3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

一、选择题

1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（　   ）

A.＋＝1 B.＋x2＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1

2.已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　   ）

A.2 B.2或 C.2或6 D.2或8

3.设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　   ）

A. B. C. D.2

4.椭圆＋＝1与椭圆＋＝1（m＜7）的（　   ）

A.长轴长一定相等 B.短轴长一定相等

C.焦距一定相等  D.离心率一定相等

5.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知｜PA｜＝2｜AB｜，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（　   ）

A. B. C. D.

6.（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0＜θ＜）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆的半径为2，θ＝，则（　   ）

A.椭圆的长轴长等于4

B.椭圆的离心率为

C.椭圆的标准方程可以是＋＝1

D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2

二、填空题

7.已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为                 .

8.P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：（x－1）2＋y2＝4的任意一条直径，则的取值范围是                 .

9.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则｜OP｜2＋｜PF｜2的最小值为                 .

三、解答题

10.某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位（参考数据≈2.875 2）.

 

 

 

 

 

 

11.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且｜AF1｜＝3｜F1B｜.

（1）若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜；

（2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率.

 

 

 

 

 

解析版

一、选择题

1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（　B　）

A.＋＝1 B.＋x2＝1

C.＋y2＝1 D.＋＝1

解析：椭圆9x2＋4y2＝36的方程可化为＋＝1，其焦点为（0，），（0，－），故可设所求椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则c＝，又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.

2.已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　D　）

A.2 B.2或

C.2或6 D.2或8