2.4.1 圆的标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦圆的标准方程，通过基础巩固、中档综合、拔高应用三层设计，实现从概念辨析到实际建模的知识进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的标准方程概念、点与圆位置关系|选择题1-3直接考查定义，填空题6-7强化基本计算| |中档|含绝对值的圆方程、圆的对称问题|选择题4-5结合参数与几何性质，填空题8渗透动态思维| |拔高|圆的最优解与条件建模|解答题9-10综合应用直径性质与方程思想，体现模型意识|

2.4.1 圆的标准方程 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.方程（x－a）2＋（y＋b）2＝0表示的图形是（ 　） A.以（a，b）为圆心的圆 B.点（a，b） C.以（－a，－b）为圆心的圆 D.点（a，－b） 2．点(sin ，cos )与圆x2＋y2＝的位置关系是（ 　） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定 3.圆心坐标为（－2，1），并经过点A（2，－2）的圆的标准方程为（ 　） A.（x－2）2＋（y－1）2＝5 B.（x＋2）2＋（y－1）2＝5 C.（x＋2）2＋（y＋1）2＝25 D.（x＋2）2＋（y－1）2＝25 4.方程｜x｜－1＝所表示的曲线是（ 　） A.一个圆 B.两个圆 C.一个半圆 D.两个半圆 5.（多选）已知圆C1：（x＋1）2＋（y－1）2＝4，若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（ 　） A.圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 B.圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 C.圆C2的标准方程为（x＋2）2＋（y－2）2＝4 D.圆C2的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝4 二、填空题 6.若点（2a，a＋1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，则实数a的取值范围是 . 7.若圆C与圆M：（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是　 　. 8.已知圆C：（x－2）2＋（y＋m－4）2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是 . 三、解答题 9.已知点A（1，－2），B（－1，4），求： （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程. 10.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最短时的圆的标准方程. 解析版 一、选择题 1.方程（x－a）2＋（y＋b）2＝0表示的图形是（　D　） A.以（a，b）为圆心的圆 B.点（a，b） C.以（－a，－b）为圆心的圆 D.点（a，－b） 2．点(sin ，cos )与圆x2＋y2＝的位置关系是(　A　) A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不确定 解析：由sin2＋cos2＝1＞，故点(sin ，cos )在圆外． 3.圆心坐标为（－2，1），并经过点A（2，－2）的圆的标准方程为（　D　） A.（x－2）2＋（y－1）2＝5 B.（x＋2）2＋（y－1）2＝5 C.（x＋2）2＋（y＋1）2＝25 D.（x＋2）2＋（y－1）2＝25 4.方程｜x｜－1＝所表示的曲线是（　D　） A.一个圆 B.两个圆 C.一个半圆 D.两个半圆 解析：由题意，得 即或 故原方程表示两个半圆. 5.（多选）已知圆C1：（x＋1）2＋（y－1）2＝4，若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则（　AD　） A.圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 B.圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 C.圆C2的标准方程为（x＋2）2＋（y－2）2＝4 D.圆C2的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝4 解析：设圆C2的圆心为（a，b），根据题意，圆C1的圆心为（－1，1），半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.因为圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2， 则有解得则圆C2的标准方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝4. 二、填空题 6.若点（2a，a＋1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，则实数a的取值范围是　（－1，1）　. 解析：因为点（2a，a＋1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，则（2a）2＋[（a＋1）－1]2＜5，解得－1＜a＜1. 7.若圆C与圆M：（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是　（x－2）2＋（y＋1）2＝1　. 解析：圆M：（x＋2）2＋（y－1）2＝1的圆心为M（－2，1），半径r＝1，则点M关于原点的对称点为C（2，－1），且圆C的半径也为1，则圆C的标准方程是（x－2）2＋（y＋1）2＝1. 8.已知圆C：（x－2）2＋（y＋m－4）2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是　1　. 解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为（2，4－m），半径为1，圆C上的点到原点的最短距离d是圆心到原点的距离减去半径1，即d＝－1，当m＝4时，d取最小值，此时dmin＝1. 三、解答题 9.已知点A（1，－2），B（－1，4），求： （1）过点A，B且周长最小的圆的标准方程； （2）过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的标准方程. 解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点（0，1）为圆心， 以｜AB｜＝为半径的圆周长最小， 则所求圆的标准方程为x2＋（y－1）2＝10. （2）方法一：直线AB的斜率k＝－3，且线段AB中点坐标为（0，1）， 则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x， 即x－3y＋3＝0， 又圆心在直线2x－y－4＝0上， 得两直线交点为圆心， 联立两方程解得圆心坐标是C（3，2）， 半径r＝｜AC｜＝＝2， 故所求圆的标准方程是（x－3）2＋（y－2）2＝20. 方法二：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2， 则解得 故所求圆的标准方程为（x－3）2＋（y－2）2＝20. 10.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最短时的圆的标准方程. 解：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则圆心为（a，b），半径为r， 依题意，得 消去r，得2b2－a2＝1，（*） 圆心到直线l的距离d＝. 设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入（*）式， 整理得2b2＋4kb＋k2＋1＝0. 由判别式Δ＝8（k2－1）≥0，解得｜k｜≥1， 当｜k｜＝1时，dmin＝. 当k＝1时，a＝b＝－1， 圆的标准方程为（x＋1）2＋（y＋1）2＝2； 当k＝－1时，a＝b＝1， 圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2. 页 学科网（北京）股份有限公司 $