辽宁凌源市2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷

绝密★启用前 高二期末检测卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟。 ☆注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡的指定位置。考试结束后，将答题卡交回。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的) 1.若全集U=(1,2,3,4,5,6},CA={2,4,6},B={1,3,6},则A∩B= A.{1,3,5,6》 B.{2,4} C.{6} D.(1,3} 2已知复数=2-则- A.2 B.-√2i C.√2-√2i D.2+√2i 3.记等差数列{an}的前n项和为Sm,若2S,=7(a1十a5)十42，则数列{an}的公差为 A.6 B.3 C.-3 D.-4 4.若3sina=2cos2a,则c0s2a= A-司 B一8 c. n 5.若双曲线C号-若-1(o>0)的两条渐近线均与圆0：(x-1)十y-号相交，则C的商心率 的取值范围为 A1,2 B1,) c.(停+∞ D.(2,+∞) 6.在2+ 的展开式中，若常数项为240，则x3的系数为 A.6 B.32 C.36 D.60 7.已知函数f(x)=e2-x,g(x)=xlnx-2x2十x,则曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线与曲 线y=f(x)的公共点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 高二数学第1页（共4页）】 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 8.某物流公司规划了7条分别编号为1至7的无人机专属航线，现将这7条航线全部分配给甲、 乙、丙3个不同的调度中心，且航线1与航线2必须分配给同一个调度中心，若每个调度中心 至少分到1条航线，且甲中心分配的航线数量必须多于乙中心，则不同的分配方案总数为 A.185 B.205 C.215 D.235 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知抛物线C1:x2=y与C2:y2=x,则 A.C,与C2的焦点相同 B.C1与C2的离心率相同 C.C与C2的准线相同 D.C:与C2的焦点到准线的距离相同 10.甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%.已知甲、乙两组 的人数分别占两组总人数的70%，30%，从这两组组成的总体中任选一个人，用事件A1,A2 分别表示选取的这一人来自甲、乙组，事件B表示选取的这一人测试合格，则 A.P(A1B)=0.49 B.P(A2B)=0.21 C.P(B)=0.76 D.P(AB)=0.6 11.记锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,b=6,则△ABC的周长可以为 A.14 B.15 C.16 D.17 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知点A(一1,1)，B(0,3),C(3,4),则向量AB在AC上投影向量的坐标为 18.已知a>6>0,则a+a年6+。二5的最小值为 14.已知0<a<1,函数f(x)=xa十9，g(x)=xlog.x+9的零点分别为m,n,则m一4n的取值范 围为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知数列{a,满足a1=3,3a1十3a2十3a4十十3a.=9t-9 8 (1)求数列{an}的通项公式； (2)记6，=-l0gs@m+1,数列6}的前n项和为T,若对V∈N,A-号>T,恒成立，求实 166+1 数入的最小值. 高二数学第2页（共4页） ▣减▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 16.(本小题满分15分) 某福利站点收纳16张外观完全一致的即开型彩票：一等奖（奖金600元）共3张，二等奖（奖 金320元)共6张，三等奖（奖金120元）共7张，现从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的概率； (2)记X表示抽出的3张彩票中一等奖彩票的张数，求X的分布列和数学期望. 17.(本小题满分15分) 如图1，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE为梯形，其中BE∥CD,DE=CD= BC=1,将△ABE沿BE折起得到如图2所示的四棱锥A1一BCDE,且AC=2. (1)求证：平面A1BE⊥平面BCDE; (2)求直线A1B与平面A1CD所成角的正弦值. 高二数学第3页（共4页） Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:若+苦=1(a>6>0)的长轴长为4，焦距为25. (1)求C的方程； (2)过点T(2,0)的直线1与C交于A,B两点，求线段AB中点的轨迹方程； (3)直线11：x-2y=0,2:x+2y=0,过C上一点M作11，l2的垂线，垂足分别为D,E,试问 △MDE的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数fa)=asin+名sin2z十ca,dc∈R (1)若a=b=1,c=0,求f(x)在区间[一π，0]上的最小值； (2)若c=1. (i)f(x)在R上单调递增，求a十b的最大值； (i)证明：对任意n∈N*,3cos2x+3cos4x十…+3cos22m-1x+cos22mx+3n+2≥0. 高二数学第4页（共4页） Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效高二期末检测卷 数学 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力V,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) IⅢV①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 单选题 5 集合的交补运算 易 0.85 2 单选题 复数的混合运算 易 0.78 单选题 5 等差数列的公差 易 0.72 单选题 三角恒等变换 中 0.68 5 单选题 5 双曲线的离心率 中 0.60 6 单选题 5 二项式展开式中项的系数 中 0.55 7 单选题 5 曲线的交点个数，切线方程 中 0.40 单选题 5 排列组合 中 0.30 9 多选题 6 抛物线的定义 易 0.75 10 多选题 6 条件概率，全概率公式 中 0.68 11 多选题 6 解三角形 难 0.28 12 填空题 5 投影向量 易 0.72 13 填空题 基本不等式综合 中 0.60 14 填空题 5 函数的零点问题 中 0.35 数列的通项公式，裂项相消 15 解答题 13 0.68 求和 随机变量的分布列与数学 16 解答题 15 期望 0.55 翻折问题，证明面面垂直，线 17 解答题 0.45 面角的正弦值 椭圆与直线的位置关系，存 18 解答题 17 中 0.35 在性问题 函数的最值，由单调性求参， 19 解答题 17 证明不等式 难 0.28 ·%1 参考答案及解析 数学 参考答案及解析 数学参考答案及解析 一、单选题 22k+1). (3k+3)! (k十1)！(2k十2)I 1.D【解析】因为全集U={1,2,3,4,5,6},CuA= =6(3k+2)(3k十1) 226. (3k)! (k+1)(2k+1) {2,4,6},所以A={1,3,5},又B={1,3,6},所以 k!(2)! A∩B={1,3}.故选D. >6(k+1)(2k+1 (k十1)(2k十1) =6,得24·2随6的增 (3k)! 2.D【解析】由z=2-i,得=2十i,则之十i=2十2i, (3k)! 6 |x-1=|1-i川=√12+(-1)产=√2，所以 大而增大，又当k=2时，2·1C2)=16×2 +i=2士2=2+②1.故选D. =240,故k=2,则m=6,令6,3k=一3，得k=4,所以 -1√2 2 3.B【解析】设等差数列{an}的公差为d,则2S,= x8的系数为2-1C=60.故选D. 2(7a1+21d)=14a1+42d,所以14a1+42d= 7.B【解析】因为g(x)=xlnx一2x2十x,所以g'(x) 7(a1十as)+42,即14a1+42d=7(2a1+4d)+42, =lnx-4x十2，则g(1)=-2,又g(1)=-1,所以 整理得14d=42,解得d=3.故选B. 曲线y=g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y 4.D【解析】由3sina=2cos2a=2-2sin'a,得(2sina (-1)=(-2)(x-1),即y=1-2x.令f(x)=e -1D(sima十2)=0，解得sina=号，所以cos2a=1 -x=1-2x,则e十x-1=0,令m(x)=e十x-1, 易知m(x)在R上单调递增，且m(0)=1十0-1=0， 2sina=号，故选D. 所以m(x)有且只有一个零点，即曲线y=g(x)在点 5.A【解折】双曲线C:若一若=1(a>0)的渐近线方 (1,g(1))处的切线与曲线y=f(x)的公共点的个 数为1.故选B. 程为4士ay=0,圆0：(-1)+y=子的圆心为 8.C【解析】将航线1与航线2看作一个含2条航线 10),半径r=,由题意得4X1±aX0l<号 的整体，若整体分给甲，剩余5条航线分给甲、乙、丙 /4+a 2 的数量可为(0,1,4)，(1,1,3)，(1,2,2)，(2,1,2)， 解得>4，则2-。16-1+∈(1，青)，所以 (2,2,1),(3,1,1),方案数为5+20+30+30十30+20 =135:若整体分给乙，剩余5条航线分给甲、乙、丙的 C的离心率e∈(1,2)故选A 数量可为(3,0,2)，(4,0,1)，方案数为10十5=15：若 整体分给丙，剩余5条航线分给甲、乙、丙的数量可为 6.D 【解析】(2反+二）”展开式的通项为T+= (4,1,0),(3,2,0),(3,1,1),(2,1,2),方案数为5+10 C(2F)(2）广=2Cx学，k=0,12,,m +20+30=65,所以总方案数为135十15十65=215. 故选C. 令”3张=0，得n=3k,故常数项为2C=240,即 2 二、多选题 (3k)! 2·12)方7=240，由 9.BD 【解析】抛物线C的焦点为(0，)，准线为y 1 数学 参考答案及解析 =一子，焦点到准线的距离为，离心率为1抛物线 (4,3),所以向量AB在AC上投影向量的坐标为 C的焦点为（子0），准线为x=-子，焦点到准线 A店：ACAC-1x42X3(4,3)=(号，号).故答 ACI 25 的距离为号，离心率为1.故选BD 案为（号） 10.AC【解析】由题意可得P(A:)=0.7,P(A2)= 13.4+VE【解析】a>b>0,则a十8十1=a十b atb a-b 2 0.3,P(BA1)=0,7,P(BA2)=0.9.对于A, P(AB)=P(A1)P(BA)=0.7×0.7=0.49,故A +安+六≥2√x 2 a+b 正确；对于B,P(A2B)=P(A2)P(BA2)=0.3× a十b=4 ×二。=4+原当且仅当 2N2 即 0.9=0.27,故B错误；对于C,由全概率公式得 a-b=√2 P(B)=P(A1B)+P(A2B)=0.49+0.27=0,76,故 。=2号 C正确：对于D,P(AB)=PCAB-0.49=49 8 P(B)0.7676 取等号，即a十a于b十。—6的最小值 号=0,6，枚D错误故选AC 为4十√2.故答案为4十√2. 11.BC【解析】因为△ABC为锐角三角形，所以 14.(-∞，-12]【解析】因为f(x)=xa+9的零点 0<A<受 为m,所以mam十9=0，则ma"=一9<0，因为a"> 0<B=2A< ,解得否<A<平，由正弦定理 0,所以m<0,则。=一是又0<a<1,所以a> 0<C=-3A<受 1,所以-是>1，则-9<m<0.因为g()=0gx b 十9的零点为n,所以nlog.n十9=0，所以nlog.n= sin A sin B-sin C,则0 a sin A sin 2A sin3A,所 -9,令log.n=t,则a=n,所以ta=一9，t<0,令 以a=bsin A 6sin A 3 sin 2A 2sin Acos A-cos A bsin 3A= sin 2A h(x)=xa,x<0,0<a<1,则h'(x)=a十 6(sin 2Acos A+cos 2Asin A) xa'In a=a(1十xlna)>0,所以h(x)在 2sin Acos A (一o,0)上单调递增，所以m=t=logn,代入ta 6(2sin Acos A co2Asin A)6c0s AcA 2sin Acos A cos A 卡一9，得mm=一9，所以n三一，所以m一4n=m =6c0sA+3(2c0sA-1D=12c0sA- 3 cos A cosA:所以a +36,易知函数p(m)=m十36在（一9，一6）上单 m +b+c=6+12c0sA,因为否<A<平，所以6+ 调递增，在（一6,0）上单调递减，所以p(m)≤ 12cosA∈(6+6√2,6+6√3)，即△ABC周长的取值 g(-6)=-6+35 =一12，所以m一4n的取值范 范围为(6+62,6十6)，结合选项可知BC在该 围为(-∞，-12].故答案为(-∞，-12]. 范围内.故选BC. 四、解答题 三、填空题 15.解：1)3a十3a+3a十…+3a,-99, 8 12.(号，号）【解析】由题可得A店=(1,2)，AC .当n≥2时，3a1十32a2十33a4十…十3m-lam-1= ·2 参考答案及解析 数学 959. (2分) 所以X的分布列为 两式相减得3”an= +1-9_9-9=g, X 0 1 2 3 8 (3分) 8 143 117 39 1 280 280 560 560 ∴.当n≥2时，an=3”, (4分) 当n=1时，a1=3,满足上式， (5分) (13分) .an=3", (6分) 则E(X)=0x+1X+2× 1 560 +3×560 (2)由(1)得b,=loga+1=l0g:3”+1=n十1， 16 (15分) GFD02 1 (8分) 17.解：(1)取BE的中点O,连接OA1,OC, x=在+在+十动=（日-吉）十 1 1 bbatl 由题干可知△A:BE是边长为2的正三角形， 则BE⊥OA1,且OA1=√5， (1分) (合)…+（点）合 在等腰梯形BCDE中，DE=CD=BC=1,易得OC (10分) =1, 因为A1C=2,所以OA+OC2=AC, 所以OA1⊥OC, (4分) 因为OC∩BE=O,OC,BEC平面BCDE, .实数入的最小值为1. (13分) 所以OA1⊥平面BCDE, 16.解：(1)从16张彩票中任意抽取3张，共有C= 又OA1C平面A1BE, (6分) 560种取法， 所以平面ABE⊥平面BCDE. (1分) (2)取CD的中点F,连接OF, 抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的情况有 因为四边形BCDE为等腰梯形，O为BE的中点， 两种： 所以OF⊥BE, (8分) ①三张一等奖，有C=1种取法； 由(1)可知OA1⊥平面BCDE, ②两张一等奖，一张二等奖，有C号C=18种取法， 以O为原点，OB,OF,OA所在直线分别为x,y,之 则抽出的3张彩票的奖金总额高于1500元的取法 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 共有19种， (4分) 所以抽出的3张彩票的奖金总额不高于1500元的 概率为1-3品-品 (6分) (2)X的可能取值为0,1,2,3， (7分) 则P(X=0) C1=143 C1280 P(X=1)=CC=117 2801 P(X=2)=C-器. 则A(00w5)B(1.00)C(分，号0) p(X=3)-0 C81 (11分) (,o小 ·%3 数学 参考答案及解析 所以At-(分号，-万)D心-1.00 故线段AB中点的轨迹方程为x2一2x十4y2=0(0≤ x<2). (10分) A1B=(1,0,-B): (10分) 法二：设A(x1,y1),B(x,),线段AB的中点 设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z), 为(x,y), 则x1十x2=2x,y1十y=2y, (5分) 则 因为A,B两点在C上， n.DC=x=0 取y=2,得x=0,2=1,则n=(0,2,1). (12分) 所以+=1，至+=1， 设直线AB与平面A1CD所成的角为O, 两式作差得一运+一=0， 4 则m9=1cos(m,Ai1=n:A斗=5 nAB 25 则5=-（十为）二兰 4 x1一x2 -v15 10 又=w=之2 x1一x2 所以直线AB与平面A:CD所成角的正弦值为 5 所以华=-2y·产2即x-2x+4y=0,8分) (15分) 10 由(1)可知点T(2,0)为C的右顶点， 18.解：(1)由长轴长为4，得2a=4,则a=2, 所以点A或点B与点T重合，可得0≤x<2, 由焦距为2√3，得2c=2√3，则c=√3， (2分) 故线段AB中点的轨迹方程为x2-2x十4y2=0(0≤ 所以b2=a2-c2=1, x<2). (10分) 所以C的方程为千十y=1. (3)设M(x0,yo),则x8十4y6=4, (4分) (2)法一：由题可知l的斜率存在 点M到41，山的距离分别为|MD=。一2 5 设l:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y), IME=20+2yo √5 联立 4十y2=1 则1MD1·IME1=6-48⊥ y=k(x-2) 5 (12分) 得(4k2+1)x2-16k2x十16k2-4=0, 分别取4，l2的法向量n1=(1,-2),n2=(1,2), 由△=256k1-4(4k2+1)(16k2-4)=16>0, 则cos(n,n:)=TiTT n1·n2 得k∈R, 1-4 16k2 则x1十x=4k十1 (6分) √1+(-2)7×√1+2 设线段AB的中点为(xy), 所以sin∠DME=号， 8k2 2 则x=4干=24软干' 所以△MDE的面积S=合IMD·IME· 由k∈R,得0≤x<2, sin∠DME=号x6-46⊥x4=2|z6-46, 5 25 将产代入=7得+矿-2=0， (15分) (8分) 由x6十4y6=4,得x6=4-4y6,0≤y6≤1， ·4· 参考答案及解析 数学 所以s=2481_-8126,0≤6≤1， 2, 25 25 当6=0或1时，S取得最大值云， 8 当a=，6=号时f()=asros2x+ 4 4 所以△MDE的面积存在最大值，最大值为会 成立， (17分) 所以a十b的最大值为2. (10分) 19.解：(1)若a=b=1,c=0, 30s2x十1≥0对任意 则f(x)=sinx+2sin2x,x∈[-，0]， ()由(i)可知专osx十 x∈R恒成立， (11分) 则(x)=cosx十cos2x=2cosx十cosx-1 =(c0sx+1)(2cosx-1), (1分) 则对任意x∈R,必有号os2x十号 cos4x十1≥0， 令f(x)=0,得x=-π，x=- 4 3 3c0s4x十2cos8x十1≥0，…， 所以当x∈[-元，-号)时，f(x)≤0，f(x)单调 子ms20-子ms2+1≥0 递减； 专c0s20-r+号cos2x+1≥0， 2 当x∈(-号，0时，f(x)>0,f(x)单调递增， 上述式子累加可得号c0sx+2[cos2zx十c0s4红十 (3分) 十os20+号os2产r十2n≥0， (14分) 所以f(x)m=f(-牙) 又cosx≤1， =sin(-受）+号sin(-2F) 所以专十2[cos2x十c0s4r+…十c0s2-x]+ =-E-5-3 24 4 (5分) 3c0s20x+2n≥0， (15分) (2)(i)若c=1,则f(x)=asin x十 sin2x+x 左右两边同时乘2，得3[c0s2x十c0s4r十…十 则f(x)=acosr十bcos2.x+1, cos22m-1x]十cos22nx+3n十2≥0， 因为f(x)在R上单调递增，所以(x)≥0恒成 所以对任意n∈N,3cos2x十3cos4.x十·十 立 (7分) 3cos22m-1x十cos22x+3n十2≥0. (17分) 取x-则了()=-号a-6+1≥0，得a+6b ·%5