重难点专题05 二次函数的图象与性质（5大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以五重重难点为框架，系统整合二次函数图象与性质的判定方法、计算技巧及变换规律，形成“概念-性质-应用”的逻辑闭环，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |开口的大小与方向|10题|绝对值比较开口宽窄，符号判断方向|从系数特征到图象直观，建立形数联系| |顶点坐标与对称轴|6题|一般式套公式，顶点式直接读取|从表达式形式到几何特征，强化代数推理| |比较函数值大小|6题|对称轴分界，结合增减性判断|以对称性为核心，发展逻辑分析能力| |二次函数的最值|8题|分区间讨论：顶点或端点取值|从全域到限定范围，提升分类讨论能力| |平移变换|7题|“左加右减自变量，上下平移常数项”|以顶点变化为线索，构建变换规律模型|

重难点专题05 二次函数的图象与性质 重难点一 二次函数开口的大小与方向 1.开口向上，开口向下； 2.数值越大，抛物线开口越窄，比较多个抛物线开口大小只需对比绝对值。 1．下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 3．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 5．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 9．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可） 10．抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 重难点二 求顶点坐标与对称轴 1.一般式套公式，顶点纵坐标代入； 2.顶点式直接读出对称轴、顶点； 3.两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标平均数。 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 3．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 5．抛物线的顶点坐标是_____． 6．抛物线的对称轴为直线________． 重难点三 比较函数值的大小 1.先确定对称轴，对称轴左侧递减、右侧递增，相反； 2.给定自变量区间时，先判断对称轴是否落在区间内，再分段描述增减； 3.比较函数值不用计算，结合增减性直接判断大小。 1．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 5．若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 6．已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 重难点四 求二次函数的最值 1.全体实数范围直接取顶点纵坐标为最值；2.给定自变量取值范围时，对称轴在区间内，顶点取一个最值，两端点对比取另一极值；3.对称轴在区间左侧，函数全程递增，左端点最小、右端点最大； 4.对称轴在区间右侧，全程递减，右端点最小、左端点最大。 1．已知均为非负数，且满足．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 3．一次函数的图像经过点，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 4．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 5．二次函数的最大值是_____________． 6．已知实数、满足，则的最小值为 ____________ ． 7．如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为__________． 8．我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 重难点五 二次函数的平移变换 1.平移只针对自变量，“左加右减”写在括号内，上下平移直接在表达式末尾加减常数； 2.多次平移分步操作，逆向平移把平移方向反向处理； 3.翻折题目单独记忆符号变化规律。 1．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 3．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 4．抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 6．二次函数向上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线的对称轴为直线_____． 7．将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题05 二次函数的图象与性质 重难点一 二次函数开口的大小与方向 1.开口向上，开口向下； 2.数值越大，抛物线开口越窄，比较多个抛物线开口大小只需对比绝对值。 1．下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，与的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A． 2．抛物线与相比（    ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 【答案】B 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， 对于抛物线，二次项系数， ∵， ∴的开口比的开口更小， 故选：B． 3．顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 4．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 5．抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 6．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二次函数中，系数决定抛物线的开口方向和大小；的符号改变时，开口方向改变，但不变则开口大小不变；对称轴和顶点坐标均不变. 【详解】解：∵原函数，，开口向上；新函数，，开口向下， ∴开口方向改变； ∵， ∴开口大小不变； ∵对称轴均为， ∴对称轴不变； ∵顶点坐标均为， ∴顶点坐标不变． 故选：B． 7．函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象问题，根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可，掌握二次函数的图象与一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； 故选：． 8．如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 9．已知抛物线的开口向下，则实数m的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】1（填小于5的实数均可） 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．根据抛物线开口向下可知，再选择适合的值即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ， 解得 ． ∴ 的值可以是0（答案不唯一）． 10．抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 重难点二 求顶点坐标与对称轴 1.一般式套公式，顶点纵坐标代入； 2.顶点式直接读出对称轴、顶点； 3.两点纵坐标相等时，对称轴为两点横坐标平均数。 1．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是顶点式的顶点坐标，顶点式的顶点坐标为．根据顶点式直接判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 2．抛物线的对称轴是直线（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴为直线是解题的关键． 直接利用二次函数顶点式的性质求解即可． 【详解】解∵， ∴ 对称轴为直线． 故选A． 3．二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数顶点式的顶点坐标为，直接由函数表达式可得，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：C． 4．k为任意实数，抛物线的顶点总在（） A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法和一次函数的性质是解题的关键． 求出抛物线的顶点为，可以得到顶点在直线上． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为， ∵为任意实数， ∴顶点坐标满足， ∴顶点总在直线上． 故选：B 5．抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，该抛物线解析式已为顶点形式，可直接根据顶点式写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 6．抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 重难点三 比较函数值的大小 1.先确定对称轴，对称轴左侧递减、右侧递增，相反； 2.给定自变量区间时，先判断对称轴是否落在区间内，再分段描述增减； 3.比较函数值不用计算，结合增减性直接判断大小。 1．若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 2．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 3．已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， 当时，， 解得或， 抛物线与轴的两个交点坐标为：，， 当，，时，， ． 4．已知、是抛物线上的两点．若且，则________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据点在抛物线上得到与的表达式，对和作差，结合已知条件和判断差的符号，即可比较和的大小． 【详解】解：∵，是抛物线上的两点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 5．若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 6．已知点，，都在二次函数图像上，则，，的大小关系为_______． 【答案】/ 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向与对称轴，再利用点到对称轴的距离，结合二次函数增减性比较函数值大小． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴的距离越小的点的函数值越大， ∵，，，且， ∴． 重难点四 求二次函数的最值 1.全体实数范围直接取顶点纵坐标为最值； 2.给定自变量取值范围时，对称轴在区间内，顶点取一个最值，两端点对比取另一极值； 3.对称轴在区间左侧，函数全程递增，左端点最小、右端点最大； 4.对称轴在区间右侧，全程递减，右端点最小、左端点最大。 1．已知均为非负数，且满足．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握二次函数的图象与性质、不等式组的解法及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】解：由可知：， 解得：， ∵均为非负数， ∴， 解得：， ∴ ； ∵，即开口向上，当时，u随x的增大而减小， ∴当时，u随x的增大而减小， ∴当时，有最小值为； 故选A． 2．在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．根据题意求得该函数图象的对称轴为求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点和， 该函数图象的对称轴为直线， ， ， 该函数解析式为， ， 该函数图象的开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 故选：． 3．一次函数的图像经过点，则的最大值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质． 将点坐标代入函数得到c关于a的表达式，然后表示为a的二次函数，化为顶点式作答即可． 【详解】∵函数图像经过点， ∴， ∴， ∴， ∵二次项系数， ∴有最大值，为． 故选：A． 4．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 5．二次函数的最大值是_____________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质即可得其最大值． 【详解】解：， ∴当时，二次函数有最大值，最大值是3． 故答案为：3． 6．已知实数、满足，则的最小值为 ____________ ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数的最值．熟练掌握二次函数的性质是解题关键．由已知条件 ，将表示为关于的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，有最小值，即有最小值， 故答案为：． 7．如果二次函数平移后的顶点恰好落在直线上，求平移后的图像与y轴交点的纵坐标的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】设平移后的解析式为， ∵平移后的顶点恰好落在直线上， ∴， ∴解析式为， 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为， 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 8．我们规定，例如，，，如果，那么的最大值是_____． 【答案】5 【分析】本题考查了新定义，以及二次函数与一次函数综合，设，，通过比较函数和 的大小关系，确定的取值，并求其最大值，即可解题． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，，故； 又在时，函数随增大而增大，在时，函数随增大而减小， 当时，； 当时，． 当时，，故． 对于，在时，函数随增大而增大，当 趋近于 时， 趋近于 综上，的最大值为， 故答案为：． 重难点五 二次函数的平移变换 1.平移只针对自变量，“左加右减”写在括号内，上下平移直接在表达式末尾加减常数； 2.多次平移分步操作，逆向平移把平移方向反向处理； 3.翻折题目单独记忆符号变化规律。 1．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 2．二次函数的图象可由的图象通过（    ）得到的 A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向左平移3个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移3个单位，再向下平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】D 【详解】解：可将二次函数转化为， 需将向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到． 故选：D． 3．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 4．抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位后的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移性质，二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线先向左平移3个单位，再向下平移4个单位， ∴平移后的函数解析式为， 故选：B． 5．将二次函数的图象向下平移一个单位长度后，得到的函数表达式是__________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”原则即可作答． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移1个单位长度， 所得的函数表达式为，即． 6．二次函数向上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线的对称轴为直线_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将二次函数化为顶点式，再根据平移的特点得到平移后的函数解析式，即可得到答案． 【详解】解：， 上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线为：， 故对称轴为直线． 故答案为：． 7．将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的函数表达式为___________（用顶点式表示）． 【答案】 【分析】先将原一般式抛物线通过配方化为顶点式，再根据抛物线平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”计算得到新抛物线的顶点式表达式． 【详解】解： ， 抛物线的顶点坐标为， 根据抛物线平移规律，将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的解析式为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $