1.3集合的基本运算教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦集合的交集与并集运算，通过“兴趣小组同学组成集合”的情境导入，从“既参加又参加”“参加或参加”的生活问题引出概念，衔接集合概念、关系的已有知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料亮点在于以类比实数运算和Venn图、数轴为工具，引导学生经历概念形成过程，培养数学抽象能力（数学眼光），例题含点集运算与参数问题，强化逻辑推理与分类讨论（数学思维），符号语言与图形结合提升表达准确性（数学语言），助力学生理解“且”“或”逻辑，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

《1.3 集合的基本运算》教学设计 一、教材分析 本节课选自人教A版高中数学必修第一册第一章"集合与常用逻辑用语"第三节"集合的基本运算"。在学生学习集合的概念、集合间的基本关系（子集、真子集、相等）之后，本节进一步研究集合的三种基本运算：交集、并集和补集。 集合的运算是集合语言的核心内容，是后续学习函数定义域、值域、不等式解集等知识的重要工具。通过本节学习，学生将掌握用集合运算描述数学问题的方法，体会集合语言在数学表达中的简洁性和准确性，培养数学抽象能力和逻辑推理能力。 本节内容分为两个课时：第一课时学习交集和并集，第二课时学习补集及综合应用。 二、学情分析 （一）知识基础 学生已掌握集合的概念、元素的三个特性（确定性、互异性、无序性） 学生已熟悉集合的两种表示方法（列举法和描述法） 学生已理解集合间的基本关系：子集、真子集、集合相等 学生已了解空集的含义和性质，以及子集个数的计算方法 学生已初步掌握Venn图表示集合关系的方法 （二）认知特点 高一学生已具备一定的抽象思维能力，能够理解集合运算的符号表示 学生对"运算"的认识主要停留在数的运算（加、减、乘、除），对集合运算的"交、并、补"需要重新建构 学生具备初步的类比推理能力，可以通过类比数的运算来理解集合的运算 学生对数形结合思想有一定的认识，能够借助Venn图和数轴理解集合运算 学生的符号表达能力正在形成，需要加强规范训练 （三）可能存在的困难 对交集和并集符号（∩ 和 ∪）容易混淆，特别是与逻辑联结词"且""或"的对应关系 在进行集合运算时，对端点值是否包含的判断容易出错（特别是用数轴表示时） 用描述法表示的集合进行运算时，对代表元素和条件的准确把握存在困难 三、教学目标 （一）知识与技能 理解两个集合的交集、并集的含义，能求两个简单集合的交集和并集 掌握交集、并集、补集的符号表示（∩, ∪）和Venn图表示 能使用Venn图和数轴表达集合之间的关系及运算结果 能进行简单的集合混合运算，并能用集合语言描述实际问题 （二）过程与方法 1.通过类比实数的加法与乘法运算，经历集合运算概念的形成过程 2.通过Venn图和数轴等直观工具，培养数形结合的思想方法 3.通过解决含参数的集合运算问题，培养分类讨论和逻辑推理能力 （三）情感态度与价值观 1.体会类比思想在数学学习中的重要作用，感受知识间的内在联系 2.感受集合运算与逻辑联结词之间的对应关系，体会数学的统一性 四、教学重难点 （一）教学重点 1.交集、并集的概念及符号表示（A ∩ B, A ∪ B) 2.交集、并集的Venn图表示和数轴表示 （二）教学难点 1.交集与并集概念的本质理解——"且"与"或"的逻辑对应关系 2.含参数的集合运算问题中，端点值的取舍和分类讨论 五、教学过程 （一）情境导入 【教师活动】创设问题情境，引导学生思考： 某班参加数学兴趣小组的同学组成集合A，参加物理兴趣小组的同学组成集合B。 问题1：既参加数学小组又参加物理小组的同学组成什么集合？ 问题2：参加数学小组或物理小组的同学组成什么集合？ 【学生活动】结合生活经验，思考并回答上述问题。 【师生归纳】 既参加数学又参加物理的同学：同时属于A和B的元素组成的集合 参加数学或物理的同学：属于A或属于B的元素组成的集合 引出课题：集合的基本运算——交集与并集。 （二）概念探究——交集 【探究活动1】观察以下集合对，找出它们的共同元素： A = {1, 2, 3, 4}，B = {2, 4, 6, 8}，共同元素为 {2, 4} A = {x | x > 1}，B = {x | x < 3}，共同元素为 {x | 1 < x < 3} A = {我们班会打篮球的同学}，B = {我们班会打乒乓球的同学}，共同元素为 {既会打篮球又会打乒乓球的同学} 【定义】 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作 A ∩ B，读作"A交B"。 【符号语言】 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 【Venn图表示】 【关键词理解】 "且"——元素必须同时满足属于A和属于B两个条件 交集是"越交越小"——A ∩ B ⊆ A 且 A ∩ B ⊆ B 【性质归纳】 A ∩ A = A A ∩ ∅ = ∅ A ∩ B = B ∩ A (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 若 A ⊆ B，则 A ∩ B = A 【即时练习】 已知 A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，求 A ∩ B。 【解答】A ∩ B = {3, 4} （三）概念探究——并集 【探究活动2】观察以下集合对，将它们的元素合并在一起： A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，合并后为 {1, 2, 3, 4} A = {x | x ≥ 1}，B = {x | x ≤ 3}，合并后为 {x | x ∈ R} = R 【定义】 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作 A ∪ B，读作"A并B"。 【符号语言】 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} 【Venn图表示】 【关键词理解】 "或"——元素满足属于A、属于B、或同时属于A和B中的至少一个条件 并集是"越并越大"——A ⊆ A ∪ B 且 B ⊆ A ∪ B 【性质归纳】 A ∪ A = A A ∪ ∅ = A A ∪ B = B ∪ A (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 若 A ⊆ B，则 A ∪ B = B 【对比总结】 运算 交集 A ∩ B 并集 A ∪ B 含义 属于A且属于B的元素 属于A或属于B的元素 关键词 且 或 大小关系 A ∩ B ⊆ A，A ∩ B ⊆ B A ⊆ A ∪ B，B ⊆ A ∪ B 【即时练习】 已知 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4, 5}，求 A ∩ B 和 A ∪ B。 【解答】A ∩ B = {2, 3}，A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} （四）例题精讲 【例1】设 A = {(x, y) | y = x + 1}，B = {(x, y) | y = -x + 3}，求 A ∩ B。 【解析】A ∩ B 表示同时在两条直线上的点，即两条直线的交点。 联立 { y = x + 1；y = -x + 3 }，解得 x = 1，y = 2。 【答案】A ∩ B = {(1, 2)} 【注意】此处元素是有序数对（点），不是数！ 【例2】已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 = 0} = {1, 2}，B = {x | x² - ax + a - 1 = 0}，且 A ∪ B = A，求实数a的值。 【解析】由 A ∪ B = A 可知 B ⊆ A。 所以 B 可能为：∅，{1}，{2}，{1, 2}。 B = {x | (x - 1)(x - (a - 1)) = 0} = {1, a - 1}（当 a ≠ 2 时）或 {1}（当 a = 2 时）。 ① a = 2 时，B = {1} ⊆ A，满足。 ② a ≠ 2 时，B = {1, a - 1}。由 B ⊆ A，得 a - 1 = 1 或 a - 1 = 2。 若 a - 1 = 1，则 a = 2（与 a ≠ 2 矛盾，舍去）。 若 a - 1 = 2，则 a = 3，此时 B = {1, 2} = A ⊆ A，满足。 【答案】a = 2 或 a = 3 （五）课堂小结 【知识梳理】 交集：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}，"越交越小" 并集：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}，"越并越大" A ∪ B = A ⇔ B ⊆ A；A ∩ B = A ⇔ A ⊆ B 数轴和Venn图是理解集合运算的重要工具 【课后作业】 教材第12页练习第1、2、3题 教材第14页习题1.3 A组第1、2题 学科网（北京）股份有限公司 $