1.3集合的基本运算·教案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该教案聚焦集合的并集、交集、全集与补集运算，通过实数加法类比集合“相加”，结合超市进货情境引入并集，复习旧知后以“给定范围集合剩下的部分”引入补集，衔接元素与集合关系、集合间包含关系等前知，构建完整集合语言体系。 该教案以核心素养为导向，用超市进货情境抽象并集“或”的可兼性培养数学眼光，通过德摩根律自主计算发现规律培养数学思维，借助Venn图和数轴强化数学语言表达。分层教学适配不同学生，预设区间端点处理等易错点提升实效，助力学生掌握集合运算，为教师提供清晰教学路径和分层资源。

1.3 集合的基本运算·教案 人教A版必修第一册　第一章　共2课时　每课时45分钟 一、教材分析 本节是第一章集合部分的落脚点，共2课时：第一课时学并集与交集，第二课时学全集与补集并综合三种运算。教材从"实数有加法，集合能不能相加"这条类比引入并集，再由并集类比出交集，最后在给定全集内引出补集。1.1节写集合、1.2节比集合，本节让集合动起来，三节合成一套完整的集合语言。 最值得教的三处：一是并集定义中"或"的可兼含义（公共元素属于并集），学生受日常语言影响最易在此出错；二是区间型集合运算的数轴方法与端点开闭，本节练熟，第二章解不等式直接受益；三是含参数的运算问题——把A∪B＝A、A∩B＝∅翻译成包含关系或位置关系，这是月考压轴小题的主要来源。补集这一课时另有一个高价值点：德摩根律，教材不命名但练习中大量使用，让学生自己算出来、用Venn图看明白，比直接给公式有效。 高考中集合运算是选择题第1题的固定考法，题面通常给两个描述法集合考交并补的组合。本节直接决定那道题的得分速度。 二、学情分析 学生已掌握元素与集合的关系、集合间的包含关系，会用列举法与描述法，1.2节已经练过数轴与Venn图。预计困难有四处：一是把"或"理解成排他的，求并集时把公共元素剔掉；二是区间运算的端点开闭出错，尤其求补集时忘记把端点开闭互换；三是混合式子看不清∁的作用范围，把∁_U(A∩B)与(∁_U A)∩B混为一谈；四是含参问题翻译方向反了，或忘记检验互异性。对策分别是：定义处让学生用汉语复述"或"的三种情形；每道区间题一律画数轴、端点逐个验；混合运算立"先括号内后括号外"的规矩并板演对照；含参题固定"翻译—画图—检验"三步。 两班差异：德摩根律与A∩B＝∅型含参问题为★内容，优生班课上完成推理与说理，普通班只要求在具体例子中算出相等、含参题放到作业选做。 三、教学目标 1．理解并集、交集的含义，会求两个简单集合（列举型与区间型）的并集与交集。 2．理解全集与补集的含义，会求给定子集的补集，掌握A∪(∁_U A)＝U与A∩(∁_U A)＝∅。 3．能用Venn图和数轴表示集合的运算，会进行三种运算的混合计算。 4．能把A∪B＝A、A∩B＝A、A∩B＝∅翻译成包含关系或位置关系，求解简单的含参数问题。 5．★能通过具体例子发现并说明德摩根律。 四、教学重难点 重点：并集、交集、补集的概念与运算，Venn图和数轴的使用。 难点：并集中"或"的可兼含义，区间运算的端点处理，含参数问题的翻译与求解。 五、教学方法与教具准备 类比引入（类比实数运算）、观察归纳与练习落实。课件76页（第一课时38页、第二课时38页），问答同页、答案单击浮入；学案一份（两课时分部，附参考答案）；课时作业一份（两课时分部，A组全体必做、B组优生班必做普通班选做，附详解）。板书主板面写三种运算的定义与符号，副板面画Venn图和数轴——凡区间型题目一律在黑板上画数轴演算，要求学生同步在学案上画。 六、教学过程（第一课时　并集与交集） 环节一　类比引入（约4分钟） 师生活动：课前用两分钟检查上节作业中B组第10题（含参B⊆A讨论空集）的完成情况，报答案不展开。 引入语：两个实数可以相加，5＋7＝12。两个集合能不能"相加"？如果能，结果是什么？ 师生活动：多媒体出示情境：某超市进了两次货，第一次进圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水六种，第二次进圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面四种。提问：两次一共进了多少种货？ 预设：学生口算多为8种。追问："6＋4＝10，为什么不是10种？"学生答：圆珠笔和方便面重复了。教师顺势点明：合并的时候重复的只算一次，这正是集合元素的互异性。 环节二　并集的概念（约12分钟） 师生活动：多媒体出示教材两组集合：(1)A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，C＝{3，4，5，6，7，8}；(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}。 问题1　每组中集合C与集合A、B有什么关系？ 师生活动：指名两生回答。预设：能答出"C由A和B的元素合起来组成"。 明确并板书：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作"A并B"。符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}。 问题2　定义里的"或"是什么意思？x∈A∪B有几种可能？ 师生活动：同桌讨论一分钟，指名回答，教师在Venn图上指着三块区域说明。 明确：数学中的"或"是可兼的，包含三种情形：只属于A、只属于B、两者都属于。公共元素属于并集。这与日常说的"要么吃面要么吃饭"那种排他的"或"不同。 预设：有学生认为公共元素应该去掉（"既然都有，就不算新增的"）。回到超市情境：圆珠笔两次都进了，它是不是"两次一共进的货"里的一种？是。所以公共元素在并集里。 讲授并板书：Venn图表示：画两个相交的圆A、B，A∪B是两个圆覆盖的全部区域（副板面涂色示范）。 例1　设A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}，求A∪B。 师生活动：学生独立完成，一生板演，全班订正。 解：A∪B＝{4，5，6，8}∪{3，5，7，8} 　　　　＝{3，4，5，6，7，8}。 预设：有学生把5、8写两遍。当场纠：互异性，公共元素只写一次；并按从小到大排，便于检查。 问题3　A有4个元素，B有4个元素，A∪B有几个元素？是不是4＋4＝8？ 明确：只有6个。公共的5、8被重复计算了。至于一般的计数规律，教材第15页"阅读与思考　集合中元素的个数"有专门讨论，有兴趣的课后去读。 环节三　区间型集合求并集（约8分钟） 例2　设集合A＝{x|－1＜x＜2}，集合B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B。 师生活动：教师在副板面画数轴示范：先画A的一段（两端空心圈），再画B的一段，问学生"合起来盖住了哪一段"。学生在学案上同步画，一生板演结果。 解：在数轴上表示A与B， 　　　A∪B＝{x|－1＜x＜2}∪{x|1＜x＜3} 　　　　　　＝{x|－1＜x＜3}。 练习1：设A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，求A∪B。 师生活动：学生独立完成，指名回答。 明确：A∪B＝{x|x＜0或x＞1}。两段不重叠时，并集写成"或"连接的形式，不能强行写成一个区间。 设计意图：两道题一连通一分离，让学生看到并集的两种形态，避免形成"并集总是一整段"的错觉。 环节四　交集的概念与例题（约14分钟） 过渡语：还是刚才那两个集合A＝{4，5，6，8}，B＝{3，5，7，8}。刚才看的是合起来，现在看另一处——它们的公共部分。 问题4　A与B的公共元素有哪些？由它们组成的集合与A、B是什么关系？ 明确并板书：公共元素是5和8。一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作"A交B"。符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}。Venn图上是两圆重叠的那块（副板面涂色）。 讲授：记号区分：∪开口朝上像杯子（装得多，是并），∩开口朝下（取公共部分，是交）。学生写错的时候回到这个提示。 例3　新华中学开运动会，设A＝{x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B。 师生活动：指名口答，要求用"既……又……"的说法复述。 解：A∩B就是新华中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合。 例4　设平面内直线l₁上点的集合为L₁，直线l₂上点的集合为L₂，试用集合的运算表示l₁、l₂的位置关系。 师生活动：小组讨论两分钟。教师在黑板上画三幅图（相交、平行、重合），各组代表对着图说结论，教师板书。 解：直线l₁、l₂相交于一点P，可表示为L₁∩L₂＝{点P}； 　　　直线l₁、l₂平行，可表示为L₁∩L₂＝∅； 　　　直线l₁、l₂重合，可表示为L₁∩L₂＝L₁＝L₂。 预设：平行的情形有学生答"没有交集"。纠正：两条平行线的交集是存在的，它是空集。没有公共元素时交集为∅，这是一个正常的运算结果，不能说"没有交集"。 练习2：设A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∩B。 师生活动：学生画数轴独立完成，一生板演。 明确：A∩B＝{x|1＜x＜2}——数轴上两段重叠的部分。求并看"合起来盖住哪里"，求交看"重叠在哪里"。 ★问题5（优生班）　取A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，C＝{1，3，6}，算一算(A∩B)∩C与A∩(B∩C)，再算(A∪B)∪C与A∪(B∪C)，你发现了什么？ 师生活动：小组分工计算，三分钟后各组报结果。 明确：两组结果各自相等——交、并都满足结合律，所以连续求交或连续求并时不必加括号。由定义还可知A∩B＝B∩A、A∪B＝B∪A。集合运算和实数运算一样有章可循。 （普通班替代）：此环节改做学案练习"设A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B"（答：等腰直角三角形组成的集合），巩固交集的语言表达。 环节五　当堂检测与小结（约7分钟） 师生活动：学生独立完成学案第一课时当堂检测四道小题（列举型求并、列举型求交、区间型求并、区间型求交），限时4分钟，同桌互批，举手统计错题。 预设：错误集中在区间型端点。当场讲评：把每个端点单独问一遍——这个点在A里吗？在B里吗？在结果里吗？ 问题6　对照板书说一说，这节课学了哪两种运算？各自的关键字是什么？ 明确：并集A∪B，关键字"或"（可兼，公共元素也算）；交集A∩B，关键字"且"（既……又……）。区间型一律画数轴。 作业：课时作业第一课时部分，A组全体必做、B组优生班必做普通班选做；预习第二课时，思考：在{1，2，3，4，5}这个范围内，集合{1，2}"剩下的部分"是什么？ 七、教学过程（第二课时　全集与补集） 环节一　复习与引入（约5分钟） 师生活动：课前口答复习：A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，求A∪B、A∩B。指名两生。 问题1　在{1，2，3，4，5}这个范围内讨论问题，集合A＝{1，2}以外"剩下的部分"是什么？如果范围换成{1，2，3}呢？ 师生活动：学生口答：分别是{3，4，5}和{3}。 明确：同一个A，"剩下的部分"随讨论范围而变。所以要先把范围说清楚——这个范围就是接下来要学的全集。 环节二　全集与补集的概念（约12分钟） 讲授并板书：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。全集是相对的，随问题而定：讨论有理数与无理数时全集取R；只在五个数里讨论时全集就是那个五元集。没有一个绝对的全集。 讲授并板书：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为A相对于全集U的补集，记作∁_U A，即∁_U A＝{x|x∈U，且x∉A}，读作"A在U中的补集"。Venn图：画一个矩形代表全集U，里面画圆A，圆外矩形内的部分就是∁_U A（副板面涂色）。 问题2　把A与∁_U A拼起来是什么？它们有没有公共元素？ 明确并板书：A∪(∁_U A)＝U，A∩(∁_U A)＝∅。这两条是补集运算的依据，也是最快的自检工具——算完补集，拼一拼、交一交，对不上就是算错了。 例5　设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁_U A，∁_U B。 师生活动：教师先问："第一步该做什么？"引导学生答出"把全集的元素写出来"。学生独立完成，一生板演。 解：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 　　　∁_U A＝{4，5，6，7，8}， 　　　∁_U B＝{1，2，7，8}。 预设：有学生没写全集直接下手，把∁_U B写成{1，2，7}（漏8）或{1，2}。落规矩：求补集第一步永远是把全集列清楚。 例6　设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}。求A∩B，∁_U(A∪B)。 师生活动：同桌讨论一分钟，指名回答并说明理由。 解：A∩B＝∅（一个三角形不可能既是锐角三角形又是钝角三角形）； 　　　A∪B是所有斜三角形组成的集合， 　　　所以∁_U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}。 设计意图：补集的结果靠对全集的分类来判断——三角形按角分只有锐角、直角、钝角三类，去掉两类剩一类。这道题让学生体会补集的"分类"意味。 环节三　区间型集合求补集（约7分钟） 问题3　全集U＝R，A＝{x|x＜1}，∁_R A是什么？ 师生活动：学生画数轴，指名回答。 明确：∁_R A＝{x|x≥1}。注意1这个点：它不在A里，所以在补集里，端点由开变闭。 预设：大量学生会答{x|x＞1}，漏掉1。这是本节头号失分点，板书时把"端点开闭互换"六个字写大，并让答错的学生复述一遍。 练习1：求∁_R{x|－2≤x≤3}，∁_R{x|x＜－1或x＞4}。 师生活动：学生独立完成，两生板演。 明确：前者为{x|x＜－2或x＞3}，后者为{x|－1≤x≤4}。每个端点单独验一遍。 问题4　若全集不是R，而是U＝{x|x≤4}，那么∁_U{x|0≤x≤3}是什么？ 明确：{x|x＜0或3＜x≤4}。补集只在全集内取，右端要卡在4上，写成"x＞3"就跑出全集了。 环节四　三种运算的综合与德摩根律（约13分钟） 讲授：并、交、补放在一起，就出现∁_U(A∩B)、(∁_U A)∪B这类混合式子。运算顺序：先算括号内，再算括号外。要看清∁的作用范围——∁_U(A∩B)是先求交再求补，(∁_U A)∩B是先求A的补再与B求交，两者完全不同。 例7　已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，求(∁_U A)∪B。 师生活动：学生独立完成，一生板演。 解：∁_U A＝{0，4}， 　　　(∁_U A)∪B＝{0，4}∪{2，4}＝{0，2，4}。 ★问题5（优生班）　设全集U＝R，A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞3}。分别求∁_R(A∩B)、∁_R(A∪B)、(∁_R A)∩(∁_R B)、(∁_R A)∪(∁_R B)，算完对比一下，有什么发现？ 师生活动：小组分工计算，每组算两个式子，四分钟后汇总到黑板上并排写出。 解：A∩B＝{x|3＜x＜5}，所以∁_R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}； 　　　A∪B＝R，所以∁_R(A∪B)＝∅； 　　　∁_R A＝{x|x≥5}，∁_R B＝{x|x≤3}， 　　　所以(∁_R A)∩(∁_R B)＝∅，(∁_R A)∪(∁_R B)＝{x|x≤3或x≥5}。 明确：对比可见∁_R(A∩B)＝(∁_R A)∪(∁_R B)，∁_R(A∪B)＝(∁_R A)∩(∁_R B)。这两条叫德摩根律，教材没有正式命名，但练习里经常用到。口诀：补进括号，交并互换。 师生活动：教师在Venn图上涂色验证一遍：先涂A∩B再涂其外部，再分别涂∁A与∁B取并，两次涂出的区域相同。 （普通班替代）：只做具体计算与结果对比，说一句"这两组结果相等"即可，不要求记忆口诀，不做Venn图论证；省下的时间加练一道混合运算题。 环节五　含参数的运算问题（约5分钟） 问题6　已知集合A＝{x|1＜x≤a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围。 师生活动：先问："A∪B＝A说明A、B是什么关系？"引导学生答出B⊆A，再画数轴。 解：由A∪B＝A得B⊆A。 　　　在数轴上表示：A要包住B，右端必须够到2， 　　　所以a≥2。 　　　检验a＝2：A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜2}⊆A成立。 　　　故a的取值范围是{a|a≥2}。 明确：三步走：翻译（A∪B＝A即B⊆A，A∩B＝A即A⊆B）、画数轴比端点、验端点能否取等。翻译方向反了后面全错，这是这类题的第一关。 设计意图：本环节只做一道，让学生掌握"翻译"这一步；A∩B＝∅型和需要检验互异性的类型放在作业B组，讲评课再展开，一节课塞两类含参普通班消化不了。 环节六　当堂检测、小结与作业（约3分钟） 师生活动：学生完成学案第二课时当堂检测三道小题（列举型补集、区间型补集、混合运算各一道），限时2分钟，教师报答案，举手统计。 问题7　这一章的三节学完了，各解决了什么问题？ 明确：1.1写集合（列举法、描述法），1.2比集合（子集、真子集、相等），1.3算集合（并、交、补）。下一节转入常用逻辑用语。 作业：课时作业第二课时部分，A组全体必做、B组优生班必做普通班选做；预习1.4节。 八、板书设计 【第一课时】1.3 集合的基本运算（1） 并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}　　　　交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 　"或"可兼：只在A／只在B／都在　　　　"且"：既……又…… 　A∪A＝A　A∪∅＝A　　　　　　　　　A∩A＝A　A∩∅＝∅ 　A∪B＝A ⟺ B⊆A　　　　　　　　　　A∩B＝A ⟺ A⊆B （副板面：Venn图涂色、例2与练习1的数轴演算区） 【第二课时】1.3 集合的基本运算（2） 全集U：随问题而定　　　　　　　　　∁_U A＝{x|x∈U，且x∉A} A∪(∁_U A)＝U　A∩(∁_U A)＝∅　　　求补第一步：写清全集 区间求补：端点开闭互换　　　　　　　★∁_U(A∩B)＝(∁_U A)∪(∁_U B) 含参三步：翻译→画数轴→验端点　　　★∁_U(A∪B)＝(∁_U A)∩(∁_U B) （副板面：矩形全集Venn图、例5例6演算区、德摩根律涂色验证区） 九、附：课堂预设 1．求并集时剔掉公共元素——回到超市情境：圆珠笔两次都进了，它算不算两次一共进的货？ 2．认为两条平行线"没有交集"——交集存在，是空集；没有公共元素时结果为∅是正常答案。 3．∁_R{x|x＜1}答成{x|x＞1}——把1单独拎出来问：1在A里吗？不在。那它在补集里吗？在。端点开闭互换。 4．全集不是R时补集写出界——补集是全集的子集，右端卡在全集边界上。 5．∁_U(A∩B)与(∁_U A)∩B混淆——黑板上把两个式子的计算过程并排写一遍对照。 6．含参问题翻译反方向（把A∪B＝A当成A⊆B）——回到并集性质：并起来还等于A，说明B没带来新元素，即B⊆A。 7．学生问"德摩根律要不要背"——优生班要求会用会说理；普通班答：知道有这回事，做题时算出来就行。 十、备教手记（课后填写） 第一课时后核对两件事：一是当堂检测区间题的错误率，端点错超过三分之一则第二课时课前补两道口答；二是普通班对"或"的理解，若仍有人剔除公共元素，讲评时用超市情境再走一遍。第二课时后核对三件事：一是区间求补端点互换的掌握情况，这是本节头号失分点，未过关的学生名单单独记；二是德摩根律在优生班的接受度，能否自己说出Venn图的道理；三是含参问题翻译这一步的正确率，为讲评课准备A∩B＝∅型的展开时间。另记录本章三节结束后学生对集合语言的整体适应情况，作为1.4节起点的参考。 学科网（北京）股份有限公司 $