吉林长春市第八中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

长春八中2025-2026学年度下学期期末考试 高一年级（数学）试卷 时间：120分钟 分值：150+12分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知数据，，…，的平均数为11，标准差为3，则，，…，的平均数和标准差分别为（ ） A．33，9 B．33，7 C．31，9 D．31，7 3．已知空间内三点，，，则点B到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 4．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，某校于2026年1月组织高一、高二、高三三个年级共400名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛．如图，结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图，下列命题中错误的是（ ） A．这400名学生中，高一人数比高二人数多40 B．成绩前200名的高一学生有90人 C．成绩前100名的学生中，高三学生人数不超过64 D．成绩第101名到第200名的学生中，高二人数比高一人数多 5．一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（ ） A．与互斥 B．B与对立 C．与相互独立 D． 6．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的侧面积与全面积的比是（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，P为上一点，且，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7，乙每次命中概率为0.8，甲和乙是否命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（ ） A．两人都命中的概率为0.56 B．恰好有一人命中的概率为0.38 C．两人都没有命中的概率为0.6 D．至少有一人命中的概率为0.7 10．在中，，，，点D为边上一动点，则（ ） A． B．当为角A的角平分线时， C．若O为的外心，则 D．当点D为边上点，时， 11．如图，在直棱柱中，底面为菱形，且，，M为线段的中点，N为线段的中点，点P满足（，），则下列说法正确的是（ ） A．若，则三棱锥的体积为定值 B．若，则有且仅有一个点P，使得 C．若，则的最小值为6 D．若，，则平面截该直棱柱所得截面周长为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在如图所示的电路图中，开关a闭合与断开的概率分别是和，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为____________． 13．在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥的外接球表面积为____________． 14．在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知，，且与夹角为120°，求： （1）； （2）在上的投影向量； （3）与的夹角． 16．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛．从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差． 17．如图，已知正三棱柱中，，点P为的中点． （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离． 18．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知的面积为． （1）求； （2）若，，求的周长． 19．如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为E，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在棱（不包括端点）上是否存在点G，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【附加题】本题12分，每空6分． 已知正四棱锥中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，记O为该四棱锥底面的中心，长为的线段的一个端点E在线段上运动，另一个端点F在底面上运动，线段的中点为Q，则： （1）Q的轨迹与底面围成几何体的体积为__________； （2）记M为的中点，过作截面将该四棱锥分为上、下两部分（如图），记上下两部分的体积为，，则的最小值为__________． 学科网（北京）股份有限公司 $