21.2.2 配方法（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦配方法解一元二次方程这一核心知识点，通过复习完全平方公式与直接开平方法，以“普通方程无法直接求解如何变形”设问，搭建旧知到新知的学习支架，梳理降次转化思想脉络。 此资料以核心素养为导向，通过分步拆解（二次项系数1与非1的不同流程）和分层练习（基础到拓展），培养抽象能力（构造完全平方式）、运算能力（规范步骤）和推理意识（易错点辨析），助力学生掌握配方本质，为教师提供清晰教学路径和实用资源。

2.配方法21.2.3 配方法 教案 一、教材分析 《配方法》是解一元二次方程的核心基础解法，位于直接开平方法、因式分解法之后，公式法之前，是本章承上启下的关键课时。配方法依托完全平方公式，将一般形式的一元二次方程通过配方变形转化为可以直接开平方的形式，延续了“降次转化”的核心数学思想。本节课不仅能解决无法直接因式分解的一元二次方程，更是后续推导求根公式、理解根的判别式、研究二次函数顶点最值的重要基础，是初中代数必须熟练掌握的重点方法，在整个初中方程与函数体系中具有不可替代的作用。 二、学情分析 九年级学生已经掌握完全平方公式、直接开平方法解方程，具备一定的式子变形和降次解题思维，能够解决特殊结构的一元二次方程。但学生初次接触“配方变形”，普遍存在理解和操作难点：难以理解“配方凑完全平方式”的目的，不会准确找出一次项系数一半的平方，容易出现配方时常数项配比错误、漏加常数、系数未先化为1等问题。同时学生习惯简单解法，对繁琐的配方步骤耐心不足，解题规范性较差，需要通过分步示范、步骤固化、专项纠错逐步突破。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解配方法的原理与转化思想，掌握用配方法解二次项系数为1和二次项系数不为1的一元二次方程；熟练掌握配方的完整步骤，能够规范完成配方变形与开方求解。 2. 过程与方法：经历“观察式子—凑完全平方—配方变形—开方求解”的探究过程，体会化繁为简、降次转化的数学思想，提升代数式变形、逻辑推理和规范运算的能力。 3. 情感态度与价值观：体会数学变形的严谨性与逻辑性，感受知识转化的巧妙之处，通过分步训练、纠错练习培养细致严谨的学习习惯，提升学生攻克复杂代数运算的信心。 四、教学重难点 重点：掌握配方法解一元二次方程的完整步骤，熟练求解二次项系数为1和不为1的方程。 难点：理解配方的本质是构造完全平方式；掌握二次项系数不为1时的配方流程，准确补齐配方常数，规避变形易错点。 五、教学准备 多媒体课件、课堂分层练习题、配方易错点专项错题集 六、教学过程 （一）复习旧知，铺垫导入（5分钟） 复习两个核心旧知：一是完全平方公式$$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$$，填空练习补齐完全平方式；二是直接开平方法，回顾形如$$(x+m)^2=n$$方程的解法。随后设问：普通一元二次方程$$x^2-6x+5=0$$无法直接开方、不易因式分解，如何变形求解？引导学生思考：能否通过变形凑成完全平方式，顺势导入本节课课题——配方法。 （二）探究新知，分步突破（22分钟） 1. 简单配方探究（二次项系数为1） 以方程$$x^2-6x+5=0$$为例，分步示范基础配方流程：第一步移项，将常数项移到右边，得$$x^2-6x=-5$$；第二步配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，即$$3^2=9$$，构造完全平方式；第三步整理得$$(x-3)^2=4$$；最后用直接开平方法求解。教师重点总结：二次项系数为1时，配方关键是“加一次项系数一半的平方”。 2. 完整步骤归纳 固化配方法六步解题流程：①移项（常数右移）；②配方（两边加对应常数）；③整理为完全平方式；④直接开平方；⑤解一次方程；⑥写出两根。让学生明确每一步操作目的，形成固定解题思维。 3. 难点突破（二次项系数不为1） 出示例题$$2x^2-4x-6=0$$，讲解进阶步骤：优先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，再按照基础配方流程求解。着重强调：二次项系数不为1时，先化系数为1，再配方，这是学生最易出错的核心环节。 4. 高频易错点辨析 梳理典型错误：忘记将二次项系数化为1直接配方；配方时只给左边加常数、右边漏加；错误计算“一次项系数一半的平方”；开方时遗漏负根。通过错题展示、对比纠错，强化学生配方变形的严谨性。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：二次项系数为1的简单配方解方程，夯实基础步骤；提升练习：二次项系数不为1的常规题型，突破教学难点；拓展练习：含简单常数参数的配方题型，提升综合能力。学生独立完成后小组互评，教师针对配方不均等变形、常数配比错误等共性问题集中讲评，严格规范书写格式。 （四）课堂小结，梳理体系（3分钟） 引导学生自主总结：配方法的原理、完整解题步骤、二次项系数为1与不为1的区别、配方易错点。教师升华：配方法的核心是“构造完全平方、化未知为已知”，延续降次转化思想，是后续公式法、二次函数学习的基础，帮助学生构建完整的方程解法体系。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后配套习题，熟练掌握两类配方题型；拓展作业：整理配方法解题步骤与易错点，对比因式分解法、直接开平方法，总结各解法适用场景。 七、板书设计 21.2.3 配方法 1. 核心思想：构造完全平方、降次转化 2. 系数为1：移项→加一次项系数一半的平方→开方求解 3. 系数不为1：先化二次项系数为1，再配方 4. 关键：等式两边同时变形，保持等式成立 5. 易错点：漏加常数、配比错误、遗漏负根 八、教学反思 本节课依托完全平方公式和直接开平方法旧知导入，知识衔接顺畅，遵循由浅入深的认知规律。通过分步拆解、例题示范、步骤固化，多数学生能够理解配方原理，掌握基础配方解题方法。但课堂反馈发现，学生对二次项系数不为1的题型掌握薄弱，容易跳过“系数化为1”步骤，配方时常数配比计算失误较多，解题步骤不规范。后续教学中，需强化分步专项训练，针对易错点设计对比习题，严格规范解题流程，同时多引导学生理解变形原理，避免机械套用步骤，切实提升学生的代数变形能力和运算严谨性。 1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？ 二、合作探究 探究点：配方法 【类型一】配方 用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为(　　) A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9 解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D. 方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【类型二】利用配方法解一元二次方程 用配方法解方程：x2－4x＋1＝0. 解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解． 解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝±.∴x1＝2＋，x2＝2－. 方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式． 【类型三】用配方解决求值问题 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求的值． 解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝＝－. 【类型四】用配方解决证明问题 (1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零； (2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式． 证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零． (2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等． 【类型五】配方法与不等式知识的综合应用 证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程． 解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0. 证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程． 三、板书设计 教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式. 学科网（北京）股份有限公司 $