3.5 认识二元一次方程组课件2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，通过《孙子算经》“鸡兔同笼”问题导入，先引导用一元一次方程解决，再设两个未知数列出含两个等量关系的方程，搭建从一元到二元的知识迁移支架。 其亮点在于以历史趣题激发兴趣，通过类比一元一次方程特征归纳二元一次方程定义（数学思维），“做一做”填表活动让学生自主发现方程组的解（数学眼光），典例和练习结合购物、航行等实际情境（数学语言）。学生能提升抽象与模型意识，教师可依托清晰流程实现高效教学。

3.5 认识二元一次方程组 一次方程（组） 第3章 （湘教版）七年级 上 学习目标 1. 掌握二元一次方程、二元一次方程组的基本概念，理解二元一次方程组解的意义.能根据实际情况列出正确的二元一次方程组，能正确判断一组解是否是二元一次方程组的解. 2.学会用类比的方法迁移知识，感受数学知识间的系统性和连贯性. 3.经历观察、对比等过程，培养归纳概括的能力，体会实际生活中数学的价值. 新知导入 《孙子算经》 是我国古代重要的数学著作， 成书于公元 400年前后，传本共有上、中、下三 卷 . 下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有 趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一 个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔？ （1） 找出上述趣题中的等量关系； （2） 适当设未知数，列出一元一次方程. 新知导入 思考 前面我们已经知道本章 3. 1节的“鸡兔同笼”趣题中存在两个等量关系，并运用一元一次方程知识予以解决 . 若设兔有x只，鸡有y只，你能根据两个等量关系列出两个方程吗？列出的方程还是一元一次方程吗？ 分析 该“鸡兔同笼”趣题中存在以下两个等量关系： （1） 兔的只数+鸡的只数=35； （2） 兔的脚数+鸡的脚数=94. 新知探究 设兔有x只，鸡有y只，则根据上述两个等量关系可列出以下两个方程： ，. 想一想：列出的方程还是一元一次方程吗？他们有什么区别呢？ 列出的方程不是一元一次方程. 一元一次方程只有一个未知数，且未知数的次数为1； 列出来的方程含有两个未知数，两个未知数的次数都是1. 新知探究 上述两个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程. 要解决上述“鸡兔同笼”问题，（1）（2）两个等量关系需要同时成立，也即未知数x，y必须同时满足上述两个方程. 于是将两个方程联立，得 像这样，只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是 1 的方程组叫作二元一次方程组. ① ② 做一做 对于二元一次方程组 （2） 上表中存在哪对 x，y的值满足方程②吗？若有，请指出. x … y … 既满足方程①，又满足方程②. （1）把满足方程①，且符合问题的实际意义的x，y的值填入下表： ① ② 新知探究 由上表可知， ， / ， /…/ ， 都能使方程两边的值相等，因而它们都是方程的解 . 要注意的是，如果不考虑方程与前面实际问题的联系，那么 ， / ， /…也都是方程的解. 一般地，使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. 注意：一个二元一次方程一般有无数组解. 新知探究 我们还发现，， 既满足方程①，又满足方程②. 也就是说， ， 是方程①与方程②的公共解 .于是，将这两个数写成（12，23）的形式，它就是由方程①和②组成的方程组的一个解. 一般地，对于未知数为 x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数，代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ，）叫作这个方程组的一个解. 习惯上记作求方程组的解的过程叫作解方程组. 典例精析 例 小玲在文具店买了 3 本练习本，2 支圆珠笔，共花去 17 元，其中购 买练习本比圆珠笔多花1元. （1）设练习本的单价是 x 元，圆珠笔的单价是 y 元，试列出相应的 二元一次方程组. （2）是列出的二元一次方程组的一个解吗？ 分析 本题中等量关系有： （1）购买练习本所花的钱+购买圆珠笔所花的钱＝17元； （2）购买练习本所花的钱－购买圆珠笔所花的钱＝1元. 典例精析 解：（1） 根据等量关系，得. （2） 把 x用3，y用4分别代入方程①②可得： 方程①左边的值是3 × 3 + 2 × 4 = 17，方程①右边的值也是17； 方程②左边的值为3 × 3 － 2 × 4 = 1，方程②右边的值也是1. 因此， 是列出的二元一次方程组的一个解. 课堂练习 1.一艘轮船顺流航行的速度为 24 km/h，逆流航行的速度为 18 km/h. 它在静水中的速度为x km/h，水的流速为y km/h，请列出相应的二元一次方程组. 解： 由题意得 课堂练习 2 .若一个二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 . （只要求写一个）. 解： （答案不唯一） 课堂练习 3 .是二元一次方程组的解吗？ 解：令为方程①， 为方程②， 方程①左边的值是3 × 2 － 4× 1 = 2，方程①右边的值也是2； 方程②左边的值为4 × 2 － 3 × 1 = 5，方程②右边的值是6. 因此， 不是二元一次方程组的解. 把 x用2，y用1分别代入方程① ②可得： 课堂总结 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1 的方程. 2.二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都 是 1 的方程组. 3.二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数 的值. (注意：一个二元一次方程一般有无数组解.) 课堂总结 4.方程组的一个解：对于未知数为 x，y的二元一次方程组，若x，y分别用数，代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把（ ，）叫作这个方程组的一个解.习惯上记作 5.解方程组：求方程组的解的过程. 作业布置 必做题 选做题 教材P119页习题——学而时习之 教材P119页习题——温故而知新 谢谢观看 Thank you $