1.2　第2课时空间向量基本定理的应用课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理的应用，涵盖证明空间位置关系、求空间角及距离等核心知识点。通过典型例题如四棱锥中证明线面平行与垂直导入，衔接空间向量基本定理，搭建从向量运算到立体几何问题解决的学习支架。 其亮点在于题型分类清晰且配套“通性通法”总结，如求空间角的基向量法步骤，培养数学思维的推理与运算能力。结合正方体、直三棱柱等模型，用向量语言表达空间关系，发展数学语言的模型观念。分层练习助力学生巩固，教师可实施分层教学，提升教学效率与学生应用能力。

第2课时　 空间向量基本定理的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 证明空间位置关系 【例1】　（2024·济源月考）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，且 PA ＝ PD ＝ AD ，若 E ， F 分别为 PC ， BD 的中点，用向量方法证明： 目录 数学·选择性必修第一册 （1） EF ∥平面 PAD ； 证明： 连接 PF （图略），则 ＝ － ＝ ＋ ） － ＝ ＋ － ）＝ ＋ ＝ ＋ 共面， 又 EF ⊄平面 PAD ， DA ⊂平面 PAD ， PD ⊂平面 PAD ，所以 EF ∥平面 PAD . 目录 数学·选择性必修第一册 （2） EF ⊥平面 PCD . 证明：因为底面 ABCD 是正方形，所以 CD ⊥ AD ， 又侧面 PAD ⊥底面 ABCD ，侧面 PAD ∩底面 ABCD ＝ AD ， CD ⊂平面 ABCD ，所以 CD ⊥平面 PAD ， 又 PA ⊂平面 PAD ，所以 CD ⊥ PA . 因为 PA ＝ PD ＝ AD ，所以 PA ⊥ PD ， 所以 · ＝ ＋ ）· ＝ · ＝0， · ＝ ＋ ）· ＝ · ＝0， 所以 EF ⊥ PD ， EF ⊥ CD ，又 PD ⊂平面 PCD ， CD ⊂平面 PCD ， PD ∩ CD ＝ D ，所以 EF ⊥平面 PCD . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 证明平行、垂直问题的思路 （1）利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行； （2）把要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向 量的数量积为0. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　如图所示，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E ， F 分别是 BB1， D1 B1 的中点.求证： EF ⊥平面 B1 AC . 目录 数学·选择性必修第一册 证明：设 ＝ a ， ＝ c ， ＝ b ， 连接 BD （图略），则 ＝ ＋ ＝ ＋ ）＝ ＋ ）＝ ＋ － ）＝ （－ a ＋ b ＋ c ）， ∵ ＝ ＋ ＝ a ＋ b ， ∴ · ＝ （－ a ＋ b ＋ c ）·（ a ＋ b ）＝ （ b2－ a2＋ c · a ＋ c · b ）＝ （｜ b ｜2－｜ a ｜2＋0＋0）＝0， ∴ ⊥ ，即 EF ⊥ AB1.同理可证 EF ⊥ B1 C . 又 AB1∩ B1 C ＝ B1，∴ EF ⊥平面 B1 AC . 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 求空间角 【例2】　如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5， AA1＝4，求异面直线 AC1与 CB1所成角的余弦值. 目录 数学·选择性必修第一册 解：在△ ABC 中，因为 AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5，所以 AC2＋ BC2＝ AB2， 故∠ ACB ＝90°，即 AC ⊥ BC . 设 ＝3 a ， ＝4 b ， ＝4 c ，向量 不共面且两两 垂直，则{ a ， b ， c }构成空间的一个单位正交基底. 因为 ＝ － ＝4 c －3 a ， ＝ ＋ ＝4 c ＋4 b ， 所以 · ＝（4 c －3 a ）·（4 c ＋4 b ）＝16 c2＝16， 又｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝4 ， 目录 数学·选择性必修第一册 所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ， 故异面直线 AC1与 CB1所成角的余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 　　基向量法求空间角的基本思路：将空间角转化为两条直线的方向 向量的夹角（或其补角），再用基向量表示两方向向量，并借助向量 的运算求出角. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·滨州月考）在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝2， BC ＝ B1 B ＝1， M ， N 分别是 AD ， DC 的中点.求异面直线 MN 与 BC1所成角 的余弦值. 目录 数学·选择性必修第一册 解： ＝ － ＝ － ）， ＝ ＋ ＝－ ＋ ， 所以 · ＝ ·（－ ＋ ）＝ ＝ ， 又｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， 所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ， 故异面直线 MN 与 BC1所成角的余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 求距离（长度） 【例3】　如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA ⊥平 面 ABCD ， AB ＝2， PA ＝4，∠ ABC ＝60°， E 是 BC 的中点， H 在线 段 PD 上且 DH ＝ DP . 目录 数学·选择性必修第一册 （1）用向量 ， ， 表示向量 ； 解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝－ ＋（ － ）＋ － ）＝－ ＋ － ＋ － ＝ ＋ － . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求 EH 的长. 解：｜ ｜2＝（ ＋ － ）2 ＝ ＋ ）2－ ＋ ）· ＋｜ ｜2 ＝ － · ＋｜ ｜2 ＝ ×（4＋16）－ ×2×2× ＋4＝ ， ∴ EH ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求空间距离（长度）问题的步骤 （1）选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示； （2）求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的长度. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　（2024·盐城月考）已知正四面体 ABCD 的棱长为 a ， M ， N 分别是 棱 AB ， CD 上的点，且 MB ＝2 AM ， CN ＝ ND ，求 MN 的长. 目录 数学·选择性必修第一册 解：∵ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋（ － ）＋ － ）＝－ ＋ ＋ ， ∴｜ ｜2＝（－ ＋ ＋ ）2＝ ＋ ＋ － · － · ＋ · ＝ a2＋ a2＋ a2－ a2－ a2＋ a2＝ a2. 故｜ ｜＝ a ，即 MN 的长为 a . 目录 数学·选择性必修第一册 1. 在棱长为1的正四面体 ABCD 中，直线 AB 与 CD （　　） A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. 无法判断位置关系 解析： 　 ＝ － · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝1×1× －1×1× ＝0，故 ⊥ ，即直线 AB 与 CD 垂直. 目录 数学·选择性必修第一册 2. （2024·泰安月考）如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， N 分别为 AB ， B1 C 的中点，若 AB ＝ a ，则 MN ＝ ⁠. a 　 解析： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ （－ ＋ ）＝ ＋ ＋ ，故｜ ｜2＝ a2＋ a2＋ a2＝ a2，所以 MN ＝ a . 目录 数学·选择性必修第一册   解析：设正方体棱长为1， ＝ ＋ － ，｜ ｜＝ ， cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ .即直线 AC1与 BC 的 夹角的余弦值为 . 　 目录 数学·选择性必修第一册 4. 如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， N 分别是 CC1， B1 C1的中点，求证： MN ∥平面 A1 BD . 证明：法一　 ＝ － ＝ － ＝ － ）＝ ∥ ， 又 MN ⊄平面 A1 BD ，所以 MN ∥平面 A1 BD . 目录 数学·选择性必修第一册 法二　 ＝ － ＝ － ＝ － ＝ ＋ ）－ ＋ ）＝ － . 即 是共面向量，又 MN ⊄平面 A1 BD ，故 MN ∥平面 A1 BD . 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， E 是上底面 A1 B1 C1 D1的中心，则 AC1与 CE 的位置关系是（　　） A. 重合 B. 垂直 解析：B　设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则{ a ， b ， c }构成空间 的一个正交基底. ＝ a ＋ b ＋ c ， ＝ ＋ ＝ c － a － b ，设正方体的棱长为1，则 · ＝（ a ＋ b ＋ c ）·（ c － a － b ）＝0，故 ⊥ ，即 AC1与 CE 垂直. C. 平行 D. 无法确定 目录 数学·选择性必修第一册 2. 在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AA1⊥平面 ABC ， AA1＝ AB ＝ AC ＝ BC ＝1， M 是 B1 C1的中点，则 AM ＝（　　） 解析： 　如图所示， ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ － ）＝ ＋ ＋ ， 故｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2＝ ，则 AM ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. 如图，长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AA1＝ AB ＝2， AD ＝1， E ， F ， G 分别是 DC ， AB ， CC1的中点，则异面直线 A1 E 与 GF 所成角 的余弦值是（　　） A. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　根据题意可得， · ＝（ ＋ ＋ ）·（ ＋ ＋ ） ＝（－ ＋ ＋ ）· ＝ － － ＝ ×4－1－ ×4＝0，从而得到 A1 E 和 GF 垂直，故其所成角的余弦值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 如图，已知空间四边形 ABCD 中 AC ＝ BD ，顺次连接各边中点 P ， Q ， R ， S ，所得图形是（　　） A. 长方形 B. 正方形 C. 梯形 D. 菱形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为 ＝ － ＝ － ＝ .同理 ＝ ＝ ，所以四边形 PQRS 为平行四边形.又 ＝ － ＝ － ＝ ，所以｜ ｜＝ ｜ ｜，即 PS ＝ BD . 又｜ ｜＝ ｜ ｜，故 PQ ＝ AC ，而 AC ＝ BD ，所以 PS ＝ PQ ，故四边形 ABCD 为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）若 ＝λ ＋μ ，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系可 能是（　　） A. 相交 B. 平行 C. 在平面内 D. 垂直 解析： 　∵ ＝λ ＋μ ，∴ 共面，则 AB 与 平面 CDE 的位置关系是平行或直线在平面内. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）（2024·南京质检）如图，在平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1 中，点 M ， P ， Q 分别为棱 AB ， CD ， BC 的中点，平行六面体的 各棱长均相等.下列结论中正确的是（　　） A. A1 M ∥ D1 P B. A1 M ∥ B1 Q C. A1 M ∥平面 DCC1 D1 D. A1 M ∥平面 D1 PQB1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　依题意可知 PQ ∥ BD ∥ B1 D1，所以 P ， Q ， B1， D1 四点共面.因为 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ，则 A1 M ∥ D1 P ，结合线面平行的 判定定理可知A、C、D正确.而 B1 Q 与 D1 P 不平行，所以B不正确. 故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，点 E ， F 分别是底面 A1 B1 C1 D1和侧 面 CC1 D1 D 的中心，若 ＋λ ＝0（λ∈R），则λ＝ 　－ 　. 解析：如图，连接 C1 D ，易知 EF 􀰿 A1 D ，∴ ＝ － ＝0，∴λ＝－ . － 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. （2024·淄博月考）如图，平行六面体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD ＝ AA1＝1，∠ BAD ＝∠ BAA1＝120°，∠ DAA1＝60°，则线段 AC1的长度是 ⁠. 　 解析：∵ ＝ ＋ ＋ ，∴ ＝ ＋ ＋ ＋ 2 · ＋2 · ＋2 · ＝1＋1＋1＋2×1×1× ＋ 2×1×1× ＋2×1×1× ＝2，∴ AC1＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 如图，在空间四边形 ABCD 中，∠ ABD ＝∠ CBD ＝ ，∠ ABC ＝ ， BC ＝ BD ＝1， AB ＝ ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的大小 是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：依题意可知 CD ＝ ＝ · ＝ ·（ － ）＝ · － · ＝0＋ · ＝ · · cos ＝1.设直 线 AB 与 CD 所成角为α，则 cos α＝ ＝ ＝ ， 故α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. 已知空间四边形 OABC 的各边及对角线长都相等， E ， F 分别为 AB ， OC 的中点，求异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值. 解：如图所示，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， ｜a ｜＝｜ b ｜＝｜ c ｜＝1，易知∠ AOB ＝∠ BOC ＝∠ AOC ＝ ， 则 a · b ＝ b · c ＝ c · a ＝ . ∵ ＝ ＋ ）＝ （ a ＋ b ）， ＝ － ＝ － ＝ c － b ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 ∴ · ＝ （ a ＋ b ）· ＝ a · c ＋ b · c － a · b － b2＝－ ， 又∵｜ ｜＝｜ ｜＝ ， ∴ cos ＜ ＞＝ ＝－ . ∴异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 棱长均为1的三棱锥 S - ABC ，若空间一点 P 满足 ＝ x ＋ y ＋ z （ x ＋ y ＋ z ＝1），则｜ ｜的最小值为（　　） A. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　依题意得，点 P 在平面 ABC 内，因此｜ ｜的最小值 等于顶点 S 到平面 ABC 的距离，又点 S 在平面 ABC 内的射影是正三 角形 ABC 的中心，于是有｜ ｜的最小值等于 ＝ ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （2024·淮安月考）如图，三棱锥 S - ABC 中， SA ⊥底面 ABC ， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝2， SA ＝2 ，则 SC 与 AB 所成角的大小为 （　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　因为 SA ⊥底面 ABC ，所以 SA ⊥ AC ， SA ⊥ AB ，所以 · ＝0，又 AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝2，所以∠ BAC ＝45°， AC ＝2 .因此 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 45°＝2×2 × ＝4， 所以 · ＝ · － · ＝4，又 SA ＝2 ，所以 SC ＝ ＝4，因此 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ， 所以 SC 与 AB 所成角的大小为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （多选）在三棱锥 P - ABC 中，三条侧棱 PA ， PB ， PC 两两垂直， 且 PA ＝ PB ＝ PC ＝3， G 是△ PAB 的重心， E ， F 分别为 BC ， PB 上的点，且 BE ∶ EC ＝ PF ∶ FB ＝1∶2，则下列说法正确的是 （　　） A. EG ⊥ PG B. EG ⊥ BC C. FG ∥ BC D. FG ⊥ EF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　如图，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则{ a ， b ， c }构成空间的一个正交 基底，则 a · b ＝ a · c ＝ b · c ＝0，取 AB 的中点 H ，则 ＝ ＝ × （ a ＋ b ）＝ a ＋ b ， ＝ ＋ ＝ b ＋ （ c － b ）＝ b ＋ c . ＝ － ＝ a ＋ b － b － c ＝ a － b － c ， ＝ c － b ， ＝ － ＝ a ＋ b － b ＝ a ， ＝ － ＝ b － ＝－ c － b ，∴ · ＝0，A正确； · ＝0，B正确； ≠λ （λ∈R），C不正确； · ＝0，D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. 如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， M ， N 分别是 A1 B ， B1 C1上的点，且 BM ＝2 A1 M ， C1 N ＝2 B1 N . 设 ＝ a ， ＝ b ， ＝c . （1）试用 a ， b ， c 表示向量 ； 解： ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ （ c － a ）＋ a ＋ （ b － a ） ＝ a ＋ b ＋ c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若∠ BAC ＝90°，∠ BAA1＝∠ CAA1＝60°， AB ＝ AC ＝ AA1＝ 1，求 MN 的长. 解：因为（ a ＋ b ＋ c ）2＝ a2＋ b2＋ c2＋2 a · b ＋2 b · c ＋2 a · c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1× ＋2×1×1× ＝5， 所以｜ a ＋ b ＋ c ｜＝ ， 所以｜ ｜＝ ｜ a ＋ b ＋ c ｜＝ ，即 MN ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·焦作月考）如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， BC1与 B1 C 相 交于点 O ，∠ A1 AB ＝∠ A1 AC ＝60°，∠ BAC ＝90°， A1 A ＝3， AB ＝ AC ＝2，则线段 AO 的长度为（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析： 　设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则{ a ， b ， c }构成空 间的一个基底.∵四边形 BCC1 B1是平行四边形，∴ ＝ ＝ ＋ ），∴ ＝ a ＋ ＝ a ＋ ＋ c ＝ a ＋ b ＋ c ，∵∠ A1 AB ＝∠ A1 AC ＝60°，∠ BAC ＝90°， A1 A ＝3， AB ＝ AC ＝2，∴ a2＝ b2＝4， c2＝9， a · b ＝0， a · c ＝ b · c ＝3×2 cos 60° ＝3，∴ ＝ （ a ＋ b ＋ c ）2＝ （ a2＋ b2＋ c2＋2 a · b ＋2 a · c ＋ 2 b · c ）＝ .∴｜ ｜＝ ，即 AO ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在的平面互相垂直， M ， N 分 别是对角线 AC ， BF 上的点，且 AM ＝ FN . 求证：不论点 M 在 AC 上何处，直线 MN 不可能同时与 AC 和 BF 都垂直. 证明：如图，设 ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ， ＝λ （0≤λ≤1），则 ＝ a ＋ b ， ＝ c － b ， ＝λ（ a ＋ b ）， ＝ ＋ ＝ b ＋（1－λ）（ c － b ）. 从而 ＝ － ＝ b ＋（1－λ）（ c － b ）－λ（ a ＋ b ）＝－λ a ＋（1－λ） c . 因为 a · b ＝0， b · c ＝0， c · a ＝0，且｜ a ｜ ＝｜ b ｜＝｜ c ｜， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 所以 · ＝[－λ a ＋（1－λ） c ]·（ a ＋ b ）＝－λ｜ a ｜2， · ＝[－λ a ＋（1－λ） c ]·（ c － b ）＝ （1－λ）｜ c ｜2. 假设 MN ⊥ AC ，且 MN ⊥ BF ，则 · ＝ 0，且 · ＝0，即λ＝0且λ＝1，矛盾. 故直线 MN 不可能同时与 AC 和 BF 都垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $