2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦圆与圆的位置关系，通过基础辨析、中档综合、提升探究三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，发展数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|位置关系判定、公切线条数|选择1-4直接应用圆心距与半径关系，强化概念理解| |中档|相切条件、距离最值|填空8结合参数范围，选择6综合两圆位置与距离计算| |提升|轨迹问题、存在性证明|解答11需论证弦中点存在性，填空9融合直线与圆相切求最小圆|

2.5.2 圆与圆的位置关系 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.圆x2＋y2＋4x＝0与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的公切线条数为（ 　） A.1 B.2 C.3 D.4 2．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是（ ） A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．5x＋3y－2＝0 D．不存在 3.（多选）已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为（ 　） A.6 cm　 B.10 cm C.14 cm　 D.18 cm 4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（ 　） A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 5.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则｜AB｜等于（ 　） A.1 B. C. D.2 6.（多选）点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则（ 　） A.｜PQ｜的最小值为3 B.｜PQ｜的最大值为7 C.两个圆心所在的直线斜率为－ D.两个圆的公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0 二、填空题 7.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 . 8.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点（0，1）的距离为2，则实数a的取值范围是 . 9.与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是 . 三、解答题 10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. （1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程. 11.如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0（－1，2），AB为过点P0的弦，且直线AB的倾斜角为α. （1）当α＝135°时，求弦AB的长. （2）是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 解析版 一、选择题 1.圆x2＋y2＋4x＝0与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的公切线条数为（　B　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：圆x2＋y2＋4x＝0的标准方程为（x＋2）2＋y2＝4，圆心坐标为（－2，0），半径为r＝2.圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的标准方程为（x－2）2＋（y－1）2＝9，圆心坐标为（2，1），半径为R＝3. 圆心距为d＝＝，由于1＜＜5，即R－r＜d＜R＋r，所以两圆相交，公切线的条数为2.故选B. 2．过两圆x2＋y2＋6x＋4y＝0及x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是(　A　) A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0 C．5x＋3y－2＝0 D．不存在 解析：由 ①－②得x＋y＋2＝0. 经检验此时相交，符合题意． 3.（多选）已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为（　AC　） A.6 cm　 B.10 cm C.14 cm　 D.18 cm 解析：设圆A，圆B的半径分别为r1，r2.当两圆外切时，r1＋r2＝10，所以r2＝10－r1＝10－4＝6；当两圆内切时，｜r1－r2｜＝10，即｜4－r2｜＝10，所以r2＝14（负值舍去），即圆B的半径为6 cm或14 cm. 4.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　C　） A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0 C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0 解析：由题意，两圆交于A，B两点，则AB的垂直平分线就是经过两圆圆心（2，－3）和（3，0）的直线，所以所求直线的方程为＝，即3x－y－9＝0. 5.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则｜AB｜等于（　C　） A.1 B. C. D.2 解析：如图所示，设直线l交x轴于点M， 由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2， ∵｜BC2｜＝2＝2｜AC1｜，∴C1为线段MC2的中点，A为线段BM的中点，∴｜MC1｜＝｜C1C2｜＝2，在Rt△AC1M中，由勾股定理可得｜AB｜＝｜MA｜＝＝. 6.（多选）点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则（　ABC　） A.｜PQ｜的最小值为3 B.｜PQ｜的最大值为7 C.两个圆心所在的直线斜率为－ D.两个圆的公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0 解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为C1（0，0），半径r＝1， 圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即（x－3）2＋（y＋4）2＝1的圆心坐标为C2（3，－4），半径R＝1， ∴圆心距｜C1C2｜＝＝5＞r＋R， ∴两圆外离. 又∵P在圆C1上，Q在圆C2上， ∴｜PQ｜min＝｜C1C2｜－R－r＝3， ｜PQ｜max＝｜C1C2｜＋R＋r＝7. A，B正确； 两圆圆心所在的直线斜率为＝－，C正确； ∵两圆外离，∴无相交弦，D错误. 二、填空题 7.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是　x2＋y2－3x＋y－1＝0　. 解析：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0，即x2＋y2－x＋y－4λ＝0，所以圆心坐标为（，），代入直线l：2x＋4y－1＝0的方程，解得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 8.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0上存在点P到点（0，1）的距离为2，则实数a的取值范围是　［，0］∪［1，］　. 解析：因为圆C：x2－2ax＋y2－2ay＋2a2－1＝0化为标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝1， 所以其圆心C（a，a），半径r＝1. 因为点P到点（0，1）的距离为2， 所以点P的轨迹方程为x2＋（y－1）2＝4. 又因为点P在（x－a）2＋（y－a）2＝1上， 所以圆C与圆x2＋（y－1）2＝4有交点， 即2－1≤≤2＋1， 解得≤a≤0或1≤a≤. 所以实数a的取值范围是［，0］∪［1，］. 9.与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是　（x－2）2＋（y－2）2＝2　. 解析：x2＋y2－12x－12y＋54＝0化为标准方程为（x－6）2＋（y－6）2＝18，显然该曲线表示以C1（6，6）为圆心，3为半径的圆，其圆心C1（6，6）到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径为.设C2的坐标为（x0，x0），则＝，解得x0＝2（x0＝0舍去），所以圆心坐标为（2，2），所以所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y－2）2＝2. 三、解答题 10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. （1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程. 解：（1）圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4， 所以圆C的圆心为（3，4），半径为2. ①若直线l1的斜率不存在， 即直线为x＝1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在， 设直线l1的方程为y－1＝k（x－1）， 即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2， 即＝2，解得k＝， 所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求直线l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0. （2）依题意设D（a，a＋2）. 因为圆C的半径为2，圆D的半径为3， 由两圆外切，可知｜CD｜＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D（－1，1）或D（6，8）， 所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9. 11.如图，圆x2＋y2＝8内有一点P0（－1，2），AB为过点P0的弦，且直线AB的倾斜角为α. （1）当α＝135°时，求弦AB的长. （2）是否存在弦AB被点P0平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由. 解：（1）当α＝135°时，直线AB的斜率为k＝－1， ∴直线AB的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋y－1＝0. ∵圆心O（0，0）到直线AB的距离d＝＝， ∴弦长｜AB｜＝2×＝. （2）存在，此时直线AB的方程为x－2y＋5＝0.假设存在弦AB被点P0平分， ∴P0为弦AB的中点，又｜OA｜＝｜OB｜， ∴OP0⊥AB. 又∵＝＝－2，∴kAB＝. ∴直线AB的方程为y－2＝（x＋1），即x－2y＋5＝0. 由以上求解可知，存在弦AB被点P0平分，直线AB的方程为x－2y＋5＝0. 页 学科网（北京）股份有限公司 $