1.3集合的基本运算·学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学习任务单聚焦集合的并集、交集、全集与补集运算，前承集合的表示（列举法、描述法）与关系（子集、真子集），后启常用逻辑用语，通过课前预习填空、课堂情境探究、数轴直观分析、当堂限时检测等学习支架，构建完整的集合运算知识体系。 资料以超市进货等现实情境引入，结合数轴画图培养几何直观的数学眼光，通过探究运算律和德摩根律发展推理能力的数学思维，分层设计满足不同学生需求。习题注重区间端点开闭等易错点和符号规范，强化数学语言表达，有效提升学习效果。

1.3 集合的基本运算·学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿　　共2课时 第一课时　并集与交集 一、课前预习（阅读教材第10～12页，完成填空） 1．一般地，由所有属于集合A＿＿属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿，读作"＿＿＿＿＿"。 符号语言：A∪B＝{x|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿}。 2．一般地，由所有属于集合A＿＿属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的＿＿＿＿，记作＿＿＿＿，读作"＿＿＿＿＿"。 符号语言：A∩B＝{x|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿}。 3．填写下列性质：A∪A＝＿＿；A∪∅＝＿＿；A∩A＝＿＿；A∩∅＝＿＿。 4．若A∪B＝A，则B＿＿A；若A∩B＝A，则A＿＿B。（填⊆或⊇） 二、课堂探究 探究一　并集的理解 情境：某超市第一次进圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水6种货，第二次进圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面4种。两次一共进了＿＿种货，而不是6＋4＝10种，原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 思考：x∈A∪B有哪几种可能？（听讲后补全）①＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿；③＿＿＿＿＿＿。 结论：数学中的"或"是＿＿＿的，公共元素＿＿＿（属于/不属于）并集。 例1　设A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，求A∪B。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 想一想：A有4个元素，B有4个元素，A∪B有＿＿个元素，原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 探究二　区间型集合求并集（画数轴） 例2　设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B。 （在下方数轴上画出A、B，再写结果） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 练习：设A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，求A∪B。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 提醒：两段＿＿＿＿时，并集要写成"或"连接的形式，不能强行写成一个区间。 探究三　交集 1．A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}的公共元素是＿＿＿＿，故A∩B＝＿＿＿＿。 2．例3　设A＝{x|x是参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是参加跳高比赛的同学}，则A∩B表示＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的同学组成的集合。 3．例4　设直线l₁上点的集合为L₁，直线l₂上点的集合为L₂，用集合运算表示两直线的位置关系： 相交于一点P：L₁∩L₂＝＿＿＿＿；平行：L₁∩L₂＝＿＿＿；重合：L₁∩L₂＝＿＿＿＿＿＿。 注意：两条平行线＿＿＿（有/没有）交集，它们的交集是＿＿＿。 4．练习：设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∩B。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究四　★运算律的观察（优生班课上完成，普通班选做） 取A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{1，3，6}，分别计算： (A∩B)∩C＝＿＿＿＿＿；A∩(B∩C)＝＿＿＿＿＿； (A∪B)∪C＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；A∪(B∪C)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 发现：交、并都满足＿＿＿律，连续求交或求并时＿＿＿＿加括号。 三、当堂检测（限时4分钟） 1．设A＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，则A∩B＝＿＿＿＿＿，A∪B＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2．设M＝{x|x²＋2x＝0}，N＝{x|x²－2x＝0}，则M∪N＝（　　） A．{0}　　B．{0，2}　　C．{－2，0}　　D．{－2，0，2} 3．设A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|1＜x＜5}，则A∩B＝＿＿＿＿＿＿＿，A∪B＝＿＿＿＿＿＿＿。 4．已知A＝{x|x≤2}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝＿＿＿，A∪B＝＿＿＿。 四、第一课时小结 两种运算：并集A∪B，关键字"＿＿"（＿＿＿的，公共元素也算）；交集A∩B，关键字"＿＿"（既……又……）。区间型题目一律画＿＿＿，逐个验＿＿＿。 第二课时　全集与补集 一、课前预习（阅读教材第12～13页，完成填空） 1．如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的＿＿＿＿元素，那么就称这个集合为＿＿＿，通常记作＿＿。 2．对于一个集合A，由全集U中＿＿＿＿集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的＿＿＿，记作＿＿＿＿。 符号语言：∁_U A＝{x|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿}。 3．两条基本关系：A∪(∁_U A)＝＿＿；A∩(∁_U A)＝＿＿。 4．∁_U U＝＿＿；∁_U ∅＝＿＿；∁_U(∁_U A)＝＿＿。 二、课堂探究 探究一　全集的相对性 在{1，2，3，4，5}范围内，A＝{1，2}以外剩下的部分是＿＿＿＿＿＿；若范围换成{1，2，3}，剩下的部分是＿＿＿。结论：同一个A的补集随＿＿＿＿而变，所以谈补集必须先说清＿＿＿。 探究二　补集的计算 例5　设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁_U A，∁_U B。 第一步：把全集写出来，U＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ∁_U A＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；∁_U B＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 自检：把A与∁_U A拼起来是＿＿，交起来是＿＿。 例6　设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁_U(A∪B)。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究三　区间型集合求补集 1．∁_R{x|x＜1}＝＿＿＿＿＿＿。（想一想：1在A里吗？在补集里吗？） 2．∁_R{x|－2≤x≤3}＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 3．∁_R{x|x＜－1或x＞4}＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．若全集U＝{x|x≤4}，则∁_U{x|0≤x≤3}＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 规律：区间求补集，端点的＿＿＿＿要互换；全集不是R时，结果要卡在＿＿＿＿＿上。 探究四　混合运算 例7　已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，求(∁_U A)∪B。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 提醒：∁_U(A∩B)是先求＿＿再求＿＿；(∁_U A)∩B是先求＿＿再求＿＿，两者＿＿＿＿（相同/不同）。 探究五　★德摩根律的发现（优生班课上完成，普通班选做） 设全集U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}。分别计算： A∩B＝＿＿＿＿＿＿＿，∁_R(A∩B)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； A∪B＝＿＿＿，∁_R(A∪B)＝＿＿＿； ∁_R A＝＿＿＿＿＿，∁_R B＝＿＿＿＿＿； (∁_R A)∩(∁_R B)＝＿＿＿，(∁_R A)∪(∁_R B)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 发现：∁_R(A∩B)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿，∁_R(A∪B)＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 口诀：＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿。 探究六　含参数的运算问题 已知集合A＝{x|1＜x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围。 第一步（翻译）：A∪B＝A等价于＿＿＿＿。 第二步（画数轴）： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 第三步（验端点）：a＝2时A＝＿＿＿＿＿＿＿＿，B⊆A是否成立？＿＿＿ 结论：a的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 三、当堂检测（限时2分钟） 1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁_U(A∩B)＝＿＿＿＿＿。 2．∁_R{x|x≤－3}＝＿＿＿＿＿＿。 3．设U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则(∁_U A)∩(∁_U B)＝＿＿＿＿＿。 四、本章小结 1.1＿＿集合（列举法、描述法）；1.2＿＿集合（子集、真子集、相等）；1.3＿＿集合（并、交、补）。下一节转入＿＿＿＿＿＿。 参考答案与解析 第一课时 课前预习：1．或、并集、A∪B、A并B；{x|x∈A，或x∈B}。2．且、交集、A∩B、A交B；{x|x∈A，且x∈B}。3．A、A、A、∅。4．⊆、⊆。 探究一：8种；圆珠笔和方便面重复了，合并时只算一次（互异性）。三种可能：①只属于A；②只属于B；③既属于A又属于B。"或"是可兼的，公共元素属于并集。 例1　A∪B＝{4，5，6，8}∪{3，5，7，8}＝{3，4，5，6，7，8}。（公共元素5、8只写一次，按从小到大排）A∪B有6个元素，因为公共的5、8被重复计算了。 探究二：例2　A∪B＝{x|－1＜x＜3}（数轴上两段合起来覆盖的部分）。练习：A∪B＝{x|x＜0或x＞1}。两段不重叠时写成"或"的形式。 探究三：1．5和8；A∩B＝{5，8}。2．既参加百米赛跑又参加跳高比赛。3．L₁∩L₂＝{点P}；L₁∩L₂＝∅；L₁∩L₂＝L₁＝L₂。两条平行线有交集，交集是空集。4．A∩B＝{x|1＜x＜2}。 探究四：(A∩B)∩C＝{3}；A∩(B∩C)＝{3}；(A∪B)∪C＝{1，2，3，4，5，6}；A∪(B∪C)＝{1，2，3，4，5，6}。发现：满足结合律，不必加括号。 当堂检测：1．A∩B＝{5，8}，A∪B＝{3，4，5，6，7，8}。2．D。x²＋2x＝0得M＝{0，－2}；x²－2x＝0得N＝{0，2}；并集为{－2，0，2}。选B或C是漏解了其中一个方程。3．A∩B＝{x|1＜x≤3}，A∪B＝{x|－2≤x＜5}。4．A∩B＝∅（2属于A不属于B），A∪B＝R。 小结：或、可兼；且；数轴、端点。 第二课时 课前预习：1．所有、全集、U。2．不属于、补集、∁_U A；{x|x∈U，且x∉A}。3．U、∅。4．∅、U、A。 探究一：{3，4，5}；{3}。补集随全集（讨论范围）而变，谈补集必须先说清全集。 探究二：例5　U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}；∁_U A＝{4，5，6，7，8}；∁_U B＝{1，2，7，8}。自检：拼起来是U，交起来是∅。例6　A∩B＝∅（一个三角形不可能既是锐角三角形又是钝角三角形）；A∪B是所有斜三角形组成的集合，故∁_U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}。 探究三：1．{x|x≥1}（1不在A里，所以在补集里，端点由开变闭；答{x|x＞1}是本节头号错误）。2．{x|x＜－2或x＞3}。3．{x|－1≤x≤4}。4．{x|x＜0或3＜x≤4}（右端卡在全集边界4上）。规律：开闭互换；全集边界。 探究四：例7　∁_U A＝{0，4}，(∁_U A)∪B＝{0，4}∪{2，4}＝{0，2，4}。提醒：先求交再求补；先求补再求交；不同。 探究五：A∩B＝{x|3＜x＜5}，∁_R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}；A∪B＝R，∁_R(A∪B)＝∅；∁_R A＝{x|x≥5}，∁_R B＝{x|x≤3}；(∁_R A)∩(∁_R B)＝∅，(∁_R A)∪(∁_R B)＝{x|x≤3或x≥5}。发现：∁_R(A∩B)＝(∁_R A)∪(∁_R B)，∁_R(A∪B)＝(∁_R A)∩(∁_R B)。口诀：补进括号，交并互换。 探究六：第一步：B⊆A。第二步：数轴上A要包住B，右端够到2，得a≥2。第三步：a＝2时A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜2}⊆A成立，等号保留。结论：a≥2，即[2，＋∞)。 当堂检测：1．A∩B＝{2，3}，∁_U(A∩B)＝{1，4}。2．{x|x＞－3}（端点开闭互换）。3．∁_U A＝{0，3，4}，∁_U B＝{0，1，4}，交集为{0，4}。（也可用德摩根律：等于∁_U(A∪B)，A∪B＝{1，2，3}，补集为{0，4}。） 本章小结：写、比、算；常用逻辑用语。 易错提醒 并集的"或"可兼，公共元素属于并集；没有公共元素时交集是∅，不能说"没有交集"；求补集第一步写清全集；区间求补端点开闭互换；全集不是R时补集卡在全集边界上；含参问题先翻译（A∪B＝A即B⊆A）再画数轴，解出的参数值要代回检验互异性。 学科网（北京）股份有限公司 $