3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以基础巩固、能力提升、综合应用三层递进设计，覆盖椭圆几何性质核心知识点，通过概念理解、性质应用到实际建模的路径，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|椭圆标准方程、焦点、离心率等概念|直接应用公式，如选择1求共焦点椭圆方程| |能力提升|几何性质综合应用、最值问题|结合图形动态分析，如填空8椭圆上点与圆直径向量运算| |综合应用|实际情境建模、定义与性质综合证明|联系天文轨道（解答10）和逻辑推理（解答11离心率证明）|

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的几何性质 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（　 ） A.＋＝1 B.＋x2＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 2.已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　 ） A.2 B.2或 C.2或6 D.2或8 3.设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　 ） A. B. C. D.2 4.椭圆＋＝1与椭圆＋＝1（m＜7）的（　 ） A.长轴长一定相等 B.短轴长一定相等 C.焦距一定相等 D.离心率一定相等 5.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知｜PA｜＝2｜AB｜，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（　 ） A. B. C. D. 6.（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0＜θ＜）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆的半径为2，θ＝，则（　 ） A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的标准方程可以是＋＝1 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2 二、填空题 7.已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为 . 8.P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：（x－1）2＋y2＝4的任意一条直径，则的取值范围是 . 9.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则｜OP｜2＋｜PF｜2的最小值为 . 三、解答题 10.某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位（参考数据≈2.875 2）. 11.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且｜AF1｜＝3｜F1B｜. （1）若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜； （2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 解析版 一、选择题 1.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为（　B　） A.＋＝1 B.＋x2＝1 C.＋y2＝1 D.＋＝1 解析：椭圆9x2＋4y2＝36的方程可化为＋＝1，其焦点为（0，），（0，－），故可设所求椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则c＝，又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 2.已知椭圆mx2＋4y2＝1的离心率为，则实数m等于（　D　） A.2 B.2或 C.2或6 D.2或8 解析：椭圆方程可化为＋＝1.若焦点在x轴上，则a2＝，b2＝，＞，则0＜m＜4，根据e＝＝⇒＝⇒＝⇒＝，即＝⇒m＝2；若焦点在y轴上，则a2＝，b2＝，＞，则m＞4，根据e＝＝⇒＝⇒＝⇒＝，即＝⇒m＝8.综上，m等于2或8. 3.设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　A　） A. B. C. D.2 解析：设点P（x0，y0），则＋＝1，又B（0，1），所以｜PB｜2＝＋＝5（1－）＋＝－4－2y0＋6＝－4＋，而－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，｜PB｜取得最大值，为. 4.椭圆＋＝1与椭圆＋＝1（m＜7）的（　C　） A.长轴长一定相等 B.短轴长一定相等 C.焦距一定相等 D.离心率一定相等 解析：椭圆＋＝1的长轴长为2，短轴长为2， 离心率为＝＝，焦距为2＝4； 椭圆＋＝1（m＜7）的长轴长为2，短轴长为2， 离心率为＝＝，焦距为2＝4. 故两个椭圆的焦距一定相等. 故选C. 5.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A，B各在一条槽内移动，可以放松移动以保证PA与PB的长度不变，当A，B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E.已知｜PA｜＝2｜AB｜，且P在右顶点时，B恰好在O点，则E的离心率为（　D　） A. B. C. D. 解析：已知｜PA｜＝2｜AB｜，设｜AB｜＝x，则｜PA｜＝2x，当A滑动到点O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b＝2x，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a＝3x，故离心率为e＝＝＝. 6.（多选）如图所示，用一个与圆柱底面成θ（0＜θ＜）角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆的半径为2，θ＝，则（　BCD　） A.椭圆的长轴长等于4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的标准方程可以是＋＝1 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为4－2 解析：设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，由截面与圆柱底面所成的锐二面角θ＝，得2a＝＝8，解得a＝4，则长轴长等于8，A错误；显然b＝2，则c＝＝2，故离心率e＝＝，B正确；当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴，建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为＋＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确. 二、填空题 7.已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为　8　. 解析：由题得a＝4，b＝2，c＝2. 因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，所以OP＝OQ，又OF1＝OF2，且｜PQ｜＝｜F1F2｜， 所以四边形PF1QF2为矩形， 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，由椭圆的定义， 得｜PF1｜＋｜PF2｜＝m＋n＝2a＝8， 所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝64. 因为｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2－b2）＝48，即m2＋n2＝48，所以mn＝8，即四边形PF1QF2的面积为8. 8.P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：（x－1）2＋y2＝4的任意一条直径，则的取值范围是　[5，21]　. 解析：由题意知，a＝4，c＝1，＝（＋）·（＋）＝（＋）·（－）＝－＝｜｜2－4.又因为a－c≤｜｜≤a＋c，即3≤｜｜≤5，所以的取值范围是[5，21]. 9.若点O和点F分别为椭圆＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则｜OP｜2＋｜PF｜2的最小值为　2　. 解析：设P（x0，y0）（x0∈[－，]），而F（－1，0）， ∴｜OP｜2＋｜PF｜2＝＋＋（x0＋1）2＋. 又＝1－， ∴｜OP｜2＋｜PF｜2＝＋2x0＋3＝（x0＋1）2＋2≥2（当且仅当x0＝－1时等号成立）. ∴｜OP｜2＋｜PF｜2的最小值为2. 三、解答题 10.某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位（1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位）.求椭圆轨道的长半轴和短半轴之长各是多少个天文单位（参考数据≈2.875 2）. 解：如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c，太阳位于焦点F1处，长半轴长为a，短半轴长为b， 由题意知 解得a＝＝3.524 5，c＝5.563－3.524 5＝2.038 5. 因此b＝＝≈2.875 2， 故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位，短半轴长为2.875 2天文单位. 11.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且｜AF1｜＝3｜F1B｜. （1）若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜； （2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 解：（1）由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4，得｜AF1｜＝3，｜F1B｜＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义，可得4a＝16，所以｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8. 故｜AF2｜＝8－3＝5. （2）设｜F1B｜＝k，则k＞0且｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k. 由椭圆定义，得｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理，可得｜AB｜2＝｜AF2｜2＋－2｜AF2｜·｜BF2｜·cos∠AF2B， 即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－（2a－3k）（2a－k）， 化简可得（a＋k）（a－3k）＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 故｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k. 因此｜BF2｜2＝｜AF2｜2＋｜AB｜2，可得AF1⊥AF2， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a， 所以椭圆E的离心率e＝＝. 页 学科网（北京）股份有限公司 $