专题20.1 认识二次根式（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次根式的概念、有意义条件、双重非负性及两个核心性质，构建从概念识别到条件分析，再到性质应用与化简计算的完整学习支架，通过知识点分层讲解与即学即练衔接前后内容。 资料以“知识点+题型”双轨设计为亮点，通过典例与变式题组强化数学思维，如复合型代数式取值范围问题培养推理意识，规律探究题型发展创新意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

专题20.1 认识二次根式 教学目标 1.理解二次根式的概念，能准确识别二次根式。 2.掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中字母的取值范围。 3.理解二次根式的双重非负性，掌握两个核心性质。 4.能运用二次根式的性质进行化简、计算与简单推理。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的概念与有意义的条件 （2）二次根式的双重非负性 （3）二次根式的两个性质及化简应用 2.难点 （1）复合型代数式有意义的条件分析 （2）与绝对值的结合化简 （3）二次根式非负性的综合应用 知识点01：二次根式的概念 1.定义：形如（）的式子叫作 ，“”叫作 ，叫作 。 2.判定条件：① ；② 。 3.说明：被开方数可以是 ，也可以是 ；二次根式是形式定义，如是二次根式，其化简结果2不是二次根式。 【即学即练】 1．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 知识点02：二次根式有意义的条件 1.基本条件：二次根式有意义的条件是被开方数 。 2.分式型：若分母中含有二次根式，如，需满足 （同时保证被开方数非负、分母不为0）。 3.复合型：若式子中含有多个二次根式，或同时包含分式、零指数幂等，需同时满足所有部分有意义的条件，联立不等式组求解。 【即学即练】 1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．要使式子有意义，则x的取值范围是________． 知识点03：二次根式的双重非负性 1.被开方数非负： ； 2.二次根式的值非负： 。 3.应用：若几个非负数（绝对值、偶次幂、二次根式）的和为0，则每一个非负数都为0。 【即学即练】 1．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 2．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 知识点04：二次根式的核心性质 性质 公式 的取值范围 运算顺序 结果 性质1 先开方，再平方 性质2 全体实数 先平方，再开方 联系：①两个式子的结果都是非负数；②当时，。 【即学即练】 1．若，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（1）______；（2）______ 题型01二次根式的识别判断 同时满足“含二次根号”“被开方数非负”两个条件，即为二次根式。 【典例1】. 下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 下列式子不是二次根式的是（   ） A． B．（） C． D． 【变式2】. 下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】. 下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 题型02求单个二次根式有意义的字母范围 令被开方数大于或等于0，解不等式得到取值范围。 【典例2】. 要使二次根式有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. 如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 【变式3】. 二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型03复合型代数式有意义的字母范围 分别列出二次根式、分式、零指数幂的有意义条件，联立不等式组求解。 【典例3】. 代数式有意义时，x的取值范围是_____________． 【变式1】. 若式子有意义，则实数的值可以是（     ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式2】. 若式子有意义，则x的取值范围是______； 【变式3】. 若有意义，则的取值范围是__________． 题型04二次根式的非负性基础应用 几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，列方程求解。 【典例4】. 若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【变式1】. 若与互为相反数，则的值为______． 【变式2】. 已知，则________． 【变式3】. 已知，则的立方根是______． 题型05被开方数非负性的隐含条件应用 当被开方数互为相反数时，被开方数只能都为0，据此求出字母的值。 【典例5】. 若，则_____________． 【变式1】. 若a、b都为实数，且， _____． 【变式2】. 已知丶满足，则______． 【变式3】. 已知，则的平方根为_____． 题型06利用进行计算 直接套用公式计算；逆用公式可将非负数写成平方形式。 【典例6】. 计算：___________． 【变式1】. 下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. 若，则_______． 【变式3】. 化简：__________． 题型07结合数轴化简二次根式 由数轴确定字母的正负及大小关系，判断代数式符号，再去绝对值化简。 【典例7】. 实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【变式1】. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（    ） A． B． C． D． 【变式2】. 已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【变式3】. 已知实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：． 题型8二次根式的规律探究 观察式子的数字结构与运算关系，总结通用规律，用含的代数式表示。 【典例8】. 观察下列式子： ； ； ； (1)请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； (2)请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 【变式1】. 观察下列各式，发现规律：；；… (1)填空：______； (2)计算（写出计算过程）：； (3)请用含自然数的代数式把你所发现的规律表示出来． 【变式2】. 观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：________； (2)按照上述等式反映的规律，写出第个等式（用含的等式表示）________； (3)验证（2）中等式的正确性． 【变式3】. 观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)写出第4个等式：__________________ (2)写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 1．下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 4．使二次根式有意义的实数x的取值范围是_______． 5．当时，化简：________． 6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 7．已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值． (2)试问a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 8．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述等式，解答下列问题： (1)根据上述规律，第6个等式为________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)计算． 1．若的值是有理数，则a的最小偶数值是（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 2．如图，已知实数，在数轴上表示的点分别为，，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 3．实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C．－3 D．1 4．已知，则的值为__________． 5．计算的结果是______（结果保留）． 6．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 7．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 8．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20.1 认识二次根式 教学目标 1.理解二次根式的概念，能准确识别二次根式。 2.掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中字母的取值范围。 3.理解二次根式的双重非负性，掌握两个核心性质。 4.能运用二次根式的性质进行化简、计算与简单推理。 教学重难点 1.重点 （1）二次根式的概念与有意义的条件 （2）二次根式的双重非负性 （3）二次根式的两个性质及化简应用 2.难点 （1）复合型代数式有意义的条件分析 （2）与绝对值的结合化简 （3）二次根式非负性的综合应用 知识点01：二次根式的概念 1.定义：形如（）的式子叫作二次根式，“”叫作二次根号，叫作被开方数。 2.判定条件：①式子中含有二次根号；②被开方数是非负数。 3.说明：被开方数可以是具体的数，也可以是含字母的代数式；二次根式是形式定义，如是二次根式，其化简结果2不是二次根式。 【即学即练】 1．下列各式是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中，被开方数，满足定义，故A是二次根式； 选项B中，被开方数，二次根号下负数无意义，故B不是二次根式； 选项C中，，可得，二次根号下负数无意义，故C不是二次根式； 选项D中，是三次根式，不满足定义，故D不是二次根式． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 知识点02：二次根式有意义的条件 1.基本条件：二次根式有意义的条件是被开方数。 2.分式型：若分母中含有二次根式，如，需满足（同时保证被开方数非负、分母不为0）。 3.复合型：若式子中含有多个二次根式，或同时包含分式、零指数幂等，需同时满足所有部分有意义的条件，联立不等式组求解。 【即学即练】 1．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式被开方数为非负数． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 2．要使式子有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负，分式分母不为0列不等式求解即可． 【详解】解：式子有意义， 二次根式的被开方数非负，且分母不为， ∴， 解得． 知识点03：二次根式的双重非负性 1.被开方数非负：； 2.二次根式的值非负：（）。 3.应用：若几个非负数（绝对值、偶次幂、二次根式）的和为0，则每一个非负数都为0。 【即学即练】 1．已知直角三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此直角三角形的第三边为（     ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边，结合勾股定理计算即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴，，得 ，， 分两种情况讨论： ① 当，都为直角边时，第三边为斜边， 由勾股定理得，第三边长为； ② 当为斜边，为直角边时，第三边为直角边， 由勾股定理得，第三边长为； ∴ 此直角三角形的第三边为或． 2．若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 【详解】解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： (1)当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， (2)当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 知识点04：二次根式的核心性质 性质 公式 的取值范围 运算顺序 结果 性质1 先开方，再平方 等于被开方数 性质2 全体实数 先平方，再开方 等于的绝对值 联系：①两个式子的结果都是非负数；②当时，。 【即学即练】 1．若，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．（1）______；（2）______ 【答案】 3 2 【分析】根据二次根式的性质和求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 题型01二次根式的识别判断 同时满足“含二次根号”“被开方数非负”两个条件，即为二次根式。 【典例1】. 下列各式一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数是非负数，据此逐一判断选项即可 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫作二次根式，需同时满足根指数为2，被开方数为非负数两个条件 选项A中，当时，无意义，不一定是二次根式，不符合要求； 选项B中，被开方数，无意义，不是二次根式，不符合要求； 选项C中，根指数为2，被开方数，满足二次根式的所有条件，一定是二次根式，符合要求； 选项D中，根指数为3，是三次根式，不是二次根式，不符合要求 【变式1】. 下列式子不是二次根式的是（   ） A． B．（） C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，逐一分析各选项中被开方数的取值范围，判断是否满足非负条件，从而选出不是二次根式的选项． 【详解】解：选项A：∵被开方数， ∴是二次根式，故A项不符合题意． 选项B：∵，满足被开方数非负的条件， ∴是二次根式，故B项不符合题意． 选项C：∵对任意实数，都有， ∴， ∴是二次根式，故C项不符合题意． 选项D：∵被开方数，不满足二次根式的定义， ∴不是二次根式，故D项符合题意． 【变式2】. 下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式要求被开方数为非负数，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数即可. 【详解】解：A.当时，，不是二次根式，故不符合题意； B. 对任意实数，都有，则 ，因此一定是二次根式，故符合题意； C.当时，不是二次根式，故不符合题意； D.当时，，不是二次根式，故不符合题意. 【变式3】. 下列式子是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫作二次根式，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：选项A中根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项B中根指数为3，是三次根式，不符合定义， 选项C中被开方数，无意义，不符合定义， 选项D中是多项式，不含二次根号，不符合定义． 题型02求单个二次根式有意义的字母范围 令被开方数大于或等于0，解不等式得到取值范围。 【典例2】. 要使二次根式有意义，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴有意义需满足 ， 解得 ， 选项中只有满足条件． 【变式1】. 如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义的条件可得， 移项得， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 【变式2】. 式子在实数范围内有意义，则的值可以是（     ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，先根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项中符合条件的值即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，被开方数需为非负数， ， ， 选项中只有满足， 因此选D． 【变式3】. 二次根式中字母的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“二次根式被开方数为非负数”列不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数 ， ∴对于二次根式，可得不等式 ， 解不等式得． 题型03复合型代数式有意义的字母范围 分别列出二次根式、分式、零指数幂的有意义条件，联立不等式组求解。 【典例3】. 代数式有意义时，x的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式的定义，被开方数需大于等于，可得 ． 根据分式的定义，分母不能为，可得， 即， 联立两个条件可得 ， 解不等式得． 【变式1】. 若式子有意义，则实数的值可以是（     ）． A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式的被开方数须为非负数，分式的分母不能为零，据此列出不等式得到x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】式子有意义， ，且 分子， 可得 解得 选项中只有满足，符合条件． 【变式2】. 若式子有意义，则x的取值范围是______； 【答案】 【详解】解：若二次根式有意义，则被开方数为非负数，据此得， 解得． 【变式3】. 若有意义，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组，求解后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：要使有意义，需同时满足二次根式被开方数为非负数，且分式分母不为零． 列不等式组得 解得且， 则的取值范围是且． 题型04二次根式的非负性基础应用 几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，列方程求解。 【典例4】. 若等腰三角形的两边长分别为，，且满足，则该等腰三角形的周长为________． 【答案】 7 【分析】解题的关键在于要利用分类讨论思想对等腰三角形三边情况进行分类，并利用三角形三边之间的关系进行验证．先根据的性质化简原等式，再利用绝对值的非负性列式求出a、b的值，最后，分a的值是等腰三角形的腰长还是底边这两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，符合题意； 当是等腰三角形的腰，是等腰三角形的底时，，不符合题意，此种情况舍去； ∴等腰三角形的周长为：． 【变式1】. 若与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】由相反数的定义可得，再结合非负数的性质得出，，求出，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2】. 已知，则________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为时，每个非负数均为，据此分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ∴，， ∴． 【变式3】. 已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 【详解】解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． 题型05被开方数非负性的隐含条件应用 当被开方数互为相反数时，被开方数只能都为0，据此求出字母的值。 【典例5】. 若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， ． 【变式1】. 若a、b都为实数，且， _____． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，已知字母的值求代数式的值等．根据题意可得，，继而代入中即可求出本题答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式2】. 已知丶满足，则______． 【答案】6 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和代数式求值，理解被开方数为非负数是解题关键． 先根据二次根式有意义的条件求解a，从而确定出b，代入求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， 把代入得 ∴． 故答案为：6． 【变式3】. 已知，则的平方根为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键 根据被开方数大于等于0列式，得出x的值，再根据题目中y与x的关系式计算出y，代入代数式求值，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】 ， ， ， 把代入中 的平方根为， ∴的平方根为， 故答案为：． 题型06利用进行计算 直接套用公式计算；逆用公式可将非负数写成平方形式。 【典例6】. 计算：___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】. 下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A，，A错误； 对于选项B，，B错误； 对于选项C，，C错误； 对于选项D，．等式成立，D正确． 【变式2】. 若，则_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式3】. 化简：__________． 【答案】 【详解】解：． 题型07结合数轴化简二次根式 由数轴确定字母的正负及大小关系，判断代数式符号，再去绝对值化简。 【典例7】. 实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ． 【变式1】. 实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，那么化简的结果（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，立方根，绝对值的性质等知识，解题的关键是正确判定符号和熟练运用各种性质进行计算． 根据实数，在数轴上对应的点的位置，得出，且，， ，再根据算术平方根，立方根，绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：根据数轴可得：，且， ， ， 故选：A． 【变式2】. 已知实数，在数轴上对应的点如图所示，化简． 【答案】 【详解】解：由图可得，且， ∴，， ∴ . 【变式3】. 已知实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质化简，先由数轴得，再结合二次根式的性质化简，即可作答． 【详解】解：由数轴，得 ∴，． ． 题型8二次根式的规律探究 观察式子的数字结构与运算关系，总结通用规律，用含的代数式表示。 【典例8】. 观察下列式子： ； ； ； (1)请根据以上规律写出第四个式子，并说明等式成立的理由； (2)请用含有正整数的式子表示上述规律，并加以证明． 【答案】(1)第四个式子为，理由如下： 左边右边， 因此等式成立； (2)归纳规律得：对任意正整数，； 证明：左边 ， 为正整数， ， ， 左边右边 ， 等式成立． 【分析】先观察已知等式中各部分数字的变化规律，归纳得到第四个式子包含的一般性规律，再利用二次根式的性质化简验证等式成立． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】. 观察下列各式，发现规律：；；… (1)填空：______； (2)计算（写出计算过程）：； (3)请用含自然数的代数式把你所发现的规律表示出来． 【答案】(1) (2)，过程见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简与规律探究，熟练掌握二次根式的性质以及观察归纳数字规律是解题的关键． （1）观察所给式子的规律，直接按照前面式子呈现的模式计算的值． （2）先将根号内的式子通分，再把分子变形为完全平方形式，最后根据二次根式的性质化简计算． （3）分析前面式子中数字的变化规律，用含自然数的代数式表示出通用规律． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式= （3）解：通过观察前面的式子，发现规律为 【变式2】. 观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：________； (2)按照上述等式反映的规律，写出第个等式（用含的等式表示）________； (3)验证（2）中等式的正确性． 【答案】(1) (2)第个等式：，（n为正整数） (3)证明：∵左边右边， ∴等式成立． 【分析】（1）观察已知等式即可求解； （2）根据题意写出等式即可； （3）利用二次根式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第4个等式为； （2）略． （3）略． 【变式3】. 观察下列等式，并解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)写出第4个等式：__________________ (2)写出你猜想的第个等式：______________________（用含n的等式表示，且n为整数），并证明等式的正确性． 【答案】(1) (2)， 证明：∵ ， 又∵ ， ∴． 【分析】（1）仿照题意写出第4个等式即可； （2）观察式子，可得第n个等式为，然后利用二次根式的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式为； （2）略 1．下面式子中，不是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二次根式的被开方数必须为非负数，据此判断选项即可得到答案． 【详解】解：选项A中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项B中被开方数，不满足二次根式的要求，不是二次根式，该选项符合题意； 选项C中，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意； 选项D中对任意实数都有，满足被开方数非负，是二次根式，该选项不符合题意． 2．二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 3．实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可判断出的符号，根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 4．使二次根式有意义的实数x的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：二次根式 有意义， ， 解得． 5．当时，化简：________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴． 6．实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，进而化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 根据二次根式的性质可得， 根据绝对值的性质可得， 所以． 7．已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值． (2)试问a，b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)a，b，c为边长能构成直角三角形，理由如下： ∵， ∴ ∴a，b，c能构成直角三角形，且b为斜边． 【分析】（1）利用平方、算术平方根、绝对值的非负性，几个非负数相加和为0，则每一项都为0，分别列等式求出、、； （2）先比较三边长短确定最长边，再计算两条较短边的平方和与最长边的平方，依据勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形． 【详解】（1）解：∵ ∴，，， 解得，，； （2）略 8．观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述等式，解答下列问题： (1)根据上述规律，第6个等式为________． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)计算． 【答案】(1) (2)（n为正整数）． 证明：右边． 左边 ． 左边右边， 等式成立． (3) 【分析】（1）观察题目中给出的四个等式，寻找规律，等式左边的根号内包含三项。第一项是常数1，第二项是，第三项是．其中对应等式的序号（第1个等式中，第2个等式中，以此类推）．等式右边由三项组成，分别是常数1，正分数，以及负分数．根据上述规律分析，再得出最终结论． （2）需要证明这个等式成立，可以分别化简等式的左边和右边，看结果是否相等． （3）根据在（2）问中得出的结论，，可以将待求算式中的每一项都用右边的形式替换，计算时将常数项和分数项分开计算，最后应用裂项相消的方法求和即可． 【详解】（1） （2）略 （3）根据猜想可得原式 ． 1．若的值是有理数，则a的最小偶数值是（     ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】D 【详解】A．当时，，不是有理数，不符合题意； B．当时，3不是偶数，不符合题意； C．当时，，不是有理数，不符合题意； D．当时，，是有理数，且12是偶数，符合题意． 2．如图，已知实数，在数轴上表示的点分别为，，化简的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴原式． 3．实数在数轴上的位置如图所示，化简（     ） A． B．1 C．－3 D．1 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴原式． 4．已知，则的值为__________． 【答案】 【分析】将，变形后得出，再利用完全平方公式得出，再通过整体代入简化计算即可； 【详解】解：∵， ∴， 两边同时平方得， 展开得， 整理得， 将代入得原式． 5．计算的结果是______（结果保留）． 【答案】 【分析】先比较出，再结合二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．已知是正整数，是整数，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若二次根式运算结果为整数，则被开方数应为完全平方数，据此即可求出最小正整数． 【详解】解：， 已知是整数，是正整数，因此为整数，即为完全平方数． 因为是质数，所以满足条件的最小正整数为． 7．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得． ， 原式． 【启发应用】按照上面的解法，试化简（结果保留）； 【答案】 【分析】根据例子找出隐含条件，求出的取值范围，再根据算术平方根和绝对值的非负性，对原式进行化简． 【详解】解：， ∵隐含条件，解得， ∴， 原式． 8．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （3）仿照小知的方法将化为，即可化简； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $