第二十一章一元二次函数单元测试卷 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，覆盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用，适配单元复习需求，体现数学思维与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|方程定义、配方、公式法|基础概念辨析，如第3题根的存在性判断| |填空题|6/18|根与系数关系、代数式求值|第13题估算根范围，体现几何直观| |解答题|8/72|含参数方程、实际应用|第24题旅游团费问题构建模型，培养应用意识|

第二十一章一元二次函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 2．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 3．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 4．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 5．用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 6．若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 7．已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 8．已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 9．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 10．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 12．已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 13．方程的正根介于正整数与之间，则________． 【答案】2 【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数的值． 【详解】解：， ∴ ， ∴方程的正根为， ， ， ，则． 14．若是一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，得，求解即可； 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 整理，得， 解得或， 一元二次方程， ， 解得， 故 15．设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 16．已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知方程：． (1)当m______时，它是关于未知数x的一元二次方程； (2)在（1）的条件下，若方程有两个不相同的实数根，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】本题考查解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数，熟练掌握公式法是解题的关键； （1）根据一元二次方程的定义即可求解； （2）根据一元二次方程根的判别式的意义，得到，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵是关于未知数x的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． （2）∵方程有两个不相同的实数根， ∴，即， 解得：且． 18．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 19．解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 20．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“方程有两个不相等的实数根”可知判别式,列不等式即可求出的取值范围； （2）利用根与系数的关系得到两根之和，结合已知，求出两根的值，再通过两根之积求出的值． 【详解】（1）解：已知一元二次方程为 ,方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：对于一元二次方程 ， 由根与系数的关系可得 ，， ∵， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 22．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，则是增根，舍去； 当时，，满足方程， ∴原方程的解为． 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根，，且，求值． 【答案】(1)证明： 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为，，，根据其关系可列方程计算值． 【详解】（1）略 （2）根据题意得， ， ， 解得， 的值为． 24．请完成“问题解决”中的任务1和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000人，到12月份报名的人数将达到1440人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20人组团，每人的团费为800元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10元，平均每个团的报名人数会增加1人，但每人的团费不能低于600元． 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费． 【答案】(1)10月份至12月份报名人数的月平均增长率为； (2)降低团费后每人的团费为元. 【分析】（1）设月平均增长率为，10月人数为基础量1000人，连续增长两个月到12月1440人，根据平均增长率公式：列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低元，则单人团费变为元；每降元多人，每组人数变为人．总团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费元筛选合理解． 【详解】（1）解：设10月份至12月份报名人数的月平均增长率为． 由题意得方程：， 两边同除以1000：， 解得或（增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为． （2）解：设每人团费降低元（为正整数）， 则降低后单人团费：，每组报名人数：． 由总团费元列方程： ， 解得：，． 根据限制条件每人团费不能低于600元检验： ①当时，单人团费元，符合要求； ②当时，单人团费元，，不符合要求，舍去． 降低团费后每人的团费为600元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二十一章一元二次函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3(0-9)-(+1)2=1 c.2=1 D.x+1=x-1 2.若方程m-3)x+3x-3=0 关于x的一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.-1 c.1 D.3 3.若一元二次方程ax2+br+c=0中的a,b,c满足4a-2b+c=0,则方程必有根() A.x=0 B.x=2 C.x=-2 D.x=±2 4,若一元二次方程r-6x+n=0 (x-m)2= 方得到 2,则m,”的值分别为() A.m=3,n=7 B.m=3,n=11 C.m=-3,n=10 D.m=2,n=11 5.用公式法解一元二次方程x2-2x=3时，b-4ac的值为() A.-8 B.8 C.16 D.17 6.若a是关于x的方程3x2-x-1=0的一个根，则2026-6a2+2a的值是() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 7.已知一元二次方程 2x(x+7）-10(x+7）= 0的两根为0、b,且a>b,则a+2b= () A.-13 B.-9 C.4 D.-3 8.已知关于x的方程ax2+4x-2=0有两个实数根，则a的取值范围是() A.a≥-2 B.a>-2 C.a≥-2且a≠0D.a≤2且a≠0 试卷第1页，共3页 9.若关于x的一元二次方程4x2+4mx+2m2+6m+9=0有解，则该方程的解是（) A.-1.5和l.5B.1.5和1.5 C.0和-1.5 D.0和3 10.直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播 销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件：若销售单价每涨2元， 月销售量就减少10件.若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售 单价应定为x元，可列方程为() B.(x-40)[500-2(x-50)×10]=9000 c.(50-40-50-7×10 =9000 D.(50-40-x)(500-10×2x)=9000 二、填空题（每题3分，共18分) 11.已知m是一元二次方程x2+2x-2=0的一个根，则代数式2m2+4m的值是 12.已知=“是方程+3r-1=0的一个根，则代数式 2+3a+√3 的值为 13.方程x2-2x-1=0的正根介于正整数m与m+1之间，则m=」 14.若-是一元二次方程a-2r-4+a=0 一个根，则的值为， 15.设，5是方程-5x+3=0的两个根，则-66 16,已知，M=12m-33.N=2m2-4m 则M N.(填“>”，<”或= ”) 三、解答题（每题9分，共72分） (m-1)x2-4x-5=0 17.己知方程： (1)当 时，它是关于未知数x的一元二次方程： (2)在(1)的条件下，若方程有两个不相同的实数根，求m的取值范围. 试卷第2页，共3页 18,已知a是方程r2-2026x+1=0的-个根，试求02-2025a a2+1 2026的值. x(x-2)=-3(x-2) 19.解方程： 20.解一元二次方程： ①r-6r=0 2②r-3x+1=0 21.已知关于x的一元二次方程x2-6x+m=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围： (②四芳方程的两根为5，。，且=2五，求弘的值 1 22.解方程：x-2 1=4 x2-4· 23.已知关于x的一元二次方程 2+(m-3)x+m-5=0 (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (②)若方程有两个实数根，。，且 x+x2+2xx2=3 ,求m值. 24.请完成“问题解决”中的任务1和任务2. “广西桂林三日游”调研分析 10月份报名参加“广 西桂林三日游”的人 背景 数为1000人，到12 月份报名的人数将达 到1440人. 该旅行社提供的“广 西桂林三日游”旅行 素材1 活动的初步方案为20 人组团，每人的团费 试卷第3页，共3页 为800元. 经调查发现，若每人 的团费每降低10元， 平均每个团的报名人 素材2 数会增加1人，但每 人的团费不能低于 600元. 问题解决： (1)任务1：求10月份至12月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率： (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000元，求降低团费后每人的团费. 试卷第4页，共3页