25.2.3因式分解法-解一元二次方程（分层作业，11大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦因式分解法解一元二次方程，分层设计从基础方法到综合应用再到拓展提升，形成“单一方法—方法选择—复杂综合”的巩固路径，适配新授课基础巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础方法层|提公因式法、公式法、十字相乘法|以选择、填空及直接解方程为主，强化运算能力| |综合应用层|方法选择、整理一般形式、换元法、分式方程、实际应用题|通过运动、经济等情境题培养模型意识| |拓展提升层|含参数方程综合求解、几何图形结合题|结合证明与分类讨论，发展推理意识|

25.2.3 因式分解法 知识点一 提公因式法因式分解解一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 3．（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）一元二次方程的根是____________ ． 知识点二 公式法因式分解解一元二次方程 1．（25-26九年级上·福建·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D． 2．（2026·四川泸州·一模）下列各选项是方程的解的是（   ） A．1 B． C．2 D．-2 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（2025·河南安阳·模拟预测）解下列方程： (1)． (2)． 知识点三 十字相乘法因式分解解一元二次方程 1．（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程：． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 知识点四 选择合适的方法解一元二次方程 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 3．（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 5．（25-26八年级下·山东东营·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 知识点一 需先整理化为一般形式再因式分解解方程 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 3．（25-26八年级下·上海·期中）解方程： 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 知识点二 换元法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 4．（24-25八年级上·上海·月考）解方程： 知识点三 已知方程的根，因式分解求参数 1．（2026·山东济南·二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为4，求m的值． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 知识点四 解分式方程（化为一元二次方程） 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 2．（2026九年级下·北京·专题练习）分式方程的解为__________． 3．（2026·上海徐汇·二模）分式方程的解是___________． 4．（2026·上海普陀·二模）解方程：． 知识点五 因式分解法解一元二次方程实际应用题 1．（25-26九年级上·吉林白城·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 2．（2026·重庆·模拟预测）跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一．该项目练习成本低，且运动安全性较高． (1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成．某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个手柄或1200根绳子．现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子恰好配套? (2)小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个．已知小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练．求小林平均每分钟跳绳多少个? 3．（25-26九年级下·重庆开州·期中）某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了天，之后甲组和乙组又合作了天，刚好如期完成了整项工作． (1)求甲组单独完成整项工作需要多少天？ (2)推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，定价为元，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？ 4．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 知识点一 含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）已知：关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果n为正整数，且方程的两个根均为整数，求n的值． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根，，且满足，求k的值． 知识点二 结合几何图形的方程综合题 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 2．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； (2)若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，为直角三角形． 4．（25-26八年级下·山东德州·期中）阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： (1)平面直角坐标系中有两点，，则线段长为__________． (2)已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； (3)若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有__________，即__________ 若，则有__________，即__________ (4)在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.3 因式分解法 知识点一 提公因式法因式分解解一元二次方程 1．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】解：， ， ∴或， 解得，. 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：． 3．（25-26九年级上·全国·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，先移项，再提取公因式，即可解答． 【详解】解： 移项得，， ， 或， ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用因式分解法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得； （2）解：原方程化为一般形式，得． 把方程左边分解因式，得． 因此，有或． 解方程，得． 5．（2026·辽宁抚顺·一模）一元二次方程的根是____． 【答案】 【详解】解： 或 解得． 知识点二 公式法因式分解解一元二次方程 1．（25-26九年级上·福建·期末）方程的根为（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2026·四川泸州·一模）下列各选项是方程的解的是（   ） A．1 B． C．2 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 利用因式分解法进行求解即可． 【详解】解： 故选B． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【详解】（1）解：， ， ，； （2）， ， ，． 4．（2025·河南安阳·模拟预测）解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法求解方程即可； （2）根据因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 开方得：， 解得：，； （2）解：移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 知识点三 十字相乘法因式分解解一元二次方程 1．（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】 或 ∴． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）（2）把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ． 4．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 知识点四 选择合适的方法解一元二次方程 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程变形后用直接开平方法求解； （2）用因式分解法求解，选择合适的方法即可得到方程的解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ， ∴或， 解得． 3．（2026·宁夏银川·一模）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将方程左边因式分解，然后再移项，最后利用因式分解法求解即可； （2）直接利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，． （2）解：， ， 或， ，． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 5．（25-26八年级下·山东东营·期中）解方程： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：，； （3）解：， ∴， ∴，， 解得：，； （4）解：∵， 整理得：， ∴， ∴， ∴，. 知识点一 需先整理化为一般形式再因式分解解方程 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程：． 【答案】，． 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解即可求解． 【详解】解： 或， ∴，． 2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：． 【答案】， 【分析】因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 3．（25-26八年级下·上海·期中）解方程： 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用适当方法解下列方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）先把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可求解； （）先把方程整理成一般式，再利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程整理成一般形式，得， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：去括号得 方程整理成一般形式，得， ∴，，， ∵， ∴， 即，． 知识点二 换元法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）已知，则 _________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， ∵ 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 4．（24-25八年级上·上海·月考）解方程： 【答案】，． 【分析】令，得到关于的方程，利用配方法求得，，进而求出的值即可． 【详解】解：令，代入方程得， ， ， ， ， ， 解得：，， 当时，， 当时，， 原方程的解为，． 知识点三 已知方程的根，因式分解求参数 1．（2026·山东济南·二模）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将已知根代入方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 解得， ∴原方程为 ， 解得， ∴方程的另一个根为． 2．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，筛选得到符合条件的的值． 【详解】解：把代入得， 因式分解得， 解得，， 原方程是关于的一元二次方程， ， 即， 因此． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为4，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）证明即可； （2）把代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程有一根为4， ∴把代入得， 解得或． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的方程． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，然后解方程即可得到； （2）根据根的判别式，可求得k的取值范围． 【详解】（1）解：是关于的方程的一个解， ， 整理得， 解得； （2）解：关于的方程有实数根， ， 解得， 即时，关于的方程有实数根． 知识点四 解分式方程（化为一元二次方程） 1．（25-26八年级下·河南周口·月考）分式方程 的正数解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 方程两边同乘得：， 整理得：． 因式分解得：． 解得或， 检验：当时，， 当时，， ∴原方程的正数解为或． 2．（2026九年级下·北京·专题练习）分式方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，排除增根即可得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘公分母，得， 整理得， 因式分解得， 解得 或 ， 检验：当时，，故是增根，舍去； 当时，，满足方程要求； 因此原分式方程的解为． 3．（2026·上海徐汇·二模）分式方程的解是___________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使原分式方程分母不为零． 【详解】解：， 对分母因式分解得 ， 方程两边同乘最简公分母，得 整理得 解得 检验：当时，，原分式方程分母为零， 因此是增根，舍去； 当时， ，满足原分式方程分母不为零的要求. 因此原分式方程的解为． 4．（2026·上海普陀·二模）解方程：． 【答案】 【详解】解：原方程可化为 方程两边同乘最简公分母，得 展开整理得 因式分解得 解得， 检验：当时，，原分式方程分母为0，无意义，因此是增根，舍去 当时， 因此原方程的解为 知识点五 因式分解法解一元二次方程实际应用题 1．（25-26九年级上·吉林白城·月考）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球速度为． (1)小球的滚动速度平均每秒减少______m． (2)小球从开始到停止滚动时，共滚动了多少m？（直接写出答案） (3)小球滚动用了多少秒？（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)1 (2)共滚动了 (3)小球滚动用了2秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度等于速度变化÷小球运动速度变化的时间，掌握此关系式是关键． （1）从滚动到小球速度为平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用开始的速度与停止时的速度差除以时间等于速度平均每秒减小的量，即可求出小球从开始到停止滚动的时间，再利用求得小球从开始到停止滚动的距离； （3设小球滚动到时的时间为，根据得到方程，解方程即得到行驶时间． 【详解】（1）解：， 即小球的滚动速度平均每秒减少， 故答案为：1； （2）解：， ； 答：小球从开始到停止滚动时，共滚动了； （3）解：设小球滚动到时的时间为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：小球滚动用了2秒． 2．（2026·重庆·模拟预测）跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一．该项目练习成本低，且运动安全性较高． (1)一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成．某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个手柄或1200根绳子．现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子恰好配套? (2)小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个．已知小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练．求小林平均每分钟跳绳多少个? 【答案】(1)安排8名工人生产手柄，2名工人生产绳子才能恰好配套． (2)小林平均每分钟跳绳180个． 【分析】（1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可； （2）设小林平均每分钟跳绳个，则小王平均每分钟跳绳个，则利用时间关系建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； （2）解：设小林平均每分钟跳绳个，则小王平均每分钟跳绳个，则 ， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 答：小林平均每分钟跳绳180个． 3．（25-26九年级下·重庆开州·期中）某广告公司承包了一项产品推广工作，派遣了甲组和乙组共同参与，已知乙组的工作效率是甲组的，甲组先单独做了天，之后甲组和乙组又合作了天，刚好如期完成了整项工作． (1)求甲组单独完成整项工作需要多少天？ (2)推广工作结束后，该公司负责人为提高业绩，立即发售代表该产品的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，定价为元，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，在售价不低于原售价的基础上，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【答案】(1)甲组单独完成整项工作需要天 (2)该纪念品的售价为元 【分析】（1）根据工作总量工作时间工作效率，设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是，根据工程的完成情况列方程解答即可． （2）根据利润（售价进价）销售量，设该纪念品的售价为元，根据涨价后的销售情况列方程解答即可． 【详解】（1）解：设甲组单独完成整项工作需要天，则甲组的工作效率是，乙组的工作效率是， 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：甲组单独完成整项工作需要天； （2）解：设该纪念品的售价为元， 由题意可列方程：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴． 答：该纪念品的售价为元． 4．（25-26九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 知识点一 含参数复杂一元二次方程因式分解综合求解 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个负实数根，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的取值范围是． 【分析】（）根据 即可求证； （）先解方程解得，，然后由该方程有两个负实数根，则有，解得，从而求解． 【详解】（1）证明： ， ∴方程总有实数根； （2）解： ， 解得：，， ∵该方程有两个负实数根，， ∴，解得：， ∴的取值范围是． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】(1)当时，原方程有两个相等的实数根；当且时，原方程有两个不相等的实数根 (2)，方程的另一个根为 (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算可判断方程根的情况； （2）把代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 而 ， ∴当时，原方程有两个相等的实数根，当且时，原方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程有一个根为， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个根为． （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：或． 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）已知：关于x的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果n为正整数，且方程的两个根均为整数，求n的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）利用根的判别式进行证明即可； （2）将原方程因式分解可得：，解得，，方程两个根均为整数，n为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， 该方程为关于x的一元二次方程， ， ，即， 无论n取不为0的任意实数，方程总有两个实数根； （2）解：将原方程因式分解可得：，解得两个根分别为，， 方程两个根均为整数，n为正整数， 必须为整数， 或． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． (2)若该方程的两个实数根，，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证； （2）因式分解法解方程得出，结合已知条件，列出关于的一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解： ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 解得 知识点二 结合几何图形的方程综合题 1．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根． (2)若等腰的一边长a为4，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先计算判别式的值得到，根据判别式的意义即可得到结论； （2）分类讨论：当时，方程有两个相等的实数根，解得，然后解方程得到；当或时，方程有一个根，可解得k的值，则代入方程可解答． 【详解】（1）证明： ∵无论k取何值， ∴ ∴无论k取何值，此方程总有实数根； （2）解： 由（1）得， ①当时，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∴把代入， 得， 整理得 ∴ ∴ ∵， ∴不能构成三角形，舍去 ②当或时，即方程有一个根， ∴ 解得：， 方程化为， 解得， 即三边为4，4，2，能构成三角形， 则周长， ∴这个等腰三角形的周长是10． 2．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有两个实数根； (2)若等腰的周长为7，且两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或4或3 【分析】（1）根据一元二次方程根判别式证明即可； （2）根据题意求出，，再分三种情况解答即可，第1种情况：当是腰，2是底边时；第2种情况：当2是腰，是底边时；第3种情况：当、2是腰时． 【详解】（1）解： ， 该方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， 即，， 第1种情况：当是腰，2是底边时，， ， ， 的三边长为：、、2，能组成三角形； 第2种情况：当2是腰，是底边时，， ， ， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形； 第3种情况：当、2是腰时，， ， 的三边长为：2、2、3，能组成三角形，也满足周长为7； 综上所述：或4或3． 3．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）已知的一条边的长为，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) 见解析 (2) 的值为或 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，计算得到判别式恒大于，即可得证； （2）先解一元二次方程得到另两边的长度，再分为斜边、为直角边两种情况，结合勾股定理列方程求解，再根据三角形三边关系可得符合条件的解即可． 【详解】（1）证明： 原方程为， ， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：对原方程因式分解得， 解得，， 即另两边长分别为和， 根据三角形三边关系可得，，， 解得，，， ， 分两种情况讨论： 当为斜边时，由勾股定理得， 整理得， 解得或（不合题意，舍去）； 当为直角边时，， 长为的边为斜边， 由勾股定理得， 整理得，解得， 综上，的值为或． 4．（25-26八年级下·山东德州·期中）阅读材料，解决问题：探究平面内两点间的距离：设， 如图1，当，纵坐标相同时，，当，横坐标相同时， 如图2，求长度，可构造直角三角形，由图1可知，，由勾股定理可得两点间距离公式为 请直接利用两点间距离公式，解决下列问题： (1)平面直角坐标系中有两点，，则线段长为__________． (2)已知一个三角形各顶点坐标为，，，请通过计算说明的形状； (3)若平面内有两点，，在轴上找一点，使为直角三角形，我们可以这样解答： 设．则利用两点间距离公式可得：，， 若，则有，即 若，则有__________，即__________ 若，则有__________，即__________ (4)在（3）的条件下，若在轴上存在一点，使为等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1)5 (2)为等腰三角形 (3)，，， (4)点的坐标为或，， 【分析】（1）根据题中所给出的两点的直线距离公式进行计算即可解答； （2）根据两点间的距离公式分别求得三边的长度；最后根据三角形的三条边长关系来判断该三角形的形状； （3）由题意利用两点间距离公式结合勾股定理进行分析即可； （4）由题意设点坐标，根据两点间的距离公式表示出，，的长，根据等腰三角形的两边长相等分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴为等腰三角形． （3）解：设，利用两点间距离公式可得： ，，， 若，则有，即， 若，则有，即． （4）解∶∵点Q在轴上， ∴设点， ∵，， ∴， ， ∵为等腰三角形，则分以下三种情况讨论∶ ①当时，， ∴， 解得 ∴； ②当时，， ∴， 解得或， 当时，，与点N重合，舍去， 当时，； ③当时，， ∴， 解得或 此时或； 综上所述，点的坐标为或，，． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $