第01讲 认识方程积方程的解（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第01讲 认识方程积方程的解 知识点1：一元一次方程 知识点2：等式的性质 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【题型一 判断各式是否是方程】 【典例1】下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【变式3】下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型二 判断各式是否是一元一次方程】 【典例2】下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若是关于的一元一次方程，则 ． 【变式3】如果是关于x的一元一次方程，那么n的值为 ． 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【题型三 等式的性质】 【典例3】根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】下列变式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【题型四 列方程】 【典例4】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【变式1】列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 【变式2】一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【变式3】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【题型五 判断是否是方程的解】 【典例5】下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【变式3】在整式中，m、n为常数，下表是当x取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 1 4 7 则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【题型六 已知方程的解，求参数】 【典例6】若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 【变式1】已知是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【变式3】已知x与关于x的代数式的值对应如下图： 则m的值为 ． 一、单选题 1．下列选项中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 2． 是关于的一元一次方程的解，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．0 D． 二、填空题 7．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 8．若，则 9．若是关于的一元一次方程，则 ． 三、解答题 10．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 11．方程与方程的解相等，求a的值． 12．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有________颗黑色棋子； (2)用含n的代数式表示第n个图中黑色棋子的颗数； (3)若第n个图中有颗黑色棋子，求n的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 认识方程积方程的解 知识点1：一元一次方程 知识点2：等式的性质 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 知识点2 含参一元一次方程 1、次数含参：主要考察一元一次方程定义 2、常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 3、解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 【题型一 判断各式是否是方程】 【典例1】下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义， 根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，逐一分析各选项是否符合条件． 【详解】解：因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以A不符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以B不符合题意； 因为，虽然含有未知数，但为不等式，不符合方程的定义，所以C符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以D不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此求解即可． 【详解】解：根据方程的定义可得，①④⑤是方程，②③⑥不是方程， 故选：D． 【变式3】下列等式中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义．根据方程的定义：含有未知数的等式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是方程，不符合题意； B、，不含未知数，不符合题意； C、，不是方程，不符合题意； D、，是方程，符合题意； 故选D． 【题型二 判断各式是否是一元一次方程】 【典例2】下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，化简后只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐一判断各选项即可； 本题主要考查了 一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：选项A：含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 选项B：方程可化简为，该方程只含一个未知数 ，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项C：未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 选项D：分母含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列方程中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、只含有一个未知数，且未知数的次数为1，是整式方程，是一元一次方程，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式2】若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．未知数的最高次数为，且一次项系数不为是解题关键． 根据一元一次方程的定义可得，且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且 ∴． 故答案为：． 【变式3】如果是关于x的一元一次方程，那么n的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，理解一元一次方程的概念是解题的关键； 根据一元一次方程的特征可得，从而求得n的值． 【详解】方程是关于x的一元一次方程， ， 解得． 故答案为：1． 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 【题型三 等式的性质】 【典例3】根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 若，则或，错误应用等式性质1，不合题意； B. 若，则，正确，符合题意； C. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意； D. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意． 故选：B 【变式1】下列运用等式的性质变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加减同一数或乘除同一非零数，等式仍成立．需注意乘除时数不能为零． 【详解】解：选项A：若， 两边加6得， 符合等式性质，正确． 选项B：若， 当时， 无论a、b为何值等式均成立， 此时无法推出． 因未限定，变形错误． 选项C：若， 隐含，两边乘c， 得，正确． 选项D：若， 两边除以（非零数），得，正确． 综上，B选项的变形未排除的情况，故错误． 故选：B． 【变式2】下列变式正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、若，则，原选项不符合题意； 、若，则，原选项符合题意； 、若，时，则，原选项不符合题意； 、若，则，原选项不符合题意； 故选：． 【变式3】根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，包括等式两边同时加、减、乘、除除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，等式两边加5， ∴，故A成立，不符合题意； B．∵，等式两边乘， ∴，但选项给出，故B不成立，符合题意； C．∵ ，等式两边加， ∴，故C成立，不符合题意； D．∵，等式两边减5， ∴，故D成立，不符合题意． 故选：B． 【题型四 列方程】 【典例4】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 【变式1】列等式表示“的倍与的和等于的倍与的差“为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，的倍与的和可表示为，的倍与的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：由题意得，列等式为：， 故答案为：． 【变式2】一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 【变式3】根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)根据江苏省第七次全国人口普查结果，江苏省常住人口为84748016人，岁人口为n人，占； (2)小明今年a岁，爸爸今年40岁，比小明年龄的2倍还大12岁； (3)如图，一张长方形纸片被分割成三部分． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了列等式，找到对应的等量关系是关键． （1）根据题意列出相应的等式即可； （2）根据题意和图示列出相应的等式即可； （3）根据图示列出相应的等式即可． 【详解】（1）解：根据题意列出等式为：； （2）解：根据题意列出等式为：； （3）解：根据长方形面积和图示，列出的等式为． 【题型五 判断是否是方程的解】 【典例5】下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键． 把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意； B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，符合题意； C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意； D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不符合题意． 故选：B． 【变式1】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入各选项方程，验证等式是否成立。 【详解】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 【变式2】关于的方程，当取不同值时，欣欣得到方程的解如下表所示，其中错误的解是（   ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化简为关于的一元一次方程，代入各值计算对应的解，对比选项即可判断错误解． 【详解】原方程可化简为，解得（）． 当时，，与一致，正确． 当时，，但表中，矛盾，错误． 当时，，与一致，正确． 当时，，与一致，正确． 综上，错误的解为选项B． 故选B． 【变式3】在整式中，m、n为常数，下表是当x取不同值时对应的整式的值： 0 1 2 1 4 7 则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的解的概念，观察表格的数据是解决本题的关键． 根据表格数据，直接找到当整式的值为4时对应的值即可． 【详解】由表格可知，当时，整式的值为4， 因此方程的解为． 故选：B． 【题型六 已知方程的解，求参数】 【典例6】若是关于的方程的解，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得， 故选：D． 【变式1】已知是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】把代入方程，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式2】若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 根据方程解的定义，将代入方程求出的值，再代入计算． 【详解】解：因为是关于的方程的解， 所以将代入方程，得， 因此，． 故答案为 3． 【变式3】已知x与关于x的代数式的值对应如下图： 则m的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查代数式的求解，熟练掌握代入法是解题的关键．根据图示中已知的x与关于x的代数式的值，代入代数式求解出、，再将代入中即可求解． 【详解】当时，，代入可得，即， 当时，，代入可得，由得， 当时，， 故答案为：7． 一、单选题 1．下列选项中，是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程，根据方程的定义，判断各选项是否为含有未知数的等式即可． 【详解】解：A、是方程，故此选项符合题意； B、是代数式，不是等式，即不是方程，故此选项不符合题意； C、是等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、表示不等关系，不是方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2． 是关于的一元一次方程的解，则a的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，把代入方程得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：将代入方程得： 移项并化简：， 两边同时除以2，得：， 故选：C． 3．下列选项中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的概念是解题关键． 一元一次方程需满足：含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的等式．据此判断各选项即可． 【详解】A： 是等式，但无未知数，故不是方程． B： 含一个未知数 ，且 的次数为1，故是一元一次方程． C： 含一个未知数 ，但 的最高次数为2，故不是一次方程． D： 是代数式，无等号，故不是方程． ∴ 正确答案是B． 4．如果，下列运用等式的性质进行的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数字或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； B、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； C、由，可得，原式正确，该选项不符合题意； D、由，且时，可得，原式不正确，该选项符合题意； 故选：D． 5．如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列方程，解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果． 根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程即可． 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克． 根据题意得，，即 方程可变换成：和，不能变换为． 故选：C． 6．若是关于的一元一次方程的解，则的值是（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的解，代数式求值，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．如图，在天平处于平衡状态下，左盘中物体的质量等于 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，理解题意并列得正确的方程是解题的关键．设左盘中物体的质量等于，根据题意列方程并解得x的值即可． 【详解】解：设左盘中物体的质量等于， 由题意得， 解得：， 即左盘中物体的质量等于， 故答案为：． 8．若，则 【答案】 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题关键是对代数式进行变形，利用已知条件整体代入求值． 先对进行变形，提取公因式3，得到，再代入求值即可． 【详解】解：， 将代入，原式， 故答案为：． 9．若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据未知数的指数为列出方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 10．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值． (2)请判断和是否为方程的解． (3)求的值． 【答案】(1) (2)不是方程的解；是方程的解 (3) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，可知，，解之即可得到答案； （2）将（1）中得到的的值代入原方程，分别将，，代入方程中，若能使等式成立，即为方程的解，否则就不是； （3）化简求值后，将（1）中得到的的值代入即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意，得，解得． （2）解：由（1）可知，，则方程为． 把代入，左边右边，故不是方程的解； 把代入，左边右边，故是方程的解． （3）解：原式． 当时，原式． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及其定义，熟练掌握一元一次方程的概念及解法是解题的关键． 11．方程与方程的解相等，求a的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的同解方程，解答本题的关键是理解方程的解．先求出方程的解，再代入方程，即可求a的值 【详解】解：由解得， ∴方程的解也是， ∴把代入， 得， 移项，得， 合并同类项，得系数化为1， 得， ∴故的值为4． 12．如图，用相同的黑色棋子摆成一组图案，图1中有6颗黑色棋子，图2中有9颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，…，按此规律摆下去． (1)则第4个图中有________颗黑色棋子； (2)用含n的代数式表示第n个图中黑色棋子的颗数； (3)若第n个图中有颗黑色棋子，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，涉及了列代数式、一元一次方程的求解，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图即可求解； （2）根据图1中有颗黑色棋子，图2中有颗黑色棋子，图3中有颗黑色棋子，图4中有颗黑色棋子，即可求解； （3）令，即可求解 【详解】（1）解：由图可知：第4个图中有颗黑色棋子， 故答案为：； （2）解：图1中有颗黑色棋子， 图2中有颗黑色棋子， 图3中有颗黑色棋子， 图4中有颗黑色棋子， … ∴第n个图中黑色棋子的颗数为：； （3）解：令， 解得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $