第28章 相似三角形（比例线段、相似的判定与性质及位似）讲义 2026-2027学年i沪教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“相似三角形”核心内容，系统梳理从图形放缩与相似形概念入手，到比例线段及性质、平行线分线段成比例，再到相似三角形判定、性质及位似的完整知识体系，构建从基础概念到逻辑推理再到实际应用的学习支架。 资料以“知识梳理+题型演练”为框架，知识梳理中通过易错点拨强化几何直观（数学眼光），如黄金分割的几何求法培养空间观念；题型演练涵盖选择、填空、证明等多种形式，如相似判定证明题提升推理能力（数学思维），助力教师课中系统授课，学生课后可通过分层练习查漏补缺，提升用数学语言表达推理过程的能力。

目录 相似三角形 1 【知识梳理】 1 【知识点1：放缩与相似形】 1 【知识点2：比例线段及比例性质】 1 【知识点3：平行线分线段分成比例】 3 【知识点4：相似三角形判定】 4 【知识点5：相似三角形及性质】 4 【知识点6：位似】 4 【题型演练】 5 【题型一：相似图形】 5 【题型二：比例的性质】 6 【题型三：比例线段】 6 【题型四：黄金分割比】 8 【题型五：相似的判定】 9 【题型六：相似三角形性质】 11 【题型七：位似】 13 1 学科网（北京）股份有限公司 第6讲 相似三角形 【知识梳理】 【知识点1：放缩与相似形】 1.图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小，就得到与它形状相同的图形. 2.相似形 ①相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. ②相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到. ③对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 3.相似多边形 一般来说，两个多边形是相似形，就是说它们同为n边形而且形状相同.也就是这两个多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A、B、C、D分别与点A1、B1、C1、D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 4.相似多边形的性质 根据多边形相似的含义，得到： ①如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. ②当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1. 【知识点2：比例线段及比例性质】 1.比例线段： （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2.比例性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 3.比例中项 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段AP称为线段AB与PB的比例中项. 4. 黄金分割: 是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点. 黄金分割的求法: ①代数求法： 已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C. 分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB， 　　 设AB＝，AC＝x，那么　CB＝－x， 由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x) 整理后，得：x2＋x－ ＝0， 根据求根公式，得：x＝ ∴(不合题意，舍去) 即AC＝AB≈0.618AB， 则C点可作. ②黄金分割的几何求法（尺规法）： 已知：线段AB， 求作：线段AB的黄金分割点C. 作法：如图： 　　 (1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB. (2)连结AD，在AD上截取DE＝DB. (3)在AB上截取AC＝AE. 则点C就是所求的黄金分割点. 证明：∵AC＝AE＝AD－AB 而AD＝ ∴AC＝ ∴C点是线段AB的黄金分割点. 易错点拨： ①一条线段有两个黄金分割点. ②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学. 【知识点3：平行线分线段分成比例】 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【知识点4：相似三角形判定】 ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似. 【知识点5：相似三角形及性质】 （1） 相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法： 用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF. （2） 相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 易错点拨：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【知识点6：位似】 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【题型演练】 【题型一：相似图形】 1．下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 2．下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 3．下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 4．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【题型二：比例的性质】 5．若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（     ） A．6 B．8 C．4 D．12 7．若 ，则 的值是（     ） A． B． C． D． 8．已知，则______． 9． 已知a、b、c满足．求的值． 【题型三：比例线段】 10．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 11．已知线段厘米，厘米，b是线段a和c的比例中项，__________厘米． 12．下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A． B． C．，， D．，，， 13．如图，已知，与相交于点，点是的中点，过点作交于点，如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 14．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 15．如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 16．如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 17．如图，中，、分别是边、上的点，且线段经过的重心，下列说法错误的是（　　） ①若，则；    ②若，则 ③；    ④； A． ② B．②③ C．②③④ D．②④ 【题型四：黄金分割比】 18．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 19．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 20．如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是______． 【题型五：相似的判定】 21．如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 22．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 23．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 24．在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 25．已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 26．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 27．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【题型六：相似三角形性质】 28．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 29．如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． 30．如果两个相似三角形的面积比是，那么其对应高之比为__________． 31．如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 32．如图，与相交于点，，，则______________． 33．一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 34．如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 35．如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 【题型七：位似】 36．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 37．如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 38．如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 39． 已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 40．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． $ 相似三角形 【知识梳理】 【知识点1：放缩与相似形】 1.图形的放缩运动 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动.将一个图形放大或缩小，就得到与它形状相同的图形. 2.相似形 ①相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形. ②相似的图形，它们的大小不一定相同.对于大小不同的两个相似形，可以看作大的图形由小的图形放大而得到，或小的图形由大的图形缩小而得到. ③对于大小相同的两个相似形，它们可以重个这时它们是全等形. 3.相似多边形 一般来说，两个多边形是相似形，就是说它们同为n边形而且形状相同.也就是这两个多边形的角对应相等，边的长度对应成比例. 如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A、B、C、D分别与点A1、B1、C1、D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”. 4.相似多边形的性质 根据多边形相似的含义，得到： ①如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. ②当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1. 【知识点2：比例线段及比例性质】 1.比例线段： （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 2.比例性质： （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 3.比例中项 在比例式 中，两个内项都是线段AP, 这时线段AP称为线段AB与PB的比例中项. 4. 黄金分割: 是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点. 黄金分割的求法: ①代数求法： 已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C. 分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB， 　　 设AB＝，AC＝x，那么　CB＝－x， 由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x) 整理后，得：x2＋x－ ＝0， 根据求根公式，得：x＝ ∴(不合题意，舍去) 即AC＝AB≈0.618AB， 则C点可作. ②黄金分割的几何求法（尺规法）： 已知：线段AB， 求作：线段AB的黄金分割点C. 作法：如图： 　　 (1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB. (2)连结AD，在AD上截取DE＝DB. (3)在AB上截取AC＝AE. 则点C就是所求的黄金分割点. 证明：∵AC＝AE＝AD－AB 而AD＝ ∴AC＝ ∴C点是线段AB的黄金分割点. 易错点拨： ①一条线段有两个黄金分割点. ②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学. 【知识点3：平行线分线段分成比例】 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 【知识点4：相似三角形判定】 ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似. 【知识点5：相似三角形及性质】 （1） 相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形. （2）相似三角形的表示方法： 用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF. （2） 相似三角形的性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. ②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. ③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 易错点拨：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【知识点6：位似】 位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。 注意： a．位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形； b．两个位似图形的位似中心只有一个； c．两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧； d．位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似； e．位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。 f．根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。 【题型演练】 【题型一：相似图形】 1．下列命题中正确的是（   ） A．两边对应成比例的两个直角三角形相似 B．两角相等的三角形相似 C．所有的正边形都相似 D．有两边成比例和一个角相等的三角形相似 【答案】C 【知识点】判断命题真假、相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了命题与定理，熟练掌握相似图形的判定方法是解题的关键． 根据相似图形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A．当一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的直角边对应成比例时，这两个直角三角形不相似，故该命题错误，不符合题意； B．两角分别相等的两个三角形相似，该命题错误，不符合题意； C．所有的正边形的内角都相等，对应边成比例，故所有的正边形都相似，命题正确，符合题意； D．有两边成比例且夹角相等的三角形相似，命题错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，相似图形要求形状相同，大小可能不同．反比例函数图像无论k值如何，形状相同，一定相似；等腰三角形不一定相似；菱形和矩形对应角不一定相等或边不一定成比例，不一定相似． 【详解】解：等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； ∵反比例函数的图像是双曲线，通过缩放可重合，形状相同； ∴反比例函数图像一定相似． ∵菱形的对应角不一定相等（例如，一个菱形的内角为，另一个菱形的内角为），所以菱形不一定相似。 ∵矩形的长宽比不一定相同（如正方形与长方形），对应边不成比例； ∴矩形不一定相似． 故选：B． 3．下列各组图形中不一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个直角三角形 【答案】D 【知识点】相似图形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似多边形，相似图形需对应角相等且对应边成比例．A、B、C中的图形因角度固定且边长比例确定，故一定相似；D中的直角三角形角度和边长比例可能不同，故不一定相似，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两个等腰直角三角形，两个锐角都是度，故两个等腰直角三角形是相似图形，故该选项不符合题意； B、两个等边三角形，每个内角都是，故两个等边三角形是相似图形，故该选项不符合题意； C、两个正方形，每个正方形的四条边都相等，每个内角都是度，故两个正方形是相似图形，故该选项不符合题意； D、两个直角三角形的一个内角是，但其他两个内角不一定相等且三边不一定成比例，故两个直角三角形不一定是相似图形，故该选项符合题意； 故选：D． 4．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【知识点】相似多边形 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 【题型二：比例的性质】 5．若 ，则下列比例式中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】比例式可根据性质转化为等积式，将各选项转化为等积式后和已知 对比，即可找出不正确的选项． 【详解】解：选项A：， 交叉相乘得，与已知不相等，不符合条件，故A错误，符合题意； 选项B：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故B正确．不符合题意； 选项C：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故C正确．不符合题意； 选项D：， 交叉相乘得 ，符合已知条件，故D正确．不符合题意； 6．已知三个数1、3、4，如果再添上一个数，使它们能组成一个比例式，那么这个数可以是（     ） A．6 B．8 C．4 D．12 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】根据比例的基本性质，比例中两个外项的积等于两个内项的积，对各选项逐一验证即可得到答案． 【详解】解：添加6时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项A不符合要求． 添加8时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项B不符合要求． 添加4时，所有组合中不存在两个数的积等于另外两个数的积，选项C不符合要求． 添加12时， ，满足比例的基本性质，可组成比例 ， 选项D符合要求． 7．若 ，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】对已知比例式变形，推导得到与的关系，即可求出 的值． 【详解】解：， 根据比例的基本性质交叉相乘得：， 展开得， 移项化简得， 等式两边同时除以得， ． 8．已知，则______． 【答案】 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质得到，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【知识点】分式化简求值、比例的性质 【分析】设，可得，，，再将其代入式子求解即可． 【详解】解：设， 则，，， 则． 【题型三：比例线段】 10．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例线段、黄金分割 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出的值，注意线段不能为负． 【详解】解：是 和的比例中项， ， ，， ，解得：， ， 故选：D． 11．已知线段厘米，厘米，b是线段a和c的比例中项，__________厘米． 【答案】324 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段． 根据比例中项的定义，若b是a和c的比例中项，则． 【详解】解：由题意，b是a和c的比例中项， 因此． ∵厘米，厘米， ∴， 即， 解得． 故答案为：324． 12．下列各组的四条线段是成比例线段的是（　　） A． B． C．，， D．，，， 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查成比例线段的判定，根据成比例线段的定义，若，则称四条线段是成比例线段；由比例的基本性质可知，这等价于，依次验证各选项即可． 【详解】解：∵成比例线段满足 A、，，，不成比例，不符合题意； B、，，，不成比例，不符合题意； C、，，，不成比例，不符合题意； D、，，，成比例，符合题意． 故选：D． 13．如图，已知，与相交于点，点是的中点，过点作交于点，如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先证明△ADO∽△CBO，得到，再根据点是的中点，得到，最后证明△OGE∽△OBC，即可得到． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴△ADO∽△CBO， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，GD=BG， ∴， ∴， ∵， ∴△OGE∽△OBC， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理并能熟练根据比的性质进行线段比转化是解题关键． 14．如图，已知直线、、分别与直线交于点、、，与直线交于点、、，如果，，则的长是__________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，先结合，得出，，，，再进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，则，故该选项不符合题意； B、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意； C、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ，， 则不一定相等， 则不一定相等，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 16．如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】取的中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，中，、分别是边、上的点，且线段经过的重心，下列说法错误的是（　　） ①若，则；    ②若，则 ③；    ④； A．② B．②③ C．②③④ D．②④ 【答案】B 【知识点】重心的有关性质、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于利用重心的性质得到线段之间的比例关系． 当时，连接与中点，交于点，根据重心的性质得，结合相似即可得，故结论①正确，结论②错误；同理可得，根据线段之间的比例关系，可证得结论③错误，结论④正确，即可得出结果． 【详解】解：当时，连接与中点，交于点，如下图所示： ∵线段经过的重心，且为的中线， 故点为的重心， 即， ∵， ∴， ∴， 故结论①正确，结论③错误； 以上图为例，可得， 即，故， ∵， ∴， ∴，故结论③错误； 同理， ∵, ∴， 则上式 ∵， 故结论④正确； 综上，错误的结论为②③，故选B． 【题型四：黄金分割比】 18．点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 19．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】/ 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、黄金分割 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 20．如图①，点在线段上，若满足（即），则称点为线段的黄金分割点，每条线段都有两个黄金分割点，如图②，已知点都是线段的黄金分割点，若，则的长是______． 【答案】 【知识点】线段的和与差、比例线段、黄金分割 【分析】本题主要考查线段成比例的运算，黄金分割点的计算方法，掌握线段成比例的运算方法是解题的关键． 根据点都是线段的黄金分割点，可得，根据线段的和差运算即可求解． 【详解】解：已知点为线段的黄金分割点，则（即）， ∵点都是线段的黄金分割点， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型五：相似的判定】 21．如图，点D、E分别在的边上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两角对应相等判定相似 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， 即， 解得． 22．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 23．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等边三角形的性质、利用两角对应相等判定相似 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 24．在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 25．已知：如图，四边形中，点E在边上，交于点F，，． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)证明：∵AE2=AF⋅AC， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． (2)证明：由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边； （1）由得，由三角形外角得即可解答； （2）由得，题意证即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 26．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是菱形、利用相似三角形的性质求解、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 27．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（  ）种不同的剪法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 【题型六：相似三角形性质】 28．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为． 29．如果两个相似三角形的面积比为，那么这两个三角形的对应中线的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应中线的比等于相似比． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个三角形的相似比为． 又∵相似三角形对应中线的比等于相似比， ∴这两个三角形的对应中线的比为． 故选：A． 30．如果两个相似三角形的面积比是，那么其对应高之比为__________． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此由面积比可得相似比为，再根据对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴相似比为， ∴对应高之比为． 故答案为：． 31．如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， 则面积比为， 由题意，， 解得， 周长比等于相似比，即它们的周长之比是， 故答案为：． 32．如图，与相交于点，，，则______________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到答案． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 33．一个三角形框架模型的边长分别为，，，工人师傅要利用两根和的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例的性质，以铁丝为最长边；以铁丝为中等边；以铁丝为最短边长；以铁丝为一边时，同理验证即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴符合题意，周长为：， 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最短边，设最长边为，中等边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为中等边，设最长边为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意； 以铁丝为最长边，设中等边长为，短边长为， ∴， 则，， ∵， ∴不符合题意， 故选：． 34．如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解 【分析】（）由，，得，所以，同理得，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 35．如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是4．△的面积是6 【知识点】等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△△是解题的关键． （1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△． （2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得． 【详解】（1）证明：是边上的高线， 于点， 在边上取点，与交于点， ， ， ， △△． （2）解：为的中点，△的面积为1， ， ，， △△． ， ， ， △的面积是6． 【题型七：位似】 36．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】位似图形的识别 【分析】根据位似图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 37．如图，在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点．若点，的对应点为点，已知点，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】位似图形的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标满足“对应点坐标比等于位似比（符号有位置决定）” ． 【详解】解：如图： ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合，且它们是位似图形，位似中心为点，若点，的对应点为点， ∴位似比为， ∵点与点是位似图形的对应点，且在同一个象限内， ∴点的坐标，即， ∵在平面直角坐标系中，两个矩形的对称中心与原点重合， ∴点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为． 38．如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似多边形的性质 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 39．已知在平面直角坐标系中，点、、，以原点为位似中心，位似比为，则点的对应点的坐标为________． 【答案】或或或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】根据在平面直角坐标系中，位似变换以原点为位似中心时，相似比为，位似图形对应点的坐标的比等于或，进行计算． 【详解】解：点的坐标为，以原点为位似中心，位似比为， 当以原点为位似中心将缩小时，点的对应点的坐标为或，整理得或； 当以原点为位似中心将扩大时，点的对应点的坐标为或，整理得或． 40．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 【知识点】平移(作图)、在坐标系中画位似中心、在坐标系中画位似图形 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得． 学科网（北京）股份有限公司 $