第一单元 四则运算（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+9个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共54题-2025-2026学年人教版数学四年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年人教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第一单元 四则运算『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+9个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共54题） 同学你好，该份讲义用于人教新四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 加、减法的意义和各部分间的关系 3 知识点二 和或差的变化规律 4 知识点三 乘、除法的意义和各部分间的关系 4 知识点四 积或商的变化规律 4 知识点五 括号与运算顺序 5 知识点六 租船与租车问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 加、减法的意义和各部分间的关系 6 高频考点二 乘、除法的意义和各部分间的关系 7 高频考点三 0不能作除数 8 高频考点四 带有小括号的混合运算 9 高频考点五 带有中括号的混合运算 10 高频考点六 巧墳算符 11 高频考点七 租船问题 12 高频考点八 购票问题 15 高频考点九 货物运输问题 17 奥数拓展 拔尖冲刺 19 奥数拓展一 加、减法的意义和各部分间的关系 19 奥数拓展二 乘、除法的意义和各部分间的关系 20 奥数拓展三 带有小括号的混合运算 21 奥数拓展四 带有中括号的混合运算 23 奥数拓展五 巧墳算符 24 奥数拓展六 租船问题 25 奥数拓展七 购票问题 28 奥数拓展八 货物运输问题 29 优选真题 实战演练 31 【基础夯实 知识巩固】 31 【拓展提高 能力拔尖】 35 知识点一 加、减法的意义和各部分间的关系 1. 加法 （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 （2）加法各部分间的关系： 和＝加数＋加数；加数＝和－另一个加数。 2. 减法 （1）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，在减法中，已知的和叫做被减数。 （2）减法各部分间的关系：差＝被减数－减数；减数＝被减数－差；被减数＝减数＋差。 3. 减法是加法的逆运算 知识点二 和或差的变化规律 1. 和的规律问题 （1）和不变规律：两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去多少。 （2）和的变化规律：一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少）相同的数。 2. 差的变化规律。 （1）减数不变：若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减数减少多少，差就减少多少。 （2）被减数不变：若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则差增加。 （3）差不变：若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 知识点三 乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 （2）乘法各部分间的关系：积=因数×因数；因数=积÷另一个因数。 2. 除法。 （1）除法是已知两个因数的积和其中的一个因数求另一个因数的运算。 （2）除法各部分间的关系： 商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。 （补充：在有余数的情况下，被除数=商×除数+余数） 3. 除法是乘法的逆运算 知识点四 积或商的变化规律 1. 积的变化规律 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 2. 积不变规律 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 3 商的变化规律 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 4. 商不变规律（商不变性质） 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 知识点五 括号与运算顺序 1. 在四则混合运算中，如果有括号，要先算括号里面的，然后再算乘除，最后再算加减。 2. 在四则混合运算中，如果小括号、中括号都有，要先算小括号，再算中括号，最后算括号外面的。 3. 在四则混合运算中，如果是同级运算，则从左往右依次计算；如果是不带括号的混合运算，则先算乘除，再算加减。 知识点六 租船与租车问题 1. 租车租船问题 租车租船问题也是属于优化问题的一种，要考虑租金和限乘人数，并尽量坐满以减少空位，再进行调整找到最优方案。 2. 解题步骤 （1） 比较单价：计算每种交通工具的人均租金，优先选择单价更低的工具。 （2）初步分配：尽量多租单价低的交通工具，并计算所需数量及剩余人数。 （3）调整优化：通过减少高价工具的数量，尽量消除空座。 （4）验证对比：列出所有可能的方案，计算总费用后选择最优解。 高频考点一 加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽宣城·期末）如果，下列算式中不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】 需要根据已知的，利用被减数、减数和差之间的关系来判断每个选项是否正确。减数＝被减数－差；差＋减数＝被减数。据此解答。 【规范解答】 A．因为，根据被减数－差＝减数，那么，所以选项A正确。 B．由，应该是，而不是，所以选项B错误。 C．因为，那么就等于，所以选项C正确。 D．因为，根据差＋减数＝被减数，，所以选项D正确。 故答案为：B 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东济宁·期末）在一个减法算式中，被减数、减数、差相加的和是8，则被减数是（    ）。 A．2 B．4 C．6 【答案】B 【思路引导】在减法中，被减数＝减数＋差，减数＝被减数－差，差＝被减数－减数；读题可知，被减数＋减数＋差＝8，即减数＋差＋减数＋差＝8，减数＋差＝4。据此解答。 【规范解答】由分析可知，减数＋差＝4，即被减数为4。 在一个减法算式中，被减数、减数、差相加的和是8，则被减数是4。选项B正确。 故答案为：B 高频考点二 乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝( )，密码是( )。 线索：○＋△＝□，△×15＝90，54÷△＝□ 密码：○□△○ 【答案】 3 3963 【思路引导】根据题意，明确加数＋加数＝和，加数＝和－另一个加数；乘数×乘数＝积，乘数＝积÷另一个乘数；被除数÷除数＝商，被除数＝除数×商；根据线索，先通过△×15＝90，求出△的值，再代入54÷△＝□，求出□，最后利用○＋△＝□，求出○。将各符号对应的数字按顺序组合成密码○□△○即可。 【规范解答】根据分析可知： △×15＝90 △＝90÷15＝6 54÷△＝□ □＝54÷6＝9 ○＋△＝□ ○＝□－△ ○＝9－6＝3 乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝3，密码是3963。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江台州·期末）已知算式○÷□＝△（○、□、△均不为0），则下列算式正确的有（    ）个。 ①○÷△＝□        ②△×□＝○ ③○×△＝□        ④△×□＋○＝○＋○ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】根据被除数÷除数＝商，可得其中除数＝被除数÷商，被除数＝商×除数，○是被除数，□是除数，△是商，据此解答即可。 【规范解答】①○÷△＝□，表示被除数÷商＝除数，正确； ②△×□＝○，表示商×除数＝被除数，正确； ③○×△＝□，表示被除数×商＝除数，错误； ④△×□＋○＝○＋○，表示商×除数＋被除数＝被除数＋被除数，正确。 算式正确的有①②④共3个。 故答案为：C 高频考点三 0不能作除数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）下面表述错误的是（    ）。 A．减法是加法的逆运算。 B．在运算中，0不能作除数。 C．我们学过的加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。 D．如果一个算式里既有小括号，又有中括号，要先算中括号里面的，再算小括号里面的，最后算括号外面的。 【答案】D 【思路引导】逐项分析各个选项，判断出错误的选项。 【规范解答】A．减法是加法的逆运算，加法也是减法的逆运算，所以原说法正确。 B．在除法算式中，0不能作除数，所以原说法正确。 C．加减乘除四种运算统称为四则运算，所以原说法正确。 D．同级运算，从左往右依次计算；既有加减、又有乘除，先算乘除、再算加减；有括号，先算括号里面的，既有小括号又中括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的；所以原说法错误。 故答案为：D。 【考点剖析】本题主要考查学生数学基本知识的掌握。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·湖北襄阳·期中）下列说法中，正确的有（    ）个。 ①任何数减0都得原数。    ②任何数加0都得原数。    ③任何数乘0都得原数。 ④任何数除以0都得0。     ⑤两个相同的数的差一定等于0。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】结合0的加减乘除运算规则，逐条判断每句话对错，数出正确数量即可。 【规范解答】①任何数减0都得原数，正确； ②任何数加0都得原数，正确； ③任何数乘0都得0，不是原数，错误； ④0不能作除数，任何数除以0没有意义，错误； ⑤两个相同的数相减，差一定是0，正确。 正确的有①②⑤，共3个。 高频考点四 带有小括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·陕西西安·期末）“乡村印象”餐厅原来平均每月用水49吨，开展节约用水活动后，原来一年的用水量现在可以多用2个月。现在平均每月用水多少吨？ 【答案】 42吨 【思路引导】首先明确一年有12个月，根据原来平均每月用水49吨，利用乘法求出原来一年的总用水量。其次，根据“原来一年的用水量现在可以多用2个月”，计算出现在这些水可以使用的总月数。最后，利用除法，用总用水量除以现在的总月数，即可求出现在平均每月用水的吨数。 【规范解答】 答：现在平均每月用水42吨。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·重庆丰都·期末）四（1）班给同学发作业本，如果每人发18本，就还剩2本；如果每人发20本，就有一位同学没有本子。四（1）班有( )人，一共有( )个本子。 【答案】 11 200 【思路引导】根据题意，当每人发18本时，若有一位同学也没有本子，那么剩下的2本再加上原本要发给这个同学的18本，即还剩下20本。此时两次发作业本时得到作业本的同学人数相等。即每人发18本，还剩20本。每人发20本，一本不剩。也就是剩下的20本正好平均分给这些同学，每人多得（20－18）本。那么分到作业本的同学有20÷（20－18）＝10人。再加上没有分到作业本的同学人数，同学一共有10＋1＝11人。用同学总人数乘18，再加上还剩的2本，求出作业本的总本数。 【规范解答】20÷（20－18） ＝20÷2 ＝10（人） 10＋1＝11（人） 11×18＋2 ＝198＋2 ＝200（个） 四（1）班有11人，一共有200个本子。 【考点剖析】本题关键是将两种情况中分到作业本的同学人数调整为同样的人数，进而明确剩余的20本作业本平均分给这些同学，每人多得到2本。 高频考点五 带有中括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河南郑州·期末）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 75＋25×12÷6            350＋[50×（90－67）] 61＋52＋139＋448            8×（125＋20） 【答案】125；1500 700；1160 【思路引导】①算式中有25，可以把乘数12转化为“3×4”，再让4与25结合来进行简便运算。 ②先算小括号里的，再算中括号里的，最后算中括号外的。 ③利用加法交换律和结合律，把相加能得到整百数的加数优先结合在一起。 ④利用乘法分配律简便计算。 【规范解答】75＋25×12÷6 ＝75＋25×4×3÷6 ＝75＋100×3÷6 ＝75＋300÷6 ＝75＋50 ＝125 350＋[50×（90－67）] ＝350＋[50×23] ＝350＋1150 ＝1500 61＋52＋139＋448 ＝（61＋139）＋（52＋448） ＝200＋500 ＝700 8×（125＋20） ＝8×125＋8×20 ＝1000＋160 ＝1160 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·江西上饶·期末）脱式计算。 125×48－3000         （546－294）÷36        720÷[（12＋24）×2] 【答案】3000；7；10 【思路引导】（1）先算乘法，再算减法； （2）先算小括号里的减法，再算小括号外的除法； （3）先算小括号里的加法，再算中括号里的乘法，最后算中括号外的除法。 【规范解答】125×48－3000 ＝6000－3000 ＝3000 （546－294）÷36 ＝252÷36 ＝7 720÷[（12＋24）×2] ＝720÷[36×2] ＝720÷72 ＝10 高频考点六 巧墳算符 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）填上运算符号使等式成立。（友情提示：先算小括号内后算中括号内。） 6   2   4   3  ＝24             7    2    6    3  ＝18 【答案】（6－2＋4）×3＝24；（7＋2）×6÷3＝18 【思路引导】解答此题应根据数的特点，四则混合运算的运算顺序，进行尝试凑数即可解决问题。 【规范解答】因为8×3＝24，所以只要6  2  4能凑成8即可，因为6－2＋4＝8，所以填上运算符号如下，因为6－2＋4要先算，所以要加小括号： （6－2＋4）×3 ＝8×3 ＝24 因为9×2＝18，所以只要能凑成9×2即可。因为7＋2＝9，6÷3＝2，所以填上运算符号如下，因为要先算7＋2，所以7＋2要有小括号： （7＋2）×6÷3 ＝9× ＝18 【考点剖析】此题考查对运算符号的熟练运用，有一定的技巧性，关键是掌握整数的四则混合运算。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）加上合适的运算符号（包括括号），使算式成立。 【答案】（7＋7）÷7×7÷7＝2 【思路引导】在这几个数中加入“＋”、“－”、“×”、“÷”符号，以及括号，只要使计算结果等于2即可，14÷7＝2，因此最后一步算除法，根据混合运算的计算顺序解答即可。 【规范解答】（7＋7）÷7×7÷7 ＝14÷7×7÷7 ＝2×7÷7 ＝14÷7 ＝2 即（7＋7）÷7×7÷7＝2。 【考点剖析】此题考查的是对运算符号的熟练运用，熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。 高频考点七 租船问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）文物和文化遗产承载着中华民族的基因和血脉，是不可再生、不可替代的中华优秀文明资源。河南博物院创建于1927年，是我国成立较早的博物馆之一。我校24名老师带领310名同学去参观河南博物院，怎样租车最省钱？ 【答案】租9辆大巴和1辆中巴；4065元 【思路引导】根据题意可知，分别计算出大巴车和中巴车每人的租金，比较哪种车单人租金更便宜，优先选择单人租金便宜的车；再结合总人数确定租车方案，通过计算不同方案的费用，找出最省钱的租车方式。 【规范解答】420÷35＝12（元 /人） 285÷19＝15（元 /人） 所以大巴车的单人租金更便宜，所以应优先选择大巴车； 24＋310＝334（人） 方案一：全租大巴车 334÷35＝9（辆）⋯⋯19（人） 9＋1＝10（辆） 420×10＝4200（元） 方案二：租9辆大巴车和1辆中巴车 420×9＋285×1 ＝3780＋285 ＝4065（元） 4065＜4200 答：租9辆大巴和1辆中巴最省钱，共花费4065元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）小东一家到洛阳当地报了一个旅行团，共有28人，要租电瓶车游览国花园。现在有大、小两种电瓶车可以选择。 （1）小东列出了算式“28÷4×60＝420（元）” 这个算式解决的问题是：________________。 （2）怎样租车最省钱？需要多少钱？ 价目表 大电瓶车 小电瓶车 限乘客6人租车费80元/辆 限乘客4人租车费60元/辆 【答案】（1）28个人全部租用小电瓶车需要多少钱。 （2）租4辆大电瓶车，1辆小电瓶车最省钱，需要380元。 【思路引导】（1）小东列的算式：28÷4表示28里有几个4，也就是需要租几辆小电瓶车，再乘60表示租小电瓶车需要多少钱。所以这个算式解决的问题是：28个人全部租用小电瓶车需要多少钱。 （2）有几种租车方案：全部租用小电瓶车，全部租用大电瓶车，先尽量租大电瓶车，不足一辆大电瓶车的人改租小电瓶车；分别计算费用再比较，找出最省钱的方案。 【规范解答】由分析可得： （1）28÷4×60＝420（元）中28÷4计算需要租几辆小电瓶车，再乘每辆车的费用，计算28个人全部租用小电瓶车需要多少钱。这个算式解决的问题是：28个人全部租用小电瓶车需要多少钱。 （2）全部租用小电瓶车： 28÷4×60 ＝7×60 ＝420（元） 全部租用大电瓶车： 28÷6＝4（辆）……4（人） 4＋1＝5（辆） 5×80＝400（元） 先租大电瓶车，不足一辆大电瓶车的人改租小电瓶车： 28÷6＝4（辆）……4（人） 4÷4＝1（辆） 4×80＋1×60 ＝320＋60 ＝380（元） 420元＞400（元）＞380（元） 因此：租4辆大电瓶车，1辆小电瓶车最省钱。 答：租4辆大电瓶车，1辆小电瓶车最省钱，需要380元。 高频考点八 购票问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北廊坊·期末）某动物园门票有以下两种售卖方案。 方案一：成人180元/人，儿童60元/人。 方案二：团体6人及6人以上120元/人。 （1）若有5个成人和2个儿童，怎样购票更划算？ （2）若有2个成人和5个儿童，怎样购票更划算？ 【答案】（1）5名成人和1名儿童买团体票，剩下1名儿童买儿童票；780元 （2）2名成人买成人票，5名儿童买儿童票；660元 【思路引导】由题意得，成人每人180元，儿童每人60元，而团体票每人120元，对于成人来讲，买团体票更划算，而对于儿童来讲，买儿童票更划算。所以，最优的方案应该是让成人尽可能享受到团体票的优惠，而儿童就买儿童票即可。 （1）方案一：5名成人买成人票，2名儿童买儿童票； 方案二：5名成人和2名儿童一起买团体票； 方案三：5名成人和1名儿童买团体票，剩下1名儿童买儿童票； 分别算出各种方案需要的钱数，然后比较大小即可。 （2）方案一：2名成人买成人票，5名儿童买儿童票； 方案二：2名成人和5名儿童一起买团体票； 方案三：2名成人和4名儿童买团体票，剩下1名儿童买儿童票； 分别算出各种方案需要的钱数，然后比较大小即可。 【规范解答】（1）方案一：5名成人买成人票，2名儿童买儿童票； 180×5＋60×2 ＝900＋120 ＝1020（元） 方案二：5名成人和2名儿童一起买团体票； （5＋2）×120 ＝7×120 ＝840（元） 方案三：5名成人和1名儿童买团体票，剩下1名儿童买儿童票； （5＋1）×120＋1×60 ＝6×120＋60 ＝720＋60 ＝780（元） 780＜840＜1020 答：5名成人和1名儿童买团体票，剩下1名儿童买儿童票最划算。 （2）方案一：2名成人买成人票，5名儿童买儿童票； 180×2＋60×5 ＝360＋300 ＝660（元） 方案二：2名成人和5名儿童一起买团体票； （2＋5）×120 ＝7×120 ＝840（元） 方案三：2名成人和4名儿童买团体票，剩下1名儿童买儿童票； （2＋4）×120＋1×60 ＝6×120＋60 ＝720＋60 ＝780（元） 660＜780＜840 答：2名成人买成人票，5名儿童买儿童票最划算。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·江西上饶·期中）6位老师带领69名学生去公园游玩，怎样买票省钱？最少需多少元？ 票价：成人15元/人，学生10元/人 团体票（50人及以上）：11元/人 【答案】老师买成人票，学生买学生票比较省钱；780元 【思路引导】6位老师带领69名学生去公园游玩，是6个成人，和69名学生； 方案一：购买6张成人票和69张学生票； 方案二：购买6＋69＝75张团体票； 方案三：买团体票每人11元，成人是优惠了（15＞11），但学生其实是贵了（10＜11），因此可以让六位老师和一部分学生构成一个团体，购买50张团体票；剩下的学生购买儿童票； 比较三个方案各需要的钱数，找出最便宜的即可。 【规范解答】（1）老师买成人票，学生买学生票； 15×6＋10×69 ＝90＋690 ＝780（元） （2）11×（6＋69） ＝11×75 ＝825（元） （3）50×11＋（69＋6－50）×10 ＝550＋250 ＝800（元） 780＜800＜825 答：老师买成人票，学生买学生票比较省钱，需要780元。 高频考点九 货物运输问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江台州·期末）如图，货运公司要运送46吨货物，不同载重量的汽车运输价格不同，怎样安排最省钱？最少要多少钱？ 【答案】大货车运输8次，小货车运输2次最省钱；1680元 【思路引导】大货车每吨运输费为180÷5＝36（元），小货车每吨运输费为120÷3＝40（元），通过比较大货车运输更便宜，尽量大货车运送，则46吨货物需要运输的次数为46÷5＝9（次）……1（吨），尽量装满最省钱；据此逐步调整大货车和小货车的数量，使得在尽量使用大货车的情况下且正好装满；根据总价＝大货车运输次数×大货车运输费＋小货车运输次数×小货车运输费；据此分析解答。 【规范解答】180÷5＝36（元） 120÷3＝40（元） 36＜40，所以尽可能的大货车运输便宜。 46÷5＝9（次）……1（吨） 9＋1＝10（次） 方案一：大货车运输10次。 10×180＝1800（元） 方案二：大货车运输9次，小货车运输1次。 9×180＋120 ＝1620＋120 ＝1740（元） 9－1＝8（次） 46－5×8 ＝46－40 ＝6（吨） 6÷3＝2（次） 方案三：大货车运输8次，小货车运输2次，正好装满。 8×180＋120×2 ＝1440＋240 ＝1680（元） 1800＞1740＞1680 答：大货车运输8次，小货车运输2次最省钱，最少要1680元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·湖南永州·期末）某公司有38吨货物要从零陵运往冷水滩。用载质量为6吨的大货车运，每辆运费是180元：用载质量为4吨的小货车运，每辆运费是160元。怎样租车最省钱？最少需要多少元？ 【答案】 租5辆大货车和2辆小货车；1220元 【思路引导】根据题意，先求出大货车、小货车每吨的租金，比较后可知租大货车便宜，设计方案时尽可能租大货车，且满载。根据单价×数量＝总价，计算各方案的费用，最后比较得出最省钱的租车方案。 【规范解答】根据分析可知： 180÷6＝30（元） 160÷4＝40（元） 30＜40，租大货车便宜，尽可能租大货车，且满载。 方案一：尽可能租大货车 38÷6＝6（辆）……2（吨） 租6辆大货车，剩余的2吨，租一辆小货车。 需付：6×180＋160 ＝1080＋160 ＝1240（元） 方案二：租5辆大货车 38－5×6 ＝38－30 ＝8（吨） 8÷4＝2（辆） 剩下的8吨，租2辆小货车。 需付：5×180＋2×160 ＝900＋320 ＝1220（元） 1220＜1240 答：租5辆大货车和2辆小货车最省钱。最少需要1220元。 奥数拓展一 加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）已知被减数、减数与差的和是220，则被减数是( )，已知减数是30，那么差是( )。 【答案】 110 80 【思路引导】根据被减数等于差加减数，三者的和是220，要求被减数可以把差加减数转化成被减数，即可得到2个被减数的和等于220，所以被减数就是110；被减数是110，减数是30，那么差可以用三者的和减被减数和减数的和，也可以用被减数减去减数得到，据此解答。 【规范解答】 已知被减数、减数与差的和是220，则被减数是（110），已知减数是30，那么差是（80）。 【考点剖析】熟练掌握减法中各部分数量之间的关系并灵活运用是解答本题的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是480，差是减数的4倍，减数是( )。 【答案】48 【思路引导】被减数等于减数加差，所以被减数、减数与差的和除以2等于被减数，被减数除以1加4的和等于减数。 【规范解答】480÷2÷（1＋4） ＝240÷5 ＝48 【考点剖析】本题主要考查学生对减法各部分间关系、和倍问题解题方法的掌握和灵活运用。 奥数拓展二 乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·全国·课后作业）霄霄在计算94－□×5÷10时没有注意运算顺序，按从左往右的顺序计算，结果得42。这道题的正确结果是多少？ 【答案】89 【思路引导】由题目可知，94－□×5÷10按照从左往右的运算顺序计算，最终结果是42，则我们可以从结果倒退，运用逆运算，先计算出这个完整的算式是多少，再根据正确的运算顺序进行计算，即可算出这道题的正确结果是多少。据此解答。 【规范解答】42×10÷5 ＝420÷5 ＝84 94－84＝10 算式为：94－10×5÷10 94－10×5÷10 ＝94－50÷10 ＝94－5 ＝89 答：这道题的正确结果是89。 【考点剖析】本题主要考查乘除法间的关系，解决此题的关键是能够从结果入手，正确推导出□里的数。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）△和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 【答案】D 【思路引导】因△＋□＝150，□＝150－△，把□代入，△÷□＝5，就可求出它的值，据此解答。 【规范解答】△＋□＝150 □＝150－△ 把□代入，△÷□＝5得： △÷（150－△）＝5 △÷（150－△）×（150－△）＝5×（150－△） △＝750－5△ △＋5△＝750－5△＋5△ 6△÷6＝750÷6 △＝125 故答案为：D 【考点剖析】本题考查了学生对等量代换的初步认识。 奥数拓展三 带有小括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·重庆黔江·期末）新村社区原来种植桂花树的棵树是香樟树的3倍。现在又计划种植60棵桂花树和80棵香樟树，那么桂花树的总棵数将是香樟树的2倍。社区原来种植的桂花树和香樟树各有多少棵？ 【答案】桂花树300棵；香樟树100棵 【思路引导】假设按原倍数种植新树的情况：因为原来桂花树棵数是香樟树的3倍，若新种植时仍保持这个倍数关系，在新种80棵香樟树的情况下，应新种桂花树80×3＝240棵。但实际只新种了60棵桂花树，比假设少种了240－60＝180棵。而种植后桂花树变成香樟树的2倍，少种的这180棵桂花树使得倍数从假设的3倍变为实际的2倍，也就是少了香樟树新种植后的1倍。所以种植后香樟树的数量就是180棵。因为新种了80棵香樟树后是180棵，那么原来香樟树的数量为180－80＝100棵。原来桂花树的数量是100×3＝300棵。据此作答。 【规范解答】（80×3－60）÷（3－2）－80 ＝（ 240－60 ）÷1－80 ＝180÷1－80 ＝180－80 ＝100（棵） 100×3＝300（棵） 答：社区原来种植的桂花树有300棵，香樟树有100棵。 【考点剖析】这是一道倍数关系的应用题，解题关键在于通过分析原来和变化后的倍数关系，找出数量差与倍数差的联系来求解。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·课后作业）某动物园门票分为普通票、学生票和团体票。学校8名老师带领122名学生去动物园游玩，如何购票最省钱？ 【答案】8名老师和2名学生合买团体票，其余学生买学生票 【思路引导】先分别计算不同购票方案的总费用，再比较各方案费用的多少，选择费用最低的方案。 【规范解答】方案一：8名老师买普通票，122名学生买学生票。 （元） 方案二：8名老师和122名学生一起买团体票。 （元） 方案三：8名老师和2名学生合买团体票，其余学生买学生票。 （元） 答：按方案三购票最省钱。 【考点剖析】本题是求最佳方案，需要把每种方案计算出来，再选择价格最低的方案。 奥数拓展四 带有中括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级上·全国·课后作业）一群松鼠共108只，在一起吃草莓，每只大松鼠分到15个草莓，每只小松鼠分到12个草莓。草莓刚分完，小松鼠很快就把草莓吃完了，又要求再给每只小松鼠分3个草莓，每只大松鼠只得拿出3个草莓，满足每只小松鼠再吃3个草莓的要求之后，还剩余24个草莓。这群松鼠一共有多少个草莓？ 【答案】1470个 【思路引导】已知松鼠的和（总数）是108只，又由题目“每只大松鼠只得拿出3个草莓，满足每只小松鼠再吃3个草莓的要求之后，还剩余24个草莓”，可确定大松鼠比小松鼠多，并且可算出大、小松鼠之差是24÷3＝8（只）；（两数之和＋两数之差）÷2＝较大的数，随后可用和差倍的公式把大松鼠的只数求出，再用减法求出小松鼠的只数；用大松鼠的只数乘15个计算出大松鼠分到的草莓个数，用小松鼠的只数乘12个计算出小松鼠分到的草莓个数，最后将两个结果相加，计算出草莓的总个数；据此解答。 【规范解答】大松鼠只数： [108＋（24÷3）]÷2 ＝[108＋8]÷2 ＝116÷2 ＝58（只） 小松鼠只数：108－58＝50（只） 草莓总数： 15×58＋12×50 ＝870＋600 ＝1470（个） 答：这群松鼠一共有1470个草莓。 【考点剖析】本题关键先求出大、小松鼠的只数，以及掌握和差倍问题的计算方法，是解答本题的关键。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）给下面的算式派上恰当的数学符号，使等式成立。 30  2  3  6＝1 32  16  8  40＝1 5  7  3  32＝1 45  5  8  5＝1 【答案】见详解 【思路引导】可以先观察数字，联想数字之间的联系再确定数学符号，如：30  2  3  6＝1，算式里有30，有6，如果有5和6相乘就等于30，30除以30就等于1，所以要先把2和3加起来得到5，再算5乘6得到30，最后算30除以30．即给加法添上小括号，给加法和乘法添上中括号，得到30÷[（2＋3）×6]＝1．以此类推解出第二、三、四个算式。 【规范解答】本题答案不唯一，如： 30÷[（2＋3）×6]＝1     （32＋16－8）÷40＝1 （5×7－3）÷32＝1          45÷（5×8＋5）＝1 【考点剖析】完成此类题目，可在分析数据的基础上试着添加计算，最后得出正确答案。 奥数拓展五 巧墳算符 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）填上适当的运算符号可以添括号，使等式成立。 5____8____16____4____2＝20 【答案】 × ÷（ ÷ ）× 【思路引导】20可以通过10乘2得到，2是现成的，用5、8、16、4凑成10即可。 【规范解答】5×8÷（16÷4）×2 ＝5×8÷4×2 ＝5×8÷4×2 ＝40÷4×2 ＝10×2 ＝20 【考点剖析】本题考查的是横式谜，构造算式的方法一般不唯一，只要能够得到正确的结果即可。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）巧添运算符号和括号，使等式成立。 5  5  5  5  5＝0      5  5  5  5  5＝1      5  5  5  5  5＝7 【答案】；； 【思路引导】根据整数的四则混合运算顺序，和括号的意义，灵活选择。 【规范解答】要想结果为0，可以是任意一个数乘0得0，例如；要想结果为1，可以是两个相同的数相除，例如；要想结果为7，可以由得出，例如。也可用其他方法推理得出。 【考点剖析】本题可以用尝试法解答，答案不唯一，认真审题计算即可。 奥数拓展六 租船问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·浙江嘉兴·期末）运动会闭幕式上四年级（1）班准备了闭幕演出，老师需要给同学们订做50套演出服，需要整卷买布。大卷布每卷480元，可以做8套演出服；小卷布每卷350元，可以做5套演出服。怎样买布最省钱？ 【答案】买5卷大布和2卷小布最省钱 【思路引导】先根据大、小卷布平均每套的单价＝总价÷可以做的套数，求出大小卷布的单价，然后比较大小，尽量选择单价便宜的布料；然后用总套数50套除以最便宜的布料每卷可做的套数，得到需要几卷余几套，再把余下的几套考虑买另一种布料；如果最终仍有剩余，需要考虑调整方案，做到尽量多买最便宜的布料，又让两种布料剩余最少甚至没有剩余，才是最省钱的方案；最后根据总价＝大卷布的单价×大卷布卷数＋小卷布的单价×小卷布卷数，求出最省钱的结果，再进行比较确定最省钱的方案。 【规范解答】大卷布单价：480÷8＝60（元） 小卷布单价：350÷5＝70（元） 60＜70，所以优先选择大卷布； 方案一： 50÷8＝6（卷）……2（套） 首先考虑买6卷大卷布和1卷小卷布，小卷布有剩余的套数：5－2＝3（套）； 总价： 6×480＋1×350 ＝2880＋350 ＝3230（元） 方案二： 因小卷布有剩余，需要调整方案，少1卷大卷布； 大卷布的卷数为：6－1＝5（卷） 剩余套数为： 50－5×8 ＝50－40 ＝10（套） 小卷布的卷数为：10÷5＝2（卷） 调整方案后买5卷大卷布和2卷小卷布没有剩余； 总价： 5×480＋2×350 ＝2400＋700 ＝3100（元） 3100＜3230 答：买5卷大布和2卷小布最省钱。 【考点剖析】此题考查的是优化问题的计算，要使买布最省钱，则应尽量多买最便宜的一种布料，并且使两种布料都没有剩余。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河南郑州·期中）为了增长学生的航天知识，激起青少年们对科学的热爱，对航天事业的向往。26名老师带领四年级314名学生去航空科普馆参观。请你帮他们算一算，怎样租车花费最少？最少要付多少元租车费？ （1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车（    ），还要尽可能使座位都（    ）。 （2）我这样解答。 （3）航空科普馆门票如图所示，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 【答案】（1）便宜；坐满 （2）7辆大车和2辆小车；7700元 （3）26张团体票和314张学生票；10460元 【思路引导】（1）要使所用钱数最少，那么不仅要考虑哪种车便宜，还要尽可能坐满； （2）总价÷数量＝单价，分别用两种车的总价，除以两种车限坐的人数，计算出两种车各自的单价；计算发现多坐大车且坐满最划算，用老师和学生的总人数，除以40计算出的商就是大车的辆数，计算发现余数为20人，不够坐满小车，就用商减去1计算出实际租的大车辆数；而用减去的1辆大车的人数加上余下的20人都去租小车，用这个人数除以30计算出小车的辆数；单价×数量＝总价，分别用两种车的辆数乘各自的单价，计算出两种车各自的总价，再相加即可； （3）第一种：买26张成人票和314张学生票，用26乘50计算出成人票的总价，再用314乘30计算出学生票的总价，最后将两个总价相加；第二种：买（26＋314）张团体票，用26加上314计算出总人数，再乘40计算出（26＋314）张团体票的总价；第三种：50＞40，观察发现团体票的单价比成人票的单价更少，那么可以26名老师买团体票，314名学生买学生票，用26乘40计算出团体票的总价，314乘40计算出学生票的总价，最后将两个总价相加即可；将三种买票方式的总价进行比较，选出最省钱的方案；据此解答。 【规范解答】（1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车便宜，还要尽可能使座位都坐满。 （2）小车单价：700÷30＝23（元）……10（元） 大车单价：900÷40＝22（元）……20（元） 23＞22，多坐大车且坐满 大车辆数： （26＋314）÷40 ＝340÷40 ＝8（辆）……20（人） 8－1＝7（辆） 小车辆数： （40＋20）÷30 ＝60÷30 ＝2（辆） 总费用： 7×900＋2×700 ＝6300＋1400 ＝7700（元） 答：租7辆大车和2辆小车花费最少，最少要付7700元租车费。 （3）第一种：买26张成人票和314张学生票 26×50＋314×30 ＝1300＋9420 ＝10720（元） 第二种：买340张团体票 （26＋314）×40 ＝340×40 ＝13600（元） 第三种：买26张团体票和314张学生票 26×40＋314×30 ＝1040＋9420 ＝10460（元） 13600＞10720＞10460 答：买26张团体票和314张学生票最省钱，最少要花10460元。 【考点剖析】租车问题要注意，尽量不空座位最省钱；掌握单价、数量和总价之间的关系，是解答本题的关键。 奥数拓展七 购票问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西延安·期中）一个旅行团有12人，他们到植物园游玩，植物园门票有两种购票方式（如下表）。为了省钱，他们选择了团体购票的方式，这个旅行团至少有几个成人？请你通过计算说明。 方式一：成人每人80元，儿童每人45元。 方式二：团体10人及以上，每人65元。 【答案】 7个 【思路引导】解题的关键在于理解“为了省钱，选择了团体购票”意味着团体购票的总费用低于单独购票的总费用。首先计算团体购票的总费用；再利用假设法，假设 12 人全是儿童，计算单独购票的最低费用；然后比较团体费用与全儿童单独费用的差额，分析需要多少成人替换儿童才能使单独购票费用超过团体费用。根据每人票价差，计算所需的最少成人数量。 【规范解答】12人选择团体票的总费用：12×65＝780（元） 12人全是儿童的费用：12×45＝540（元） 780－540＝240（元） 80－45＝35（元） 240÷35＝6（人）……30（元） 6＋1＝7（人） 验证：当有7个成人时，儿童有12－7＝5（人）。 单独购票费用：   7×80＋5×45 ＝560＋225 ＝785（元） 785＞780，此时团体购票更省钱，符合题意。 答：这个旅行团至少有7个成人。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西安康·阶段检测）一个旅游团共16人去某景区游玩，其中儿童有6人。下面是该景区门票价格，最划算的方案是（    ）。 购票须知 成人票：50元/人 儿童票：25元/人 团体票：12人以上（包括12人），35元/人 A．购买16张团体票 B．购买10张成人票和6张儿童票 C．购买15张团体票和1张儿童票 D．购买12张团体票和4张儿童票 【答案】D 【思路引导】先根据总人数和儿童人数求出成人人数，再分别计算四种购票方案的总费用，最后比较各方案总费用的大小，费用最低的方案即为最划算的方案。 【规范解答】成人人数：（人） A．购买16张团体票，总费用为（元）； B．购买10张成人票和6张儿童票，总费用为（元）； C．购买15张团体票和1张儿童票，总费用为（元）； D．购买12张团体票和4张儿童票，总费用为（元）。 因为，所以方案D最划算。 奥数拓展八 货物运输问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东日照·期末）在电商“爱心助农”活动的热潮下，知夏家种植的大樱桃成为热销产品。一位热心消费者下单了50千克新鲜采摘的大樱桃，准备将这份甜蜜分享给亲友。知夏家仓库现有两种包装规格的纸箱。为了在保障樱桃品质的同时，尽可能减轻消费者的负担，知夏家怎样选择包装组合最节省运费？最少需要支付多少运费？ 小号纸箱 每个能装4千克 每个运费12元 大号纸箱 每个能装8千克 每个运费16元 【答案】6个大号纸箱1个小号纸箱；108元 【思路引导】小号纸箱平均每千克运费用：12÷4＝3（元），大号纸箱平均每千克运费用：16÷8＝2（元），大号纸箱运费更便宜，所以应该先尽可能多使用大号纸箱。用50千克除以8千克，计算出的商为大号纸箱的数量，余下的装小号纸箱，发现不能装满，可以拿出1个大号纸箱的千克数，那么商减去1为大号纸箱实际的数量，用余下的加上1个大号纸箱的千克数，除以4千克计算出小号纸箱的数量，最后分别用乘法计算出两种纸箱的总价，再相加即可，据此解答。 【规范解答】12÷4＝3（元） 16÷8＝2（元） 所以尽可能使用大号纸箱，   50÷8＝6（个）…2（千克）    6×16＋12 ＝96＋12 ＝108（元） 发现不能装满，所以拿出一个大号纸箱8千克的数量，大号纸箱用6－1＝5（个） 8＋2＝10（千克） 10÷4＝2（个）……2（千克） 2＋1＝3（个） 5×16＋3×12 ＝80＋36 ＝116（元） 108＜116 所以用6个大号纸箱1个小号纸箱更节省。 答：知夏家用6个大号纸箱1个小号纸箱最节省运费，最少需要支付108元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·湖南长沙·期末）一个农场有48吨稻谷要运回粮仓，有两种车可以选择，一种限载5吨的小货车和一种限载8吨的大货车，小货车每次运费600元，大货车每次运费800元。怎样租车最省钱？一共需要运费多少元？ 【答案】租6辆大货车；4800元 【思路引导】小货车限载5吨，每次运费600元，那么每吨需要运费：600÷5＝120（元）。大货车限载8吨，每次运费800元，那么每吨需要运费：800÷8＝100（元）。对比可知，大货车更便宜。在货物全部装满的情况下，租大货车更便宜。然后直接用48除以8算出需要租几辆大货车，最后用需要大货车的辆数乘上800元即可得到一共需要运费多少元。 【规范解答】600÷5＝120（元） 800÷8＝100（元） 120元＞100元，即租大货车更便宜。 48÷8＝6（辆） 800×6＝4800（元） 答：租6辆大货车最省钱，一共需要运费4800元。 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·河北承德·期末）四年级同学参加植树活动，男生有64人，女生有56人，平均分成8组，每组有多少人？列式正确的是（    ）。 A．（64＋56）÷8 B．64＋56÷8 C．64÷8＋56 【答案】A 【思路引导】根据题目信息，先利用加法计算男生和女生总人数，根据总人数÷组数＝每组人数，利用除法计算得出答案。 【规范解答】计算总人数列式为：； 计算每组人数列式为：； 故答案为：A 2．（25-26四年级上·湖北荆州·期末）下列有四种数量关系，其中描述错误的是（    ）。 A．总价÷单价＝数量 B．单价×数量＝总价 C．路程×速度＝时间 D．速度×时间＝路程 【答案】C 【思路引导】每件物品的价格是单价，买多少是数量，用多少钱就是总价。在单价×数量＝总价的关系中，总价是积，单价和数量都是因数。根据乘、除法各部分之间的关系可知：因数＝积÷另一个因数； 每小时、每分……行驶的距离是速度，行驶几小时是时间，走的总距离就是路程。在速度×时间＝路程的关系中，路程是积，速度和时间都是因数。根据乘、除法各部分之间的关系可知：因数＝积÷另一个因数。 【规范解答】A．总价÷单价＝数量，原数量关系正确； B．单价×数量＝总价，原数量关系正确； C．路程×速度＝时间，原数量关系错误； D．速度×时间＝路程，原数量关系正确。 3．（24-25四年级下·海南三亚·期末），列出算式是（    ）。 A．（235－153＋368）÷25 B．235－153＋368÷25 C．（235－153）＋368÷25 D．235－（153＋368）÷25 【答案】A 【思路引导】根据运算顺序，第一步计算235减153，第二步将结果加368，第三步将结果除以25。因此，综合算式需先进行减法和加法运算（同级运算，从左到右），最后进行除法运算。为确保运算顺序正确，需用括号将减法和加法部分括起。 【规范解答】第一步：235－153＝82 第二步：82＋368＝450 第三步：450÷25＝18 综合算式为：（235－153＋368）÷25 计算过程： （235－153＋368）÷25 ＝（82＋368）÷25 ＝450÷25 ＝18 故答案为：A 4．（25-26四年级上·陕西渭南·期末）计算[150－（48＋2）]÷2时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 【答案】 加 减 除 【思路引导】整数四则混合运算的运算顺序是同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的。 【规范解答】计算[150－（48＋2）]÷2时，先算加法，再算减法，最后算除法。 5．（25-26四年级上·浙江温州·期末）根据12345679×9＝111111111，直接写出下面算式的结果。12345679×36＝( )，666666666÷12345679＝( )。 【答案】 444444444 54 【思路引导】在乘法算式里，两个因数都不为0时，一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几计算出12345679×36的结果，根据以上规律，再根据一个因数＝积÷另一个因数，据此求出666666666÷12345679的结果。 【规范解答】9×4＝36，111111111×4＝444444444，即12345679×36＝444444444； 9×6＝54，111111111×6＝666666666，即12345679×54＝666666666，故：666666666÷12345679＝54。 6．（25-26四年级上·重庆南岸·期末）旅行团共12个成人，他们计划从福州乘高铁到厦门游玩，车票信息如图。请你算一算，他们买车票（单程）至少需要( )元。 【答案】1412 【思路引导】根据题图可知，三种票的票价，将三种票的钱数比较大小可知，二等票最便宜，其次是一等票，最贵是商务票。要想购票钱数最少，则尽量多的购买二等票。二等票只有11张，则购买11张二等票，再购买12－11＝1（张）一等票即可。根据总价＝单价×数量，求出购买二等票的钱数和购买一等票的钱数。再将两个钱数加起来即可解答。 【规范解答】112×11＝1232（元） （12－11）×180 ＝1×180 ＝180（元） 1232＋180＝1412（元） 7．（24-25四年级下·河北邢台·期末）158×[（27＋54）÷9]的运算顺序是先算加法，再算除法，最后算乘法。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据四则运算的规则，先算括号内的运算，括号内先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后进行括号外的乘法，据此解答即可。 【规范解答】根据分析可知，158×[（27＋54）÷9]的运算顺序是先算加法，再算除法，最后算乘法。 故答案为：√ 8．先在框里填上合适的数，再列综合算式。 综合算式：______。 【答案】见详解；综合算式： 【思路引导】结合给出的运算顺序，先算乘法，再算减法，最后算加法，由于题干是减去乘法的结果，不需要加括号，被减数放最前面即可。据此写成综合算式计算。 【规范解答】 如图：综合算式为：。 9．（25-26四年级上·甘肃武威·期末）脱式计算。 （624＋342）÷42        32×[（156＋124）÷7]        46×[480÷（24－8）] 【答案】23；1280；1380 【思路引导】（624＋342）÷42，先算括号内的加法，再算除法。 32×[（156＋124）÷7]，先算小括号内的加法，再算中括号的除法，最后算乘法。 46×[480÷（24－8）]，先算小括号内的减法，再算中括号的除法，最后算乘法。 【规范解答】（624＋342）÷42 ＝966÷42 ＝23 32×[（156＋124）÷7] ＝32×[280÷7] ＝32×40 ＝1280 46×[480÷（24－8）] ＝46×[480÷16] ＝46×30 ＝1380 10．（25-26四年级上·陕西咸阳·期末）临近新年，新阳超市购进了35个灯笼和155副春联。 (1)超市购买灯笼一共花了910元，每个灯笼的进价多少元？ (2)超市先以15元每副的价格卖出40副春联，剩下的降价销售，每副12元如果将这些春联全部售出，这些春联一共能卖多少元？ 【答案】(1)26元 (2)1980元 【思路引导】（1）已知购买灯笼的总费用和数量，根据数量关系“单价总价数量”，用总进价除以灯笼个数即可求解； （2）春联的总销售额由两部分组成：先卖出的部分和剩下降价卖出的部分。先求出剩下春联的数量，再分别计算两部分的销售额，最后将两部分销售额相加。 【规范解答】（1）910÷35＝26（元） 答：每个灯笼的进价是26元。 （2）40×15＋（155－40）×12 ＝40×15＋115×12 ＝600＋1380 ＝1980（元） 答：这些春联一共能卖1980元。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·河南濮阳·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．的运算顺序是先乘后除最后减。 B．在没有括号的加减混合运算中，要从左往右依次计算。 C．在一道有括号的算式里，应先算中括号里的，再算小括号里的。 【答案】B 【思路引导】在没有括号的算式中，先乘除后加减，同级运算从左到右；有括号时，先算小括号里的，再算中括号里的。的运算顺序：根据运算规则，应先算除法，再算乘法，最后算减法。因此，顺序是先除后乘最后减，不是先乘后除最后减。在没有括号的加减混合运算中，加法和减法是同级运算，应从左往右依次计算。例如，计算，先算，再算。在一道有括号的算式里，应先算小括号里的，再算中括号里的。以此选择即可。 【规范解答】根据分析可知： A．的运算顺序是先乘后除最后减。错误。 B．在没有括号的加减混合运算中，要从左往右依次计算。正确。 C．在一道有括号的算式里，应先算中括号里的，再算小括号里的。错误。 故答案为：B 2．（24-25四年级下·山东济南·期末）李大伯家有一块长16m，宽8m的长方形菜地，他在菜地中间留了2m宽的路，如果要把菜地平均分成4块（如图所示），那么每块的面积是多少？列式不正确的是（    ）。 A．16×8÷4－16×2÷4 B．[（16－2）÷2]×[（8－2）÷2] C．（16－2）×（8－2）÷4 D．[16×8－（16×2＋8×2－2×2）]÷4 【答案】A 【思路引导】由图可知，两块小长方形菜地的总宽等于大长方形菜地的宽减去路的宽度，即8－2＝6（米），那么一块小长方形菜地的宽为6÷2＝3（米），两块小长方形菜地的总长等于大长方形菜地的长减去路的宽度，即16－2＝14（米），那么一块小长方形菜地的长度为14÷2＝7（米），再根据长方形的面积＝长×宽，求出每块的面积是多少即可。 【规范解答】A．先计算出整块菜地的面积为16×8，再计算出4块菜地总面积为16×8÷4，块菜地总面积比4块菜地实际面积多出的部分是4个长为16米、宽为2米的长方形的面积，即16×2÷4。但实际多出的部分是路的面积，路的面积应该是16×2＋8×2－2×2＝16×2＋12，而不是16×2÷4，所以该选项列式错误。 B．先计算出除去路后菜地的长为16－2，宽为8－2，再分别除以2得到每块菜地的长和宽，即长为（16－2）÷2，宽为（8－2）÷2，最后根据长方形面积公式计算每块菜地面积，该选项列式正确。 C．先计算出除去路后菜地的总面积为（16－2）×（8－2），再将其平均分成4块，得到每块菜地面积，该选项列式正确。 D．先计算出整块菜地的面积为16×8，再减去路的面积16×2＋8×2－2×2，再将其平均分成4块，得到每块菜地面积，该选项列式正确。 故答案为：A 【考点剖析】本题主要理解各选项中列式所表达的意思，从而找出不符合的选项。 3．今年爸爸、妈妈和小倩的年龄之和是80岁，其中爸爸的年龄是小倩的4倍，妈妈比爸爸小1岁。小倩今年（    ）岁。 A．10 B．9 C．8 【答案】B 【思路引导】假设妈妈与爸爸同岁，则爸爸和妈妈的年龄均是小倩的4倍，而三人今年的年龄之和就是（80＋1）岁，且三人年龄之和是小倩今年年龄的（4＋4＋1）倍，根据以上信息即可求出小倩今年的年龄。 【规范解答】（80＋1）÷（4＋4＋1） ＝81÷9 ＝9（岁） 则小倩今年9岁。 故答案为：B。 【考点剖析】本题的关键是假设妈妈和爸爸同岁，进而明确三人年龄之和与小倩年龄之间的倍数关系。 4．（25-26四年级上·湖北恩施·期末）在△－□＝☆中，已知△＋□＋☆＝320，那么△＝( )；在○÷16＝5……◇中，○最大等于( )。 【答案】 160 95 【思路引导】因为在减法算式△－□＝☆中，△是被减数，□是减数，☆是差， 根据减法各部分间的关系可知：△＝□＋☆。 已知△＋□＋☆＝320， 将□＋☆替换为△，可得： △＋△＝320，据此可求出△的值； 有余数的除法算式为：被除数÷除数＝商……余数，其中余数一定小于除数，余数最大是比除数小1的数，根据除数×商＋余数＝被除数，计算即可。 【规范解答】根据分析： △＝□＋☆，△＋□＋☆＝320， 所以△＋△＝320，则△＝320÷2＝160。 16－1＝15 5×16＋15 ＝80＋15 ＝95 则在○÷16＝5……◇中，○最大等于95。 5．（23-24四年级下·湖南株洲·期末）我们已经学过了加、减、乘、除的运算，在许多情况下，我们又常把“有多步含加、减、乘、除的运算”用某种新的符号表示，即定义了新的运算。见到了这种新的符号所定义的运算后，就按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。 例如，设A和B表示非0的整数，如果定义符号“*”表示的运算如下：A*B＝3×A＋4×B，那么根据新运算“*”的定义，就可以计算6*5，如：6*5＝3×6＋4×5＝38 如果定义符号“*”表示的运算如下：A*B＝A÷B×2＋3×A－2，那么根据新运算“*”的定义，就可以计算。 6*3＝6÷3×2＋3×6－2 ＝2×2＋18－2 ＝20 通过阅读，你是不是有所发现了呢，请用你的发现试试计算下面的题： (1)设：A*B＝3×A－B，试计算（4*6）÷2＝( ) (2)设：A*B＝A×B－A－B＋1，试计算（2*6）＋（3*4）＝( )。 【答案】(1)3 (2)11 【思路引导】（1）设：A*B＝3×A－B，那么4*6＝3×4－6，再代入（4*6）÷2中可得（3×4－6）÷2，先算小括号里面的乘法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的除法。 （2）设：A*B＝A×B－A－B＋1，那么2*6＝2×6－2－6＋1，3*4＝3×4－3－4＋1，再代入（2*6）＋（3*4）中可得（2×6－2－6＋1）＋（3×4－3－4＋1），分别计算括号里面的乘法，再分别计算括号里面的减法，最后分别计算括号里面的加法，最后再计算括号外面的加法。 【规范解答】（1）设：A*B＝3×A－B，试计算： （4*6）÷2 ＝（3×4－6）÷2 ＝（12－6）÷2 ＝6÷2 ＝3 （2）设：A*B＝A×B－A－B＋1，试计算： （2*6）＋（3*4） ＝（2×6－2－6＋1）＋（3×4－3－4＋1） ＝（12－2－6＋1）＋（12－3－4＋1） ＝（10－6＋1）＋（9－4＋1） ＝（4＋1）＋（5＋1） ＝5＋6 ＝11 【考点剖析】本题关键是先明确符号“*”表示的运算方法，再进行解答。计算时要注意运算顺序。 6．（24-25四年级下·四川南充·期末）两数相减，被减数增加8，减数减少8，差不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】被减数增加8，如果减数不变，差就增加8；如果减数减少8，被减数不变，差也增加8。被减数增加8，减数减少8，差增加16。 【规范解答】假设原被减数为30，减数为10，则差为30－10＝20 变化后： 被减数：30＋8＝38 减数：10－8＝2 新差：38－2＝36 原差20变为36，差增大16，所以差不变是错误的。 故答案为：× 7．（25-26四年级上·重庆江北·期末）脱式计算下面各题。 （328＋172）×4÷125        （75×2－30）÷12 56×4－56÷4        125×[（612＋88）÷35] 【答案】16；10； 210；2500 【思路引导】（328＋172）×4÷125，先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法，最后计算括号外面的除法； （75×2－30）÷12，先算括号里面的乘法，再算括号里面的减法，最后计算括号外面的除法； 56×4－56÷4，先同时计算乘法和除法，再计算减法； 125×[（612＋88）÷35]，先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后计算中括号外面的乘法。 【规范解答】（328＋172）×4÷125 ＝500×4÷125 ＝2000÷125 ＝16 （75×2－30）÷12 ＝（150－30）÷12 ＝120÷12 ＝10 56×4－56÷4 ＝56×4－56÷4 ＝224－14 ＝210 125×[（612＋88）÷35] ＝125×[700÷35] ＝125×20 ＝2500 8．在○里填上运算符号，使等号两边相等。（可使用括号） 3○3○3○3＝4           3○3○3○3＝5 3○3○3○3＝6           3○3○3○3＝10 【答案】（3×3＋3）÷3＝4；（3＋3）÷3＋3＝5 3＋3＋3－3＝6；3×3＋3÷3＝10 （答案不唯一） 【思路引导】将算式添加运算符号和括号，使等号两边相等即可。 【规范解答】（3×3＋3）÷3 ＝（9＋3）÷3 ＝12÷3 ＝4 （3＋3）÷3＋3 ＝6÷3＋3 ＝2＋3 ＝5 3＋3＋3－3 ＝6＋3－3 ＝9－3 ＝6 3×3＋3÷3 ＝9＋1 ＝10 9．（25-26四年级上·陕西西安·期末）轩轩周末从家出发步行去图书馆，30分钟步行2040米，此时导航显示还需5分钟。 (1)轩轩的步行速度是多少？ (2)轩轩家离图书馆的距离是多少米？ 【答案】(1)68米/分 (2)2380米 【思路引导】（1）已知轩轩步行的路程是2040米，时间是30分钟。根据数量关系式：速度路程时间，即可求出轩轩的步行速度。 （2）要求轩轩家离图书馆的总距离，需要知道步行的速度和总时间。已知步行速度已在第（1）题求出，总时间等于已步行的时间加上还需步行的时间。根据数量关系式：路程速度时间，列综合算式计算即可。 【规范解答】（1）2040÷30＝68（米/分） 答：轩轩的步行速度是68米/分。 （2）68×（30＋5） ＝68×35 ＝2380（米） 答：轩轩家离图书馆的距离是2380米。 10．（23-24四年级下·江西吉安·期末）学校四年级4个班共有202名学生去参观井冈山植物园，每班由2名老师带领。 （1）他们去植物园怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 大客车：800元/辆（限乘50人） 小客车：540元/辆（限乘30人） （2）他们去植物园购票最少需要多少钱？ 成年票：66元/人 学生票：40元/人 团体票（10人及以上）：50元/人 【答案】（1）租3辆大客车和2辆小客车；3480元； （2）8500元 【思路引导】（1）分别用除法计算出两种车每人分别多少元，发现大客车的每人价格更低，多租大客车且坐满最划算；用乘法计算出老师的人数为：4×2＝8（人），用加法计算出总人数为202＋8＝210（人），再除以50，计算出的商为大客车的辆数，发现余下的人数不够坐满1辆小客车，则将1辆大客车的人数凑到余下的人中，那么商减去1为大客车实际的辆数；余下的人除以30，计算出小客车的辆数；最后分别用乘法计算出两种车的总价，再相加即可； （2）第一种：买2×4＝8（张）成人票和202张学生票，分别用乘法计算出两种票的总价，再相加；第二种：买202＋4×2＝202＋8＝210（张）团体票，用乘法计算出总价；第三种：买2×4＋2＝8＋2＝10（张）团体票和202－2＝200（张）学生票，分别用乘法计算出两种票的总价，再相加；最后将三种方法的最后价格进行比较即可，据此解答。 【规范解答】（1）大客车每人：800÷50＝16（元） 小客车每人：540÷30＝18（元） 16＜18，多租大客车且坐满最划算 大客车： （202＋4×2）÷50 ＝（202＋8）÷50 ＝210÷50 ＝4（辆）……10（人） 4－1＝3（辆） 小客车： （50＋10）÷30 ＝60÷30 ＝2（辆） 800×3＋540×2 ＝2400＋1080 ＝3480（元） 答：他们去植物园租3辆大客车和2辆小客车最省钱，最少需要3480元。 （2）第一种：买8张成人票和202张学生票 （2×4×66）＋202×40 ＝528＋8080 ＝8608（元） 第二种：买210张团体票 （202＋2×4）×50 ＝（202＋8）×50 ＝210×50 ＝10500（元） 第三种：买10张团体票和200张学生票 （2×4＋2）×50＋（202－2）×40 ＝（8＋2）×50＋200×40 ＝10×50＋8000 ＝500＋8000 ＝8500（元） 8500＜8608＜10500 答：他们去植物园购票最少需要8500元。 【考点剖析】注意租车问题，要尽量租满且没有空位最划算，以及掌握单价、数量与总价之间的关系，是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学四年级下册期末真题汇编培优讲练 第一单元 四则运算『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+9个考点讲练+8个奥数拓展+真题演练 共54题） 同学你好，该份讲义用于人教新四年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 加、减法的意义和各部分间的关系 3 知识点二 和或差的变化规律 4 知识点三 乘、除法的意义和各部分间的关系 4 知识点四 积或商的变化规律 4 知识点五 括号与运算顺序 5 知识点六 租船与租车问题 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 加、减法的意义和各部分间的关系 6 高频考点二 乘、除法的意义和各部分间的关系 6 高频考点三 0不能作除数 7 高频考点四 带有小括号的混合运算 7 高频考点五 带有中括号的混合运算 7 高频考点六 巧墳算符 8 高频考点七 租船问题 8 高频考点八 购票问题 9 高频考点九 货物运输问题 10 奥数拓展 拔尖冲刺 10 奥数拓展一 加、减法的意义和各部分间的关系 10 奥数拓展二 乘、除法的意义和各部分间的关系 11 奥数拓展三 带有小括号的混合运算 11 奥数拓展四 带有中括号的混合运算 12 奥数拓展五 巧墳算符 12 奥数拓展六 租船问题 12 奥数拓展七 购票问题 13 奥数拓展八 货物运输问题 14 优选真题 实战演练 15 【基础夯实 知识巩固】 15 【拓展提高 能力拔尖】 16 知识点一 加、减法的意义和各部分间的关系 1. 加法 （1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法，相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。 （2）加法各部分间的关系： 和＝加数＋加数；加数＝和－另一个加数。 2. 减法 （1）已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，在减法中，已知的和叫做被减数。 （2）减法各部分间的关系：差＝被减数－减数；减数＝被减数－差；被减数＝减数＋差。 3. 减法是加法的逆运算 知识点二 和或差的变化规律 1. 和的规律问题 （1）和不变规律：两个数相加，一个加数增加多少，要使和不变，另一个加数必须减去多少。 （2）和的变化规律：一个加数增加（或减少）某数，另一个加数不变，和也增加（或减少）相同的数。 2. 差的变化规律。 （1）减数不变：若减数不变，被减数增加多少，那么差就增加多少；减数不变，被减数减少多少，差就减少多少。 （2）被减数不变：若减数增加，被减数不变，则差减少；若减数减少，被减数不变，则差增加。 （3）差不变：若被减数和减数同时增加或减少相同的量，则差不变。 知识点三 乘、除法的意义和各部分间的关系 1. 乘法 （1）求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。 （2）乘法各部分间的关系：积=因数×因数；因数=积÷另一个因数。 2. 除法。 （1）除法是已知两个因数的积和其中的一个因数求另一个因数的运算。 （2）除法各部分间的关系： 商=被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。 （补充：在有余数的情况下，被除数=商×除数+余数） 3. 除法是乘法的逆运算 知识点四 积或商的变化规律 1. 积的变化规律 （1）两个数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘几或除以相同的数。 （2）一个因数乘A，另外一个因数乘B，那么积要乘A和B的积。 （3）一个因数除以A，另外一个因数除以B，那么积要除以A和B的积。 2. 积不变规律 两个数相乘，一个因数乘（或除以）几（0除外），另一个因数除以（或乘）相同的数，则它们的乘积不变。 3 商的变化规律 （1）在除法算式中，除数不变，被除数乘以（或除以）几（0除外），商也要乘（或除以）几。 （2）在除法算式中，被除数不变，除数乘以（或除以）几（0除外），商反而要除以（或乘以）几。 （3）在有余数的除法中，如果被除数和除数都乘（或除以）一个相同的数（0除外），那么余数也随之乘或除以这个数。 4. 商不变规律（商不变性质） 在除法算式中，被除数和除数同时乘以（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，这叫做“商不变规律”（或商不变性质）。 知识点五 括号与运算顺序 1. 在四则混合运算中，如果有括号，要先算括号里面的，然后再算乘除，最后再算加减。 2. 在四则混合运算中，如果小括号、中括号都有，要先算小括号，再算中括号，最后算括号外面的。 3. 在四则混合运算中，如果是同级运算，则从左往右依次计算；如果是不带括号的混合运算，则先算乘除，再算加减。 知识点六 租船与租车问题 1. 租车租船问题 租车租船问题也是属于优化问题的一种，要考虑租金和限乘人数，并尽量坐满以减少空位，再进行调整找到最优方案。 2. 解题步骤 （1） 比较单价：计算每种交通工具的人均租金，优先选择单价更低的工具。 （2）初步分配：尽量多租单价低的交通工具，并计算所需数量及剩余人数。 （3）调整优化：通过减少高价工具的数量，尽量消除空座。 （4）验证对比：列出所有可能的方案，计算总费用后选择最优解。 高频考点一 加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·安徽宣城·期末）如果，下列算式中不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东济宁·期末）在一个减法算式中，被减数、减数、差相加的和是8，则被减数是（    ）。 A．2 B．4 C．6 高频考点二 乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·陕西安康·期末）乐乐忘记了自家大门的密码，爸爸根据乐乐所学的知识给她提供了一些线索，其中○＝( )，密码是( )。 线索：○＋△＝□，△×15＝90，54÷△＝□ 密码：○□△○ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江台州·期末）已知算式○÷□＝△（○、□、△均不为0），则下列算式正确的有（    ）个。 ①○÷△＝□        ②△×□＝○ ③○×△＝□        ④△×□＋○＝○＋○ A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点三 0不能作除数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）下面表述错误的是（    ）。 A．减法是加法的逆运算。 B．在运算中，0不能作除数。 C．我们学过的加、减、乘、除四种运算统称为四则运算。 D．如果一个算式里既有小括号，又有中括号，要先算中括号里面的，再算小括号里面的，最后算括号外面的。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·湖北襄阳·期中）下列说法中，正确的有（    ）个。 ①任何数减0都得原数。    ②任何数加0都得原数。    ③任何数乘0都得原数。 ④任何数除以0都得0。     ⑤两个相同的数的差一定等于0。 A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点四 带有小括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·陕西西安·期末）“乡村印象”餐厅原来平均每月用水49吨，开展节约用水活动后，原来一年的用水量现在可以多用2个月。现在平均每月用水多少吨？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·重庆丰都·期末）四（1）班给同学发作业本，如果每人发18本，就还剩2本；如果每人发20本，就有一位同学没有本子。四（1）班有( )人，一共有( )个本子。 高频考点五 带有中括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·河南郑州·期末）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 75＋25×12÷6            350＋[50×（90－67）] 61＋52＋139＋448            8×（125＋20） 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级上·江西上饶·期末）脱式计算。 125×48－3000         （546－294）÷36        720÷[（12＋24）×2] 高频考点六 巧墳算符 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）填上运算符号使等式成立。（友情提示：先算小括号内后算中括号内。） 6   2   4   3  ＝24             7    2    6    3  ＝18 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）加上合适的运算符号（包括括号），使算式成立。 高频考点七 租船问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）文物和文化遗产承载着中华民族的基因和血脉，是不可再生、不可替代的中华优秀文明资源。河南博物院创建于1927年，是我国成立较早的博物馆之一。我校24名老师带领310名同学去参观河南博物院，怎样租车最省钱？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河南郑州·期末）小东一家到洛阳当地报了一个旅行团，共有28人，要租电瓶车游览国花园。现在有大、小两种电瓶车可以选择。 （1）小东列出了算式“28÷4×60＝420（元）” 这个算式解决的问题是：________________。 （2）怎样租车最省钱？需要多少钱？ 价目表 大电瓶车 小电瓶车 限乘客6人租车费80元/辆 限乘客4人租车费60元/辆 高频考点八 购票问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·河北廊坊·期末）某动物园门票有以下两种售卖方案。 方案一：成人180元/人，儿童60元/人。 方案二：团体6人及6人以上120元/人。 （1）若有5个成人和2个儿童，怎样购票更划算？ （2）若有2个成人和5个儿童，怎样购票更划算？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·江西上饶·期中）6位老师带领69名学生去公园游玩，怎样买票省钱？最少需多少元？ 票价：成人15元/人，学生10元/人 团体票（50人及以上）：11元/人 高频考点九 货物运输问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·浙江台州·期末）如图，货运公司要运送46吨货物，不同载重量的汽车运输价格不同，怎样安排最省钱？最少要多少钱？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·湖南永州·期末）某公司有38吨货物要从零陵运往冷水滩。用载质量为6吨的大货车运，每辆运费是180元：用载质量为4吨的小货车运，每辆运费是160元。怎样租车最省钱？最少需要多少元？ 奥数拓展一 加、减法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）已知被减数、减数与差的和是220，则被减数是( )，已知减数是30，那么差是( )。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是480，差是减数的4倍，减数是( )。 【答案】48 奥数拓展二 乘、除法的意义和各部分间的关系 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·全国·课后作业）霄霄在计算94－□×5÷10时没有注意运算顺序，按从左往右的顺序计算，结果得42。这道题的正确结果是多少？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）△和□分别代表两个数，如果△＋□＝150，△÷□＝5，那么△＝（     ）。 A．25 B．30 C．120 D．125 奥数拓展三 带有小括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·重庆黔江·期末）新村社区原来种植桂花树的棵树是香樟树的3倍。现在又计划种植60棵桂花树和80棵香樟树，那么桂花树的总棵数将是香樟树的2倍。社区原来种植的桂花树和香樟树各有多少棵？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·全国·课后作业）某动物园门票分为普通票、学生票和团体票。学校8名老师带领122名学生去动物园游玩，如何购票最省钱？ 奥数拓展四 带有中括号的混合运算 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级上·全国·课后作业）一群松鼠共108只，在一起吃草莓，每只大松鼠分到15个草莓，每只小松鼠分到12个草莓。草莓刚分完，小松鼠很快就把草莓吃完了，又要求再给每只小松鼠分3个草莓，每只大松鼠只得拿出3个草莓，满足每只小松鼠再吃3个草莓的要求之后，还剩余24个草莓。这群松鼠一共有多少个草莓？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）给下面的算式派上恰当的数学符号，使等式成立。 30  2  3  6＝1 32  16  8  40＝1 5  7  3  32＝1 45  5  8  5＝1 奥数拓展五 巧墳算符 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）填上适当的运算符号可以添括号，使等式成立。 5____8____16____4____2＝20 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️⭐️）巧添运算符号和括号，使等式成立。 5  5  5  5  5＝0      5  5  5  5  5＝1      5  5  5  5  5＝7 奥数拓展六 租船问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·浙江嘉兴·期末）运动会闭幕式上四年级（1）班准备了闭幕演出，老师需要给同学们订做50套演出服，需要整卷买布。大卷布每卷480元，可以做8套演出服；小卷布每卷350元，可以做5套演出服。怎样买布最省钱？ 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·河南郑州·期中）为了增长学生的航天知识，激起青少年们对科学的热爱，对航天事业的向往。26名老师带领四年级314名学生去航空科普馆参观。请你帮他们算一算，怎样租车花费最少？最少要付多少元租车费？ （1）想一想，填一填：解决这类问题不仅要考虑租哪种车（    ），还要尽可能使座位都（    ）。 （2）我这样解答。 （3）航空科普馆门票如图所示，怎样买票最省钱？最少要花多少钱？ 奥数拓展七 购票问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西延安·期中）一个旅行团有12人，他们到植物园游玩，植物园门票有两种购票方式（如下表）。为了省钱，他们选择了团体购票的方式，这个旅行团至少有几个成人？请你通过计算说明。 方式一：成人每人80元，儿童每人45元。 方式二：团体10人及以上，每人65元。 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26四年级下·陕西安康·阶段检测）一个旅游团共16人去某景区游玩，其中儿童有6人。下面是该景区门票价格，最划算的方案是（    ）。 购票须知 成人票：50元/人 儿童票：25元/人 团体票：12人以上（包括12人），35元/人 A．购买16张团体票 B．购买10张成人票和6张儿童票 C．购买15张团体票和1张儿童票 D．购买12张团体票和4张儿童票 奥数拓展八 货物运输问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25四年级下·山东日照·期末）在电商“爱心助农”活动的热潮下，知夏家种植的大樱桃成为热销产品。一位热心消费者下单了50千克新鲜采摘的大樱桃，准备将这份甜蜜分享给亲友。知夏家仓库现有两种包装规格的纸箱。为了在保障樱桃品质的同时，尽可能减轻消费者的负担，知夏家怎样选择包装组合最节省运费？最少需要支付多少运费？ 小号纸箱 每个能装4千克 每个运费12元 大号纸箱 每个能装8千克 每个运费16元 【变式训练】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24四年级下·湖南长沙·期末）一个农场有48吨稻谷要运回粮仓，有两种车可以选择，一种限载5吨的小货车和一种限载8吨的大货车，小货车每次运费600元，大货车每次运费800元。怎样租车最省钱？一共需要运费多少元？ 【基础夯实 知识巩固】 1．（25-26四年级上·河北承德·期末）四年级同学参加植树活动，男生有64人，女生有56人，平均分成8组，每组有多少人？列式正确的是（    ）。 A．（64＋56）÷8 B．64＋56÷8 C．64÷8＋56 2．（25-26四年级上·湖北荆州·期末）下列有四种数量关系，其中描述错误的是（    ）。 A．总价÷单价＝数量 B．单价×数量＝总价 C．路程×速度＝时间 D．速度×时间＝路程 3．（24-25四年级下·海南三亚·期末），列出算式是（    ）。 A．（235－153＋368）÷25 B．235－153＋368÷25 C．（235－153）＋368÷25 D．235－（153＋368）÷25 4．（25-26四年级上·陕西渭南·期末）计算[150－（48＋2）]÷2时，先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 5．（25-26四年级上·浙江温州·期末）根据12345679×9＝111111111，直接写出下面算式的结果。12345679×36＝( )，666666666÷12345679＝( )。 6．（25-26四年级上·重庆南岸·期末）旅行团共12个成人，他们计划从福州乘高铁到厦门游玩，车票信息如图。请你算一算，他们买车票（单程）至少需要( )元。 7．（24-25四年级下·河北邢台·期末）158×[（27＋54）÷9]的运算顺序是先算加法，再算除法，最后算乘法。( )（判断对错） 8．先在框里填上合适的数，再列综合算式。 综合算式：______。 9．（25-26四年级上·甘肃武威·期末）脱式计算。 （624＋342）÷42        32×[（156＋124）÷7]        46×[480÷（24－8）] 10．（25-26四年级上·陕西咸阳·期末）临近新年，新阳超市购进了35个灯笼和155副春联。 (1)超市购买灯笼一共花了910元，每个灯笼的进价多少元？ (2)超市先以15元每副的价格卖出40副春联，剩下的降价销售，每副12元如果将这些春联全部售出，这些春联一共能卖多少元？ 【拓展提高 能力拔尖】 1．（25-26四年级上·河南濮阳·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．的运算顺序是先乘后除最后减。 B．在没有括号的加减混合运算中，要从左往右依次计算。 C．在一道有括号的算式里，应先算中括号里的，再算小括号里的。 2．（24-25四年级下·山东济南·期末）李大伯家有一块长16m，宽8m的长方形菜地，他在菜地中间留了2m宽的路，如果要把菜地平均分成4块（如图所示），那么每块的面积是多少？列式不正确的是（    ）。 A．16×8÷4－16×2÷4 B．[（16－2）÷2]×[（8－2）÷2] C．（16－2）×（8－2）÷4 D．[16×8－（16×2＋8×2－2×2）]÷4 3．今年爸爸、妈妈和小倩的年龄之和是80岁，其中爸爸的年龄是小倩的4倍，妈妈比爸爸小1岁。小倩今年（    ）岁。 A．10 B．9 C．8 4．（25-26四年级上·湖北恩施·期末）在△－□＝☆中，已知△＋□＋☆＝320，那么△＝( )；在○÷16＝5……◇中，○最大等于( )。 5．（23-24四年级下·湖南株洲·期末）我们已经学过了加、减、乘、除的运算，在许多情况下，我们又常把“有多步含加、减、乘、除的运算”用某种新的符号表示，即定义了新的运算。见到了这种新的符号所定义的运算后，就按它所规定的“运算程序”进行运算，直到得出最后结果。 例如，设A和B表示非0的整数，如果定义符号“*”表示的运算如下：A*B＝3×A＋4×B，那么根据新运算“*”的定义，就可以计算6*5，如：6*5＝3×6＋4×5＝38 如果定义符号“*”表示的运算如下：A*B＝A÷B×2＋3×A－2，那么根据新运算“*”的定义，就可以计算。 6*3＝6÷3×2＋3×6－2 ＝2×2＋18－2 ＝20 通过阅读，你是不是有所发现了呢，请用你的发现试试计算下面的题： (1)设：A*B＝3×A－B，试计算（4*6）÷2＝( ) (2)设：A*B＝A×B－A－B＋1，试计算（2*6）＋（3*4）＝( )。 6．（24-25四年级下·四川南充·期末）两数相减，被减数增加8，减数减少8，差不变。( )（判断对错） 7．（25-26四年级上·重庆江北·期末）脱式计算下面各题。 （328＋172）×4÷125        （75×2－30）÷12 56×4－56÷4        125×[（612＋88）÷35] 8．在○里填上运算符号，使等号两边相等。（可使用括号） 3○3○3○3＝4           3○3○3○3＝5 3○3○3○3＝6           3○3○3○3＝10 9．（25-26四年级上·陕西西安·期末）轩轩周末从家出发步行去图书馆，30分钟步行2040米，此时导航显示还需5分钟。 (1)轩轩的步行速度是多少？ (2)轩轩家离图书馆的距离是多少米？ 10．（23-24四年级下·江西吉安·期末）学校四年级4个班共有202名学生去参观井冈山植物园，每班由2名老师带领。 （1）他们去植物园怎样租车最省钱？最少需要多少钱？ 大客车：800元/辆（限乘50人） 小客车：540元/辆（限乘30人） （2）他们去植物园购票最少需要多少钱？ 成年票：66元/人 学生票：40元/人 团体票（10人及以上）：50元/人 第 1 页 共 1 页 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