第一章 二次函数（复习讲义）数学新教材浙教版九年级上册

该初中数学二次函数单元复习讲义通过表格对比、要点归纳等工具系统构建知识体系，分层梳理概念、图象性质、系数关系及实际应用等核心内容，突出二次函数与方程的联系等重难点，助力学生用数学眼光形成知识脉络。 讲义亮点在于“题型分类+分层突破”设计，如足球飞行路线问题培养模型意识，平移变换题提升推理能力，方法指导（顶点式快速分析图象）兼顾基础与进阶学生，支持教师实施精准教学，发展数学思维与应用能力。

第一章 二次函数 复习要点 1.理解二次函数的概念，会确定自变量的取值范围及函数表达式。 2.会画二次函数的图象，掌握抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.掌握二次函数图象的平移规律，理解一般式与顶点式之间的转化。 4.掌握二次函数的增减性、对称性及最大值、最小值。 5.理解二次函数与一元二次方程的关系，会用图象求方程的近似解。 6.会建立二次函数模型，解决简单的实际问题。 复习重难点 重点：二次函数的图象与性质；图象的平移；二次函数与一元二次方程的关系。 难点：一般式与顶点式的转化；二次函数图象与性质的综合运用；建立二次函数模型解决实际问题。 知识点 二次函数的相关概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a是 ,b是一次项系数,c是常数项。 注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为 . 2.二次函数解析式的确定 （1）二次函数常见表达式 名称 解析式 适用范围 一般式 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 （a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的解 相互联系 ①以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化。 ②一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法。 （2）对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式 ①顶点在原点,可设为y=ax²； ②对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c; ③顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²; ④抛物线过原点,可设为y=ax²+bx。 要点归纳：（1）二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c(a≠0)，其中 a 决定函数类型。 （2）根据题目条件选择合适的解析式形式：一般式、 、交点式。 （3）三种形式可以相互转化，常用 、 等方法进行变形。 要点速测 1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 知识点 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象：是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的 。 二次函数图象的画法：(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象。 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值 ； a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值 。 增 减 性 a>0 在对称轴 y随x的增大而减小，在对称轴 y随x的增大而增大。 a<0 在对称轴 y随x的增大而增大，在对称轴 y随x的增大而减小。 2.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 总结：抛物线的平移规律 ， ” 方法一: ①将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k); ②保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处, 方法二: ①将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m); ②将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下: 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 3.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： ①求一个点关于对称轴对称的点的坐标； ②已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴。 要点归纳：（1）抛物线的开口方向由 决定，顶点坐标决定 ，对称轴决定函数增减变化。 （2）二次函数图象平移遵循“ ， ”的规律。 （3）利用顶点、对称轴、与坐标轴交点等特征，可以快速分析图象性质。 要点速测 2．如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（ ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 知识点 二次函数各系数a，b，c之间的关系 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1时,y<0。 要点归纳：（1）a 决定抛物线开口方向和开口大小；b 与 a 共同决定 位置。 （2）c决定抛物线与 轴的交点位置。 （3）利用a、b、c及b²-4ac的符号，可以判断图象特征及与坐标轴的位置关系。 要点速测 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 知识点 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 要点归纳：（1）一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根，就是抛物线与 x 轴交点的 。 （2）利用抛物线与 x 轴的位置关系，可以判断方程根的 。 （3）二次不等式的解集可以结合函数图象，观察图象在 的位置确定。 要点速测 4．二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D．或 知识点 二次函数的应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论。 2.方法技巧总结 （1）利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值； （2）抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题； （3）销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值； （4）利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算； （5）利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在。 要点归纳：（1）解决实际问题的一般步骤：审题→设元→建立函数模型→利用性质求解→检验结果。 （2）求最值问题时，要结合顶点坐标、自变量取值范围以及函数增减性综合判断。 （3）实际建模时要注意 ，使所得结果符合实际意义。 要点速测 5．一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系式为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地．其中正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 题型1 二次函数的概念与解析式确定 ▌例1-1 （24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． ▌例1-2 （2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 解题要点 二次函数的概念与解析式确定 1.判断二次函数首先看最高次数和二次项系数。 2.点在函数图象上，直接代入解析式建立方程。 3.已知顶点优先设顶点式，已知交点优先设交点式。 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（ ） A． B． C． D． ▌迁移练1-2（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（ ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 题型2 二次函数的图象与性质 ▌例2-1 （2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（ ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌例2-2 （2023·江苏连云港·模拟预测）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（ ） A． B． C． D．0 解题要点 二次函数的图象与性质 1.顶点式是分析图象最快的方法。 2.平移遵循：左加右减；上加下减。 ▌迁移练2-1（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数，则下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ） A．图象的对称轴是直线 B．图象顶点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．图象只经过两个象限 ▌迁移练2-2（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ）． A． B． C． D． 题型3 二次函数图象与系数a、b、c的关系 ▌例3-1 （2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 ▌例3-2 （2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解题要点 二次函数图象与系数a、b、c的关系 1.开口方向 → 看a。 2.与y轴交点 → 看c。 3.对称轴 → 判断b。 ▌迁移练3-1（2026·湖北荆州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． ▌迁移练3-2（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 题型4 二次函数与一元二次方程、不等式 ▌例4-1 （25-26九年级上·河北唐山·期末）下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（ ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 ▌例4-2 （25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D．或 解题要点 二次函数与一元二次方程、不等式 1.方程根＝抛物线与x轴交点横坐标。 2.不等式解集看抛物线在x轴上方或下方。 ▌迁移练4-1（25-26九年级上·贵州遵义·期末）点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． ▌迁移练4-2（25-26九年级上·广西南宁·期末）已知二次函数（）的图象经过、、三点，若点在该函数图象上，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型5 二次函数最值问题 ▌例5-1 （25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 ▌例5-2 （24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 解题要点 二次函数最值问题 1.先确定开口方向。 2.再判断顶点是否在自变量范围内。 3.超出范围时比较端点函数值。 ▌迁移练5-1（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（ ） A．9 B． C．1 D．4 ▌迁移练5-2（2026·四川成都·模拟预测）某村大力发展特色农产品产业，大量栽种甜橙，同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品．甜橙丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元． (1)现场销售和网络销售每件获利分别是多少元？ (2)根据甜橙试销情况分析，现场销售量（件）和网络销售量（件）满足如下关系式：，求当为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？ 题型6 二次函数实际应用与综合探究 ▌例6-1 （25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． ▌例6-2 （25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 解题要点 二次函数实际应用与综合探究 1.建模关键是找到变量关系。 2.最值问题转化为二次函数求最值。 3.综合题注意数形结合，充分利用对称轴和顶点。 ▌迁移练6-1（2026·山西阳泉·三模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置（看为一点）为原点O，射水鱼与水面平行的直线为x轴，与水面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为． (1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． (2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫？ ▌迁移练6-2（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 难点一 二次函数图象与系数a、b、c的关系 二次函数y=ax²+bx+c的图象特征与各项系数的符号密切相关，通常结合图象进行综合判断，规律如下： 难点1.看开口定a：开口向上⇒a>0；开口向下⇒a<0。∣a∣越大，开口越小。 难点2.看对称轴定b：对称轴。根据“左同右异”判断：对称轴在y轴左侧，则a、b同号；在y轴右侧，则a、b异号；是y轴，则b=0。 难点3.看与y轴交点定c：交于正半轴⇒c>0；交于原点⇒c=0；交于负半轴⇒c<0。 难点4.看与x轴交点定Δ：两个交点⇒Δ>0；一个交点⇒Δ=0；无交点⇒Δ<0。 解题方法：能熟练运用“数形结合”思想解决图象与系数关系问题。 ①解答二次函数图象题型，按照“开口→对称轴→y轴交点→x轴交点”的顺次链条进行判断，能极大降低出错率。即先看开口定a，再由对称轴位置定b，然后看y轴交点定c，最后看与x轴交点定Δ。 ②对于双图象判断题（如二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象判断），可以采用“一图定符号，二图验坐标”的方法：先假定二次函数图象的位置，确定出a、b的正负，再对照一次函数的位置进行验证排除。 难点精练 1．（2026·江苏连云港·二模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，其中． 若该二次函数的图像的顶点坐标为，则关于这个二次函数的下列结论中： ①；②图像一定不经过第三象限；③；④．正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（ ） A． B． C． D． 难点二 二次函数在特定区间上的最值问题（含参/动点） 对于二次函数，当自变量x受限于某个区间[m,n]时，求其最值不能只看顶点坐标。 定开口：看a的符号判断形状。 判位置：分析对称轴x=h与区间[m,n]的位置关系。 高频误区：切勿不经判断直接套用顶点公式，一定要结合自变量的取值范围和对称轴的位置。 求最值： ①若对称轴在区间内部（m≤h≤n）：最大值和最小值分别在顶点处及离对称轴较远的端点处取得。 ②若对称轴在区间外部（h<m或h>n）：函数在区间上是单调的，最大值和最小值在区间的两个端点处取得。 难点精练 3．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 难点三 二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用 方法总结： ①与方程的关系：一元二次方程的实数根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。若已知交点坐标，则就是方程的一个根。 ②与不等式的关系：求不等式（或<0）的解集，就是寻找抛物线图象在x轴上方（或下方）所对应的自变量x的取值范围。利用图象直接在数轴上读出交点的横坐标即可快速求解，无需繁杂的计算。 难点精练 5．（2026·安徽蚌埠·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中：①该二次函数的关系式为；②若直线与二次函数的图象交于点A，B（点A在点B左侧），则线段；③关于x的方程的解是或；④当时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与直线相交于和点，数学兴趣小组的同学们经过讨论后得出如下结论：①抛物线的顶点坐标是；②点的坐标是；③方程的解是，；④不等式的解集是，其中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 难点四 二次函数图象的变换（平移、翻折、旋转） 1.常见题型：单次平移变换求解析式、逆向平移还原解析式、翻折（对称）与旋转变换、含参图象变换综合题 2.解题方法： ①平移：遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的口诀。一定要将函数化为顶点式 y=a(x−h)2+ky=a(x−h)2+k 再进行平移操作。 ②翻折（对称）： 沿x轴翻折：关于x轴对称，开口方向反向，顶点关于x轴对称。即a变为−a，k变为−k，h不变。 沿y轴翻折：关于y轴对称，开口方向不变，顶点关于y轴对称。即h变为−h，a、k不变。 ③旋转： 绕顶点旋转 180°：开口方向反向，顶点不变。即a变为−a，h、k均不变。 绕原点旋转 180°：开口方向反向，顶点关于原点对称。即a、h、k均变号。 3.易错提醒： ①口诀“左加右减”滥用：在二次函数中，必须确保函数已化为顶点式，且口诀是对自变量x本身进行加减。 ②翻折后忽略a的符号变化：只要涉及上下翻转（关于x轴翻折、绕顶点旋转 180°、绕原点旋转 180°），二次项系数a必定变为−a（开口方向相反）。 ③逆向平移中直接用“左加右减”：已知结果求原函数时，绝对不能死板地用“左加右减”，例如“向左平移m个单位得到新函数”，反推原函数时要写成x−(−m)，即向右平移回去。 难点精练 7．（2026·安徽宿州·三模）平移二次函数的图象得到一个新的二次函数图象，使其对称轴为直线，最大值为，且经过点，对平移前、后的两个二次函数图象有以下四个结论： ；将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到新的二次函数图象；平移后的二次函数图象与原函数图象的交点的横坐标为；平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为．其中结论正确的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（ ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的图象绕原点旋转后得到抛物线，若的图象经过，则的值为（ ） A． B． C． D． 基础达标 1.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是( ) A． B．3 C． D．5 2．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 3．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A．当且时，则 B．当且时，则 C．当时，则 D．当时，则 7．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A．或 B．或2 C． D． 8．（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 二、填空题 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_____（填序号）． 12．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 13．（25-26九年级上·广东东莞·期末）一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 三、解答题 14．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）． （ⅰ）若，且，比较与的大小； （ⅱ）当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于点和，下列结论不正确的是（ ） A．该函数图像的对称轴为直线 B． C．该函数图像与x轴的两个交点间的距离是 D． 3．（25-26九年级上·江西新余·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④ 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（ ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 5．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在的右侧作矩形，点F在边上，若，则的最大值为________． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，一次函数，自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： … 1 2 3 4 … … 0 … 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①；②若，当时，随增大而减小；③；④． 三、解答题 8．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 9．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 10．（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 复习要点 1.理解二次函数的概念，会确定自变量的取值范围及函数表达式。 2.会画二次函数的图象，掌握抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.掌握二次函数图象的平移规律，理解一般式与顶点式之间的转化。 4.掌握二次函数的增减性、对称性及最大值、最小值。 5.理解二次函数与一元二次方程的关系，会用图象求方程的近似解。 6.会建立二次函数模型，解决简单的实际问题。 复习重难点 重点：二次函数的图象与性质；图象的平移；二次函数与一元二次方程的关系。 难点：一般式与顶点式的转化；二次函数图象与性质的综合运用；建立二次函数模型解决实际问题。 知识点 二次函数的相关概念 1.二次函数的概念 一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中，x是自变量，a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项。 注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为a≠0. 2.二次函数解析式的确定 （1）二次函数常见表达式 名称 解析式 适用范围 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 已知抛物线上的无规律的三个点的坐标 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 已知抛物线与x 轴两交点坐标 注意:抛物线与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的解 相互联系 ①以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化。 ②一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法。 （2）对未给定二次函数解析式,根据所给点坐标选择适当的表达方式 ①顶点在原点,可设为y=ax²； ②对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax²+c; ③顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)²; ④抛物线过原点,可设为y=ax²+bx。 要点归纳：（1）二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c(a≠0)，其中 a 决定函数类型。 （2）根据题目条件选择合适的解析式形式：一般式、顶点式、交点式。 （3）三种形式可以相互转化，常用配方法、因式分解等方法进行变形。 要点速测 1．下列函数中，属于二次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 知识点 二次函数的图象与性质 1.二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象：是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。 二次函数图象的画法：(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象;(2)利用配方法找出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象。 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，当x=时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，当x=时 时y有最大值。 增 减 性 a>0 在对称轴x=的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=的右边y随x的增大而增大。 a<0 在对称轴x=的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=的右边y随x的增大而减小。 2.二次函数的图象变换 （1）二次函数的平移变换 总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项” 方法一: ①将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)²+k,其顶点坐标为(h,k); ②保持抛物线y=ax²的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处, 方法二: ①将抛物线y=ax²+bx+c沿y轴向上(或向下)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=ax²+bx+c+m(或y=ax²+bx+c-m); ②将抛物线y=ax²+bx+c沿x轴向左(或向右)平移m(m>0)个单位,得抛物线y=a(x+m)²+b(x+m)+c(或y=a(x-m)²+b(x-m)+c)具体平移方法如下: 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 （2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 3.二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： ①求一个点关于对称轴对称的点的坐标； ②已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴。 要点归纳：（1）抛物线的开口方向由 a 决定，顶点坐标决定最值，对称轴决定函数增减变化。 （2）二次函数图象平移遵循“左加右减，上加下减”的规律。 （3）利用顶点、对称轴、与坐标轴交点等特征，可以快速分析图象性质。 要点速测 2．如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（ ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 知识点 二次函数各系数a，b，c之间的关系 关系 符号 图象特征 a决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上 |a|越大，抛物线的开口小． a<0 开口向下 a、b共同决定抛物线对称轴的位置 b=0 对称轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c=0 抛物线经过原点 c>0 抛物线与y轴交于正半轴 c<0 抛物线与y轴交于负半轴 由b²-4ac 确 定抛物线与x轴交点的个数 b²-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点 b²-4ac=0 抛物线与x轴有一个交点 b²-4ac＜0 抛物线与x轴没有交点 注意：当x=1时,y=a+b+c;当x=-1时,y=a-b+c.若a+b+c>0,即当x=1时y>0;若a-b+c<0,即当x=-1时,y<0。 要点归纳：（1）a 决定抛物线开口方向和开口大小；b 与 a 共同决定对称轴位置。 （2）c决定抛物线与 y 轴的交点位置。 （3）利用a、b、c及b²-4ac的符号，可以判断图象特征及与坐标轴的位置关系。 要点速测 3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图象结合二次函数的图象及性质进行判断即可. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴下方， ∴， ∴，A选项错误； ∵对称轴在轴右侧，抛物线与轴的交点一个在轴左侧，一个在轴右侧， ∴， ∴，C选项错误； ∵， ∴，B选项正确； 当时，， ∴，D选项错误； 知识点 二次函数与方程、不等式 1.二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的解就是二次函数y=ax2＋bx＋c=0图象与 x 轴交点的横坐标. b2-4ac与 0的关系 二次函数与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0根的情况 b2-4ac>0 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac=0 1个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac<0 0个交点 没有实数根 2.二次函数与不等式的关系（以a大于0为例） 不等式以a大于0为例 图象 观察方法 解集 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴上方时 对应的自变量的取值 范围 x<x1或x>x2 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 函数y=ax²+bx+c的 图象位于x轴下方时 对应的自变量的取值 范围 x1<x<x2 要点归纳：（1）一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根，就是抛物线与 x 轴交点的横坐标。 （2）利用抛物线与 x 轴的位置关系，可以判断方程根的个数。 （3）二次不等式的解集可以结合函数图象，观察图象在 x 轴上方或下方的位置确定。 要点速测 4．二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 知识点 二次函数的应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤 （1）审：仔细审题，理清题意； （2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； （3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； （4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； （5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。 注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论。 2.方法技巧总结 （1）利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值； （2）抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题,建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题； （3）销售利润问题：根据“利润=(售价-进价)×销量列出函数解析式,利用二次函数的性质求最值； （4）利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算； （5）利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在。 要点归纳：（1）解决实际问题的一般步骤：审题→设元→建立函数模型→利用性质求解→检验结果。 （2）求最值问题时，要结合顶点坐标、自变量取值范围以及函数增减性综合判断。 （3）实际建模时要注意变量范围，使所得结果符合实际意义。 要点速测 5．一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：m）与足球被踢出后经过的时间（单位：s）之间的关系式为．有下列结论： ①足球距离地面的最大高度为； ②足球被踢出和时，足球距离地面的高度是一样的； ③足球被踢出时落地．其中正确的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】利用配方法和二次函数的性质，计算对应时间的高度，逐一判断结论即可． 【详解】解：， 当时，取得最大值，即足球距离地面的最大高度为，故①错误； 当时，， 当时，， 足球被踢出和时高度相等，故②正确； 当时，， 即足球被踢出时高度为，落地，故③正确； 综上，正确的结论共个． 题型1 二次函数的概念与解析式确定 ▌例1-1 （24-25九年级上·全国·期末）若函数是关于x的二次函数，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般式为是解本题的关键是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：， 故选B． ▌例1-2 （2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 解题要点 二次函数的概念与解析式确定 1.判断二次函数首先看最高次数和二次项系数。 2.点在函数图象上，直接代入解析式建立方程。 3.已知顶点优先设顶点式，已知交点优先设交点式。 ▌迁移练1-1（25-26九年级上·山东滨州·期中）若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． ▌迁移练1-2（2026·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（ ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 【答案】C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误； 令，则， 解得， ∴， ∴， 故C选项正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； ∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 故D选项错误． 题型2 二次函数的图象与性质 ▌例2-1 （2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（ ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． ▌例2-2 （2023·江苏连云港·模拟预测）把抛物线图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是，则的值为（ ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】将化为顶点式，确定顶点坐标，再反向平移得到原抛物线的顶点坐标，继而得到原抛物线的解析式，求出，，．代入计算即可． 【详解】解：． ∴其顶点坐标是， ∴将其向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到． ∴原抛物线的解析式是：． 所以，，． 所以． 解题要点 二次函数的图象与性质 1.顶点式是分析图象最快的方法。 2.平移遵循：左加右减；上加下减。 ▌迁移练2-1（2026·浙江绍兴·二模）已知二次函数，则下列关于这个二次函数的叙述正确的是（ ） A．图象的对称轴是直线 B．图象顶点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．图象只经过两个象限 【答案】D 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项，即可得到正确结果． 【详解】解：对二次函数配方得： ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 A选项中对称轴为，与计算结果不符，A错误． B选项中顶点坐标为，与计算结果不符，B错误． C选项中，∵开口向下，对称轴为， ∴只有时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，因此C错误． D选项中，∵抛物线顶点纵坐标为，开口向下， ∴函数图象全部在轴下方，只经过第三，第四两个象限，D正确． ▌迁移练2-2（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 题型3 二次函数图象与系数a、b、c的关系 ▌例3-1 （2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． ▌例3-2 （2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可； 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 故正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间， ， ， ， ， 抛物线开口向下， ， ， ，，， ，， 故②正确；③错误； ，抛物线开口向下， 时，其函数值大于0， ， 抛物线的顶点在x轴的上方， ， ， 故④错误； 故正确的结论有2个． 解题要点 二次函数图象与系数a、b、c的关系 1.开口方向 → 看a。 2.与y轴交点 → 看c。 3.对称轴 → 判断b。 ▌迁移练3-1（2026·湖北荆州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图象结合二次函数的图象及性质进行判断即可. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴下方， ∴， ∴，A选项错误； ∵对称轴在轴右侧，抛物线与轴的交点一个在轴左侧，一个在轴右侧， ∴， ∴，C选项错误； ∵， ∴，B选项正确； 当时，， ∴，D选项错误； ▌迁移练3-2（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数 图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数 的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 题型4 二次函数与一元二次方程、不等式 ▌例4-1 （25-26九年级上·河北唐山·期末）下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（ ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． ▌例4-2 （25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质，通过二次函数的图象判断不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据二次函数的图象判断不等式的解集即可． 【详解】解：根据抛物线的图象可知，当时， 或， 故选：D． 解题要点 二次函数与一元二次方程、不等式 1.方程根＝抛物线与x轴交点横坐标。 2.不等式解集看抛物线在x轴上方或下方。 ▌迁移练4-1（25-26九年级上·贵州遵义·期末）点在抛物线上，则关于的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．先求出点也在这个抛物线上，再根据二次函数图象的平移可得抛物线经过点，，则关于的一元二次方程的两个解为，，由此即可得． 【详解】解：∵点在抛物线上，且其对称轴为直线， ∴点也在这个抛物线上， 将二次函数的图象先向右移动1个单位，再向下平移2个单位长度所得到的二次函数的解析式为，即为， ∴抛物线经过点，，即，， ∴关于的一元二次方程的两个解为，， 即关于的一元二次方程的解是，， 故选：C． ▌迁移练4-2（25-26九年级上·广西南宁·期末）已知二次函数（）的图象经过、、三点，若点在该函数图象上，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由已知点求二次函数解析式，再根据自变量范围求函数值范围即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， 代入得， 解得， 解析式为，顶点坐标为． 当时，n在顶点处取最大值，最大值为4， 当时，， 当时，， 故． 故选：B 题型5 二次函数最值问题 ▌例5-1 （25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】先利用表格中的对应点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项，找出错误结论即可． 【详解】解：由表格可知当时，，当时，； ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 、，结论正确，不符合题意； 、由，则函数开口向上， ∵对称轴为， ∴将代入得， ∴函数最小值为，结论正确，不符合题意； 、当时，，， ∴恒成立，函数与轴交点都在正半轴，图象不经过第三象限，结论正确，不符合题意； 、由选项得函数对称轴为直线，不是，结论错误，符合题意． ▌例5-2 （24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若当时，的最小值是，求当时，的最大值； 【答案】(1)直线 (2)11 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）根据对称轴为直线代入求解即可． （2）根据二次函数的图像和性质可得出当时，，进而求出a的值，再得出当时，取的最大值，代入计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∵当时，的最小值是， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵当比当离对称轴近， ∴当时，取的最大值， 此时． 解题要点 二次函数最值问题 1.先确定开口方向。 2.再判断顶点是否在自变量范围内。 3.超出范围时比较端点函数值。 ▌迁移练5-1（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． ▌迁移练5-2（2026·四川成都·模拟预测）某村大力发展特色农产品产业，大量栽种甜橙，同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品．甜橙丰收后，将一批甜橙采取现场销售和网络销售结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利800元，网络销售可获利1000元，网络销售比现场销售每件多获利5元． (1)现场销售和网络销售每件获利分别是多少元？ (2)根据甜橙试销情况分析，现场销售量（件）和网络销售量（件）满足如下关系式：，求当为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) 现场销售每件获利20元，网络销售每件获利25元 (2) 当时，总利润最大，最大利润是20600元. 【分析】（1）设现场销售每件获利元，则网络销售每件获利元，结合题意的数量关系列分式方程求解即可； （2）设农户销售甜橙获得的总利润为元，结合题意得到，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设现场销售每件获利元，则网络销售每件获利元， ∴， 整理得，， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴现场销售每件获利20元，网络销售每件获利25元； （2）解：设农户销售甜橙获得的总利润为元， ∴， ∵， ∴， 化简得，， 配方得：， ∵ ，抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时，符合实际意义， ∴当为160时，农户销售甜橙获得的总利润最大，最大利润是20600元． 题型6 二次函数实际应用与综合探究 ▌例6-1 （25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． ▌例6-2 （25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用待定系数法解题即可； （2）求出抛物线的对称轴，分类讨论当时和当时，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；时，； ∴，， ∵， 设二次函数解析式为， 代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴； ①如图1，当时，， ∴，； ②如图2，当时， 过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：存在，，，． 解题要点 二次函数实际应用与综合探究 1.建模关键是找到变量关系。 2.最值问题转化为二次函数求最值。 3.综合题注意数形结合，充分利用对称轴和顶点。 ▌迁移练6-1（2026·山西阳泉·三模）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置（看为一点）为原点O，射水鱼与水面平行的直线为x轴，与水面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为． (1)求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． (2)一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫？ 【答案】(1) (2)射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动或才能击中昆虫 【分析】（1）根据题意得出，水柱过，利用待定系数法代入求解计算即可确定函数解析式，再由相应一元二次方程的根确定取值范围； （2）设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫，得出游动后射出水柱形成的抛物线的表达式为，然后将点代入求解即可． 【详解】（1）解：∵水柱的最大高度为， ∴． 根据题意，得水柱过． 把代入，得． 解得． 当时，． 解得，． ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫． ∴游动后射出水柱形成的抛物线的表达式为． 把代入，得． 解得或． ∴射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动或才能击中昆虫． ▌迁移练6-2（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 难点一 二次函数图象与系数a、b、c的关系 二次函数y=ax²+bx+c的图象特征与各项系数的符号密切相关，通常结合图象进行综合判断，规律如下： 难点1.看开口定a：开口向上⇒a>0；开口向下⇒a<0。∣a∣越大，开口越小。 难点2.看对称轴定b：对称轴。根据“左同右异”判断：对称轴在y轴左侧，则a、b同号；在y轴右侧，则a、b异号；是y轴，则b=0。 难点3.看与y轴交点定c：交于正半轴⇒c>0；交于原点⇒c=0；交于负半轴⇒c<0。 难点4.看与x轴交点定Δ：两个交点⇒Δ>0；一个交点⇒Δ=0；无交点⇒Δ<0。 解题方法：能熟练运用“数形结合”思想解决图象与系数关系问题。 ①解答二次函数图象题型，按照“开口→对称轴→y轴交点→x轴交点”的顺次链条进行判断，能极大降低出错率。即先看开口定a，再由对称轴位置定b，然后看y轴交点定c，最后看与x轴交点定Δ。 ②对于双图象判断题（如二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象判断），可以采用“一图定符号，二图验坐标”的方法：先假定二次函数图象的位置，确定出a、b的正负，再对照一次函数的位置进行验证排除。 难点精练 1．（2026·江苏连云港·二模）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表，其中． 若该二次函数的图像的顶点坐标为，则关于这个二次函数的下列结论中： ①；②图像一定不经过第三象限；③；④．正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】已知二次函数顶点坐标为 ，可得开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质逐一判断四个结论即可求解． 【详解】解：∵ 二次函数顶点坐标为，顶点是函数最低点， ∴ ，对称轴为直线. 由对称轴公式，得. 判断①： ∵ ，开口向上，对称轴左侧随增大而减小， ∴ 由得，①正确． 判断②： 举反例，取，代入顶点式， 得，解得， ，此时存在时，即图像经过第三象限，②错误． 判断③： ∵ ，，可以为负，如上述反例中，此时，故不恒成立，③错误． 判断④： ∵ 和时， ，，和关于对称轴对称， ∴ ，得，④正确． 综上，正确的结论共2个． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知，在同一直角坐标系中一次函数，二次函数，一平行于x轴的直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，若、、三点的横坐标分别为、、，且，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键．先分别求出、、三点的横坐标与的关系，并计算出表示的代数式，再根据一次函数与二次函数相交，求出交点，二次函数的最大值为，要使直线与一次函数交于点，与二次函数图像交于、两点，且，所以根据函数图象的特征可得的取值范围在和之间，即可求出的取值范围． 【详解】解：直线与一次函数交于点，点的横坐标为， 点，且满足， 即． 直线与二次函数图像交于、两点，、两点的横坐标分别为、，且， ， 解得，． ． 一次函数与二次函数相交， ， 解得，， 当时，，当时，， 一次函数与二次函数相交于，． 的对称轴为，且开口向下，最大值， ， ， ． 故选：B． 难点二 二次函数在特定区间上的最值问题（含参/动点） 对于二次函数，当自变量x受限于某个区间[m,n]时，求其最值不能只看顶点坐标。 定开口：看a的符号判断形状。 判位置：分析对称轴x=h与区间[m,n]的位置关系。 高频误区：切勿不经判断直接套用顶点公式，一定要结合自变量的取值范围和对称轴的位置。 求最值： ①若对称轴在区间内部（m≤h≤n）：最大值和最小值分别在顶点处及离对称轴较远的端点处取得。 ②若对称轴在区间外部（h<m或h>n）：函数在区间上是单调的，最大值和最小值在区间的两个端点处取得。 难点精练 3．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 【详解】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 4．（2026·安徽蚌埠·三模）已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 难点三 二次函数与一元二次方程、不等式的综合应用 方法总结： ①与方程的关系：一元二次方程的实数根，就是抛物线与x轴交点的横坐标。若已知交点坐标，则就是方程的一个根。 ②与不等式的关系：求不等式（或<0）的解集，就是寻找抛物线图象在x轴上方（或下方）所对应的自变量x的取值范围。利用图象直接在数轴上读出交点的横坐标即可快速求解，无需繁杂的计算。 难点精练 5．（2026·安徽蚌埠·二模）已知二次函数的图象如图所示，下列结论中：①该二次函数的关系式为；②若直线与二次函数的图象交于点A，B（点A在点B左侧），则线段；③关于x的方程的解是或；④当时，自变量x的取值范围是或．其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】代入点和到，求出的值可判断①；令，分别求出点A，B的坐标，可判断②；利用因式分解法解方程可判断③；结合图象可判断④． 【详解】解：代入点和到， 则， 解得， ∴二次函数的关系式为，故①正确； 令，则， 解得，， ∴，， ∴，故②正确； 关于x的方程，即， 整理得：， 解得，， ∴关于x的方程的解是或，故③正确； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴由图象得，当或时，， ∴当时，自变量x的取值范围是或，故④正确； 综上，正确的结论有①②③④． 6．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，抛物线与直线相交于和点，数学兴趣小组的同学们经过讨论后得出如下结论：①抛物线的顶点坐标是；②点的坐标是；③方程的解是，；④不等式的解集是，其中结论正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，包括：二次函数解析式的确定、顶点坐标的计算、函数交点的求解、一元二次方程的解以及不等式的解集与函数图象的关系． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线解析式为． 抛物线， ∴顶点坐标为，结论①正确； 令，解得(点)或， 代入直线得， ∴点坐标为，结论②正确； 方程即，因式分解得， 解得，，结论③正确． 抛物线与直线交于、，从图象上看，抛物线在直线下方的区域对应(点左侧)或(点右侧)， ∴不等式的解集是或，结论④错误． 综上，正确的结论为①②③，共3个，故选：C． 难点四 二次函数图象的变换（平移、翻折、旋转） 1.常见题型：单次平移变换求解析式、逆向平移还原解析式、翻折（对称）与旋转变换、含参图象变换综合题 2.解题方法： ①平移：遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的口诀。一定要将函数化为顶点式 y=a(x−h)2+ky=a(x−h)2+k 再进行平移操作。 ②翻折（对称）： 沿x轴翻折：关于x轴对称，开口方向反向，顶点关于x轴对称。即a变为−a，k变为−k，h不变。 沿y轴翻折：关于y轴对称，开口方向不变，顶点关于y轴对称。即h变为−h，a、k不变。 ③旋转： 绕顶点旋转 180°：开口方向反向，顶点不变。即a变为−a，h、k均不变。 绕原点旋转 180°：开口方向反向，顶点关于原点对称。即a、h、k均变号。 3.易错提醒： ①口诀“左加右减”滥用：在二次函数中，必须确保函数已化为顶点式，且口诀是对自变量x本身进行加减。 ②翻折后忽略a的符号变化：只要涉及上下翻转（关于x轴翻折、绕顶点旋转 180°、绕原点旋转 180°），二次项系数a必定变为−a（开口方向相反）。 ③逆向平移中直接用“左加右减”：已知结果求原函数时，绝对不能死板地用“左加右减”，例如“向左平移m个单位得到新函数”，反推原函数时要写成x−(−m)，即向右平移回去。 难点精练 7．（2026·安徽宿州·三模）平移二次函数的图象得到一个新的二次函数图象，使其对称轴为直线，最大值为，且经过点，对平移前、后的两个二次函数图象有以下四个结论： ；将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到新的二次函数图象；平移后的二次函数图象与原函数图象的交点的横坐标为；平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为．其中结论正确的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先根据平移性质和平移后函数的条件写出顶点式，代入已知点求出，再逐个判断四个结论． 【详解】解：平移后二次函数对称轴为直线，最大值为，且由平移得到， 平移后二次函数顶点式为， 将点代入得：，解得，故结论错误； 根据二次函数平移规则“左加右减，上加下减”，将向右平移个单位得，再向下平移个单位得，即新函数，故结论正确； 联立，即， 解得， 即两函数图象的交点的横坐标为，故结论正确； 对于，令，得， 即平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为，故结论错误． 综上，正确结论有，共个． 8．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数变形，求出原函数与x轴交点和顶点坐标，再得到沿x轴翻折后的顶点坐标，根据四个点组成正方形的性质，利用对角线相等列方程求解a． 【详解】解：∵， 令，解得或， ∴原函数与轴两交点为和，两交点间距离为，即四边形的一条对角线长为． 对原二次函数配方，得， ∴原函数顶点坐标为， ∵图象沿轴翻折，翻折后顶点横坐标不变，纵坐标变号， ∴翻折后顶点坐标为， ∴两顶点之间的距离为，即四边形的另一条对角线长为． ∵四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等， ∴， 解得． 9．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线的图象绕原点旋转后得到抛物线，若的图象经过，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题先将原抛物线化为顶点式，利用绕原点旋转的坐标变换性质，得到旋转后抛物线的顶点坐标和二次项系数，设的解析式为 ，将已知点代入，即可得的值． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点为，二次项系数为， ∵抛物线的图象绕原点旋转后得到抛物线， ∴的顶点为，二次项系数为， 设的解析式为 ， ∵经过点， ∴， 解得． 基础达标 1.（25-26九年级上·云南玉溪·期中）已知二次函数可化为的形式，则的值是( ) A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式与顶点式的相互转化、待定系数法等知识，将顶点式化成一般式确定对应系数，然后配方即可求解，熟练能将一般式与顶点式相互转化是解题的关键． 【详解】解： ∴，， ∴． 故选：A． 2．（2025·宁夏银川·三模）已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据二次函数要求二次项系数不为0，二次函数图象与x轴有交点时对应一元二次方程的判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数， 又∵该函数图象和轴有交点，即方程有实根， ∴， 化简得，解得， 综上的取值范围是且． 3．（25-26九年级上·河南南阳·期末）抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 4．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵图象经过和， ∴设二次函数为 ， ∵图象经过点， ∴， ∴， 当，则， 当，， 当，， 当，， ∵， 故a的值最大为， 故选：B． 5．（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知是抛物线（为常数）上的点，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，通过抛物线的开口方向与对称轴，结合点到对称轴的距离判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越远，函数值越小 又∵点在对称轴上，故是最大值． 点到对称轴的距离为 点到对称轴的距离为 ∵ ∴ ∴ 故选：B． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（ ） A．当且时，则 B．当且时，则 C．当时，则 D．当时，则 【答案】B 【分析】先整理抛物线解析式，得到抛物线的开口方向、对称轴、增减性以及与x轴交点坐标，再逐项分析判断即可． 【详解】解：，且， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 令，则， 解得：，， 与轴的交点坐标为和． 当时，；当时，；当时，； A、当时，则，且，则，那么或，选项错误； B、当时，则，且，则，那么选项正确； C、当时，由随的增大而减小可得，选项错误； D、当时，由随的增大而增大可得，选项错误； 7．（25-26九年级上·福建漳州·期末）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A．或 B．或2 C． D． 【答案】C 【分析】本题二次函数开口向上，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，利用二次函数的最值性质求解m，舍去不符合前提条件的解即可． 【详解】∵二次函数中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，分三种情况讨论： 若对称轴在区间左侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而增大， ∴最小值在处，代入得，此情况不成立； 若对称轴在区间内，即，得， ∵开口向上，顶点为最小值点，将代入函数得： ， 令，得，整理得，解得， ∵， ∴，符合条件； 若对称轴在区间右侧，即，得， ∵在范围内，y随x增大而减小， ∴最小值在处，代入得，解得， ∵，不符合的前提，故舍去． 综上，只有符合条件，因此选C． 8．（25-26九年级上·北京东城·期中）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，，不符合要求； 9．（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的抛物线，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，计算各点到对称轴的距离，即可比较函数值大小． 【详解】解：∵ 抛物线 中，对称轴为直线 ，且 ，抛物线开口向上， 分别计算三个点到对称轴的距离： ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∴  ， 又∵ 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大， ． 10．（25-26九年级上·福建厦门·期末）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，建立如图所示的平面直角坐标系，得水流喷出的高度与水平距离之间的函数关系式是，则水流喷出的最大高度为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把二次函数解析式化为顶点式，顶点的纵坐标即为水流喷出的最大高度，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流喷出的最大高度是（m）， 故选：A． 二、填空题 11．（25-26九年级上·山东淄博·期末）二次函数的图象如图所示，现有以下结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论有_____（填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求与b的关系，以及数形结合思想的运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ， 又∵对称轴， ， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ， ，故①错误； ②根据图示知，当时，，即，故②正确； ③根据图示知，当时，，即，故③正确； ④∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 12．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）已知二次函数在时的最大值是t，则t的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的性质 二次函数开口向下，顶点不在内，函数在上单调递减，最大值在左端点． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 由于，函数开口向下，且在对称轴右侧， ∴函数在区间上单调递减， ∴当时，最大值是t，． 故答案为：4． 13．（25-26九年级上·广东东莞·期末）一块三角形材料的形状如图所示，，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____． 【答案】12 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、二次函数的性质，由正切的定义可得，设，则，结合，得出，表示出矩形的面积，再由二次函数的性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ， ∵， ∴当时，矩形的面积最大，为， 故答案为：． 三、解答题 14．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线交x轴于点，，交y轴于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点A、C坐标代入即可得解； （2）连接与对称轴的交点即为P，连接，，再根据直线的解析式与对称轴求解P的坐标即可． 【详解】（1）解：将点A、C坐标代入得， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 如图，连接与对称轴的交点即为P，连接，， 此时的周长最小，点P即为所求， 当时， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为 当时， ∴． 15．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（A，B与原点都不重合）． （ⅰ）若，且，比较与的大小； （ⅱ）当时，若是一个与无关的定值，求a与b的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2) ； ， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）（ⅰ）根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； （ⅱ）将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再根据是一个与无关的定值，即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得，，即， ∴， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：（ⅰ）由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． （ⅱ）由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合， 所以，． 故，即． ∴． 依题意知，是与无关的定值． 则， 解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． ∴，． 能力进阶 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②当或时，函数的值等于；③；④．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，结合系数和图象，正确判断各结论是解题的关键． 先从函数图象上得到一些信息，确定出函数与系数的关系，然后再对各个结论进行判断． 【详解】解：根据函数图象得：，，与x轴交于，两点，对称轴为直线； ， ①，正确； ②当或时，函数的值等于，正确 ∵图象过点， ， ， ，③错误； ④∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ， ，故④错误； 所以正确结论有个． 2．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，二次函数的图像与x轴交于点和，下列结论不正确的是（ ） A．该函数图像的对称轴为直线 B． C．该函数图像与x轴的两个交点间的距离是 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决． 【详解】解：A、∵二次函数与轴交于和，∴对称轴公式为：，故此选项正确，不符合题意； B、当时，代入函数得： 由图像知，时，因此，而非， 故此选项错误，符合题意； C、两交点坐标为和，距离为：，故此选项正确，不符合题意； D、抛物线开口向下，故； 对称轴，，故；抛物线与轴交于正半轴，故；因此故此选项正确，不符合题意． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江西新余·期末）函数的图象（如图所示）是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①③ C．①② D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 【详解】解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向下平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向下平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 故选：A． 4．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④为任意实数时，总有；⑤若方程的两根为和，且，则；其中正确的结论有（ ）． A．①②⑤ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． ①利用对称轴，即可得到系数的关系； ②代入到函数表达式判断代数式的符号，得出结论； ③利用函数与轴交点处坐标，得到，，继而代入，根据，得出结论； ④利用函数达到最值时的取值，分别代入和，得到； ⑤根据对称轴和已知交点，得到另一交点坐标，将方程的解转化为二次函数图象与直线交点的问题，结合图象判断根的分布． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵时，， ∴，即，故②错误； ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵当时，，达到最大值， 当时，， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线解析式为， ∴方程的两根和为抛物线与直线的交点的横坐标， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论有①③⑤． 5．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】由点A存在可得，再根据恒成立，推导出或，结合点A存在条件得的取值范围． 本题考查了二次函数的增减性，解不等式，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数图象上，且， ∴ ， 解得； ∵ 函数开口向上，对称轴， ∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大， ∵， 且， ∴范围内，处取得最大值， ∴ ； ∵点也在函数图象上，且， ∴ ， 由恒成立，得， 化简得，即， 解得或， 结合点A存在条件， ∴ 或； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E是边上的动点（不与端点重合），连接，以为边在的右侧作矩形，点F在边上，若，则的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，二次函数的最值问题，设，可证明得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）已知二次函数，一次函数，自变量的部分取值和对应的函数值如下表所示： … 1 2 3 4 … … 0 … 下列说法正确的是__________．（填写序号） ①；②若，当时，随增大而减小；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 根据表格中和时y值相等，可得函数y的对称轴为，代入对称轴公式得；由时代入解析式得可判断①正确；通过计算得到，，从而，，可判断③④正确；对于②，当时，，但的对称轴不一定小于等于2，可判断②错误，进而可得答案． 【详解】解：由题意， 由表格数据知，当和时y值均为m，则函数y的对称轴为直线． 所以对称轴方程，解得． 当时，，则， 将代入得，即，故①正确． 当时，，则； ∴，，又， ∴，故③正确； 当时，，即． 所以，故④正确． 当时，，则． 由于，该函数的图象开口向下，对称轴为直线． 由得，则对称轴为直线． 由于，可能大于0，因此对称轴可能大于2， 故当时，不一定随x增大而减小，故②错误． 故答案为：①③④． 三、解答题 8．（2025·贵州贵阳·二模）根据以下素材，探索完成任务：如何设计隧道的限高方案． 【素材一】如图①是一个横断面呈抛物线形状的公路隧道口，图②是其示意图．经测量，其最高点离地面的高度为8m，宽度为16m． 【素材二】此隧道可双向通行，规定车辆在驶入隧道时，必须根据行车方向在隧道的中心线（）右侧且距离路边缘2m（）这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道竖直方向上的最小空隙不少于0.5m．为了保证车辆的行驶安全，隧道下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员． (1)确定隧道形状：在图中以点O为原点，建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按素材二的要求安全通过，该隧道应限高多少米？ (3)尝试隧道设计：在隧道中心线（）两侧的抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度均相等且不超过6m，求两排灯的水平距离的最小值． 【答案】(1) (2)3米 (3)8米 【分析】（1）以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把原点的坐标代入可得a的值； （2）易得点B处的横坐标，代入抛物线解析式，求得对应的抛物线上的点的纵坐标，设限高为h米，减去限高h，根据空隙不少于0.5米列出不等式即可求得隧道的限高； （3）取，求得对应的x的值，相减即为两排灯的水平距离的最小值． 【详解】（1）解：如图，以点O为原点，所在直线为x轴，垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点P的坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 又∵图象经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：设该隧道限高h米， ∵，， ∴， 当车高一定， 时，车辆顶部与隧道的空隙最小， 此时，， 此时，车辆顶部与隧道的最小空隙， ∴， ∴． ∴该隧道限高3米； （3）由题意，当时，， 解得，， ∴， ∴两排灯的水平距离的最小值是8米． 9．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上的一点，且点在第一象限，连接交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若的面积是的面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求表达式即可； （2）根据题意可得，进而得到点纵坐标，再代入抛物线求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点 ， 解得， 抛物线的表达式； （2）解：由题意，设， 又的面积是的面积的3倍， ． ． 又， ． ， （舍去）． 点坐标为． 10．（25-26九年级上·全国·期末）综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $