第9讲 相似三角形的判定 【暑假预习讲义】 2026--2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

第9讲 相似三角形的判定【知识精讲+典例+针对练习】 暑假预习讲义新沪教版数学九年级五四制上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 相似三角形的定义及基本性质（对应角相等、对应边成比例）。 · 掌握 相似三角形的四种判定方法（AA、SAS、SSS、HL），能根据已知条件选择合适的判定定理。 · 熟练运用 相似三角形判定定理解决格点图、补充条件、乘积式证明、求线段长等问题。 · 识别 常见的相似模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角、斜边高模型等），并能借助辅助线构造相似。 · 体会 类比全等三角形的判定学习相似判定，感悟“从特殊到一般”的数学思想，提升逻辑推理与几何直观能力。 ✨ 核心思想：相似三角形是比例线段与平行线的升华，判定定理是几何证明的重要工具。 ☆知识点1： 相似三角形的概念 1. 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条对应边成比例，那么称这两个三角形相似。对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。 两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相似”。 2. 表示方法 两个三角形中，，且 ，这时 与 相似，记作 ，读作“ 相似于 ”。（如图所示） 提醒：对应性：在书写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。 3.相似比 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比，通常用 表示。 如图，如果 是 的中位线， 那么： ① 与 的相似比是 ， ② 与 的相似比是2。 即如果 与 相似， 与 的相似比是 ，那么 与 的相似比是 。 三角形是相似三角形的特例。 (2)两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关。 4. 三角形相似的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。（如图所示） 符号表示：∵ ☆知识点2：:相似三角形的预备定理和判定定理 1. 相似三角形的预备定理 内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 简述 平行截得两个三角形相似（“A”字或“8”字） 基本图形 符号表示 ∵ DE∥BC，∴ △ABC∽△ADE 例 1 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点，CE 交 AD 于点 F，图中有哪几对相似三角形？ 解：三对。 ① ， ② ， ③ 。 总结：当题目中已知线段的平行关系，或已知图形为平行四边形时，考虑用预备定理证明两个三角形相似。 2. 相似三角形判定定理（1） 内容 两角对应相等的两个三角形相似（Λ.Λ） 基本图形 符号表示 在中，∵∠A=∠，∠B=∠B1，∴ 常见图形 （隐含条件：公共角、对顶角） 提醒：A.A 是为方便记忆，书写时不使用，后同。 ( )例 2 如图，在 和 中，如果 ，那么 和 相似吗？请说明理由。 解： 与 相似。理由如下： 在 中， 在 和 中， 总结：当题目中已知三角形中某两个角的度数，可利用三角形的内角和为 计算出第三个角的度数，找到另一个三角形中与这个三角形相等的两组角，从而证明两个三角形相似。 3. 相似三角形判定定理（2） 内容 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（S.A.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 常见图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 提醒： (1) 利用此判定定理时必须注意：满足的条件是两边对应成比例及其夹角相等，而不是某边的对角相等。 (2)一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用此判定定理。 例 3 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2。求证：△OAB与△ODC是相似三角形。 证明：∵ OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2， ∴ ，由此得 。 在△OAB与△ODC中，∵ ∴ △OAB∽△ODC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 4. 相似三角形判定定理（3） 内容 三边对应成比例的两个三角形相似（S.S.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∴ 提醒：此判定定理指出要说明两个三角形相似，只需要满足三条边对应成比例。一般地，当题目中告诉线段的长度较多，或有成比例线段的图形，但又找不到角相等时，常选择此判定定理。 例 4 已知：在 中，AB = 1 cm，BC = 2 cm，CA = 1.5 cm，在 中，DE = 6 cm，EF = 4 cm，FD = 8 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 解： ∴ 在 与 中，。 ∴ 。 总结：已知两个三角形三条边的边长，要证两个三角形相似，只需证明三边对应成比例即可。用有关的边长作“比”并进行计算时，可以数形结合，用最长边比最长边，最短边比最短边，求值后判断三组边是否对应成比例即可完成证明。 ☆知识点3： 直角三角形相似的判定定理 内容 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（H.L） 基本图形 符号表示 在Rt与Rt中，∠C=∠C1=90°，∵， ∴Rt∽Rt 常见图形 （斜高图） 说明： 要说明两个直角三角形相似，只需满足斜边和一条直角边对应成比例，即仅用直角三角形的斜边和直角边也可判定。一般地，当题目中出现直角三角形时，除了前面方法外，还应考虑本方法。 该判定定理仅适用于直角三角形，运用前需先判定两个三角形是直角三角形。 例 5 如图，已知：在 中，，CD 是边 AB 上的高。 求证：。 解析：要证 ，即 ，可证 。其他两个等式同理可证。 证明：∵ ，CD 是 的边 AB 上的高， 在 与 中， 同理，，可得 ，即 。 易证 ，可得 ，即 。 例 6 已知：如图，在四边形 ABCD 中，，AD = 4，BC = 9，AC = 6。 求证：。 证明：∵ ， ∴ 和 都是直角三角形。 ∴ Rt△DCA ∼ Rt△ABC（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。 总结：当题目中已知直角三角形时，除了前面所述判定定理外，还可考虑直角三角形相似的判定定理。题目中给出三角形边长时，可先判断斜边和直角边，再计算对应边是否成比例，从而证明相似。其中，由已知线段长度建立比例关系是难点，可借助图形分析。 ☆知识点4： 判定三角形相似的方法选择 要证明两个三角形相似的方法有： · 方法 1：平行得相似； · 方法 2：两角对应相等得相似； · 方法 3：两边对应成比例且夹角相等得相似； · 方法 4：三边对应成比例得相似； · 直角三角形：斜边和一直角边对应成比例得相似。 解题思路： 1. 若有平行线 用方法1 1. 若已有一对角对应相等： 　　——再证一对角对应相等 → 用方法2 　　——或找夹此角的对应边成比例 → 用方法3 1. 若可找到两组边成比例： 　　——再证夹角相等 → 用方法3 　　——或看第三组边的比 → 用方法4 1. 直角三角形： 　　——斜边和一直角边对应成比例得相似 　　——一对锐角相等 → 用方法2 　　——两条直角边对应成比例 → 用方法3 提醒： 1. 定义法（三个角对应相等，三边对应成比例）一般不常用。 1. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（斜高图，常用但需证明）。 ☆知识点5： 相似三角形与全等三角形之间的联系与区别 两个全等三角形 两个相似三角形 相同点 形状相同，对应角相等 形状相同，对应角相等 不同点 大小相等，对应边相等 大小不等，对应边成比例 联系 全等是特殊的相似 当比例系数是1时，两个相似三角形全等 判定方法 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角边角(A.S.A)、角角边(A.A.S)、斜边直角边(H.L) 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角角(A.A)、斜边直角边(H.L) 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】格点图中判定两个三角形相似（第1-5题） ※ 方法总结 · 利用勾股定理计算网格中三角形的三边长度（或直角边的比例）。 · 三边对应成比例（SSS）或两边成比例且夹角相等（SAS）来判断。 · 注意直角：很多格点三角形为直角三角形，可通过直角边的比值判断相似。 · 技巧：将三角形的边长化为最简整数比，再与其他选项比较。 1．（2026•河北校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的两条直角边的比为1：2判断即可． 【解答】解：由题意∠BAC＝90°，AB，AC＝2， ∴AB：AC＝1：2， 选项C中的三角形是直角边比为1：2的直角三角形，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．（2026•固镇县一模）如图，△ABC顶点均在正方形网格格点上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中， ，BC＝1，， A、三边分别为，2，，则，故与△ABC相似，符合题意； B、三边分别为，，3，则，故与△ABC不相似，不符合题意； C、三边分别为2，，，则，故与△ABC不相似，不符合题意； D、三边分别为，，4，则，故与△ABC不相似，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查三角形相似判定定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握． 3．（2025秋•易县期末）如图，方格纸中有△ABC与△DEF，其中△ABC的一边与△DEF的一边和方格线重合．下列判断正确的是（　　） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 【分析】根据三边成比例两三角形相似证明即可． 【解答】解：∵AB＝2，BC＝2，AC＝2，EF＝1，DE，DF， ∴， ∴△ABC∽△DEF． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 4．（2025秋•浦东新区期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 　（2，2）　 ． 【分析】所连的三角形中有一个角与∠QPR相等，则根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”得到B点满足条件． 【解答】解：∵∠QPR＝∠BQP，， ∴△BQP∽△QPR，B点坐标为（2，2）． 故答案为：（2，2）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法可解决问题的关键．也考查了坐标与图形性质． 5．（2025秋•裕安区校级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有 　6　 个． 【分析】设网格的边长为1，两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似，我们把D点和另外两点连接，三边和△ABC对应成比例的三角形即为所求的三角形． 【解答】解：设网格的边长为1． 则AC＝2，AB＝4，BC2． 连接P2P5， AP5，AP2，P2P5． ∵， ∴△ACB∽△AP5P2． 同理可找到△P2P4P5，△CP4P5，△ACP1，△AP2P4，△AP4P5和△ACB相似，共6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查了相似三角形的判断，关键是知道相似三角形的判定定理，三边对应成比例是相似三角形． 【考点2】补充条件判定三角形相似（第6-10题） ※ 方法总结 · 利用AA判定：添加另一组角相等（如∠ADE=∠B）。 · 利用SAS判定：添加对应边成比例（如 ADAB=AEAC），注意夹角必须是对应角。 · 注意：添加条件时，必须保证对应关系正确，避免“边边角”错误。 · 常见题型：给出一个条件，再添加一个使两三角形相似的条件（开放型）。 6．（2026•洛阳模拟）下列说法： ①所有的等边三角形都相似； ②有一个底角相等的两个等腰三角形相似； ③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似； ④都有一个15°角的两个直角三角形相似． 其中正确的说法是（　　） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【分析】由相似三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：①所有的等边三角形都相似，正确，故①符合题意； ②等腰三角形的两个底角相等，因此有一个底角相等的两个等腰三角形相似，故②符合题意； ③如果一个等腰三角形的顶角与另一个等腰三角形的底角相等，那么这两个等腰三角形不一定相似，故③不符合题意； ④都有一个15°角的两个直角三角形相似，正确，故④符合题意． ∴其中正确的说法是①②④． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法． 7．（2025秋•九台区期末）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【解答】解：A、∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠B＝60°， ∴△DEC∽△ABC， 故A不符合题意； B、∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B， ∴△CDE∽△CBA， 故B不符合题意； C、由图形可知，BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4， BD＝BC﹣CD＝8﹣5＝3， ∵，， ∴， 又∵∠B＝∠B， ∴△BDE∽△BAC， 故C不符合题意； D、由已知条件无法证明△ADE与△ABC相似， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 8．（2026•普洱二模）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ACB，则你添加的这一个条件可以是　∠ADE＝∠B （写出一个即可）． 【分析】利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC， ∴当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC． 故答案为∠ADE＝∠B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 9．（2026•浦东新区校级模拟）一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形　一定　 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 【分析】由一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，可得对应边成比例，即可求得答案． 【解答】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4， ∴， ∴这两个直角三角形一定相似． 故答案为：一定． 【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意熟记定理是解此题的关键． 10．（2025秋•象州县期末）如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件可以是：　∠ACD＝∠B ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【分析】可由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC；也可由，∠A＝∠A，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC，所以添加的条件可以是∠ACD＝∠B，或等． 【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC， 故答案为：∠ACD＝∠B．（答案不唯一） 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 【考点3】乘积式 b²＝ac 的转化证明（第11-15题） ※ 方法总结 · 目标：将乘积式转化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例证明。 · 步骤：① 由乘积式得到比例式；② 寻找包含这些边的相似三角形；③ 利用相似比证明。 · 常见模型：母子型（射影定理）、A字型、8字型。 · 常用技巧：利用中间比（如先证一个相似，得到中间比例，再结合其他条件转化）。 11．（2024春•同步）平行四边形ABCD中，AE交BC于点E，交BD于点F，且BE2＝EF•EA．求证：AB2＝BF•BD． 【分析】根据已知条件得到，由∠BEF＝∠AEB，根据相似三角形的判定定理得到△BEF∽△ABE，由相似三角形的性质得到∠BAE＝∠EBF，由于∠FBE＝∠ADF，等量代换得到∠ADB＝∠BAE，于是得到△ABF∽△ADB，即可得到结论． 【解答】解：∵BE2＝EF•EA， ∴， ∵∠BEF＝∠AEB， ∴△BEF∽△ABE， ∴∠BAE＝∠EBF， ∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠FBE＝∠ADF， ∴∠ADB＝∠BAE， ∴△ABF∽△ADB， ∴， ∴AB2＝BF•BD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12．（2026•奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC． （1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB； （2）联结OF．如果OF2＝EF•AF，求证：F是BC的中点． 【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，∠BAF＝∠DAC，可推出∠BAF＝∠ACF，根据BE＝BF，可推出∠AEB＝∠CFA，结合AE＝CF证明△ABE≌△CAF即可得证； （2）由OF2＝EF•AF可得，又有∠AFO＝∠OFE，则△AFO∽△OFE，得∠AOF＝∠OEF，则∠COF＝∠AEO，结合∠BAF＝∠DAC可得∠COF＝∠BFE，又由（1）得∠BAF＝∠ACF，可证△ABF∽△CFO，得到AB∥OF，结合平行四边形的性质即可得证． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∵∠AEB+∠BEF＝180°，∠CFA+∠BFE＝180°， ∴∠AEB＝∠CFA， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）， ∴AB＝CA， ∴∠ABC＝∠ACB； （2）∵OF2＝EF•AF， ∴， 又∵∠AFO＝∠OFE， ∴△AFO∽△OFE， ∴∠AOF＝∠OEF， ∴∠COF＝∠AEO， ∵∠AEO＝∠BEF， ∴∠COF＝∠BEF， 又∵BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠COF＝∠BFE， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACF， ∵∠BAF＝∠DAC， ∴∠BAF＝∠ACF， ∴△ABF∽△CFO， ∴∠ABF＝∠CFO， ∴AB∥OF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为AC中点， ∵AB∥OF， ∴F是BC的中点． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 13．（2008春•新郑市期末）如图：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F． 求证：（1）△AMB∽△DMC； （2）AB2＝BF•BD． 【分析】（1）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠AMB＝∠DMC是对顶角，即可证明△AMB∽△DMC； （2）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以，∠BAC＝∠BDC＝90°，即A、B、C、D四点共圆，可得∠CAD＝∠CBD，又由AE⊥BC，所以∠AEB＝∠BAC，∠BAC+∠CAD＝∠DBC+∠AEB，即∠BAD＝∠BFA，∠FBA是公共角，可证△BAD∽△BFA，得，即得AB2＝BF•BD． 【解答】证明：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°， 又∵∠AMB＝∠DMC， ∴△AMB∽△DMC； （2）∵AC⊥AB，BD⊥CD， ∴∠BAC＝∠BDC＝90°，即A、B、C、D四点共圆， ∴∠CAD＝∠CBD，又由AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠BAC，∠BAC+∠CAD＝∠DBC+∠AEB， ∴∠BAD＝∠BFA，∠FBA是公共角， ∴△BAD∽△BFA， ∴， ∴AB2＝BF•BD． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB边上，且BD2＝BE•BC．求证：∠BDE＝∠C． 【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，由BD2＝BE•BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵BD2＝BE•BC， ∴， ∴△EBD∽△DBC， ∴∠BDE＝∠C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论． 15．（2023•望江县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长． 【分析】（1）证明Rt△ACD∽Rt△ABC，然后利用相似比可得到结论； （2）由AC2＝AB•AD得到62＝（AD+5）•AD，则可求出AD＝4，然后利用射影定理计算出CD的长． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴Rt△ACD∽Rt△ABC， ∴AC：AB＝AD：AC， ∴AC2＝AB•AD； （2）解：∵AC2＝AB•AD， ∴62＝（AD+5）•AD， 整理得AD2+5AD﹣36＝0，解得AD＝﹣9（舍去）或AD＝4， ∵CD2＝AD•BD， ∴CD2． 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 【考点4】利用相似三角形求线段长（第16-23题） ※ 方法总结 · 识别相似：根据图形中的平行、垂直、公共角等条件，快速判断相似。 · 设未知数：利用相似比列出方程，解方程求线段长（注意舍去负值）。 · 常见图形：正方形、矩形中利用平行线或垂直构造相似。 · 注意：当图形中有多个相似三角形时，选择比例关系最直接的组合。 16．（2026•二道区校级模拟）如图，∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝9，CB＝6．若△ACB∽△CBD，则BD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【分析】根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【解答】解：∵△ACB∽△CBD，AC＝9，CB＝6， ∴，即， ∴BD＝4． 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． 17．（2026•高新区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E为AD上一点，连接CE交BD于点F，延长CE交BA的延长线于点G，若AG＝1，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据正方形的性质得到AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，AB∥CD，再利用勾股定理计算出CG＝5，接着证明△CDF∽△GBF，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出CF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，AB∥CD， 在Rt△GBC中，∵BG＝BA+AG＝3+1＝4，BC＝3， ∴CG5， ∵BG∥CD， ∴△CDF∽△GBF， ∴， ∴， ∴CF5． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了正方形的性质． 18．（2026•竞秀区模拟）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手BE距离墙壁2米（即BE与DC之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到BE的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手BE＝12cm，则手影CD的长为　20　 cm． 【分析】利用平行线得出相似三角形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【解答】解：∵EB∥DC， ∴△AEB∽△ADC， ∴， ∴若在光源不动的情况下，小明的手BE＝12cm，则手影． 故答案为：20． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握该知识点是关键． 19．（2026•西城区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F，若AB＝6，BE＝2，则BF＝　　 ． 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出BD的长，证明△ADF∽△EBF求出，即可得到． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD＝AB＝BC＝6，∠BAD＝90°， ∴； ∵AD∥BC， ∴△ADF∽△EBF， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 20．（2026春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝　　 ． 【分析】由勾股定理可得AB＝10，由直角三角形的性质可得，延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE，△ADC≌△BDE（SAS），则DE＝AC，∠E＝∠DCA，AC∥BE，连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F，由三角形重心的性质可得BH＝CH，证明△AHC≌△FHB（AAS），得出BF＝AC，从而可得EF＝BE+BF＝2AC，再证明△ACG∽△FEG，由相似三角形的性质即可得出结果． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ACB＝90°，AC＝8， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， 如图：延长CD至点E，使得DE＝DC，连接BE， ∵∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴∠E＝∠DCA，DE＝AC， ∴AC∥BE， 连接AG并延长交BC于点H，延长AH交EB于点F， ∵点G为△ABC的重心， ∴AH为△ABC的中线， ∴BH＝CH， ∵AC∥BE， ∴∠F＝∠CAH， ∵∠AHC＝∠FHB， ∴△AHC≌△FHB（AAS）， ∴BF＝AC， ∴EF＝BE+BF＝2AC， ∵AC∥BE， ∴△ACG∽△FEG， ∴， ∵EG＝ED+DG＝CD+DG＝CD+CD﹣CG＝2CD﹣CG， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21．（2026春•昭阳区校级月考）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ADC＝∠ACB，AD＝1，AC＝3，则BD＝ 　8　 ． 【分析】先证明△ACD∽△ABC，再利用相似比求出AB，然后计算AB﹣AD即可． 【解答】解：∵∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， ∴AD：AC＝AC：AB， 即1：3＝3：AB， 解得AB＝9， ∴BD＝AB﹣AD＝9﹣1＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算． 22．（2026•高碑店市模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D，E分别是边AC，AB上的点，AE＝4，将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F，射线DF交BC于点Q． （1）求证：△ADE∽△CQD； （2）当AD＝5时，求CQ的长． 【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明∠A＝∠B＝∠C＝60°，∠AED＝∠CDQ，进一步证明即可； （2）证明AC＝AB＝12，求解CD＝12﹣5＝7，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可． 【解答】（1）证明：∵等边△ABC， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣60°＝120°， ∵由旋转可得：∠EDF＝60°， ∴∠ADE+∠CDQ＝120°， ∴∠AED＝∠CDQ， ∴△ADE∽△CQD． （2）解：∵在等边△ABC中，AE＝4，AB＝12， ∴AC＝AB＝12， ∵AD＝5， ∴CD＝12﹣5＝7， ∵△ADE∽△CQD， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（2026•江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长． 【分析】根据DE∥BC，证明△ABC∽△ADE，进而得出，代入数据即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠B＝∠D，∠C＝∠E， ∴△ABC∽△ADE， ∴． 根据题意AD＝3，AB＝5，DE＝5， 代入得， ∴． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【考点5】相似三角形的判定证明（第24-34题） ※ 方法总结 · 熟练运用判定定理：AA、SAS、SSS、HL，选择最简方法。 · 利用旋转、对称、平移等变换：变换前后对应边/角不变，可构造相似。 · 作辅助线：常作平行线或垂线构造A字型、8字型或母子型。 · 证明格式：先写“在△...和△...中”，再列条件，最后写“∴△...∽△...”。 24．（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′ C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F 【分析】由旋转得∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′，可判断B不符合题意，C不符合题意；由∠BFC＝∠EFC′，∠C＝∠C′，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△BCF∽△EC′F，可判断D不符合题意；当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′，而BC′＝BC，则AB＝BC′，所以∠BAC′＝∠BC′A，由∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C，推导出∠BAC＝∠A′C′B，进而证明∠EAC′＝∠EC′A，则AE＝C′E，即可由C′E＞EF，证明AE＞EF，通过这个“反例”证明“AE＝EF”这一结论不一定正确，可判断A符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置， ∴∠ABA′＝∠CBC′，△ABC≌△A′BC′， ∴故B不符合题意，C不符合题意； ∵AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F， ∴∠BFC＝∠EFC′， ∵∠C＝∠C′， ∴△BCF∽△EC′F， 故D不符合题意； 如图，当AB＝BC，且BC′⊥AC时，设AB交A′C′于点H，连接AC′， ∵BC′＝BC， ∴AB＝BC′， ∴∠BAC′＝∠BC′A， ∵∠BAC＝∠C，∠A′C′B＝∠C， ∴∠BAC＝∠A′C′B， ∴∠BAC′﹣∠BAC＝∠BC′A﹣∠A′C′B， ∴∠EAC′＝∠EC′A， ∴AE＝C′E， ∵C′E＞EF， ∴AE＞EF， ∴“AE＝EF”这一结论不一定正确， 故A符合题意， 故选：A． 【点评】此题重点考查旋转的性质、相似三角形的判定、垂线段最短等知识，正确理解和应用旋转的性质是解题的关键． 25．（2026春•荣县月考）观察下列每组三角形，不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，58°＝58°即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 26．（2026•西安校级四模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中与△ABD相似的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据垂直定义可得直角，利用全等三角形判定可得△AED≌△ABD，利用同角的余角相等可得角的关系，进而判定△CAD和△CBA与△ABD相似． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠ADE＝90°． ∵BD＝DE，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴△AED∽△ABD． ∵∠BAC＝90°， ∴∠B+∠C＝90°． 又∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠C＝∠BAD． 在△CAD和△ABD中， ， ∴△CAD∽△ABD． 在△CBA和△ABD中， ， ∴△CBA∽△ABD． 综上所述，与△ABD相似的三角形有△AED、△CAD、△CBA，共3个， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 27．（2026•广汉市一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E．除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 　4　 ． 【分析】根据CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E，得∠CDA＝∠CDB＝90°，∠CED＝∠BED＝90°，再根据相似三角形的判定即可． 【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∠CED＝∠BED＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ACD中， ， ∴Rt△ABC∽Rt△ACD； 在Rt△ABC和Rt△CBD中， ， ∴Rt△ABC∽Rt△CBD； ∵DE⊥BC， ∴AC∥DE， ∴Rt△ABC∽Rt△DBE； ∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠DCB， 在Rt△ABC和Rt△DBE中， ， ∴Rt△ABC∽Rt△DBE； ∴图中与Rt△ABC相似的三角形有4个． 故答案为：4． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 28．（2025秋•上海校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 　∠ADE＝∠C（答案不唯一）　 ．（只写一个） 【分析】由于△ABC和△AED有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件． 【解答】解：根据题意， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴当∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED． 所以可添加的一个条件是∠ADE＝∠C（答案不唯一）． 故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，关键是相似三角形判定定理的应用． 29．（2024秋•宝山区校级月考）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，点D是在边CA延长线上的一点，连接BD，当CD＝　或24　 时，△ABD与△ABC相似． 【分析】首先证明∠BAC＝90°，由△ABD与△ABC相似，推出点D只有在CA的延长线上，分两种情形分别求解即可． 【解答】解∵AB＝9，AC＝12，BC＝15， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵△ABD与△ABC相似， ∴点D只有在CA的延长线上， 当△ABD∽△ACB时，AB2＝AD•AC， ∴AD， ∴CD， 当△ABD∽△ABC时，AD＝AC＝12，此时CD＝24． 综上所述，满足条件的CD的值为或24． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 30．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 【分析】先根据BD＝1，DC＝3，求出BC的长，再根据∠B＝∠B，即可得出结论． 【解答】证明：∵BD＝1，DC＝3， ∴BC＝BD+CD＝1+3＝4， ∵， ∴， ∵∠B为公共角， ∴△ABD∽△CBA． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键． 31．（2025秋•浦东新区校级月考）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD． 【分析】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A＝∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH＝∠ACB＝90°，从而证明：△AHD∽△EBD． 【解答】证明：∵HD⊥AB于D， ∴∠ADH＝90°， ∴∠A+∠AHD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠E+∠AHD＝90°， ∴∠A＝∠E， ∵∠ADH＝∠ACB＝90°， ∴△AHD∽△EBD． 【点评】本题考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 32．（2025秋•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：△ABP∽△PCD． 【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据角的和差计算可得∠DPC＝∠BAP，结合相似三角形的判定和性质即可求证． 【解答】证明：在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠APC＝∠ABC+∠BAP， ∴∠APD+∠DPC＝∠ABC+∠BAP， ∴∠DPC＝∠BAP， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴△ABP∽△PCD． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 33．（2025秋•寿县期末）如图，已知△ABC和△AED，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，且．求证：△BDF∽△BAD． 【分析】先证明∠EAD＝∠BAC，利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”证明△EAD∽△BAC，推出∠E＝∠B，再证明∠BDF＝∠BAD，再利用“两组对应的角相等的两个三角形相似”即可得到结论． 【解答】证明：∵△ABC和△AED中，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD， ∴∠BAD＝∠DAC，∠EAB＝∠BAD， ∴∠EAB＝∠BAD＝∠DAC， ∴∠EAD＝∠BAC， ∵， ∴△EAD∽△BAC， ∴∠E＝∠B， ∵∠EFA＝∠BFD， ∴∠BDF＝∠EAF， ∴∠BDF＝∠BAD， ∵∠DBF＝∠ABD， ∴△BDF∽△BAD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 34．（2025秋•宣城期末）问题背景： 如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究： 如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EG与BD交于点G，求证：BG＝FG． 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，根据点E，F分别是AB，BC的中点，可得，即可求证； 问题探究：取BD的中点H，连接EH、HC，得EH是△ABD的中位线，根据已知条件可得EH平行且等于FC，进而可得EFCH是平行四边形，得EF∥HC，则∠GFB＝∠HCB，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出HB＝HC，进而可得∠HBC＝∠HCB，等量代换可得∠GBF＝∠GFB，等角对等边，即可得证． 【解答】证明：问题背景：在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点， ∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°，AB＝2BE，BC＝2BF， ∴， 即， ∴△BCD∽△FBE； 问题探究：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，如图2，取BD的中点H，连接EH、HC， ∴，EH∥AD， 又∵AD＝2CF， ∴EH＝CF， ∵AD∥BC， ∴EH∥FC， ∴四边形EHCF是平行四边形， ∴EF∥CH， ∴∠GFB＝∠HCB， 又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点， ∴， ∴∠HBC＝∠HCB， ∴∠GBF＝∠GFB， ∴GB＝GF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点6】相似三角形判定定理的应用（第35-40题） ※ 方法总结 · 实际应用：测量高度（镜子、标杆、影子）、计算内径、小孔成像等。 · 建立模型：将实际问题转化为相似三角形模型，利用对应边成比例列方程。 · 注意单位：统一单位，特别是比例尺和实际长度。 · 综合题：可能结合勾股定理、面积、最值等，需要灵活运用。 35．（2026•公主岭市模拟）如图，为测量零件内槽宽BC，某同学制作了一个测量尺．其中，AB为固定臂，AC为活动臂（可绕点A转动）．D，E分别为AB，AC的三等分点（即ADAB，AEAC），测量尺的零刻度与点D重合．现测得DE的长约为5cm，则内槽宽BC的长为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．18cm 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得△ADE∽△ABC，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【解答】解：∵， ∴△ADE∽△ABC， ∴． ∵DE＝5cm， ∴BC＝15cm， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 36．（2026•兰山区二模）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（　　） A．24mm B．36mm C．40mm D．48mm 【分析】证明△AEH∽△ABC，根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【解答】解：∵正方形EFGH的FG边在BC上， ∴EH∥BC， ∴EH＝EF＝KD． ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴， ∴EH＝48mm， 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 37．（2025秋•东莞市校级期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为5cm，，则容器的内径BC的长度为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 【分析】根据相似三角形的判定定理判定△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得，进而可得答案． 【解答】解：∵，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD∽△BOC， ∴， ∵A，D两个端点之间的距离为5cm， ∴BC＝10cm， 故选：C． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 38．（2026•恩平市二模）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD，点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是　3.6cm ． 【分析】根据题意证明△AOB∽△COD，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，进行求解，即可解题． 【解答】解：∵AC与BD交于点O，AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm， ∴， ∵蜡烛火焰AB的高度是2.4cm， ∴， 解得CD＝3.6，即蜡烛火焰倒立的像CD的高度是3.6cm． 故答案为：3.6cm． 【点评】本题考查相似三角形性质和判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 39．（2026•南山区校级二模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 　77.8　 m． 【分析】先判定△DEF和△DCB相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解． 【解答】解：在△DEF和△DCB中， ∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°， ∴△DEF∽△DCB， ∴， 即， 解得BC＝76（m）， ∵AC＝1.8m， ∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m）， 即“步云阁”的高度为77.8m， 故答案为：77.8． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出△DEF和△DCB相似是解题的关键． 40．（2026•潮阳区三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，镜面到旗杆的距离CB＝15米．求旗杆的高度AB． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE＝1.5米，标杆高CF＝4米，EF＝3米，BF＝9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度AB． 【分析】（1）证明△DCE∽△ACB，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出AB的值． （2）证明△CDG∽△ADH，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出AH的值，最后由线段的和差关系即可求出AB的值． 【解答】解：（1）小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB． ∵∠DCE＝∠ACB，∠DEC＝∠ABC＝90°， ∴△DCE∽△ACB． ∴． ∴． ∴AB＝7.5． 答：旗杆的高度AB为7.5米． （2）∵DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行， ∴∠CGD＝∠AHD＝90°，GF＝BH＝DE＝1.5米． ∵∠CDG＝∠ADH， ∴△CDG∽△ADH． ∴． ∵CG＝CF﹣GF＝4﹣1.5＝2.5（米），DG＝EF＝3米，DH＝BF+EF＝9+3＝12（米）， ∴． ∴AH＝10． ∴AB＝AH+BH＝10+1.5＝11.5（米）． 答：旗杆的高度AB为11.5米． 【点评】本题考查相似三角形的应用，正确进行计算解题关键． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：判断添加条件是否能判定相似（熟悉判定定理的适用条件）。 · 练习2：在三角形中剪开阴影部分，判断是否与原三角形相似（模型识别）。 · 练习3：根据乘积式判断相似条件（比例变形）。 · 练习4：格点图中判定相似（勾股定理求边长，SSS判定）。 · 练习5：直角三角形中线与相似，求线段长（分类讨论）。 · 练习6：平行四边形中相似三角形的对数（计数问题）。 · 练习7：补充条件使两三角形相似（开放型）。 · 练习8：利用AA判定证明两三角形相似（基本练习）。 · 练习9：利用SAS判定证明相似（两边成比例夹角相等）。 · 练习10：平行线+比例式证明相似（综合应用）。 【练习1】（2026春•青浦区校级期中）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B' B． C．，且∠B＝∠B′ D．，且∠C＝∠C′ 【分析】由∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断A不符合题意；由，可根据“三边成比例的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断B不符合题意；由，且∠B＝∠B′，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△A′B′C′，可判断C不符合题意；由于，且∠C＝∠C′这两个条件不符合相似三角形的判定定理，因而不能由此判定△ABC∽△A′B′C′，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B'， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故A不符合题意； ∵在△ABC和△A′B′C′中，， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故B不符合题意； ∵在△ABC和△A′B′C′中，，且∠B＝∠B′， ∴△ABC∽△A′B′C′， 故C不符合题意； ∵，且∠C＝∠C′这两个条件不符合相似三角形的判定定理， ∴由，且∠C＝∠C′不能判定△ABC∽△A′B′C′， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 【练习2】（2025秋•渭源县期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【练习3】（2026春•晋中校级月考）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，下列条件中能判定△ADE∽△ACB的是（　　） A．AD•AE＝AB•AC B．DB•BC＝AB•AD C．DB•BC＝AE•AC D．AD•AB＝AE•AC 【分析】由两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，即可判断． 【解答】解：A、AD•AE＜AB•AC，AD•AE＝AB•AC不成立，不能判定两三角形相似，故A不符合题意； B、C、DB不是两三角形的边，不能判定两三角形相似，故B、C不符合题意； D、由AD•AB＝AE•AC，得到AD：AC＝AE：AB，又∠DAE＝∠BAC，由两边对应成比例且夹角相等的两三形相似，判定两三形相似，故D符合题意． 故故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似． 【练习4】（2024秋•鹤山市期末）如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断． 【解答】解：∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，AC：BC＝2， A选项中，三条线段的长为，2，，因为（）2+（2）2＝（）2，此三角形为直角三角形，长直角边与短直角边的比为2，所以A选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似；而B选项中长直角边与短直角边的比为3，C、D选项中的两直角边的比为1：1． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 【练习5】（2026•青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 　14或25　 ． 【分析】当△DEF∽△DBC时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝40，利用勾股定理求出AB＝48，证明△DFC≌△DEA（AAS），可得CF＝AE，再证明△DCE∽△CAB，求出CE＝50，根据线段的和差即可求出CF的长；当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC，证明△DFC∽△ADC，对应边成比例即可求出CF的长． 【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，AB＝80， ∴CDAB＝AD＝BD＝40， ∵AC＝64， ∴BC48， 当△DEF∽△DBC时，∠DEF＝∠B， ∴∠EDF＝∠BDC，∠DFE＝∠DCB， ∵CD＝BD， ∴DE＝DF， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴∠DFC＝∠DEA， ∴△DFC≌△DEA（AAS）， ∴CF＝AE， ∵∠DCA＝∠A，∠DEF＝∠B＝∠DCB，∠A+∠B＝90°， ∴∠DCA+∠DEF＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠ACB＝90°， ∵∠DCE＝∠A， ∴△DCE∽△CAB， ∴， ∴， ∴CE＝50， ∴CF＝AE＝AC﹣CE＝64﹣50＝14； 当△DEF∽△BCD时，∠DFE＝∠BDC， ∵∠DFE＝∠FCD+∠FDC，∠BDC＝∠FCD+∠A， ∴∠FDC＝∠A， ∵∠DCF＝∠ACD， ∴△DFC∽△ADC， ∴， ∴， ∴CF＝25， 当△DEF∽△CBD时，同法可得CF＝25． 综上所述：CF的长为14或25． 故答案为：14或25． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不小．解决本题的关键是得到△CDE∽△ACB． 【练习6】（2025秋•通州区期末）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 　三　 对相似三角形． 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AD∥BC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△AEF∽△DCF，△AEF∽△BEC， ∴△BEC∽△DCF， 故图中三对相似三角形． 故答案为：三． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【练习7】（2025秋•淇滨区校级期末）如图，∠DAB＝∠EAC，添加一个条件：　∠B＝∠D（或∠C＝∠E或）　 ，使△ABC∽△ADE．（写一个即可） 【分析】先由∠DAB＝∠EAC推出∠BAC＝∠DAE，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明△ABC∽△ADE． 【解答】解：情况1：添加条件∠B＝∠D， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC． ∵∠B＝∠D，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况2：添加条件∠C＝∠E， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC． ∵∠C＝∠E，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况3：添加条件， ∵∠DAB＝∠EAC， ∴∠DAB+∠BAE＝∠EAC+∠BAE， 即∠DAE＝∠BAC． ∵，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：∠B＝∠D（或∠C＝∠E或）． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 【练习8】（2026•城关区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD． 求证：△ABC∽△ACD． 【分析】由∠ABC＝∠ACD及∠A＝∠A，可证出△ABC∽△ACD． 【解答】证明：在△ABC与△ACD中， ∵∠ABC＝∠ACD，∠A＝∠A， ∴△ABC∽△ACD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是利用“两角对应相等，两个三角形相似”证出△ABC∽△ACD． 【练习9】（2026•番禺区二模）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，已知AB＝4，BD＝2，BC＝8．求证：△BAC∽△BDA． 【分析】根据两组对应边成比例及其夹角相等的两三角形相似证明． 【解答】证明：∵AB＝4，BD＝2， ∴， ∵AB＝4，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△BAC∽△BDA． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 【练习10】（2025秋•和田地区期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定解答即可． 【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝16． ∴CE＝AC﹣AE＝16﹣4＝12； ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴3， ∴； （2）证明：∵， ， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似（注意两边成比例但夹角不一定相等）。 · 作业2：选择不能判定相似的条件（判定定理的辨析）。 · 作业3：正方形+等边三角形中多个相似结论的判断（综合推理）。 · 作业4：添加条件判定相似（开放型，注意对应边）。 · 作业5：利用相似求线段长（设未知数解方程）。 · 作业6：动点问题中的相似分类讨论（两种相似对应情况）。 · 作业7：补充条件使两三角形相似（开放型，答案不唯一）。 · 作业8：直角三角形中双垂直模型证明相似（母子型）。 · 作业9：三角形高线相交，证明两个三角形相似（对顶角+直角）。 · 作业10：利用两边成比例且夹角相等证明相似（等腰三角形背景）。 ❤ 复习建议 本讲核心是“相似三角形的判定”，重点掌握： 四种判定方法的条件与适用场景，特别关注AA和SAS的灵活运用； 常见相似模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角）的识别与应用； 利用相似求线段长时，注意列方程和解方程； 证明题的规范书写格式； 实际应用中的建模能力（测量、比例尺等）。 【作业1】（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可． 【解答】A、∵有两边对应边成比例但是夹角不相等， ∴两三角形不相似， 故该选项符合题意； B、∵，，∠A＝∠A，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意； C、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意； D、∵阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等， ∴两三角形相似， 故该选项不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键要明确：两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 【作业2】（2026春•淮南月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A． B． C．∠ADE＝∠C D． 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【解答】解：A、但没有夹角相等，不能判定△ADE∽△ACB，故该选项符合题意； B、由可判定△ADE∽△ACB，故该选项不符合题意； C、由∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，可判定△ADE∽△ACB，故该选项不符合题意； D、由且∠A＝∠A，可判定△ADE∽△ACB，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业3】（2026•衡阳开学）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH•PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③ 【分析】①根据正方形的性质和等边三角形的性质，易得：∠ABE＝30°，∠DCP＝30°，进而得到BE＝2AE；②根据两个角对应相等的两个三角形相似证明△PCD∽△PDH；③根据相似三角形的性质得出；④根据CP＝CD，得到，进而推出∠FDP＝15°，利用正方形的对角线平分一组对角，推出∠PBH＝15°，进而得到∠FDP＝∠PBH，根据AD∥BC，推出∠DFP＝∠BPH＝60°，即可证明△PFD∽△HPB． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BPC是等边三角形， ∴BC＝CD，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，BC＝PC＝PB，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°， ∴∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝90°﹣60°＝30°，∠DCP＝∠BCD﹣∠PCB＝90°﹣60°＝30°，PC＝CD， ∴BE＝2AE，故①符合题意； ∵PC＝CD， ∴， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDC＝45°， ∴∠PHD＝∠PCD+∠BDC＝30°+45°＝75°， ∴∠PDC＝∠PHD， ∵∠DPH＝∠CPD， ∴△PCD∽△PDH，故②符合题意； ∴， ∴DP2＝PH•PC，故③符合题意； ∵∠PDC＝∠DPC＝75°， ∴∠FDP＝∠FDC﹣∠PDF＝90°﹣75°＝15°， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠ADB＝45°， ∴∠PBH＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°， ∴∠FDP＝∠PBH， ∵AD∥BC， ∴∠DFP＝∠PCB＝60°， ∴∠DFP＝∠BPH＝60°， ∴△PFD∽△HPB，故④符合题意； 综上：正确的是①②③④， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，正方形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业4】（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， A、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABC∽△ADE，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意， 故选：B． 【点评】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【作业5】（2026•徐州一模）如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝3，CD＝1，要使△ADB∽△ABC，则AB的长为 　2　 ． 【分析】由相似三角形的判定方法可知当时，△ADB∽△ABC，得出，可求出答案． 【解答】解：∵AD＝3，CD＝1， ∴AC＝4， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴当时，△ADB∽△ABC， 即， ∴AB＝2． 故答案为2． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【作业6】（2025秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过　或2　 秒后△PBQ和△ABC相似？ 【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似． 则AP＝2xcm，BQ＝4xcm， ∵AB＝8cm，BC＝16cm， ∴BP＝（8﹣2x）cm， BP与AB边是对应边，则， 即， 解得x＝2． BP与BC边是对应边，则， 即， 解得， 综上所述，经过秒或2秒后△PBQ和△ABC相似． 故答案为：或2． 【点评】本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边BP、BQ的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【作业7】（2025秋•志丹县期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC与△ADE相似，这个条件可以是　∠C＝∠E（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【分析】首先根据∠1＝∠2可推出∠BAC＝∠DAE，在已知一个角相等的情况下，添加另一对角相等或者将相等角度夹起来的两组对应边成比例即可判定△ABC∽△ADE即可得到答案． 【解答】解：①添加∠C＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； ②添加∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； ③添加， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴△ABC∽△ADE； 故答案为：∠C＝∠E（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，添加合适的条件使得三角形相似是解题的关键． 【作业8】（2025秋•漳浦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）求证：△AMN∽△CBE． 【分析】（1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到∠CBE＝∠AMN，结合（1）中的结论，即可得证． 【解答】证明：（1）由题意得∠BCD+∠ACD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠BCD＝∠A； （2）∵∠ACB＝90°， ∴∠BMC+∠CBE＝90°， ∵MN⊥BM， ∴∠AMN+∠BMC＝90°， ∴∠CBE＝∠AMN， 又由（1）可知：∠BCD＝∠A， ∴△AMN∽△CBE． 【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【作业9】（2026•漳州开学）如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O，连接ED．求证：△DEO∽△CBO． 【分析】根据垂直的定义得到∠BEO＝∠CDO，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：∵BD，CE是△ABC的高， ∴CE⊥AB，BD⊥AC， ∴∠BEO＝∠CDO， ∵∠BOE＝∠COD， ∴△BOE∽△COD， ∴， ∵∠DOE＝∠BOC， ∴△DEO∽△CBO． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，掌握相似三角形判定方法是解题的关键． 【作业10】（2025春•凉州区校级期中）如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．求证：△ABC∽△DAC． 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明△ABC∽△DAC． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DAC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 相似三角形的判定【知识精讲+典例+针对练习】 暑假预习讲义新沪教版数学九年级五四制上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 相似三角形的定义及基本性质（对应角相等、对应边成比例）。 · 掌握 相似三角形的四种判定方法（AA、SAS、SSS、HL），能根据已知条件选择合适的判定定理。 · 熟练运用 相似三角形判定定理解决格点图、补充条件、乘积式证明、求线段长等问题。 · 识别 常见的相似模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角、斜边高模型等），并能借助辅助线构造相似。 · 体会 类比全等三角形的判定学习相似判定，感悟“从特殊到一般”的数学思想，提升逻辑推理与几何直观能力。 ✨ 核心思想：相似三角形是比例线段与平行线的升华，判定定理是几何证明的重要工具。 ☆知识点1： 相似三角形的概念 1. 定义 如果两个三角形的三个角对应相等，三条对应边成比例，那么称这两个三角形相似。对应相等的角及其顶点分别是它们的对应角和对应顶点，以对应顶点为端点的边是它们的对应边。 两个三角形相似也可以表述为“两个三角形是相似三角形”或“一个三角形与另一个三角形相似”。 2. 表示方法 两个三角形中，，且 ，这时 与 相似，记作 ，读作“ 相似于 ”。（如图所示） 提醒：对应性：在书写两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样可以比较容易地找出相似三角形的对应角和对应边。 3.相似比 两个相似三角形的对应边的比值叫作它们的相似比，通常用 表示。 如图，如果 是 的中位线， 那么： ① 与 的相似比是 ， ② 与 的相似比是2。 即如果 与 相似， 与 的相似比是 ，那么 与 的相似比是 。 三角形是相似三角形的特例。 (2)两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关。 4. 三角形相似的传递性 定理：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似。（如图所示） 符号表示：∵ ☆知识点2：:相似三角形的预备定理和判定定理 1. 相似三角形的预备定理 内容 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 简述 平行截得两个三角形相似（“A”字或“8”字） 基本图形 符号表示 ∵ DE∥BC，∴ △ABC∽△ADE 例 1 如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BA 延长线上的一点，CE 交 AD 于点 F，图中有哪几对相似三角形？ 解：三对。 ① ， ② ， ③ 。 总结：当题目中已知线段的平行关系，或已知图形为平行四边形时，考虑用预备定理证明两个三角形相似。 2. 相似三角形判定定理（1） 内容 两角对应相等的两个三角形相似（Λ.Λ） 基本图形 符号表示 在中，∵∠A=∠，∠B=∠B1，∴ 常见图形 （隐含条件：公共角、对顶角） 提醒：A.A 是为方便记忆，书写时不使用，后同。 ( )例 2 如图，在 和 中，如果 ，那么 和 相似吗？请说明理由。 解： 与 相似。理由如下： 在 中， 在 和 中， 总结：当题目中已知三角形中某两个角的度数，可利用三角形的内角和为 计算出第三个角的度数，找到另一个三角形中与这个三角形相等的两组角，从而证明两个三角形相似。 3. 相似三角形判定定理（2） 内容 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（S.A.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 常见图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∠A=∠A1，∴ 提醒： (1) 利用此判定定理时必须注意：满足的条件是两边对应成比例及其夹角相等，而不是某边的对角相等。 (2)一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用此判定定理。 例 3 已知：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2。求证：△OAB与△ODC是相似三角形。 证明：∵ OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2， ∴ ，由此得 。 在△OAB与△ODC中，∵ ∴ △OAB∽△ODC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 4. 相似三角形判定定理（3） 内容 三边对应成比例的两个三角形相似（S.S.S） 基本图形 符号表示 在△ABC与△A1B1C1中，∵，∴ 提醒：此判定定理指出要说明两个三角形相似，只需要满足三条边对应成比例。一般地，当题目中告诉线段的长度较多，或有成比例线段的图形，但又找不到角相等时，常选择此判定定理。 例 4 已知：在 中，AB = 1 cm，BC = 2 cm，CA = 1.5 cm，在 中，DE = 6 cm，EF = 4 cm，FD = 8 cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 解： ∴ 在 与 中，。 ∴ 。 总结：已知两个三角形三条边的边长，要证两个三角形相似，只需证明三边对应成比例即可。用有关的边长作“比”并进行计算时，可以数形结合，用最长边比最长边，最短边比最短边，求值后判断三组边是否对应成比例即可完成证明。 ☆知识点3： 直角三角形相似的判定定理 内容 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似（H.L） 基本图形 符号表示 在Rt与Rt中，∠C=∠C1=90°，∵， ∴Rt∽Rt 常见图形 （斜高图） 说明： 要说明两个直角三角形相似，只需满足斜边和一条直角边对应成比例，即仅用直角三角形的斜边和直角边也可判定。一般地，当题目中出现直角三角形时，除了前面方法外，还应考虑本方法。 该判定定理仅适用于直角三角形，运用前需先判定两个三角形是直角三角形。 例 5 如图，已知：在 中，，CD 是边 AB 上的高。 求证：。 解析：要证 ，即 ，可证 。其他两个等式同理可证。 证明：∵ ，CD 是 的边 AB 上的高， 在 与 中， 同理，，可得 ，即 。 易证 ，可得 ，即 。 例 6 已知：如图，在四边形 ABCD 中，，AD = 4，BC = 9，AC = 6。 求证：。 证明：∵ ， ∴ 和 都是直角三角形。 ∴ Rt△DCA ∼ Rt△ABC（斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似）。 总结：当题目中已知直角三角形时，除了前面所述判定定理外，还可考虑直角三角形相似的判定定理。题目中给出三角形边长时，可先判断斜边和直角边，再计算对应边是否成比例，从而证明相似。其中，由已知线段长度建立比例关系是难点，可借助图形分析。 ☆知识点4： 判定三角形相似的方法选择 要证明两个三角形相似的方法有： · 方法 1：平行得相似； · 方法 2：两角对应相等得相似； · 方法 3：两边对应成比例且夹角相等得相似； · 方法 4：三边对应成比例得相似； · 直角三角形：斜边和一直角边对应成比例得相似。 解题思路： 1. 若有平行线 用方法1 1. 若已有一对角对应相等： 　　——再证一对角对应相等 → 用方法2 　　——或找夹此角的对应边成比例 → 用方法3 1. 若可找到两组边成比例： 　　——再证夹角相等 → 用方法3 　　——或看第三组边的比 → 用方法4 1. 直角三角形： 　　——斜边和一直角边对应成比例得相似 　　——一对锐角相等 → 用方法2 　　——两条直角边对应成比例 → 用方法3 提醒： 1. 定义法（三个角对应相等，三边对应成比例）一般不常用。 1. 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（斜高图，常用但需证明）。 ☆知识点5： 相似三角形与全等三角形之间的联系与区别 两个全等三角形 两个相似三角形 相同点 形状相同，对应角相等 形状相同，对应角相等 不同点 大小相等，对应边相等 大小不等，对应边成比例 联系 全等是特殊的相似 当比例系数是1时，两个相似三角形全等 判定方法 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角边角(A.S.A)、角角边(A.A.S)、斜边直角边(H.L) 边边边(S.S.S)、边角边(S.A.S)、角角(A.A)、斜边直角边(H.L) 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】格点图中判定两个三角形相似（第1-5题） ※ 方法总结 · 利用勾股定理计算网格中三角形的三边长度（或直角边的比例）。 · 三边对应成比例（SSS）或两边成比例且夹角相等（SAS）来判断。 · 注意直角：很多格点三角形为直角三角形，可通过直角边的比值判断相似。 · 技巧：将三角形的边长化为最简整数比，再与其他选项比较。 1．（2026•河北校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•固镇县一模）如图，△ABC顶点均在正方形网格格点上，下列阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•易县期末）如图，方格纸中有△ABC与△DEF，其中△ABC的一边与△DEF的一边和方格线重合．下列判断正确的是（　　） A．一定相似，因为两个三角形都是直角三角形 B．一定相似，因为两个三角形的对应边成比例 C．不一定相似，因为两个三角形的对应角不一定相等 D．不相似，因为两个三角形的对应边不成比例 4．（2025秋•浦东新区期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是 　 　 ． 5．（2025秋•裕安区校级期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、P4、P5、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有 　 　 个． 【考点2】补充条件判定三角形相似（第6-10题） ※ 方法总结 · 利用AA判定：添加另一组角相等（如∠ADE=∠B）。 · 利用SAS判定：添加对应边成比例（如 ADAB=AEAC），注意夹角必须是对应角。 · 注意：添加条件时，必须保证对应关系正确，避免“边边角”错误。 · 常见题型：给出一个条件，再添加一个使两三角形相似的条件（开放型）。 6．（2026•洛阳模拟）下列说法： ①所有的等边三角形都相似； ②有一个底角相等的两个等腰三角形相似； ③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似； ④都有一个15°角的两个直角三角形相似． 其中正确的说法是（　　） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 7．（2025秋•九台区期末）如图，已知△ABC，∠B＝60°，AB＝6，BC＝8．将△ABC沿图中的DE剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 8．（2026•普洱二模）如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接DE．请你添加一个条件，使△ADE∽△ACB，则你添加的这一个条件可以是　 　 （写出一个即可）． 9．（2026•浦东新区校级模拟）一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形　 　 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 10．（2025秋•象州县期末）如图，在△ABC中，D在AB上，添加一个条件使△ACD∽△ABC，则这个条件可以是：　 　 ．（不添加辅助线，写出一种情况即可） 【考点3】乘积式 b²＝ac 的转化证明（第11-15题） ※ 方法总结 · 目标：将乘积式转化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例证明。 · 步骤：① 由乘积式得到比例式；② 寻找包含这些边的相似三角形；③ 利用相似比证明。 · 常见模型：母子型（射影定理）、A字型、8字型。 · 常用技巧：利用中间比（如先证一个相似，得到中间比例，再结合其他条件转化）。 11．（2024春•同步）平行四边形ABCD中，AE交BC于点E，交BD于点F，且BE2＝EF•EA．求证：AB2＝BF•BD． 12．（2026•奉贤区二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AF交BD于点E、交BC于点F，且BE＝BF，∠BAF＝∠DAC． （1）如果AE＝CF，求证：∠ABC＝∠ACB； （2）联结OF．如果OF2＝EF•AF，求证：F是BC的中点． 13．（2008春•新郑市期末）如图：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F． 求证：（1）△AMB∽△DMC； （2）AB2＝BF•BD． 14．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB边上，且BD2＝BE•BC．求证：∠BDE＝∠C． 15．（2023•望江县模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D． （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）如果BD＝5，AC＝6，求CD的长． 【考点4】利用相似三角形求线段长（第16-23题） ※ 方法总结 · 识别相似：根据图形中的平行、垂直、公共角等条件，快速判断相似。 · 设未知数：利用相似比列出方程，解方程求线段长（注意舍去负值）。 · 常见图形：正方形、矩形中利用平行线或垂直构造相似。 · 注意：当图形中有多个相似三角形时，选择比例关系最直接的组合。 16．（2026•二道区校级模拟）如图，∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝9，CB＝6．若△ACB∽△CBD，则BD的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D． 17．（2026•高新区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E为AD上一点，连接CE交BD于点F，延长CE交BA的延长线于点G，若AG＝1，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 18．（2026•竞秀区模拟）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的．一次游戏中，小明的手BE距离墙壁2米（即BE与DC之间的距离为2米），光源A与小明手之间的距离为3米（即点A到BE的距离），如图所示．若在光源不动的情况下，小明的手BE＝12cm，则手影CD的长为　 　 cm． 19．（2026•西城区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE交对角线BD于点F，若AB＝6，BE＝2，则BF＝　 　 ． 20．（2026春•青浦区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边上的中点，点G为△ABC的重心，那么CG＝　 　 ． 21．（2026春•昭阳区校级月考）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ADC＝∠ACB，AD＝1，AC＝3，则BD＝ 　 　 ． 22．（2026•高碑店市模拟）如图，在等边△ABC中，AB＝12，点D，E分别是边AC，AB上的点，AE＝4，将线段DE绕点D顺时针旋转60°，点E的对应点为F，射线DF交BC于点Q． （1）求证：△ADE∽△CQD； （2）当AD＝5时，求CQ的长． 23．（2026•江西）如图，D，E分别在△ABC的边BA，CA的延长线上，DE∥BC，AD＝3，AB＝5，DE＝5，求BC的长． 【考点5】相似三角形的判定证明（第24-34题） ※ 方法总结 · 熟练运用判定定理：AA、SAS、SSS、HL，选择最简方法。 · 利用旋转、对称、平移等变换：变换前后对应边/角不变，可构造相似。 · 作辅助线：常作平行线或垂线构造A字型、8字型或母子型。 · 证明格式：先写“在△...和△...中”，再列条件，最后写“∴△...∽△...”。 24．（2026•凉山州）如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，AC与A′C′交于点E，AC与BC′交于点F，则下列结论不一定正确的是（　　） A．AE＝EF B．∠ABA′＝∠CBC′ C．△ABC≌△A′BC′ D．△BCF∽△EC′F 25．（2026春•荣县月考）观察下列每组三角形，不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 26．（2026•西安校级四模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，若BD＝DE，则图中与△ABD相似的三角形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 27．（2026•广汉市一模）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E．除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 　 　 ． 28．（2025秋•上海校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，要使得△ABC∽△AED，可添加的一个条件是 　 　 ．（只写一个） 29．（2024秋•宝山区校级月考）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝15，点D是在边CA延长线上的一点，连接BD，当CD＝　 　 时，△ABD与△ABC相似． 30．（2025秋•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA． 31．（2025秋•浦东新区校级月考）已知，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD． 32．（2025秋•丰泽区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B．求证：△ABP∽△PCD． 33．（2025秋•寿县期末）如图，已知△ABC和△AED，边AB、DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，且．求证：△BDF∽△BAD． 34．（2025秋•宣城期末）问题背景： 如图（1），在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE． 问题探究： 如图（2），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EG与BD交于点G，求证：BG＝FG． 【考点6】相似三角形判定定理的应用（第35-40题） ※ 方法总结 · 实际应用：测量高度（镜子、标杆、影子）、计算内径、小孔成像等。 · 建立模型：将实际问题转化为相似三角形模型，利用对应边成比例列方程。 · 注意单位：统一单位，特别是比例尺和实际长度。 · 综合题：可能结合勾股定理、面积、最值等，需要灵活运用。 35．（2026•公主岭市模拟）如图，为测量零件内槽宽BC，某同学制作了一个测量尺．其中，AB为固定臂，AC为活动臂（可绕点A转动）．D，E分别为AB，AC的三等分点（即ADAB，AEAC），测量尺的零刻度与点D重合．现测得DE的长约为5cm，则内槽宽BC的长为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．18cm 36．（2026•兰山区二模）如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（　　） A．24mm B．36mm C．40mm D．48mm 37．（2025秋•东莞市校级期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为5cm，，则容器的内径BC的长度为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 38．（2026•恩平市二模）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像示意图，其对应的数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD，点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2.4cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是　 　 ． 39．（2026•南山区校级二模）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是 　 　 m． 40．（2026•潮阳区三模）综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： （1）利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，∠DCE＝∠ACB．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度DE＝1.5米，小康到镜面的距离EC＝3米，镜面到旗杆的距离CB＝15米．求旗杆的高度AB． （2）利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度DE＝1.5米，标杆高CF＝4米，EF＝3米，BF＝9米，DE，CF，AB均垂直于地面，DH与水平面平行．求旗杆的高度AB． 随堂检测 · 精选练习 · 练习1：判断添加条件是否能判定相似（熟悉判定定理的适用条件）。 · 练习2：在三角形中剪开阴影部分，判断是否与原三角形相似（模型识别）。 · 练习3：根据乘积式判断相似条件（比例变形）。 · 练习4：格点图中判定相似（勾股定理求边长，SSS判定）。 · 练习5：直角三角形中线与相似，求线段长（分类讨论）。 · 练习6：平行四边形中相似三角形的对数（计数问题）。 · 练习7：补充条件使两三角形相似（开放型）。 · 练习8：利用AA判定证明两三角形相似（基本练习）。 · 练习9：利用SAS判定证明相似（两边成比例夹角相等）。 · 练习10：平行线+比例式证明相似（综合应用）。 【练习1】（2026春•青浦区校级期中）下列条件中，不能判定△ABC∽△A′B′C′的是（　　） A．∠A＝∠A'，∠B＝∠B' B． C．，且∠B＝∠B′ D．，且∠C＝∠C′ 【练习2】（2025秋•渭源县期末）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【练习3】（2026春•晋中校级月考）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，下列条件中能判定△ADE∽△ACB的是（　　） A．AD•AE＝AB•AC B．DB•BC＝AB•AD C．DB•BC＝AE•AC D．AD•AB＝AE•AC 【练习4】（2024秋•鹤山市期末）如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【练习5】（2026•青羊区校级一模）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝80，AC＝64，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF与△DBC相似时，线段AE的长为 　 　 ． 【练习6】（2025秋•通州区期末）如图，E是▱ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 　 　 对相似三角形． 【练习7】（2025秋•淇滨区校级期末）如图，∠DAB＝∠EAC，添加一个条件：　 　 ，使△ABC∽△ADE．（写一个即可） 【练习8】（2026•城关区模拟）如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC＝∠ACD． 求证：△ABC∽△ACD． 【练习9】（2026•番禺区二模）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，已知AB＝4，BD＝2，BC＝8．求证：△BAC∽△BDA． 【练习10】（2025秋•和田地区期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1：判断剪下的阴影三角形与原三角形是否相似（注意两边成比例但夹角不一定相等）。 · 作业2：选择不能判定相似的条件（判定定理的辨析）。 · 作业3：正方形+等边三角形中多个相似结论的判断（综合推理）。 · 作业4：添加条件判定相似（开放型，注意对应边）。 · 作业5：利用相似求线段长（设未知数解方程）。 · 作业6：动点问题中的相似分类讨论（两种相似对应情况）。 · 作业7：补充条件使两三角形相似（开放型，答案不唯一）。 · 作业8：直角三角形中双垂直模型证明相似（母子型）。 · 作业9：三角形高线相交，证明两个三角形相似（对顶角+直角）。 · 作业10：利用两边成比例且夹角相等证明相似（等腰三角形背景）。 ❤ 复习建议 本讲核心是“相似三角形的判定”，重点掌握： 四种判定方法的条件与适用场景，特别关注AA和SAS的灵活运用； 常见相似模型（A字型、8字型、母子型、一线三等角）的识别与应用； 利用相似求线段长时，注意列方程和解方程； 证明题的规范书写格式； 实际应用中的建模能力（测量、比例尺等）。 【作业1】（2026•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝6，AC＝9．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 【作业2】（2026春•淮南月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A． B． C．∠ADE＝∠C D． 【作业3】（2026•衡阳开学）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△PCD∽△PDH；③DP2＝PH•PC；④△PFD∽△HPB．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．②③ 【作业4】（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【作业5】（2026•徐州一模）如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，AD＝3，CD＝1，要使△ADB∽△ABC，则AB的长为 　 　 ． 【作业6】（2025秋•武城县期末）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过　 　 秒后△PBQ和△ABC相似？ 【作业7】（2025秋•志丹县期末）如图，在△ABC与△ADE中，∠1＝∠2，只需添加一个条件即可证明△ABC与△ADE相似，这个条件可以是　 　 ．（写出一个即可） 【作业8】（2025秋•漳浦县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，M在边AC上，BM与CD交于点E，作MN⊥BM交AB于点N． （1）求证：∠BCD＝∠A； （2）求证：△AMN∽△CBE． 【作业9】（2026•漳州开学）如图，BD，CE是△ABC的高，BD与CE相交于点O，连接ED．求证：△DEO∽△CBO． 【作业10】（2025春•凉州区校级期中）如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．求证：△ABC∽△DAC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $