21.3 第1课时 图形变换和面积问题（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦图形变换和面积问题，是一元二次方程实际应用的专题课。通过复习矩形、正方形面积公式及方程解法，结合校园草坪修道路、照片加边框等生活情境导入，衔接旧知与新知，搭建学习支架。 此资料以三大经典面积模型（道路平移、边框宽度、图形裁剪）为核心，运用平移转化、割补法等，借助动态演示图和分层练习，培养学生几何直观、空间观念（数学眼光）与建模能力（数学思维）。典型错题辨析助学生规范根的取舍，提升应用意识，教师可通过模型归纳和易错点指导高效教学。

21.3 实践与探索21.3 图形变换和面积问题 教案 一、教材分析 《图形变换和面积问题》是一元二次方程实际应用的重点专题课，是学生掌握解方程、根的判别式、根与系数关系后的综合应用课时。本节课主要利用一元二次方程解决初中高频几何题型，包含矩形、正方形、道路平移、边框宽度、图形裁剪等经典面积模型。面积问题是中考必考题型，实现了代数运算与几何图形的有机结合，充分体现数形结合思想。学好本节课，既能巩固一元二次方程的解法，又能提升学生几何建模、图形分析、等量提取的能力，为后续二次函数几何综合题、动态几何问题奠定重要基础。 二、学情分析 九年级学生已熟练掌握一元二次方程的四种解法，具备基础的几何图形面积公式，能够处理简单的几何计算问题。但学生在几何应用题中普遍存在思维短板：不会通过平移、割补、转化简化图形；无法准确表示变化后的图形边长；容易忽略边长为正数的实际取值限制；建模能力薄弱，难以从复杂图形中提取“面积等量关系”。同时学生习惯算术思维，对动态变化、图形平移类问题分析不全面，容易出现列式错误、解出增根不会取舍等问题。 三、教学目标 1. 知识与技能：掌握利用一元二次方程解决常见图形面积、道路平移、边框宽度、裁剪拼接等问题；学会通过平移、割补法转化不规则图形，准确建立面积等量关系；能根据实际意义舍去不合理的负根或超范围根。 2. 过程与方法：经历“观察图形—分析变化—设元列式—解方程检验”的完整建模过程，体会数形结合、转化思想，提升学生几何识图能力、代数建模能力和综合运算能力。 3. 情感态度与价值观：感受代数方法解决几何问题的便捷性，体会数形结合的数学魅力，培养严谨的审题习惯、规范的解题思维和实事求是的取值态度，增强学生解决综合应用题的信心。 四、教学重难点 重点：掌握常见面积模型的等量关系，能列出一元二次方程求解图形变换、面积计算问题。 难点：利用平移、割补转化复杂图形；准确表示变化后的边长；根据实际几何意义对方程的根进行合理取舍。 五、教学准备 多媒体课件、几何动态演示图、分层练习题、典型模型错题素材 六、教学过程 （一）复习旧知，情境导入（5分钟） 复习常见几何图形面积公式：矩形、正方形面积计算公式，回顾一元二次方程解法及实际问题根的取舍原则。创设生活情境：校园草坪修建道路、照片加边框、纸片裁剪拼接，提问学生：图形发生平移、加宽、裁剪变化后，如何准确求出变化的宽度、边长？引出本节课课题：图形变换和面积问题，开启一元二次方程几何应用专题学习。 （二）探究新知，模型突破（22分钟） 1. 模型一：道路平移问题（核心必考） 出示经典题型：一块矩形草坪长、宽已知，中间修建等宽十字道路，剩余草坪面积为定值，求道路宽度。教师重点讲解平移转化思想：将横竖道路向边缘平移，剩余草坪拼接为完整新矩形，避免复杂分步计算。引导学生设道路宽为x，准确表示新矩形的长和宽，利用“新矩形面积=已知面积”列方程。着重强调：平移前后空白面积不变，简化运算，是解决道路问题的最优方法。 2. 模型二：边框宽度问题 以照片镶边、桌面包边题型为例：已知原图长宽，四周加等宽边框，整体总面积已知，求边框宽度。引导学生分析：边框等宽，设宽度为x，整体长宽均增加2x，根据整体面积减去原图面积等于边框面积列方程，规范设元与列式步骤。 3. 模型三：图形裁剪与增减面积问题 讲解正方形、矩形裁剪拼接题型，通过边长变化引发面积变化，找准变化前后的边长关系，利用面积差建立等量，列出一元二次方程求解。 4. 例题精讲与取值取舍 示范完整解题流程：审题识图—图形转化—设未知数—列方程—解方程—检验取舍。重点突破易错点：几何边长必须为正数，且变化后边长不能小于0，超出范围的根必须舍去，杜绝数学解合格、实际意义不合理的错误。 5. 高频易错点汇总 易错点：平移后边长表示错误、边框只加x不加2x、忽略边长为正的实际条件、不舍去增根、等量关系列反。通过错题辨析、图形对比，强化学生建模准确性。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：简单矩形边框、单方向道路面积问题，夯实基础模型；提升练习：十字道路、双向图形变换综合题型，训练图形转化能力；拓展练习：裁剪拼接、面积增减综合应用题，提升建模综合能力。学生独立完成，小组互查，教师针对边长表示错误、不会平移转化、不会取舍根等共性问题集中讲评。 （四）课堂小结，梳理模型（3分钟） 引导学生总结三大几何模型解题技巧：道路平移法、边框整体法、裁剪等量法；梳理解题核心步骤：转化图形、找准边长、列出方程、实际取舍。教师升华：数形结合、割补转化是解决几何面积问题的核心思想，实现代数与几何的完美融合。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：完成教材几何面积应用题，熟练三大基础模型；拓展作业：整理图形面积题型解题模板，总结边长易错点与根的取舍规则，整理错题。 七、板书设计 21.3 图形变换和面积问题 1. 核心思想：平移转化、割补法、数形结合 2. 三大模型： 道路平移：空白部分拼接成新矩形 边框问题：长宽均增加2x 裁剪问题：利用面积变化找等量 3. 解题关键：列式准确 + 实际取舍（边长>0） 4. 易错点：漏乘2、边长为负、不舍根 八、教学反思 本节课以几何模型为载体，结合一元二次方程求解，突出数形结合思想，题型经典、针对性强，贴合中考考情。通过图形动态转化、模型归纳、例题示范，多数学生能够掌握基础面积模型的建模方法，理解平移转化的解题技巧，能够独立完成基础应用题。课堂教学中发现，学生最大的难点是几何识图和边长表示，容易在边框、平移题型中出现边长列式错误，且普遍不重视根的实际意义，忘记取舍增根。后续教学中，需多借助图形演示帮助学生建立空间图形认知，强化边长列式专项训练，严格规范“解方程—检验—取舍”的完整步骤，提升学生几何建模与实际应用的综合能力。 第1课时 图形变换和面积问题 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？ 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为(　　) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程． 现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长． 解析：设小正方形的边长为xcm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程． 解：设小正方形的边长为xcm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可． 【类型二】整体法构造一元二次方程模型 如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为______________． 解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为(22－x)米，宽为(17－x)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x)(17－x)＝300. 解法二：根据面积的和差可列方程：22×17－22x－17x＋x2＝300. 方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解． 【类型三】利用一元二次方程解决动点问题 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动． (1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？ (2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解． 解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. (2) 设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．则根据题意，得(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻． 三、板书设计 与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好. 学科网（北京）股份有限公司 $