培优专题　弧度制-课后同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学弧度制同步练，分A/B/C三级，基础巩固→能力提升→素养创新递进，覆盖概念辨析、公式应用到综合建模，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|弧度定义、终边相同角、角度弧度互化、扇形公式|概念辨析题（1）、简单计算题（4、5），夯实抽象能力与运算基础| |B级|终边角集合表示、图形范围判断、几何应用、最值问题|多选题（6）、图形分析（7）、综合运算（10），提升推理意识与几何直观| |C级|动点运动相遇问题|动态情境建模（11），培养创新意识与模型观念|

培优专题　弧度制 A级　必备知识基础练 1.下列说法中,正确的是(　　) A.1弧度角的大小与其所在圆的半径无关 B.大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大 C.圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D.用弧度来表示的角都是正角 2.与30°角终边相同的角的集合是(　　) A.{α|α=k·360°+,k∈Z} B.{α|α=2kπ+30°,k∈Z} C.{α|α=2k·360°+30°,k∈Z} D.{α|α=2kπ+,k∈Z} 3.将2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是(　　) A.10π- B.10π+ C.12π- D.10π+ 4.一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的圆心角的弧度数为　　　　　.  5.如图,在扇形AOB中,O是圆心,OA=OB=24 cm,∠AOB=135°,M为OA的中点,N是OB的中点,则图中扇环(从扇形AOB中去掉扇形MON后剩下的部分)部分的面积是　　　　　cm2.  B级　关键能力提升练 6.(多选题)下列表示正确的是(　　) A.终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z} B.终边在第二象限的角的集合为{α|+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z} C.终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=,k∈Z} D.终边在直线y=x上的角的集合是{α|α=+2kπ,k∈Z} 7.下图(阴影部分)能表示集合{α|kπ+≤α≤kπ+,k∈Z}中角的范围的是(　　) 8.已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长,则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为　　　　　;若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为　　　　　.  9.若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=　　　　.  10.已知扇形的圆心角为α,半径为r. (1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值; (2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值. C级　学科素养创新练 11.如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒转弧度,点Q按顺时针方向每秒转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长. 答案 1.A　角的大小与所在圆的半径无关,故A对,B错;C选项中弧长大小与半径有关;D选项中弧度也可以表示负角. 2.D　∵30°=30×,∴与30°角终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z},故选D. 3.B　2 025°=5×360°+225°,225°=,故2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为10π+. 4.　设该扇形的半径为r,圆心角的弧度数为α, 由题意解得 所以这个扇形的圆心角的弧度数为. 5.162π　由题意知,∠AOB=135°=,OM==12 cm, 因为S扇环=S扇形AOB-S扇形MON, 由扇形面积公式得S扇形AOB=×242=216π(cm2),S扇形MON=×122=54π(cm2), 所以S扇环=216π-54π=162π(cm2). 6.ABC　A,B,C正确;对于D,终边在直线y=x上的角的集合为{α|α=+kπ,k∈Z},故D错误.故选ABC. 7.C　k为偶数时,集合对应的区域为y轴非负半轴及第一象限内直线y=x左上的部分(包含边界);k为奇数时,集合对应的区域为y轴非正半轴及第三象限内直线y=x右下的部分(包含边界). 8.2　4　设圆的半径为r,这段弧所对圆心角的弧度数为θ,则圆外切正三角形的边长为2r,所以|θ|==2.圆内接正方形的边长为r,圆弧长为4r,所以|θ|==4. 9.-或-　如图所示,设角的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边且在0到2π之间的角为,故以OB为终边的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z}. ∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+<4π,∴-<k<. ∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1,∴α=-,-. 10.解 (1)由题意,可得2r+αr=C,即αr=C-2r,易知0<r<,则扇形面积S扇形=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-(r-C)2+C2,故当r=C时,S扇形取得最大值C2,此时α=2. (2)由题意,可得S=αr2,即αr=,则扇形周长C扇形=2r+αr=2r+≥4,当且仅当2r=,即r=时,等号成立,故当r=时,C扇形取得最小值4,此时α==2. 11.解 如图,设P,Q第一次相遇(点C)时所用的时间是t秒,则t·+t·=2π,解得t=4,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4秒.P点走过的弧长为×4×4=,Q点走过的弧长为×4×4=. 4 学科网（北京）股份有限公司 $