辽宁锦州市某校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

2025一2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 命题教师：高一备课组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1.函数f(x)=1og,（4+3x-x2)的单调递减区间是( B. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S,=9,则a+a。=（） A.-18 B.2 C.9 D.21 3.52张扑克牌，没有大小王：无放回地抽取两次，已知第一次抽到的是A,则第二次抽到A的 概率为( ) 1 A c员 D. 1 221 4.已知∫(x)是定义在(-1，+∞)上的可导函数，且满足f(x)<-f'(x),则不等式 ∫(x-1)>(x+1)f(x2-1)的解集是( A.（-1,1) B.[1,+o) c.(0,1] D.(0,+o∞) 5.某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m,从该年年末开始，每年偿还的金额都是a 万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（ ) M(1+m) Mm A. Mm(（1+m)o Mm(1+m)0 D. (1+m)- B. (1+m) (1+m)°-1 (1+m°+1 6.已知数列{a,}的前n项和为S,且a1=2,a1=3Sn,neN,则a=( A.162 B.243 C.384 D.512 7,甲、乙两人进行象棋比赛，每局比赛甲获胜的概率是子，各局比赛是相互独立的，采用3局 2胜制，假设比赛没有平局，则乙战胜甲的概率为( ) c 00 7 高二数学学科期末试题 第1页共4页 8.若方程e=aln(x-2)+alna-2a在(2，+oo)上有解，则实数a的取值范围是( A.[3,+oo) B.(0,3] C.Te,+oo) D.(0,e] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f'(x),若∫O)=-1,且∫'(x)-f(x)>3,则使不等 式f(x)≥2e-3成立的x的值可能为( A.-2 B.-1 C.1 D.2 10.在等差数列{a,}中，公差为d,且a,4,a,是公比为的等比数列，4=m,则( A.9=3 1 B.m=8 D.数列 d 4 C.a =50 的前1000项和大于 48 11.高尔顿钉板（或高尔顿板)是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型.某 游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从 上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空 隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去， 最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽 内概率分别为，2，…，则下列结论正确的是( ①②③④⑤⑥⑦⑧ A.P<B<P<P B.=P0=1,2,…,8) QP=,28)的最大值为g6 D.PE=12)的最小值为克 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知等差数列{an}的前n项和为S,且S6=6a+30,则公差d=_, 若Sn≤S,恒成 立，则符合条件的a,的一个取值为 高二数学学科期末试题 第2页共4页 13.已知随机变量X-B(10,p),Y~N(5,σ2)，且E(2X+1)=7,若P(Y≤9)=1-p2,则 P(1≤Y≤9)= 14.已知f(x)=x3+mx2+nx+p(m,n,p∈R),f'(x)是∫(x)的导函数，若∫(x)有且只有两个不 同的零点，且f(x)和f'(x)的零点均在集合3,1，-3}中，则∫(x)的极大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知递增的等差数列{an}的首项a1=1,且4a2a4成等比数列， (1)求数列{a}的通项公式an: (2)设数列{b}满足b,=2.+(-1)a.,Tn为数列{b}的前n项和，求Tn· 16.已知函数f(x)=a(2x-lnx),g(x)=x-x2. (1)若函数f(x)在点(1，f()处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值： (2)若函数m(x)=∫(x)-g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围 17.2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便 捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越.行业焦点已从AI“能说会道”的创 造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力.某公司进行AI知识竞赛.从参赛者中 随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)， [90,100],共5组，得到如图所示的频率分布直方图. 高二数学学科期末试题 第3页共4页 频率/组距 2a 0.030 0.005 05060708090100分数 (1)求a的值： (2)在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在[70,90)的人中抽取5人，再从这5人中随机抽 取3人，记这3人的成绩在[80,90)的人数为X，求X的分布列及数学期望： (3)假设用频率估计概率，从全公司中随机抽取3人，用Y表示其成绩在[80,100]范围的人数， 求Y的分布列及方差. 18.己知各项均为正数的数列{a,}的前n项和为Sn,a,=1,且a,=√S,+VSn1n22). (1)证明：数列{V⑤。是等差数列： (2)求数列{an}的通项公式： 8若++}-+n心nm0eN),求的取槛范国。 19.已知函数f()=x-(a+2)x+2alnx(aeR). ()当a=号时，求f(y的单调区间： (2)讨论函数∫(x)的单调性： (③)函数()=∫(x)小-之有两个零点，，求证：本>e 高二数学学科期末试题 第4页共4页2025一2026学年度第二学期期末考试 高二数学 参考答案 题号 1 2 4 0 9 10 答案 D B B D C C C CD BC 题号 11 答案 ABC 1.D 【详解】函数f(x)=log2(4+3x-x2),令-4+3x-x2>0,求得-1<x<4, 即函数的定义域为(-1,4)，且f(x)=logt, 即求函数t在定义域内的减区间. 再利用二次函数的性质可得43x在定义城内的减区间为} 故选D, 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的单调性，体现了转化的数 学思想，属于中档题 2.B 【详解】法一：利用等差数列的基本量运算 母=9a+9X8d9⊙9a+36d=9,即a+4M= 又a4+a%=4+3d+4+5d=2a+8d=2(a+4d)=2. 法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，4+4，=44+6， 由8=9a+a）_a+a）-9.所以a+4=2 2 2 .故选：B. 3.B 【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则叫0是景京《京c4阁卒日 P(B)1 1 13 4.D 答案第1页，共12页 【详解】因为f(x)定义在(-1，+o)上，所以f(x-1)>(x+1)f(x2-1)中的式子要有意义， [x-1>-1, 需满足-1>1解得x>0. 因为f()<-f'(x),所以fx)+xf(x)<0,即(f》<0, 设函数g(x)=xf(x)x>-1),则g(x)在定义域上单调递减 要求f(x-1)>(x+1)f(x2-1),则 当x-1>0,即x>1时，(x-1)f(x-1)>(x2-1)f(x2-1),即g(x-1)>g(x2-1), 所以x-1<x2-1,解得x>1或x<0,所以x>1: 当x-1<0,即0<x<1时，(x-1)f(x-1)<(x2-1)f(x2-1),即g(x-1)<g(x2-1), 所以x-1>x2-1,解得0<x<1: 在f(x)<-f'(x)中，令x=0得f(0)<0, 而在f(x-1)>(x+1)f(x2-1)中，当x-1=0时，有f(0)>2f(0),显然成立： 综上，f(x-1)>(x+1)f(x2-1)的解集为(0，+o). 故选：D 5.c 【详解】由已知条件和分期付款公式，可得 a(1+m)°+1+m+++m片1]=M4+m9, 1+m)° .a= 1+m-11 故选：C 6.c 【详解】因为aH=3S,即SnH-Sn=3Sn,所以St1=4Sn, 可得数列{S}为等比数列，首项为S=4=2,公比q=4, 所以Sn=2×40-1=22m-1, 所以a=S-S4=29-27=27(22-1)=3×27=3x128=384 7.C 答案第2页，共12页 【详解】由思意可知，每局比赛乙获胜的概率为1子}，且各局比春结果相互独立，乙 战胜甲有两类互斥情况： 第一类：乙连胜2局，那么乃= 121 3)9 第二类：比赛共进行3局，前2局乙胜1局且第3局乙胜，那么 B=cxix214 33327’ 故乙战胜甲的概率为 P=R+B=g2727 147 8.C 【详解】由e=adn(x-2)+adna-2a得e-hna=n(K-2)2,即em-na=lh(c-2)-2, Ee-b +x-lna=In(x-2+x-2=c(-2)+x-. 设f(t)=e+t,则f(x-ha=f(n(x-2), 因为f'(t)=e+1>1,所以f(t)在R上单调递增，所以x-lha=n(x-2),即 Ina=x-In(x-2), 设8(w=x-l血(x-2),则g(x)=1-1=x-3 x-2x-21 当x∈(2,3)时，g'(x)<0,则g(x)在(2,3)上单调递减，当x∈(3，+∞)时，g'(x)>0,则g(x) 在(3，+∞)上单调递增， 所以g(x)≥g(3)=3,所以na≥3，a≥e3. 故选：C 9.CD 【详解】令函数r=f田+3，求导得F-f))3,由了)->3， e 得F'(x)>0,即函数F(x)在定义域R上单调递增，由f(O)=-1,得F(O)=2, 不等式f)≥2e-3台f)+3≥2，即P付≥P0,解得x≥0， e* 所以所求x的值可能为1,2. 10.BC 答案第3页，共12页 【详解】由题意知，a=,4=4+2d=+2d,am=4+(-1)d=m+(-1)d. 因为41,4g,4是公比为弓的等比数列，所以4=m≠0,4=24,4.= 5 5 5 即m+2a= m,m+0u-)d-m+2, 解得m=8,d=6,故B正确. 4-m84 dd63,故A错误 4=m=8,4=×8=20,4=×20=50,故C正确 2 2 因为{a}为等差数列，所以a,=4+(n-1)d=8+6(n-1)=2(3n+1) 1 1 13 1(11Y 所以 a+12(3n+1)×2(3+4)1261+1)n+4)123n+131+4, 则数列 1的前项和 an4+1 品+对提+点动】 42aL3 好片品将时6 1247710 1000 100010001 m,166x1000+448x100+448x10048故D债误 11.ABC 【详解】依题意：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概 率相同，由对称性可知， 日=8-写-6月=月c+c96 B=g=c+c+月=合g=g专cc+cX品 所以A,B正确， ==-c+c+c9x Wa县=号专白品放c正确，D错误 故选：ABC. 12. -2 9(答案不唯一，满足8≤4≤10即可) 答案第4页，共12页 【详解】等差数列的前n项和公式为8=m+,D4,通项公式为a=4+0m-)d 2 ,S6=6a+ ￥oy3d=6a+15d,4=4+5dy ∴.6=6(a+5d)=6a+30d. 由S6=6+30,得6a+15d=6a+30d+30, 消去等式两侧的6a,整理得-15d=30,解得d=-2. ,d=-2<0,等差数列{a}为递减数列，且S≤S恒成立， 4≥0 ,S为前项和的最大值，即数列前5项非负，第6项及以后非正，即 (9≤0' a+4d=4-820 代入通项公式得 4+5d=4-10s0'解得8≤4≤10， 取4=9即为符合条件的一个取值. 13.0.82 【详解】X~B(10,p),.E(X)=10p, :E(2X+1)=7,:2E(X)+1=7,即20p+1=7,解得p=0.3, P(Y≤9)=1-p2=1-0.09=0.91, 由对称性可得P(Y≤1)=P(Y≥9)， 又：P(Y≥9)=1-P(Y≤9)， .P(Y≤1)=1-P(Y≤9)=1-0.91=0.09， .P(1≤Y≤9)=P(Y≤9)-P(Y≤1)=0.91-0.09=0.82. 故答案为：0.82. 14.0 【详解】由题意可知，设f(x)有且只有两个不同的零点a,b,则f(x)=(x-a(x-b)(a≠b), 2a+b 即f(x)=(x-b}+2(x-a(x-b)=3x-b)x- 3 令f=0,得x=2a+b. 3，x=b, 答案第5页，共12页 由于a2e1-身中，且a÷b, 分折：由于20=B1-3引，可细2a+6c03明， 又由于a,b∈{3,1，-3}，且a≠b,所以零点ab的组合不能是1,3}或红，-3}， 教ab的组合只作是仅动，这样只能是a3.6=,可计算得21，满足题点， 此时f(x)=(x-3)x+3)2,f'"(x)=3(x+3)(x-1). 令f(x)=0,得x=-3或x=1, 当x∈(-3,1)时，f'()<0,则f(x)=(x-3)x+3)2在(-3,1)上单调递减， 当x∈(-∞，-3)U(1,+∞)时，f"(x)>0,则f()=(x-3)x+3)2在(-∞，-3)，(1，+∞)上单调递增， 则由单调性可知，f(x)的极大值为f(-3)=0. 故答案为：0 15.（1)a.=n,n∈N(2)22mH+n-2 【详解】()由题可知d>0,4=1,且a4=,22分 即a:(4+3d)=(4+d)2 可得4d=d2,4=d=1… .4分 ∴a.=a+(n-1)d=n,neN …6分 (2)b,=2”+(1)）n .7分 Im=(2+22++2m)+[-1+2-3+4--(2n-1)+2n] 2(1-22 -+n 1-2 =22mH+n-2… .13分 16.(1)a=2,b=2 (2)a≥-1 【详解】(1)由题 a2 2分 答案第6页，共12页 f"(1)=a(2-1)=a,因为f(x)在(1，f1)处的切线为y=2x+b,所以 a=2, ….4分 代入f(x)得切点为(1,4)，切点在切线上，则 4=2+b→b=2.… 7分 (2)由题m=a(2x-血-+r=r+(2a-小r-a血x,求导得m()=2x+(2a-是 9分 由(x)在[1,4]上单调递增，得m(x)≥0→2.x2+(2a-1)x-a≥0台(2x-1)(x+a)≥0在 [1,4]上恒成立，11分 当x∈1,4时，2x-1>0,因此a≥-x在1,4]上恒成立，又4≤-x≤-1，则a≥-1 …15分 17.(1)a=0.020 (2)X的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 3-5 3 10 数学期望为 .6 (3)Y的分布列为 Y 0 1 2 3 27 P 27 9 64 64 64 64 方院为铝 【详解】(1)依题意，得(0.005+2a+0.030+a+0.005)x10=1,解得a=0.020 3分 (2)依题意，成绩在[70,80)的人有0.03×10x100=30(人)， 答案第7页，共12页 成绩在[80,90)的人有0.02x10x100=20(人)， 用分层随机抽样的方法抽取5人 则从成绩在[70,80)的人中抽取3人，从成绩在[80,90)的人中抽取2人.，.5分 所以X的所有可能取值为0,1,2， 则x=叭=答0爱 P(x=2)=CC-3 C10, .7分 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 3 3 10 10 所以 B(X)=0×+1x32x39 10 5 1059分 (3)因为成续在[S0,10]的顿率为(Q02+0.05)x10=025-},用频率估计概率， 所以从全公司随机抽取1人，其成统在[3010]的概率为子 又全公司中成绩在[80,100]范围的人有0.25x100=25（人)， 所以Y的可能取值为0,1,2,3，且 y-m3 y……………………………………….11分 所以o叭器w-c w--cg国-品r=-c- 答案第8页，共12页 所以Y的分布列为 0 1 2 3 P 器 品 64 所以B(Y)=0x2 +1x2 4 +2x9 3x13 64 644 所以 m-器器品品 15分 18.【详解】 (1) 因为各项均为正数的数列{a}的前n项和为Sn,则对任意的neN,Sn>0, 当n≥2时， 4n=Sn-S1=√Sn+√Sm1, 3分 即(S-√SVS+√)=√S+VS,所以，√-√S=1, 因此，数列{S,}是等差数列，且其首项为√=1，公差为1 .…6分 由(1)可得VS=1+n-1=n, 8分 则当n≥2时， an=VS+VS-1=n+l-1=31-1,10分 4=1也满足a.=2n-1,故∀neN*,a=2n-1. .11分 g14日-naeN瓦得 答案第9页，共12页 - 13分 a180+8)4 ,则>0 1 1+11+11+11+ 则= √2n+3 1 1+ 1+ √2n+1a八a 2n+12n+2 (2n+2)2 4n2+8n+4 >1,即 V2n+32n+1V(2n+3)(2n+1) V4n2+8n+3 bn>b观多15分 所以，数列}为单调递增数列， 则0<t≤4=2=2W3 因此，t的取值范围是 23 0 3 17分 19.(1)f(x)的单调递减区间是(0,2)，单调递增区间是(2，+o) (2)当α≤0时，函数∫(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，+o): 当0<a<2时，函数f(x)的单调递减区间为(a,2),单调递增区间为(0，a)(2,+∞)： 当a=2时，f(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间； 当a>2时，函数f(x)的单调递减区间为(2，a,单调递增区间为(0,2)(a,+∞). 【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+0）1分 当a=时，函数e)---, 所以 fm)=x-31-2x-3x-2-22x+1） 2 x 2x 2x 3分 令f'(x)<0,解得0<x<2,所以函数f(x)的减区间是(0,2) 令'(x)>0,解得x>2,所以函数f(x)的增区间是(2，+o). 答案第10页，共12页 .5分 (2)函数fe倒--(a+2+2ahrx(aeR)的定义减为0+m, 又了间=x-a+2t2a-a+2+24_《-a-2)】 6分 ①当a≤0时，对任意的x>0,x-a>0, 当0<x<2,f'(x)<0;当x>2,f'(x)>0, 此时函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增： 7分 ②当0<a<2时， 由f'(x)<0可得a<x<2,由f"(x)>0可得0<x<a或x>2, 此时函数f(x)在(a,2)上单调递减，在(0，a)和(2，+∞)上单调递增： .9分 ③当a=2时，f'(x)≥0恒成立， 此时函数f(x)在(0，+∞)上单调递增： 10分 ④当a>2时 由f'(x)<0可得2<x<a,由f'()>0可得0<x<2或x>a, 此时函数f(x)在(2，a)上单调递减，在(0,2)和(a,+o)上单调递增； 综上所述，当a≤0时，函数∫(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，+∞)； 当0<a<2时，函数f(x)的单调递减区间为(a,2),单调递增区间为(0，a)、(2,+∞)： 当a=2时，f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间： 答案第11页，共12页 当a>2时，函数f(x)的单调递减区间为(2，a),单调递增区间为(0,2)(a,+∞）. 12分 3)e)--=2ar-a+2x. 因为函数(x)有两个零点，，七，不妨设>七>0， 则 2alnx =(a+2) 2alnx2=(a+2)x31 所以 2a(hx-lnx,)=(a+2)(-x3) 2a(hx1+lhx2)=(a+2)(+x) 整理可得 +=+5，即h()=+n点 Inx -Inx2 为 要证书>e,即证ln(k)=文+n支>2， 为1-x2x2 2-1 即证m生 2(-_, X21+X2 +1 X 令t=支>l,即证1nt 2-t>0 t+1 令p(④)=lnt 2,其中1>1，则p04= >0, t+1 1(t+1)1(4+1) 所以函数p()在(1，+)上为增函数，则p(t)>p(1)=0, 即lnt- 2-1,0,即m> 2(t-1) ,故原不等式得证. t+1 t+1 …17分 答案第12页，共12页