所以或，或， 由数轴可知：a，b在数轴的左侧，所以, 所以. （2）解：由（1）可得， 所以A，B两点之间的距离为：. 14.已知数表示的点在数轴上的位置如下图所示． (1)在数轴上表示出的相反数的位置． (2)若数表示的点与其相反数表示的点相距20个单位长度，求的值． (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)c的值为5或15 【分析】本题考查了数轴的概念、相反数的几何意义及数轴上两点间的距离计算，关键在于理解互为相反数的点关于原点对称的性质，以及利用数轴上两点间距离等于其坐标差的绝对值这一原理来解决问题，通过确定数与原点的距离并结合数的正负性来求解具体数值． (1) 利用相反数的几何意义（数轴上关于原点对称的点）确定a、b相反数的位置； (2) 结合数轴上两点距离与原点的关系，先求b到原点的距离，再根据b的符号确定b的值； (3) 先由(2)得b的相反数，再根据数轴上两点距离的两种情况（左右两侧）计算c的值． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：数b表示的点与其相反数表示的点相距20个单位长度， 数b表示的点距原点10个单位长度． 又数b表示的点在原点的左侧，所以． （3）解：由（2）知，，所以．因为数c表示的点与数表示的点相距5个单位长度， 所以c的值为5或15． 15.如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)见解析；4 (2)2或6 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （2）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： 点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6． 16.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空， ____， ______ ； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，整式的加减计算，正确判断出各个式子的符号是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置可知，，再由即可得到答案； （2）根据（1）可得，据此化简绝对值即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴上点的位置可知，， ∴， 故答案为：；； （2）解：由（1）得， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数 知识点一、数轴 定义:规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴，它满足以下条件: (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点。 (2)通常规定直线上从原点 向右（或向上） 为正方向，从原点 向左（或向下） 为负方向； (3)选取适当的长度为 单位长度 直线上从原点向右，每隔一个 单位长度 取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…； 注意： (1)数轴是一条直线,可以向两端无限延伸，不能画成射线和线段。 (2)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度,三者缺一不可。 (3)原点位置的选取,单位长度的大小都是根据实际而定的。 (4)同一数轴中的单位长度一定要统一。 (5)数轴上有无数个点,每一个点都表示一个数,不同的点表示的数不同 知识点二、数轴上的点与有理数之间的关系 1、每个有理数都可以用数轴上的 一点 来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的 一点 2、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度。 3、在数轴上表示有理数的方法： 注意： (1)数轴上的点表示的数不一定是有理数. (2)表示数的点一定要画在数轴上，在相应的位置加上实心圆点, 【注】画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 4．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 知识点三、利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 知识点四、绝对值的几何意义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”. 1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数； 2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小； 3.数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以. 知识点五、绝对值的性质 1.绝对值的性质 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即 2.绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 知识点六、多重符号化简 1.相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1； 2.由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数； 3.先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数. 4.多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关. 题型1：有理数 1.（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（    ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和0这五类 D．负有理数既是分数，又是负数 2.（24-25七年级上·四川乐山·期中）把下列各数对应的序号填在相应的大括号内． ①，②，③，④0，⑤0.01，⑥，⑦，⑧3.14，⑨100． 正数集合{ }； 整数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 题型2：数轴的概念 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列语句正确的是（    ） A．数轴的原点必须画在数轴的中间 B．数轴的单位长度必须是1厘米 C．数轴的方向必须向右 D．数轴的原点可以画在任意一个位置 2.（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图，在下面写出数轴上点A、B、C所表示的数，并分别用数轴上的点表示、、2.6、，并依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G． _____、_____、_____． 3.（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） ①若，则数轴上表示数x的点更靠左；②若，则数轴上表示数x的点离原点更近；③若，则数轴上表示数x的点离原点更近；④若，则数轴上表示数x的点更靠左． A． ②④ B．②③ C．①③ D．①④ 4.如图所示，下列关于，，的说法中正确的个数是（    ） ① ② ③ ④ ⑤ ⑥到原点的距离大于到原点的距离 ⑦在与之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5.（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法： ①数轴上的点只能表示整数； ②数轴是一条线段； ③数轴上的一个点只能表示一个数； ④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点； ⑤数轴上的点所表示的数都是有理数． 其中正确的有 个． 6.（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图．    (1)把这七个数用“”连起来； (2)判断正负，用“”或“”填空：_______________________0． 题型3：线段覆盖的整数点问题 1.（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ． 2.（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）数轴上表示整数的点称为整数点．某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段盖住的整数点的个数是（   ） A．2025 B．2026 C．2025或2026 D．2024或2025 题型4：数轴的翻折问题 1.（23-24七年级上·浙江衢州·期中）小丽在纸上画了一条数轴后．折叠纸面，使数轴上表示2的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、9，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点落在射线CB上，并且，则C点表示的数是（　　） A． B． C．或 D．或 3.如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 4． （24-25七年级上·山东济南·阶段练习）将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 6.（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知点是数轴上的两点，为原点．点表示的数是1，点在点的左侧，． (1)求点表示的数． (2)数轴上的一点在点的右侧，设点表示的数是，若，求的值． (3)点是线段上的一个动点，以点为折点，将数轴向左对折，点的对应点落在数轴上的处．若，求点表示的数． 题型5：数轴上两点距离综合 1.（24-25七年级上·河北唐山·期末）在数轴上有A，B，C三点，其中点A表示的数是2，点B表示的数是，如果其中一点为另外两点形成的线段的中点，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或8或2 C．或8或1 D．或或8 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，数轴上有四个点A，B，C，D，相邻两点之间的距离均为m（m为正整数），点B表示的数为． (1)若，则表示原点的是点_______，点A表示的数是_______． (2)若点D表示的数是32，求m的值． 题型6：数轴上的运动问题 1．已知数轴上点为，点由点向右移动8个而得，点距离点两个单位，则点在数轴上对应的数为 ． 2.（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 3.（24-25七年级上·浙江宁波·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1．若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2024次后，数轴上数2025所对应的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4.（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 题型7：相反数 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 3.（23-24七年级·江苏·假期作业）下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 4.（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．在一个数前面添加一个“”号，就变成原数的相反数 B．与互为相反数 C．若两个数互为相反数，则它们的相反数也互为相反数 D．的相反数是 5.（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6.以下说法中不正确的选项是（　　） A．如果，那么 B．如果是大于1的正数，那么是小于的负数 C．一个数的相反数的相反数等于它本身 D．一个数大于它的相反数，那么这个数一定是正数 7.（24-25七年级上·福建泉州·期末）有理数、、、在数轴上的位置如图所示，若，则、、、四个数中，绝对值最大的数是（   ） A． B． C． D． 8.（25-26七年级上·全国·课后作业）已知表示数a的点在数轴上的位置如下图所示． (1)若表示数a的点与表示其相反数的点相距18个单位长度，则数a是多少？ (2)在（1）的条件下，若表示数b的点与表示数a的相反数的点相距5个单位长度，则数b是多少？ 题型8：有理数的大小比较 1.下列各组有理数的大小比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 2.比较下列各组数的大小： （1） ；（2） ；（3） ． 题型9：绝对值的化简问题 1.（23-24七年级上·河南郑州·期中）已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（　　） A． B． C． D． 2.（23-24七年级上·湖北宜昌·期中）有理数,,在数轴上的位置如图所示，且＜. (1)用“＞”或“＜”填空：－＿＿0, －＿＿0, －＿＿0； (2)化简：. 3.有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简代数式 题型10：绝对值的非负性 1.若，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 3.若，则（  ） A． B． C． D．或 4.（25-26七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤一定是负数；⑥一定是正数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）符合要求的不同的值共有（　　）个 A．10 B．7 C．4 D．3 6.“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并完成（1）解答和题目后提出的问题． （1）例：已知，是有理数，当时，求的值． 解：由题意得，，两个有理数都为正数或都为负数． ①当，都是正数时，即，时，则：； ②当，都是负数时，即，，则：　　， 综上，的值为2或 　　． （2）请根据上面的解题思路解答下面的问题： 若三个有理数，，满足，求的值． 7.（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 题型11：绝对值的最值问题 1.（24-25七年级上·重庆·期中）若的最小值与的最小值分别为（    ） A．2，4 B．2，1 C．3，5 D．3，1 2.我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·重庆忠县·期中）距离，是数学、天文学、物理学研究的基本问题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界的尺度．若点A、B在数轴上代表的数为a﹑b，则A、B两点之间的距离，则下列说法： ①数轴上表示x和的两点之间的距离是﹔ ②若，点B表示的数是2，则点A表示的数是1； ③当时，代数式有最小值为6； ④当代数式取最小值时，x的取值范围是； ⑤点A，B，C在数轴上代表的数分别为a，b，c，若﹐则点A位于B，C两点之间． 其中说法正确的是（    ） A． ①③④ B．①②④ C．③④ D．③④⑤ 4.如果的最小值是10， 那么 ． 5.（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）同学们都知道：|5|在数轴上表示数5的点与原点的距离，而|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）则表示 的距离． （2）数轴上表示x与7的两点之间的距离可以表示为 . （3）如果|x-2|=5，则x= . （4）同理|x+1|+|x-2|表示数轴上有理数x所对应的点到-1和2所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+1|+|x-2|=3，这样的整数是 . （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x+3|+|x-6|的最小值是 . 6.（23-24七年级上·广东汕头·期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： （1）求|5﹣（﹣2）|=________．     （2）数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离表示为________． （3）找出所有符合条件的整数x，使|x+5|+|x﹣2|=7，这样的整数有________个． 7.（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 8.（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 9．（24-25七年级上·湖北十堰·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离．这个结论可以推广为：点、在数轴上分别表示有理数、，则A，B两点之间的距离示为，即．例如，在数轴上，表示和的点的距离为． 【问题解决】 （1）表示数轴上数与_______．（填数字）之间的距离； （2）若点为数轴上一点，它所表示的数为，点在数轴上表示的数为，则_______．（用含的代数式表示）； 【关联运用】 （3）运用一：若，则x的值为_______． （4）运用二：代数式的最小值为_______． （5）运用三：代数式的最大值为_______． （6）运用四：已知动点、、分别从数轴、、的位置沿数轴正方向同时运动，速度分别为个单位长度/秒，个单位长度/秒，个单位长度/秒．原点为点，线段的中点分别为，若，且的值为常数，求出和的值 温故知新 1. 下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 （填序号）． 2.下面两个数互为相反数的是（　　） A．－（+3）与 +（－3） B．－与 －（+） C．+（－0.1）与 －（－） D．+（－1）与 －（－） 3．（25-26七年级上·全国·周测）如图所示的是一根被污染的数轴．已知点之间的距离与点之间的距离相等，则点对应的数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一刻度尺如图贴放，刻度尺上“”和“”对应的数分别是和，那么的值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5.（25-26七年级上·全国·课后作业）三边相等的三角形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别是0，．若三角形绕右下角的顶点沿顺时针方向连续翻转，翻转1次后点对应的数是1，则翻转2025次后，点对应的数是（   ） A．不对应任何数 B．2023 C．2024 D．2025 6.在数轴上，点表示的数是，到点距离4个单位的点表示的数是（   ） A． B．或 C．9 D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 8.由点确定距离变式为由距离确定，已知点M和点N在同一条数轴上，点N表示，且点M与点N之间的距离是5个单位长度，则点M表示的数是 ． 9.选择“”“”“”或“”填空；是任意有理数，（1） 0；（2） 0；（3） 0；（4） 0． 10.数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米，有一条长2米的线段放在该数轴上，求它可以覆盖住的整数点的个数． （1）若2米长的线段的两个端点恰好与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个； （2）若2米长的线段的两个端点不与两个整数点重合，则它可以覆盖住的整数点有 个． 11.给出下列判断：①若，则；②若，则；③若，则或．其中正确的是 （填序号）． 12.（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，数轴上的点A、B、C分别表示数﹣3、﹣1、2． （1）A、B两点的距离AB=________ ，A、C两点的距离AC=________   ；   （2）通过观察，可以发现数轴上两点间距离与这两点表示的数的差的绝对值有一定关系，按照此关系，若点E表示的数为x，则AE=________ ；    （3）利用数轴直接写出|x﹣1|+|x+3|的最小值=________ . 13.已知分别是两个不同的点所表示的有理数，且，它们在数轴上的位置如下图所示． (1)试确定的值． (2)两点之间的距离为多少？ 14.已知数表示的点在数轴上的位置如下图所示． (1)在数轴上表示出的相反数的位置． (2)若数表示的点与其相反数表示的点相距20个单位长度，求的值． (3)在（2）的条件下，若数表示的点与数的相反数表示的点相距5个单位长度，求的值． 15.如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 16.已知a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)用“”、“”、“”填空， ____， ______ ； (2)化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $