专题21.1 认识一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的定义这一核心知识点，从概念的三个必备条件（整式方程、一个未知数、最高次数2）到一般形式的转化与系数确定，再到根的判断及参数求解，构建递进式学习支架。 资料通过分层知识点（基础概念到综合应用）和题型设计（如实际问题抽象方程培养模型意识，根的定义应用强调整体代入提升推理意识），课中助力教师系统授课，课后即学即练与变式题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

专题21.1 认识一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的概念，能准确识别一元二次方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式，能正确确定各项及其对应系数。 3.理解一元二次方程的根的定义，能利用根的概念求参数或代数式的值。 4.能从实际问题中抽象出等量关系，列出一元二次方程，建立数学模型。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的概念与识别 （2）一元二次方程的一般形式及各项系数的确定 （3）一元二次方程的根的定义及简单应用 2.难点 （1）含参数方程中二次项系数不为0的限制条件 （2）利用根的定义进行整体代入求代数式的值 （3）实际问题中等量关系的分析与方程建立 知识点01：一元二次方程的概念 1.定义：只含有 ，并且未知数的最高次数是 的 ，叫做一元二次方程。 2.三个必备条件（需同时满足） 是整式方程； 只含有一个未知数； 整理合并后，未知数的最高次数为2。 3.易错提示：形如的方程，只有当 时，才是一元二次方程；若，则方程为一元一次方程。 【即学即练】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.一般形式：（为常数，）。其中是 ，是 ；是 ，是 ；是 。 2.注意事项 确定项与系数前，必须先将方程化为 ； 各项及其系数都包含前面的符号； 是一元二次方程的必备条件，可以为0。 3.常见特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （） 0 （） 0 （） 0 0 【即学即练】 1．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 知识点03：一元二次方程的解（根） 1.定义：使一元二次方程左右两边 的 的值，叫做一元二次方程的 ，也叫做一元二次方程的 。 2.判断方法：将待检验的数值代入方程左右两边， ，则该数是方程的根。 3.核心性质 一元二次方程若无实数解则 ，若有解则必有 （相等或不等）； 若是方程的根，则必有。 【即学即练】 1．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型01一元二次方程的识别 先将方程整理化简，再逐一验证三个条件：整式方程、一个未知数、最高次数为2；含字母系数的方程需注意二次项系数不为0的前提。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·暑假作业）下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 题型02一元二次方程的一般形式转化 通过去括号、移项、合并同类项，将方程整理为右边为0、左边按降幂排列的形式；通常将二次项系数化为正数。 【典例2】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【变式2】. （2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）一元二次方程化为一般式为___________． 【变式3】. （25-26九年级上·江苏无锡·期末）把一元二次方程化成一般形式为______． 题型03确定一元二次方程的各项及系数 先化为一般形式，再分别指出二次项、一次项、常数项及其系数；缺项的对应系数为0，系数需包含前面的符号。 【典例3】. （25-26八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【变式1】. （25-26八年级下·安徽滁州·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】. （25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04由定义求一元二次方程中的参数 根据“未知数最高次数为2”列方程求参数，再代入检验二次项系数不为0，舍去使系数为0的解。 【典例4】. （25-26八年级下·重庆·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江台州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【变式3】. （25-26八年级下·山东烟台·期中）已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 题型05根据系数特征求参数 根据“不含某一项则该项系数为0”“常数项为定值”等条件列方程求解，最后检验二次项系数不为0。 【典例5】. （25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【变式1】. （25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【变式2】. （25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【变式3】. （25-26九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．4 D． 题型06判断一元二次方程的根 将数值代入方程左右两边，相等则为根；可利用特殊根规律快速判断：时，时。 【典例6】. （25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【变式2】. （25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 题型07已知方程的根求参数的值 将根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，解方程即可；注意二次项系数不为0的隐含限制。 【典例7】. （25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 【变式2】. （25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【变式3】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 题型08利用根的定义求代数式的值 将根代入方程得到等量关系，对所求代数式拆分配方，采用整体代入法求值，无需解出未知数。 【典例8】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【变式1】. （25-26八年级下·山东威海·期末）已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）若是关于的方程的解，则_____． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 题型09同结构方程的根的迁移 对比两个方程的结构，通过换元思想，将新方程中的整体对应原方程的未知数，直接推导新方程的根。 【典例9】. （24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【变式1】. （25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【变式2】. （24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【变式3】. （25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是_______________． （2）关于x的方程的根是_______________． 一、单选题 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 二、填空题 4．一元二次方程的一次项系数是_________． 5．若为方程的解，则的值为__________． 6．若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 三、解答题 7．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 8．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 1．已知，是方程的两个根，则_______． 2．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 3．已知是方程的一个根，试求的值． 4．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 5．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 认识一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的概念，能准确识别一元二次方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式，能正确确定各项及其对应系数。 3.理解一元二次方程的根的定义，能利用根的概念求参数或代数式的值。 4.能从实际问题中抽象出等量关系，列出一元二次方程，建立数学模型。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的概念与识别 （2）一元二次方程的一般形式及各项系数的确定 （3）一元二次方程的根的定义及简单应用 2.难点 （1）含参数方程中二次项系数不为0的限制条件 （2）利用根的定义进行整体代入求代数式的值 （3）实际问题中等量关系的分析与方程建立 知识点01：一元二次方程的概念 1.定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作一元二次方程。 2.三个必备条件（需同时满足） 是整式方程； 只含有一个未知数； 整理合并后，未知数的最高次数为2。 3.易错提示：形如的方程，只有当时，才是一元二次方程；若，则方程为一元一次方程。 【即学即练】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 2．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 知识点02：一元二次方程的一般形式 1.一般形式：（为常数，）。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 2.注意事项 确定项与系数前，必须先将方程化为一般形式； 各项及其系数都包含前面的符号； 是一元二次方程的必备条件，可以为0。 3.常见特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 （） 0 （） 0 （） 0 0 【即学即练】 1．方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可得到对应系数． 【详解】解：∵原方程为， ∴整理为一般形式得， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数为____． 【答案】 【详解】解：， ， ； 故一次项系数为. 知识点03：一元二次方程的解（根） 1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。 2.判断方法：将待检验的数值代入方程左右两边，若两边相等，则该数是方程的根。 3.核心性质 一元二次方程若无实数解则无解，若有解则必有两个实数根（相等或不等）； 若是方程的根，则必有。 【即学即练】 1．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 2．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，通过变形将所求方程转化为与已知方程形式一致的式子，利用已知方程的解来求解新方程的根是解题关键． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵关于x的一元二次方程有一根为， ∴ ∴． ∴一元二次方程必有一根为． 故选：C． 题型01一元二次方程的识别 先将方程整理化简，再逐一验证三个条件：整式方程、一个未知数、最高次数为2；含字母系数的方程需注意二次项系数不为0的前提。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，是整式方程，未知数最高次数为2． 【详解】解：A、中含有2个未知数，是二元一次方程，不符合定义； B、，整理得，只含一个未知数，是整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义； C、中 是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不符合定义； D、，整理得，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义． 【变式2】. （25-26八年级下·山东烟台·期末）下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项：方程，∵是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为，∴是一元二次方程，该选项符合要求． B选项：方程，∵是分式，方程不是整式方程，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． C选项：对展开整理，得，∵未知数的最高次数是，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． D选项：方程，∵方程含有和两个未知数，∴不是一元二次方程，该选项不符合要求． 【变式3】. （25-26八年级下·全国·暑假作业）下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 题型02一元二次方程的一般形式转化 通过去括号、移项、合并同类项，将方程整理为右边为0、左边按降幂排列的形式；通常将二次项系数化为正数。 【典例2】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）关于x的一元二次方程化为一般形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式运算法则展开原式，即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 将方程左边按照单项式乘多项式法则展开 得， 该方程的一般形式为． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 【变式2】. （2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）一元二次方程化为一般式为___________． 【答案】 【详解】解：， 展开完全平方得， 移项、合并同类项得． 【变式3】. （25-26九年级上·江苏无锡·期末）把一元二次方程化成一般形式为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式 （），需通过移项使等式右边为0． 【详解】解：化成一般形式为：， 故答案为：． 题型03确定一元二次方程的各项及系数 先化为一般形式，再分别指出二次项、一次项、常数项及其系数；缺项的对应系数为0，系数需包含前面的符号。 【典例3】. （25-26八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．，2，5 B．2，， C．1，4， D．，， 【答案】B 【分析】将原方程整理为的形式，即可确定，，的值. 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项整理为一般式得， ，，． 【变式1】. （25-26八年级下·安徽滁州·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 【变式2】. （25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程的二次项系数是_____，一次项系数是_____，常数项是_____． 【答案】 3 【分析】先将原一元二次方程化为一般形式（），再根据一元二次方程一般形式的定义确定各项系数． 【详解】解：， ∴二次项的系数为3，一次项的系数为，常数项为． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·课后作业）将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 题型04由定义求一元二次方程中的参数 根据“未知数最高次数为2”列方程求参数，再代入检验二次项系数不为0，舍去使系数为0的解。 【典例4】. （25-26八年级下·重庆·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，得到未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列方程即可求解． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程； 解得，即； 由得． ． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江台州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 【变式3】. （25-26八年级下·山东烟台·期中）已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫作一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 题型05根据系数特征求参数 根据“不含某一项则该项系数为0”“常数项为定值”等条件列方程求解，最后检验二次项系数不为0。 【典例5】. （25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 【变式1】. （25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 【变式2】. （25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式．先将一元二次方程化为一般形式，再由一般形式后不含一次项，即含x的一次项的系数为0，可得关于m的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将化为一般形式，得， ∵关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项， ∴， 解得：． 故选：C． 【变式3】. （25-26九年级上·全国·课后作业）关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为（   ） A．0 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 将方程化为一般形式后，令一次项系数为，并结合二次项系数不为的条件求解． 【详解】解：原方程整理为一般形式：． 因不含一次项，故一次项系数，解得． 同时需保证二次项系数，即， 因此． 故答案为：D． 题型06判断一元二次方程的根 将数值代入方程左右两边，相等则为根；可利用特殊根规律快速判断：时，时。 【典例6】. （25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 【变式1】. （25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 【详解】解：将代入得，， 此方程必有一根为． 【变式2】. （25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 【变式3】. （25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 题型07已知方程的根求参数的值 将根代入原方程，得到关于参数的一元一次方程，解方程即可；注意二次项系数不为0的隐含限制。 【典例7】. （25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：． 【变式2】. （25-26八年级下·山东济南·期末）一元二次方程的一个根为，则m的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得． 【变式3】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 题型08利用根的定义求代数式的值 将根代入方程得到等量关系，对所求代数式拆分配方，采用整体代入法求值，无需解出未知数。 【典例8】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】先得出，再作为一个整体代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【变式1】. （25-26八年级下·山东威海·期末）已知是一元二次方程的一个根，则___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，得到满足的等式，将所求代数式提取公因式变形后，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根 ∴将代入方程得移项整理得 ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期末）若是关于的方程的解，则_____． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将代入原方程得到的值，再整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：是关于的方程的解， ， 整理得， 即， ． 【变式3】. （25-26八年级下·北京·期末）若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 题型09同结构方程的根的迁移 对比两个方程的结构，通过换元思想，将新方程中的整体对应原方程的未知数，直接推导新方程的根。 【典例9】. （24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 【变式1】. （25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2027，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解： 方程变形为， ∵是关于的方程的一个根， ∴是关于的方程的一个根， 此时， 即关于的方程必有一个根为2025． 故选：C 【变式2】. （24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 【变式3】. （25-26九年级上·全国·课后作业）关于x的方程的解是． （1）关于x的方程的根是_______________． （2）关于x的方程的根是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解为方程成立的未知数的值以及整体思想成为解题的关键． （1）由方程的解可得或，然后求解即可； （2）由方程的解可得或，然后求解即可； 【详解】解：（1）方程的解是， 在方程中，或，解得：． ∴方程的根为． 故答案为：． （2）方程的解是， 在方程中，或，解得． ∴方程的根为． 故答案为：． 一、单选题 1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 3．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（     ） A．4，1，3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 二、填空题 4．一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 5．若为方程的解，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据方程的解满足方程，得到的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：为方程的解 整理得 ． 6．若是一元二次方程的解，则k的值为____________． 【答案】 【分析】将代入原方程即可求解的值． 【详解】解：是一元二次方程的解 整理得 解得 ． 三、解答题 7．将下列方程化为关于的一般形式，指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)； (2)． 【答案】(1)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； (2)方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义． （1）移项，将方程化为一般形式，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 8．已知m是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，先理解题意，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， 则 ． 1．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 2．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 3．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 4．已知，都是方程的根，试求代数式的值． 【答案】 【详解】解：∵，都是方程的根， ∴，， ∴， ∴ . 5．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $