2.3.2　两点间的距离公式 同步练习 2026-2027学年高中数学高二上学期人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 围绕“两点间的距离公式”，通过基础直接应用、中档灵活综合、提升实际与证明的三层设计，构建从单一运算到综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式直接应用|如题1直接代入坐标计算距离，强化运算能力| |中档|公式灵活综合|如题3求动点轨迹方程，培养几何直观与模型意识| |提升|实际情境与证明|如题14坐标法证明等腰三角形，发展推理能力与数学思维|

2.3.2　两点间的距离公式 1.已知M（2，1），N（－1，5），则｜MN｜＝（　　） A.5 B. C. D.4 2.已知直线l1：x＋2y－5＝0，直线l2：3x－y－1＝0的交点为A，O为坐标原点，则点A到原点的距离为（　　） A.1 B.2 C. D. 3.到点A（1，3），B（－5，1）的距离相等的动点P满足的方程是（　　） A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0 C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0 4.直线l1：3ax－y－2＝0和直线l2：（2a－1）x＋5ay－1＝0分别过定点A和B，则｜AB｜＝（　　） A. B. C. D. 5.（多选）(2025秋·河南月考) 已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（　　） A.  B.  C.  D.  6.（多选）（2024·嘉兴质检）对于，下列说法正确的是（　　） A.可看作点（x，0）与点（1，2）的距离 B.可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离 C.可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离 D.可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离 7.已知点M（x，－4）与点N（2，3）间的距离为7，则x＝　　　　. 8.已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为　　　　. 9. (2026春·博野县期中) 已知，是直线（）上的两点，若，则　　　　. 10.已知A（－2，0），B（0，4），线段AB的垂直平分线为直线l. （1）求直线l的一般式方程； （2）若点C在直线l上，且｜AC｜＝，求点C坐标. 11.光线从点A（－3，5）射到x轴上，经反射后经过点B（2，10），则光线从A到B经过的路程为（　　） A.5　　B.2　　C.5　　D.10 12.若在直线y＝－2上有一点P，它到点A（－3，1）和B（5，－1）的距离之和最小，则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为（　　） A.2 B.5 C.4 D.10 13.（2024·杭州月考）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A（2，0）.若直线l上存在点M满足｜MA｜＝2｜MO｜（O为坐标原点），则实数a的取值范围是　　　　. 14.在△ABC中，D是BC边上的任意一点（D与B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜.求证：△ABC为等腰三角形. 15. (2025秋·内蒙古期末) 已知点是直线上一点，则的最小值是　　　　. 16.如图，梯形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC，∠ADC＝90°，｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜.腰DC在x轴上，O是线段DC的中点，｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°.求： （1）A，B，C，D各点的坐标； （2）梯形ABCD的面积. 2.3.2　两点间的距离公式 1.A　｜MN｜＝＝5，故选A. 2.C　解方程组得即A（1，2），而O为坐标原点，则｜AO｜＝＝，所以点A到原点的距离为. 3.B　设P（x，y），则＝，即3x＋y＋4＝0. 4.A　直线l1：y＝3ax－2过定点A（0，－2），直线l2：a（2x＋5y）－（x＋1）＝0过定点B（－1，），所以｜AB｜＝＝. 5.BD　由题意设，则，解得或 所以点的坐标可以是或. 6.BCD　＝＝＝，可看作点（x，0）与点（－1，－2）的距离，可看作点（x，0）与点（－1，2）的距离，可看作点（x，－1）与点（－1，1）的距离，故B、C、D正确. 7.9或－5　解析：由｜MN｜＝7，得｜MN｜＝＝7，即x2－4x－45＝0，解得x1＝9或x2＝－5.故所求x的值为9或－5. 8.　解析：设点A（a，2a－1），点B（b，2b－1），因为｜a－b｜＝，所以｜AB｜＝＝｜a－b｜＝. 9.　解析：因为，在直线（）上，化简为，由，得，. 10.解：（1）因为A（－2，0），B（0，4），所以线段AB的中点坐标为（－1，2），kAB＝＝2. 又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl＝－＝－， 所以直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即x＋2y－3＝0. （2）设点C的坐标为（a，b）.由题意有解得或 所以点C的坐标为（1，1）或（－3，3）. 11.C　点A（－3，5）关于x轴的对称点为A'（－3，－5），则光线从A到B经过的路程为A'B的长度，｜A'B｜＝＝5.故选C. 12.C　点A（－3，1）关于直线y＝－2的对称点为A'（－3，－5）.若直线y＝－2上有一点P，它到点A（－3，1）和点B（5，－1）的距离之和最小，则P为直线A'B与直线y＝－2的交点，∴（｜PA｜＋｜PB｜）min＝｜A'B｜＝＝4.故选C. 13.［，］ 解析：设M（x，－x－a）.由｜MA｜＝2｜MO｜，得（x－2）2＋（－x－a）2＝4x2＋4（－x－a）2，整理得6x2＋（6a＋4）x＋3a2－4＝0.由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故实数a的取值范围为［，］. 14.证明：作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设A（0，h），B（b，0），C（c，0），D（d，0）. 因为｜AB｜2＝｜AD｜2＋｜BD｜｜DC｜， 则由两点间距离公式得b2＋h2＝d2＋h2＋（d－b）·（c－d）， 整理得－（d－b）（b＋d）＝（d－b）（c－d）. 因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0， 所以－b－d＝c－d，即－b＝c. 所以｜OB｜＝｜OC｜，于是｜AB｜＝｜AC｜，即△ABC为等腰三角形. 15.　解析：设，，则，表示点与点之间的距离，，表示点与点之间的距离，所以，因为点关于直线的对称点为，且，所以的最小值为，即的最小值是. 16.解：（1）如图所示，过点A作AE⊥BC于点E， 因为AD∥BC，∠ADC＝90°， 所以∠BCD＝90°， 又因为｜BO｜＝4，且∠BOC＝60°， 所以｜OC｜＝2，｜BC｜＝2， 所以点C的坐标为（2，0），点B的坐标为（2，2）. 又因为O为线段DC的中点， 所以｜DO｜＝2， 所以点D的坐标为（－2，0）， 设点A的纵坐标为y，所以点A的坐标为（－2，y）. 所以｜AE｜＝｜DC｜＝4，｜EC｜＝｜AD｜＝y，｜BE｜＝｜BC｜－｜EC｜＝2－y. 因为｜AB｜＝｜DA｜＋｜CB｜＝y＋2，且∠BEA＝90°， 所以｜AB｜2＝｜AE｜2＋｜BE｜2，即（y＋2）2＝42＋（2－y）2，解得y＝，所以点A的坐标为（－2，）. （2）S梯形ABCD＝×（＋2）×4＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $