第二章直线和圆的一般方程期末练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的一般方程期末练习题 一、单选题 1．已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（   ） A．或 B．或 C． D． 3．若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆与圆关于直线对称，则（   ） A． B． C． D． 5．直线与上各有一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．对于直线，下列选项正确的是（    ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 7．已知直线与互相垂直，则（    ） A．或0 B． C．0 D． 8．已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中，正确的有（　　） A．若直线的斜率越大，则直线的倾斜角就越大 B．直线必过定点 C．直线与直线的距离为 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10．圆和圆的交点为，，则（   ） A．直线的方程为 B．线段的垂直平分线方程为 C．弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 11．已知直线，则（   ） A．直线过定点 B．当时， C．当时， D．当时，两直线与之间的距离为 三、填空题 12．已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 13．若圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的取值范围是 ． 14．已知实数满足，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知点、，直线. （1）求线段的中点坐标及直线的斜率； （2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程. 16．已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 17．直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 18．已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点． (1)当经过圆心时，求直线的方程；（写一般式） (2)当直线的倾斜角为时，求弦的长． 19．在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知直线l过点，且__________． ①与直线平行；②与直线垂直；③直线l的方向向量为． (1)求直线l的一般式方程； (2)已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线l上，求此圆的标准方程． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】先求出直线所过的定点，再分别求出的斜率，结合图象即可得解. 【详解】直线化为， 令，解得， 所以直线过定点， 又点，由题意如图所示： 则， 因为直线与线段有公共点，由图象可得直线斜率的取值范围为， 故选：A. 2．A 【分析】先由题意设圆心，得到半径为，求出圆心到直线的距离为，再由弦长公式求出参数a即可求解. 【详解】由题意可设圆心，且半径为， 又圆心到直线的距离为， 因为直线被圆M截得的弦长为， 所以或， 所以圆心且半径为，或圆心且半径为， 所以圆M的方程为或. 故选：A 3．C 【分析】先求出圆心到直线的的距离，要使圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则，求解即可. 【详解】由题意圆心为，则到直线的距离， 要使圆上到直线的距离为的点有且仅有2个， 则，则的取值范围是. 故选：C. 4．A 【分析】根据两圆对称可知，两圆圆心关于直线对称，则直线与直线垂直，且的中点在直线上，列方程可得与，再由两圆半径相等可得. 【详解】圆，圆心为，半径， 圆的标准方程为， 圆心为，半径， 由题可知与关于直线对称， 所以解得， 又，所以，故， 故选：A. 5．C 【分析】根据题目条件计算得两条直线平行，的最小值就是两条平行线间的距离. 【详解】直线 ， ，即的最小值为这两条平行线间的距离， 设为之间的距离，则. 故选：C 6．D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断；令，求出直线过点可判断和； 根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断. 【详解】设直线的倾斜角为， 对于，直线的斜率为，所以，则，故错误； 对于，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故错误； 对于，由知，直线在轴上的截距为，故错误； 对于，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故正确. 故选：. 7．D 【分析】根据两直线垂直的公式，结合题意验根，可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得或， 当时，方程不为直线，舍去，则. 故选：D. 8．C 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最小距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最小值为. 故选：C. 9．BC 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可判断A；将直线方程化为，再求解即可判断B；根据两平行直线间的距离公式即可判断C；举特例判断D． 【详解】对于A，当斜率为时，倾斜角为， 当斜率为时，倾斜角为，故A错误； 对于B，将直线，化为， 则，解得， 即直线必过定点，故B正确； 对于C，将直线化为， 则这两平行直线间的距离为，故C正确； 对于D，当直线过原点时，也满足在轴，轴上的截距相等， 此时直线的斜率为，则直线方程为，故D错误. 故选：BC． 10．ABD 【分析】对于A选项：两圆方程作差即可求出公共弦方程；对于B选项：线段的垂直平分线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；对于C选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，利用弦长公式计算即可；对于D选项：求出圆的圆心到公共弦的距离，加上半径即可求出最大值． 【详解】对于A选项：圆和圆， 将两圆的方程作差得，即， 所以直线的方程为，故A正确； 对于B选项：圆即，圆心，半径， 圆即，圆心， 直线的斜率为，即线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即，故B正确； 对于C选项：到直线的距离， 可得弦的长为，故C错误； 对于D选项：P到直线的距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD．    11．CD 【分析】根据直线过定点、两直线垂直和平行的条件以及两平行直线的距离公式进行判断计算即可. 【详解】对于A：变形为， 令得，因此直线过定点，故A错误； 对于B：当时，，， 因为，所以两直线不垂直，故B错误； 对于C：当时，， 因为，所以两直线平行，故C正确； 对于D：当时，则满足，得， 此时，， 则两直线间的距离为，故D正确. 故选：CD. 12． 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 13． 【分析】求出圆的圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上有且仅有两个点到直线的距离为， 则，即， 解得或． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 15．（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）. 【分析】（1）利用中点坐标公式可求出线段的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线的斜率； （2）根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案． 【详解】（1）根据题意，设的中点坐标为， 又由点、，则，， 所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为； （2）设直线的方程为， 又由直线经过点，则有，则. 即直线的方程为. 【点睛】本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 16．(1) (2) 【分析】（1）将条件代入点斜式方程，化简变形，即可得答案. （2）将方程变形为，可得B点坐标，代入点到直线距离公式，即可得答案. 【详解】（1）因为直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. （2）直线的方程可化为， 令，则，解得，即点， 所以点到直线的距离为. 17．(1)直线的斜截式方程为，倾斜角， (2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【分析】（1）由直线的方向向量求直线的斜率，根据平行直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，2由倾斜角与斜率关系求该直线的倾斜角； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线的点斜式方程，化为斜截式，再确定直线在轴上的截距. 【详解】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以，又， 所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且，又， 所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 18．(1) (2) 【分析】（1）先利用圆的标准方程得出圆心和半径，再利用两点求出直线斜率，根据点斜式求出直线方程； （2）先利用倾斜角求出直线斜率，进而运用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求出． 【详解】（1）圆的标准方程为， 圆心为，半径， 直线过点、，直线的斜率， 直线的方程为，即． （2） 当直线的倾斜角为时，直线斜率， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，圆的半径为， 弦的长为：． 19．(1) (2) 【分析】（1）三种选择均可确定直线斜率，然后由点斜式可得直线方程. （2）设圆心C的坐标为，由（1）可得，然后由可得圆心坐标，进而可得半径，即可得答案. 【详解】（1）若选①与直线平行，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选②与直线垂直，则直线l的斜率k满足，解得 又其过点，故直线l的方程为，整理得 若选③直线l的方向向量为，则直线l的斜率 又其过点，故直线l的方程为，整理得 综上，直线方程为： （2）设圆心C的坐标为，因为C在上， 所以① 因为A，B是圆上两点，所以有 即②.由①②得 所以圆心C坐标为，圆的半径 综上，所求圆的标准方程是 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $