4.2 整式的加法与减法（第3课时 整式的加减）（教学课件）- 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦整式的加减运算，通过“整理房间”“大桥工程设计”等生活情境导入，从单项式、多项式的概念出发，以合并同类项和去括号为核心，搭建从生活分类到数学运算的学习支架，帮助学生梳理整式加减的逻辑脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以生活分类类比同类项判定，通过长方体纸盒用料计算等典例培养运算能力和推理意识，结合购物花费、中考真题强化模型意识与应用意识。采用情境导入、合作探究与分层训练，学生能提升问题解决效率，教师可借助清晰结构与中考衔接优化教学。

人教版 七年级上册 4.2整式的加法与减法 第4章整式的加减 第3课时整式的加减 1.7.2013 ‹#› 学习目标 01. 变身整理大师：熟练掌握整式的加减运算，学会像整理房间一样，将杂乱的代数式通过合并同类项、去括号等方法，梳理得井井有条，构建清晰的数学表达逻辑。 02. 成为问题解决者：能够从生活实际问题中抽象出数学模型，准确列出整式并清晰表示出其中的数量关系，用数学语言翻译生活场景，让知识服务于实际应用。 03. 掌握求值魔法：深谙“先化简，再求值”的核心技巧，规避复杂数字的直接运算，简化步骤、减少错误，快速且准确地计算出代数式的值，提升运算效率。 1.7.2013 这节课我们有三个小目标。首先，我们要学会整式的加减运算，就像学会整理房间一样，把杂乱的式子变得井井有条。其次，我们要能用学到的知识解决生活中的问题，比如帮家里算预算。最后，我们要掌握一个强大的计算技巧，让复杂的求值问题变得简单。相信通过这节课的学习，大家都能成为数学小能手！ ‹#› 目录 新知引入 合作探究 典例分析 针对训练 总结归纳 典例分析 总结归纳 布置作业 课堂小结 感受中考 当堂巩固 能力提升 1.7.2013 这是我们今天的学习路线图。我们会从一个有趣的故事开始，然后一起探究新知识，通过例子和练习来巩固，最后还会挑战一些中考真题。大家可以看到，我们的学习过程环环相扣，充满了探索和挑战。让我们跟着这个路线图，一步步揭开整式加减的神秘面纱吧！ ‹#› 新知引入 你的房间需要“数学整理术”！ 想象一下你的房间刚刚经历了一场“玩具风暴”，到处散落着书本、玩具车、乐高积木，杂乱不堪。这时妈妈让你整理房间，你会怎么做呢？ 相信聪明的你一定会想到：把故事书、漫画书放回书架，把玩具车摆进收纳盒，把乐高积木分类装回专属盒子里。这种把“一样”的东西放在一起的方法，就是生活中的“分类”智慧。 生活中的分类 物以类聚，让杂乱的物品变得有序，方便我们查找和使用。 数学里的“整理术” 在数学的世界里，我们同样需要“分类”思想来整理复杂的式子。今天，我们就来学习如何整理一种特殊的“数学积木”——整式，探索整式的分类与整理奥秘！ 核心： 将“同类”的数学元素归为一组，这就是整式加减法的关键——合并同类项。 1.7.2013 同学们，我们先来做个思想实验。想象一下你的房间乱成一团，你会怎么整理？没错，就是分类！把书和书放一起，玩具和玩具放一起。这种“物以类聚”的思想，在数学里同样重要。今天，我们就要学习如何用这种“整理术”来整理数学式子，也就是我们今天的主角——整式。 ‹#› 新知引入 在宏伟的大桥工程设计中，工程师需要计算成千上万个零件的尺寸与重量。比如钢箱梁的长度，一种规格是x米，另一种是2x米；桥塔的高度设定为y米。 若要计算同类型钢箱梁的总长度，就需要把x与2x相加求和；统筹桥体关键结构的参数时，也需要对含字母的式子做加减运算。 要算出两种钢箱梁的总长度，列式为：x + 2x = 3x（米），这就是整式加减的核心应用逻辑。 x + 2x = (1+2)x = 3x x (m) 2x (m) 核心运算： 合并同类项 结论： 整式的加减是解决工程计算、科学研究等复杂问题的数学基础！ 1.7.2013 现在，让我们把目光从房间转向宏伟的大桥。工程师们在设计大桥时，需要处理大量带有字母的计算，比如 x 米长的钢材和 2x 米长的钢材。要算出总长度，就必须把它们加起来。这就是整式加减的实际应用，它是解决复杂工程问题的基础。学好它，你也能像工程师一样思考！ ‹#› 合作探究 整式家族的“三兄弟”：认识代数式核心成员 代数式家族里，单项式是独立的“积木块”，多项式是积木搭成的“小房子”，二者合在一起便统称为整式，构成了整式运算的基础框架。 单项式 & 多项式 统称：整式 核心结论：整式的加减运算，本质上就是对括号的处理与同类项的合并，是连接单项式与多项式运算的关键桥梁。 1.7.2013 刚刚我们提到了整式，那到底什么是整式呢？其实整式家族有三位核心成员：单项式、多项式和整式本身。大家可以把单项式想象成一块块独立的积木，而多项式就是用这些积木搭成的小房子。单项式和多项式合在一起，就统称为整式。而我们今天要学习的整式加减，其实就是围绕着两个核心操作展开的：去括号和合并同类项。 ‹#› 同类项判定 生活中我们会把同类物品归类，数学中整式也有“家人”——同类项。判断它们是否“同姓同源”，只需记住核心口诀：“两同两无关” ▍核心规则详解 1. 判定“两同”：所含字母必须完全相同；相同字母的指数也必须分别相同。 2. 排除“两无关”：与系数的大小无关；与字母的排列顺序无关。所有常数项互为同类项。 关键点①：两同 字母相同 + 相同字母指数相同，缺一不可。 关键点②：两无关 只看字母和指数，系数大小、字母顺序不用管。 特例：常数项 如 5、-8、π 等，所有数字常数都是同类项。 小试牛刀：判断 2a²b 与 2ab² 是否同类项？π 与 3 呢？ 解析：2a²b与2ab²指数不同，不是；π和3都是常数，是同类项。 1.7.2013 我们已经知道要“分类整理”，那在数学里，什么样的项才算“一家人”呢？它们叫做“同类项”。判断标准很简单，就两条：第一，所含的字母必须完全一样；第二，相同字母的指数也必须完全一样。记住这个口诀：“两同两无关”。现在，大家来当一回小法官，看看下面这几组是不是同类项？ ‹#› 总结归纳 3.法则背后的原理是乘法分配律：把同类项的系数看作一个整体，利用 ax + bx = (a+b)x 的形式，实现系数的合并运算，这是整式加减的核心依据。 1.生活与数学的类比：3个苹果 + 5个苹果 = 8个苹果，同理 3x + 5x = (3+5)x = 8x。就像数相同物品一样，同类项可直接合并数量。 2.合并同类项法则：将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 1.7.2013 好，既然找到了同类项，下一步就是合并它们。这个过程非常简单，就像我们数苹果一样。3个苹果加5个苹果，等于8个苹果。同样地，3x加5x，就等于8x。大家发现规律了吗？对，就是把代表数量的系数加起来，而代表东西的字母和它的指数保持不变。这个法则的背后，其实就是我们熟悉的乘法分配律。 ‹#› 典例分析 例1：合并同类项计算： (1) (2x - 3y) + (5x + 4y) (2) (8a - 7b) - (4a - 5b) 解：(1)(2x - 3y) + (5x + 4y) = 2x - 3y + 5x + 4y ➔ 去括号法则应用 = 7x + y ➔ 合并同类项结果 解：(2)(8a - 7b) - (4a - 5b) = 8a -7b -4a +5b ➔ 括号前负要变号 = 4a - 2b ➔ 系数相加减化简 1.7.2013 现在我们来看一个稍微复杂一点的例子。这里有两个多项式的加减运算。第一步，我们需要根据去括号法则去掉括号。注意第二个式子括号前是减号，去掉括号后里面的每一项都要变号。第二步，我们把同类项找出来，比如2x和5x，-3y和4y。最后一步，合并同类项，系数相加，字母和指数不变。看，一个复杂的式子就被我们轻松化简了。 ‹#› 针对训练 求多项式3x² - 6x + 5与4x² + 7x - 6的和 解： (3x² - 6x + 5) + (4x² + 7x - 6) = 3x² - 6x + 5 + 4x² + 7x - 6 (去括号，括号前是“+”，不变号) = (3x² + 4x²) + (-6x + 7x) + (5 - 6) (找同类项，分组结合) = 7x² + x - 1 (合并同类项，整理结果) 1. 有括号先去括号 2. 找同类项再合并 3. 结果必无同类项 变式训练：求上述两个多项式的差 答案：-x² - 13x + 11 1.7.2013 现在轮到大家动手了！请大家计算这两个多项式的和。记住我们的三步法：先去括号，再找同类项，最后合并同类项。做完的同学可以尝试一下变式训练，求它们的差。注意，求差的时候，第二个多项式要整体加括号，括号前是减号，去括号时要变号哦！ ‹#› 总结归纳 3.解决实际问题分三步：先根据题意列代数式，再去括号、合并同类项化简，最后结合题意得出最终结果。 1.整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项，遵循先括号后合并的顺序。 2.整式加减的本质是：去括号、合并同类项 1.7.2013 非常好！通过刚才的练习，我们可以总结出整式加减的完整法则了。其实就一句话：先去括号，再合并同类项。这个法则不仅适用于纯粹的数学计算，也能帮我们解决生活中的实际问题。解决问题时，我们只需要三步：第一步，根据题目意思列出代数式；第二步，运用法则进行化简；第三步，得出最终答案。 ‹#› 典例分析 例2：做大小两个长方体纸盒，其长、宽、高的尺寸通过字母参数表示，具体数值如下表所示，试通过整式运算解决用料问题。 类型 长 /cm 宽 /cm 高 /cm 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c 问题 (1)：总用料计算 求做这两个纸盒共用料多少平方厘米，即求两个长方体表面积之和，需结合长方体表面积公式展开整式加法运算。 问题 (2)：用料差值计算 求做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米，即求大长方体表面积与小长方体表面积的差，进行整式减法运算。 1.7.2013 接下来，我们用整式加减来解决一个实际问题。假设我们要制作两个长方体纸盒，它们的尺寸用字母表示。问题是，做这两个盒子一共需要多少材料？大盒子比小盒子多用多少材料？这其实就是求两个表面积的和与差。大家先思考一下，长方体的表面积公式是什么？ ‹#› 解：小纸盒的表面积是（2ab + 2bc + 2ca）cm2 大纸盒的表面积是（6ab + 8bc + 6ca）cm2 （1）做这两个纸盒共用料： (2ab + 2bc + 2ca) + (6ab + 8bc + 6ca) = 2ab + 2bc + 2ca + 6ab + 8bc + 6ca = (2ab+6ab)+(2bc+8bc)+(2ca+6ca) = 8ab + 10bc + 8ca (cm2) 典例分析 1.7.2013 ‹#› （2）列式计算：大纸盒用料减去小纸盒用料 原式 =（6ab + 8bc + 6ca） - （2ab + 2bc + 2ca） = 6ab + 8bc + 6ca - 2ab - 2bc - 2ca = (6ab-2ab)+(8bc-2bc)+(6ca-2ca) = 4ab + 6bc + 4ca (cm2) （2）做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 已知条件回顾： 小纸盒表面积：2ab + 2bc + 2ca (cm²)；大纸盒表面积：6ab + 8bc + 6ca (cm²) 典例分析 1.7.2013 接下来解决第二个问题：大纸盒比小纸盒多用多少材料。这次我们用大纸盒的表面积减去小纸盒的表面积。注意，这里是减法，所以小纸盒的表面积要加上括号。去掉括号时，里面的每一项都要变号。然后，同样地，我们合并同类项，最后得出多用的材料是 4ab + 6bc + 4ca 平方厘米。大家看，通过整式加减，我们轻松解决了这个几何问题。 ‹#› 当 x = 1/2 时， 例3：求2x² - 5x + x² + 4x - 3x² - 2 思考：直接代入计算繁琐，如何简化？ 核心思路：先将式子化简，合并同类项，再代入数值计算 解：原式 = (2x²+x²-3x²)+(-5x+4x)-2 = -x - 2 原式 =-(1/2) - 2 = -5/2 ①观察式子结构 ②合并同类项化简 ﹜ 降低计算复杂度 典例分析 1.7.2013 最后一个例子，是关于代数式求值的。如果直接把x的值代入原式，计算会非常繁琐。但是，我们学了整式加减后，就有了一个“魔法”技巧：先化简，再求值。我们先把原式中的同类项全部合并，得到一个非常简单的式子 -x - 2。这时再代入 x = 1/2，计算就变得非常容易了。这个技巧在以后的学习中会经常用到，大家一定要掌握！ ‹#› 当堂巩固 2.长方形的一边长等于3a + 2b，另一边比它大a - b，那么这个长方形的周长是（ ） A. 14a + 6b B. 7a + 3b C. 10a + 10b D. 12a + 8b 1.已知一个多项式与3x² + 9x的和等于3x² + 4x - 1，则这个多项式是（ ） A A A. -5x - 1 B. 5x + 1 C. -13x - 1 D. 13x + 1 1.7.2013 ‹#› 3.若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B - A一定是（ ） A.二次多项式B.三次多项式 C.五次三项式D.五次多项式 4.多项式 2x³ - 8x² + x - 1 与多项式 3x³ + 2mx² - 5x + 3 的和不含二次项，则m为（ ） A. 2 B. -2 C. 4 D. -4 D C 当堂巩固 1.7.2013 ‹#› 7.计算： (1)-ab³ + 2a³b - a²b - ab³ - a²b - a³b (2)(7m² - 4mn - n²) - (2m² - mn + 2n²) (3)-3(3x + 2y) - 0.3(6y - 5x) (4)(a³ - 2a - 6) - (a³ - 4a - 7) 答案(1)： -2ab³ + a³b - 2a²b 答案(2)： 5m² - 3mn - 3n² 答案(3)： -7.5x - 7.8y 答案(4)： 2a + 1 当堂巩固 1.7.2013 最后一组计算题，综合性更强。大家在计算时一定要细心，特别是去括号和合并同类项的步骤。注意第三题，括号前有系数，要先用乘法分配律把系数乘进去，再去括号。做完后可以对照一下屏幕上的答案，看看自己是否都做对了。 ‹#› 8.一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元。小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支。买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？ 解：首先分别计算两人的花费：小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x + 2y)元；小明买笔记本和圆珠笔共花费(4x + 3y)元。 总花费计算过程： (3x + 2y) + (4x + 3y) = 3x + 2y + 4x + 3y = (3x + 4x) + (2y + 3y) = 7x + 5y 答：小红和小明一共花费 (7x + 5y) 元。 💡 思考拓展： 除了分别计算再求和，你还能先算笔记本和圆珠笔的总数，再计算总花费吗？试试看！ 当堂巩固 1.7.2013 我们再来看一道应用题。这道题我们可以先分别算出小红和小明的花费，然后把他们加起来。列出代数式后，我们发现这又是一个整式的加法问题。按照我们学过的方法，去括号，合并同类项，就得到了总花费是 7x + 5y 元。大家动脑筋想一想，还有没有其他方法来解决这个问题呢？ ‹#› 另解思路：先汇总同类花费，再求和。 两人买笔记本共花费（3x + 4x）元，买圆珠笔共花费（2y + 3y）元，分别计算后再合并总金额。 计算过程：总花费 = 笔记本总价 + 圆珠笔总价 （3x + 4x）+（2y + 3y） = 7x + 5y（元） 核心结论： 虽然解题思路不同，但最终计算得到的总花费结果完全一致！ 已知条件：一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元。小红购买了3本笔记本和2支圆珠笔，小明购买了4本笔记本和3支圆珠笔。我们需要计算两人购买这些文具的总花费金额。 当堂巩固 1.7.2013 刚才我问大家有没有其他解法，其实是有的。我们可以先把所有买笔记本的钱加起来，再把所有买圆珠笔的钱加起来，最后把这两部分相加。大家看，我们列出的式子是(3x + 4x) + (2y + 3y)，计算后得到的结果和刚才一样，也是7x + 5y。这说明，解决问题的思路可以是多种多样的，但最终的数学结果是唯一的。 ‹#› 能力提升 有这样一道题：“当a = 2，b = -2时，求多项式3a³b³ - a²b + b - (4a³b³ - a²b - b²) + (a³b³ + a²b) - 2b² + 3的值”。 小明做题时把a = 2错抄成a = -2，小红没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？请说明理由。 解：将原多项式去括号、合并同类项化简后，最终得到：-b² + b + 3 理由：观察化简后的代数式-b² + b + 3，发现其中不含有字母a，即该多项式的值与字母a的取值无关。因此，无论小明把a的值抄成 2 还是 -2，计算出的结果都会保持一致。 1.7.2013 接下来是能力提升环节，这是一道非常有趣的题目。小明把a的值抄错了，但结果却和小红一样，这是为什么呢？遇到这种问题，我们的第一反应应该是：先化简！我们把这个长长的多项式化简后，会惊奇地发现，所有含有字母a的项竟然都消失了！结果变成了 -b² + b + 3。这个结果里根本没有a，所以无论a是2还是-2，结果当然都一样了。这个“与某某无关”的题型非常重要，大家一定要理解。 ‹#› 感受中考 1．（2024•德阳）若一个多项式加上y² + 3xy - 4，结果是3xy + 2y² - 5，则这个多项式为多少？ 【解答】解：根据题意，所求多项式为结果减去已知加数，即： (3xy + 2y² - 5) - (y² + 3xy - 4) = 3xy + 2y² - 5 - y² - 3xy + 4 = y² - 1 故答案为：y² - 1 【点评】本题考查了整式的加减运算，解题的关键在于熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意去括号时符号的变化规律。 1.7.2013 我们所学的知识，在中考中也是重点考察的内容。来看一道去年的中考题。题目告诉我们和与一个加数，求另一个加数，这本质上就是整式的减法。我们用结果减去已知的多项式，注意去括号时要变号，然后合并同类项，就能轻松得到答案。这道题非常基础，只要掌握了法则，就能得分。 ‹#› 2．（2023•沈阳）当a＋b＝3 时，代数式 2(a＋2b)－(3a＋5b)＋5 的值为？ 【解答】解：原式 = 2(a + 2b) - (3a + 5b) + 5 = 2a + 4b - 3a - 5b + 5 = -a - b + 5 = -(a + b) + 5 当 a + b = 3 时，原式 = -3 + 5 = 2。 故答案为：2。 感受中考 1.7.2013 再看一道中考题。这道题给了我们一个条件 a + b = 3，要求一个代数式的值。我们的思路还是先化简。化简后得到 -a - b + 5。观察这个式子，我们发现 -a - b 可以提取一个负号，变成 -(a + b)。这时，我们就可以把已知的 a + b = 3 整体代入，从而求出最终结果。这种“整体代入”的思想也是中考的重要考点。 ‹#› 3．（2023•泰州）若2a - b + 3 = 0，则2(2a + b) - 4b的值为？ 【解答】解：先对代数式进行化简 2(2a + b) - 4b = 4a + 2b - 4b = 4a - 2b 提取公因式2，可得：4a - 2b = 2(2a - b) 根据已知条件2a - b + 3 = 0，移项可得： 2a - b = -3 将2a - b = -3整体代入化简后的式子： 2(2a - b) = 2 × (-3) = -6 故答案为：-6 感受中考 1.7.2013 最后一道中考题，思路和上一题类似。先化简代数式，得到 4a - 2b。我们观察这个式子，发现它可以提取公因数2，变成 2(2a - b)。再看题目给的条件 2a - b + 3 = 0，我们可以求出 2a - b = -3。然后，把 -3 整体代入化简后的式子，就得到了答案。大家看，中考题虽然背景不同，但核心考点还是我们今天学的整式加减和整体代入思想。 ‹#› 课堂小结 核心步骤解析 实际应用场景 整式的加减 去括号：变号法则 合并：同类项合并 列式：构建代数式 将整式加减知识运用到生活场景中，通过建立数学模型，解决工程、消费、几何等实际数量关系问题。 先通过去括号、合并同类项对复杂整式进行化简，再代入具体数值计算，简化运算过程，降低求值难度，提升解题效率。 1.7.2013 好了，一节课很快就要结束了。让我们一起回顾一下今天学到的核心知识。整式的加减，关键就是两大步骤：去括号和合并同类项。我们还学习了如何运用整式加减来解决实际问题和进行化简求值。希望大家记住，数学不仅仅是纸上的符号，更是我们解决生活问题的有力工具。 ‹#› 布置作业 P102：习题4.2：第4、5、6题。 P103：习题4.2：第8、9题。 请同学们课后认真完成上述习题，通过练习巩固本节课所学的核心知识点，深入理解相关概念与解题方法，如有疑问可做好标记，下节课统一答疑。 1.7.2013 今天的课就到这里。课后请大家完成教材上的相关习题，巩固今天所学的知识。数学的学习需要不断地练习，希望大家认真完成作业，把今天的内容真正消化吸收。同学们，下课！ ‹#› 课程回顾与总结 谢谢观看 一套在手，备课无忧！ 1.7.2013 感谢同学们的认真听讲和积极参与！希望通过今天的学习，大家都能感受到数学的魅力。下课！ ‹#› $